Körper - Quader und Würfel

Darum geht's

Denk an einen Schuhkarton. Du kannst ihn öffnen, aufklappen und flach auf den Tisch legen. Dann siehst du alle sechs Seiten nebeneinander – wie ein aufgefaltetes Schnittmuster. Aus diesem flachen Muster kannst du den Karton wieder zusammenfalten.

Schuhkartons, Ziegelsteine und Spielwürfel haben etwas gemeinsam: Sie sind kastenförmig. In der Mathematik nennen wir solche Formen Quader und Würfel. Beide gehören zu den wichtigsten geometrischen Körpern überhaupt. Du begegnest ihnen täglich – beim Bauen, Verpacken, Kochen und Spielen. In diesem Artikel lernst du, wie du ihre Eigenschaften erkennst, ihre Netze zeichnest und ihre Oberfläche sowie ihr Volumen berechnest.

Quader und Würfel: die Idee

Bevor du rechnen kannst, musst du die Begriffe kennen. Ein geometrischer Körper ist ein dreidimensionales Objekt – es hat Länge, Breite und Höhe. Körper haben Flächen (die Aussenseiten), Kanten (die Linien, wo zwei Flächen zusammentreffen) und Ecken (die Punkte, wo mindestens drei Kanten zusammentreffen).

Definition

Ein Quader ist ein Körper mit genau:

• $6$ rechteckigen Flächen
• $12$ Kanten (je $4$ Kanten mit gleicher Länge)
• $8$ Ecken (jede Ecke ist ein rechter Winkel)

Die drei Kantenlängen heissen $a$ (Länge), $b$ (Breite) und $c$ (Höhe). Gegenüberliegende Flächen sind immer parallel und gleich gross.

Definition

Ein Würfel ist ein besonderer Quader, bei dem alle Kanten gleich lang sind:

• $6$ quadratische Flächen (alle gleich gross)
• $12$ gleich lange Kanten mit Länge $a$
• $8$ Ecken

Der Würfel ist ein Spezialfall des Quaders. Jeder Würfel ist ein Quader, aber nicht jeder Quader ist ein Würfel.

Die Flächen des Quaders lassen sich in drei Paare einteilen:

• Oben und unten: Rechtecke mit den Seiten $a$ und $b$
• Vorne und hinten: Rechtecke mit den Seiten $a$ und $c$
• Links und rechts: Rechtecke mit den Seiten $b$ und $c$

An jeder Ecke treffen genau drei Flächen aufeinander, und alle Winkel betragen $90°$. Das macht Quader so praktisch – sie lassen sich perfekt stapeln und verpacken.

Quader und Würfel: der Rechenweg

Die wichtigsten Berechnungen für Quader und Würfel sind Oberfläche und Volumen.

Die Oberfläche ist die Gesamtfläche aller Aussenseiten. Stell dir vor, du müsstest den Körper vollständig mit Geschenkpapier einwickeln – die Oberfläche sagt dir, wie viel Papier du brauchst.

Definition

Oberfläche des Quaders: $O = 2 \cdot (a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c)$

Oberfläche des Würfels (alle 6 Flächen sind gleich): $O = 6 \cdot a^2$

Die Einheit der Oberfläche ist immer eine Flächeneinheit: $\text{cm}^2$, $\text{m}^2$, etc.

Das Volumen gibt an, wie viel Raum ein Körper einnimmt. Stell dir vor, du füllst den Körper mit Wasser – das Volumen sagt dir, wie viel hineinpasst.

Definition

Volumen des Quaders: $V = a \cdot b \cdot c$

Volumen des Würfels (alle Kanten gleich lang): $V = a^3 = a \cdot a \cdot a$

Die Einheit des Volumens ist immer eine Raumeinheit: $\text{cm}^3$, $\text{m}^3$, etc.

Das Vorgehen bei jeder Aufgabe ist immer gleich: Grössen identifizieren, Skizze zeichnen, Formel wählen, einsetzen, Einheit angeben.

Beispiel:

Oberfläche eines Würfels

Aufgabe: Ein Würfel hat die Kantenlänge $a = 5 \, \text{cm}$. Berechne seine Oberfläche.

