Integral berechnen in 3 Schritten: Stammfunktion, Grenzen, abziehen

Darum geht's

Integrale wirken wie ein grosser Schritt in der Mathematik. Ein bestimmtes Integral rechnest du aber immer gleich aus, in drei Schritten. Hier am Beispiel $\int_1^3 2x\,dx$, mit Probe und den drei häufigsten Fehlern. Am Ende der Seite findest du das Arbeitsblatt mit weiteren Aufgaben als PDF.

Die Idee: ein Integral ist eine Fläche

Das bestimmte Integral $\int_1^3 2x\,dx$ ist die Fläche zwischen dem Graphen von $f(x) = 2x$ und der $x$-Achse, von $x = 1$ bis $x = 3$. Das gilt, solange der Graph im Intervall nicht unter der $x$-Achse liegt. Was darunter liegt, zählt negativ: $\int_{-1}^{1} x\,dx = 0$, obwohl dort zwei Dreiecke mit je $\dfrac{1}{2}$ Flächeneinheit liegen.

Abb. 1: Die gelbe Fläche unter $f(x) = 2x$ zwischen $x = 1$ und $x = 3$ ist das Integral $\int_1^3 2x\,dx$.

Ausrechnen kannst du sie mit einer Stammfunktion $F$, also einer Funktion mit $F'(x) = f(x)$:

Definition

$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$$

Für Potenzen gilt die Potenzregel: $x^n$ wird zu $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$, für $n \neq -1$. Die Ausnahme $x^{-1} = \dfrac{1}{x