Lösung:

Gegeben: $a = 5 \, \text{cm}$

Gesucht: Oberfläche $O$

Formel für die Oberfläche des Würfels: $O = 6 \cdot a^2$

Einsetzen: $O = 6 \cdot (5 \, \text{cm})^2 = 6 \cdot 25 \, \text{cm}^2 = 150 \, \text{cm}^2$

Die Oberfläche beträgt $150 \, \text{cm}^2$.

Zur Kontrolle: Ein Würfel hat 6 gleiche Flächen. Jede Fläche ist ein $5 \times 5$-Quadrat mit $25 \, \text{cm}^2$. Zusammen: $6 \cdot 25 = 150 \, \text{cm}^2$. ✓

Beispiel:

Volumen eines Quaders

Aufgabe: Ein Quader hat die Masse $a = 8 \, \text{cm}$, $b = 5 \, \text{cm}$ und $c = 3 \, \text{cm}$. Berechne sein Volumen.

Lösung:

Gegeben: $a = 8 \, \text{cm}$, $b = 5 \, \text{cm}$, $c = 3 \, \text{cm}$

Gesucht: Volumen $V$

Formel für das Volumen des Quaders: $V = a \cdot b \cdot c$

Einsetzen: $V = 8 \, \text{cm} \cdot 5 \, \text{cm} \cdot 3 \, \text{cm} = 120 \, \text{cm}^3$

Das Volumen beträgt $120 \, \text{cm}^3$.

Du kannst dir das so vorstellen: Auf die Grundfläche von $8 \cdot 5 = 40 \, \text{cm}^2$ stapelst du $3$ Schichten à $40 \, \text{cm}^2$. Ergibt $3 \cdot 40 = 120 \, \text{cm}^3$. ✓

Typische Fehler bei Quader und Würfel

Achtung

Einheiten verwechseln: Oberfläche und Volumen haben unterschiedliche Einheiten. Die Oberfläche wird in $\text{cm}^2$ (Quadratzentimeter) angegeben, das Volumen in $\text{cm}^3$ (Kubikzentimeter). Schreib die Einheit immer mit – ein Ergebnis ohne Einheit ist keine vollständige Antwort.

Achtung

Ungültige Würfelnetze: Nicht jede Anordnung von sechs Quadraten ergibt ein gültiges Würfelnetz. Es gibt genau 11 verschiedene Würfelnetze. Prüfe immer: Überlappen sich Flächen beim Falten? Fehlt eine Seite? Treffen gegenüberliegende Flächen aufeinander, obwohl sie es nicht sollen? Falte das Netz gedanklich Schritt für Schritt.

Achtung

Verschiedene Einheiten in einer Aufgabe: Manchmal sind Kantenlängen in verschiedenen Einheiten angegeben, zum Beispiel $2 \, \text{m}$ und $50 \, \text{cm}$. Du musst immer zuerst alle Grössen in die gleiche Einheit umrechnen, bevor du rechnest. $50 \, \text{cm} = 0{,}5 \, \text{m}$ – erst dann darfst du einsetzen.

Achtung

Oberfläche statt Volumen berechnen (und umgekehrt): Lies die Aufgabe genau. “Wie viel Farbe brauche ich?” deutet auf Oberfläche hin. “Wie viel passt hinein?” deutet auf Volumen hin. Unterstreiche in der Aufgabe das gesuchte Wort, bevor du anfängst.

Quader und Würfel in Aufgaben

Beispiel:

Kantenlänge aus dem Volumen bestimmen

Aufgabe: Ein Würfel hat ein Volumen von $V = 64 \, \text{cm}^3$. Wie lang ist eine Kante?

Lösung:

Gegeben: $V = 64 \, \text{cm}^3$

Gesucht: Kantenlänge $a$

Formel: $V = a^3$

Umstellen nach $a$: $a = \sqrt[3]{V} = \sqrt[3]{64 \, \text{cm}^3} = 4 \, \text{cm}$

Probe: $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$ ✓

Die Kantenlänge beträgt $4 \, \text{cm}$.

Tipp: Die dritte Wurzel ist die Umkehrung von «hoch 3». Du suchst die Zahl, die mit sich selbst dreimal multipliziert das Volumen ergibt. Probiere ruhig: $3^3 = 27$, $4^3 = 64$, $5^3 = 125$.

Beispiel:

Oberfläche eines Quaders berechnen

Aufgabe: Eine Schachtel ist $12 \, \text{cm}$ lang, $8 \, \text{cm}$ breit und $5 \, \text{cm}$ hoch. Wie viel Quadratzentimeter Pappe wurden mindestens verwendet?

Lösung:

Gegeben: $a = 12 \, \text{cm}$, $b = 8 \, \text{cm}$, $c = 5 \, \text{cm}$

Gesucht: Oberfläche $O$ (entspricht dem verbrauchten Pappematerial)

Formel: $O = 2 \cdot (a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c)$

Einzelne Flächenpaare berechnen:

• $a \cdot b = 12 \cdot 8 = 96 \, \text{cm}^2$
• $a \cdot c = 12 \cdot 5 = 60 \, \text{cm}^2$
• $b \cdot c = 8 \cdot 5 = 40 \, \text{cm}^2$

Einsetzen: $O = 2 \cdot (96 + 60 + 40) = 2 \cdot 196 = 392 \, \text{cm}^2$

Es wurden mindestens $392 \, \text{cm}^2$ Pappe verwendet.

Quader und Würfel genauer betrachtet

Netze von Quader und Würfel

Wenn du einen Körper aufklappst und flach auf den Tisch legst, entsteht ein Netz. Das Netz zeigt alle Flächen in der Ebene. Du kannst es ausschneiden und zum Körper zurückfalten.

Ein Würfel hat sechs Flächen. Es gibt genau 11 verschiedene gültige Würfelnetze. Das bekannteste sieht aus wie ein Kreuz: vier Quadrate in einer Reihe, und je ein Quadrat links und rechts an der zweiten Position. Aber es gibt viele weitere Anordnungen.

Beim Quader sind die Rechtecke unterschiedlich gross. Das schränkt die möglichen Netze ein. Gegenüberliegende Flächen müssen beim Falten aufeinandertreffen – das musst du beim Entwerfen eines Netzes beachten.

Massstab und Einheitenumrechnung

Definition

Längen: $1 \, \text{m} = 100 \, \text{cm} = 1000 \, \text{mm}$

Flächen (quadratisch, also hoch 2): $1 \, \text{m}^2 = 10\,000 \, \text{cm}^2$

Volumen (kubisch, also hoch 3): $1 \, \text{m}^3 = 1\,000\,000 \, \text{cm}^3$ $1 \, \text{dm}^3 = 1 \, \text{Liter} = 1000 \, \text{cm}^3$

Die Beziehung $1 \, \text{dm}^3 = 1 \, \text{Liter}$ ist besonders nützlich. Ein Würfel mit der Kantenlänge $10 \, \text{cm}$ (also $1 \, \text{dm}$) fasst genau $1 \, \text{Liter}$.

Quader und Würfel in der Natur und Technik

Würfelförmige Kristalle kommen in der Natur vor – Steinsalz (Kochsalz) kristallisiert immer in Würfelform. Das ist kein Zufall: Die regelmässige Anordnung der Natrium- und Chlor-Ionen im Gitter erzeugt diese Form. Quaderförmige Strukturen findest du überall im Bauwesen – Ziegelsteine, Container, Zimmer. Sie sind stabil, lassen sich gut stapeln und einfach berechnen.

Beispiel:

Umrechnung und Volumen

Aufgabe: Ein Aquarium ist $80 \, \text{cm}$ lang, $40 \, \text{cm}$ breit und $50 \, \text{cm}$ hoch. Wie viele Liter Wasser fasst es, wenn es bis zum Rand gefüllt wird?

Lösung:

Gegeben: $a = 80 \, \text{cm}$, $b = 40 \, \text{cm}$, $c = 50 \, \text{cm}$

Gesucht: Volumen $V$ in Litern

Formel: $V = a \cdot b \cdot c = 80 \cdot 40 \cdot 50 = 160\,000 \, \text{cm}^3$

Umrechnen in Liter (da $1 \, \text{Liter} = 1000 \, \text{cm}^3$): $V = \frac{160\,000}{1000} = 160 \, \text{Liter}$

Das Aquarium fasst $160 \, \text{Liter}$ Wasser.

Merke: Diese Umrechnung funktioniert immer – berechne zuerst das Volumen in $\text{cm}^3$, dann teile durch $1000$.

Übungen

Löse die folgenden Aufgaben. Die Lösungen findest du weiter unten. Die Aufgaben sind nach Schwierigkeit geordnet – beginne mit Aufgabe 1 und arbeite dich vor.

Aufgabe 1 ★ Ein Würfel hat die Kantenlänge $a = 3 \, \text{cm}$. Berechne sein Volumen.

Aufgabe 2 ★ Ein Quader hat die Masse $a = 6 \, \text{cm}$, $b = 4 \, \text{cm}$ und $c = 2 \, \text{cm}$. Berechne sein Volumen.

Aufgabe 3 ★ Ein Würfel hat die Kantenlänge $a = 4 \, \text{cm}$. Berechne seine Oberfläche.

Aufgabe 4 ★★ Ein Quader hat die Masse $a = 10 \, \text{cm}$, $b = 6 \, \text{cm}$ und $c = 3 \, \text{cm}$. Berechne seine Oberfläche.

Aufgabe 5 ★★ Ein Würfel hat ein Volumen von $V = 125 \, \text{cm}^3$. Wie lang ist eine Kante?

Aufgabe 6 ★★ Ein Würfel hat eine Oberfläche von $O = 96 \, \text{cm}^2$. Wie lang ist eine Kante?

Aufgabe 7 ★★ Ein Quader hat die Masse $a = 1{,}5 \, \text{m}$, $b = 0{,}8 \, \text{m}$ und $c = 0{,}6 \, \text{m}$. Berechne sein Volumen in $\text{m}^3$ und sein Volumen in $\text{cm}^3$.

Aufgabe 8 ★★★ Ein quaderförmiges Schwimmbecken ist $25 \, \text{m}$ lang, $10 \, \text{m}$ breit und $2 \, \text{m}$ tief. Wie viele Liter Wasser fasst es? (Hinweis: $1 \, \text{m}^3 = 1000 \, \text{Liter}$)

Aufgabe 9 ★★★ Eine quaderförmige Schachtel ist $15 \, \text{cm}$ lang, $10 \, \text{cm}$ breit und $8 \, \text{cm}$ hoch. Sie soll aussen vollständig mit Geschenkpapier beklebt werden. Wie viel Quadratzentimeter Papier werden benötigt?

Aufgabe 10 ★★★ Zwei Würfel werden nebeneinandergestellt, sodass ein Quader entsteht. Jeder Würfel hat die Kantenlänge $a = 5 \, \text{cm}$. Berechne die Oberfläche des entstandenen Quaders. Warum ist sie kleiner als die Summe der Oberflächen der beiden einzelnen Würfel?

Das Wichtigste in Kürze

Ein Quader hat $6$ rechteckige Flächen, $12$ Kanten und $8$ Ecken. Die drei Kantenlängen heissen $a$, $b$ und $c$. Ein Würfel ist ein Sonderfall des Quaders – alle Kanten sind gleich lang.

Die Oberfläche des Quaders berechnest du mit $O = 2 \cdot (a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c)$, beim Würfel vereinfacht sich das zu $O = 6 \cdot a^2$. Das Volumen des Quaders ist $V = a \cdot b \cdot c$, beim Würfel $V = a^3$.

Achte immer auf die Einheiten: Oberfläche in $\text{cm}^2$, Volumen in $\text{cm}^3$. Vor dem Rechnen müssen alle Kantenlängen in der gleichen Einheit vorliegen. Ein Würfel mit der Kantenlänge $10 \, \text{cm}$ fasst genau $1$ Liter.

❓ Frage:Ein Quader hat die Kantenlängen $a = 4 \, \text{cm}$, $b = 3 \, \text{cm}$ und $c = 2 \, \text{cm}$. Wie gross ist sein Volumen?

Lösung anzeigen

Formel: $V = a \cdot b \cdot c$ $V = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24 \, \text{cm}^3$ Das Volumen beträgt $24 \, \text{cm}^3$.

❓ Frage:Ein Würfel hat die Oberfläche $O = 54 \, \text{cm}^2$. Wie lang ist eine Kante?

Lösung anzeigen

Formel: $O = 6 \cdot a^2$ Umstellen: $a^2 = \dfrac{O}{6} = \dfrac{54}{6} = 9$ Also: $a = \sqrt{9} = 3 \, \text{cm}$ Die Kantenlänge beträgt $3 \, \text{cm}$.

❓ Frage:Was unterscheidet einen Würfel von einem allgemeinen Quader?

Lösung anzeigen

Beim Würfel sind alle 12 Kanten gleich lang und alle 6 Flächen sind gleich grosse Quadrate. Beim Quader können die drei Kantenlängen verschieden sein. Die Flächen sind Rechtecke, die je nach Paar unterschiedlich gross sind. Jeder Würfel ist ein Quader – aber nicht jeder Quader ist ein Würfel.

❓ Frage:Ein quaderförmiger Behälter hat die Masse $a = 20 \, \text{cm}$, $b = 10 \, \text{cm}$, $c = 5 \, \text{cm}$. Wie viele Liter Wasser fasst er?

Lösung anzeigen

Volumen: $V = 20 \cdot 10 \cdot 5 = 1000 \, \text{cm}^3$ Umrechnen: $1000 \, \text{cm}^3 = 1 \, \text{Liter}$ Der Behälter fasst genau 1 Liter Wasser.

❓ Frage:Wie viele verschiedene gültige Netze hat ein Würfel?

Lösung anzeigen

Ein Würfel hat genau 11 verschiedene gültige Netze. Jedes dieser Netze besteht aus 6 Quadraten, die so angeordnet sind, dass man den Würfel daraus zusammenfalten kann, ohne dass sich Flächen überlappen oder fehlen.

Ausblick

Mit dem Wissen über Quader und Würfel hast du eine wichtige Grundlage gelegt. In der 6. Klasse und später begegnest du weiteren geometrischen Körpern: Zylinder, Kegel, Pyramide und Kugel. Auch für diese Körper gibt es Formeln für Oberfläche und Volumen – das Prinzip bleibt dasselbe.

Im Alltag wirst du Quader und Würfel immer wieder antreffen: beim Umzug (Wie viele Kartons passen ins Auto?), beim Kochen (Wie gross muss die Form sein?) und im Beruf. Wer Architektur, Ingenieurswesen oder Design studiert, rechnet täglich mit diesen Formeln.

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 1

Gegeben: $a = 3 \, \text{cm}$

Gesucht: Volumen $V$

$V = a^3 = 3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27 \, \text{cm}^3$

Das Volumen beträgt $\mathbf{27 \, \text{cm}^3}$.

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Lösung zu Aufgabe 2

Gegeben: $a = 6 \, \text{cm}$, $b = 4 \, \text{cm}$, $c = 2 \, \text{cm}$

$V = a \cdot b \cdot c = 6 \cdot 4 \cdot 2 = 48 \, \text{cm}^3$

Das Volumen beträgt $\mathbf{48 \, \text{cm}^3}$.

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Lösung zu Aufgabe 3

Gegeben: $a = 4 \, \text{cm}$

$O = 6 \cdot a^2 = 6 \cdot 4^2 = 6 \cdot 16 = 96 \, \text{cm}^2$

Die Oberfläche beträgt $\mathbf{96 \, \text{cm}^2}$.

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Lösung zu Aufgabe 4

Gegeben: $a = 10 \, \text{cm}$, $b = 6 \, \text{cm}$, $c = 3 \, \text{cm}$

Flächenpaare berechnen:

• $a \cdot b = 10 \cdot 6 = 60 \, \text{cm}^2$
• $a \cdot c = 10 \cdot 3 = 30 \, \text{cm}^2$
• $b \cdot c = 6 \cdot 3 = 18 \, \text{cm}^2$

$O = 2 \cdot (60 + 30 + 18) = 2 \cdot 108 = 216 \, \text{cm}^2$

Die Oberfläche beträgt $\mathbf{216 \, \text{cm}^2}$.

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Lösung zu Aufgabe 5

Gegeben: $V = 125 \, \text{cm}^3$

$a = \sqrt[3]{125} = 5 \, \text{cm}$

Probe: $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$ ✓

Die Kantenlänge beträgt $\mathbf{5 \, \text{cm}}$.

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Lösung zu Aufgabe 6

Gegeben: $O = 96 \, \text{cm}^2$

Formel: $O = 6 \cdot a^2$

Umstellen: $a^2 = \frac{96}{6} = 16 \quad \Rightarrow \quad a = \sqrt{16} = 4 \, \text{cm}$

Die Kantenlänge beträgt $\mathbf{4 \, \text{cm}}$.

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Lösung zu Aufgabe 7

Gegeben: $a = 1{,}5 \, \text{m}$, $b = 0{,}8 \, \text{m}$, $c = 0{,}6 \, \text{m}$

Volumen in $\text{m}^3$: $V = 1{,}5 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}6 = 0{,}72 \, \text{m}^3$

Umrechnen in $\text{cm}^3$ (da $1 \, \text{m}^3 = 1\,000\,000 \, \text{cm}^3$): $V = 0{,}72 \cdot 1\,000\,000 = 720\,000 \, \text{cm}^3$

Das Volumen beträgt $\mathbf{0{,}72 \, \text{m}^3}$ bzw. $\mathbf{720\,000 \, \text{cm}^3}$.

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Lösung zu Aufgabe 8

Gegeben: $a = 25 \, \text{m}$, $b = 10 \, \text{m}$, $c = 2 \, \text{m}$

$V = 25 \cdot 10 \cdot 2 = 500 \, \text{m}^3$

Umrechnen in Liter ($1 \, \text{m}^3 = 1000 \, \text{Liter}$): $V = 500 \cdot 1000 = 500\,000 \, \text{Liter}$

Das Schwimmbecken fasst $\mathbf{500\,000 \, \text{Liter}}$ (also $500 \, \text{m}^3$).

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Lösung zu Aufgabe 9

Gegeben: $a = 15 \, \text{cm}$, $b = 10 \, \text{cm}$, $c = 8 \, \text{cm}$

Flächenpaare:

• $a \cdot b = 15 \cdot 10 = 150 \, \text{cm}^2$
• $a \cdot c = 15 \cdot 8 = 120 \, \text{cm}^2$
• $b \cdot c = 10 \cdot 8 = 80 \, \text{cm}^2$

$O = 2 \cdot (150 + 120 + 80) = 2 \cdot 350 = 700 \, \text{cm}^2$

Es werden $\mathbf{700 \, \text{cm}^2}$ Geschenkpapier benötigt.

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Lösung zu Aufgabe 10

Gegeben: Zwei Würfel mit $a = 5 \, \text{cm}$, nebeneinandergestellt.

Der entstandene Quader hat die Masse: Länge $= 10 \, \text{cm}$, Breite $= 5 \, \text{cm}$, Höhe $= 5 \, \text{cm}$.

Oberfläche des Quaders:

• $a \cdot b = 10 \cdot 5 = 50 \, \text{cm}^2$
• $a \cdot c = 10 \cdot 5 = 50 \, \text{cm}^2$
• $b \cdot c = 5 \cdot 5 = 25 \, \text{cm}^2$

$O = 2 \cdot (50 + 50 + 25) = 2 \cdot 125 = 250 \, \text{cm}^2$

Zum Vergleich: Jeder einzelne Würfel hat $O = 6 \cdot 25 = 150 \, \text{cm}^2$. Zwei Würfel zusammen hätten $2 \cdot 150 = 300 \, \text{cm}^2$.

Die Oberfläche des Quaders ($250 \, \text{cm}^2$) ist kleiner, weil beim Zusammenstellen zwei Flächen (je $5 \times 5 = 25 \, \text{cm}^2$) nach innen verschwinden und nicht mehr zur Aussenfläche gehören. Es fehlen $2 \cdot 25 = 50 \, \text{cm}^2$ – genau die Differenz $300 - 250 = 50 \, \text{cm}^2$. ✓

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Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport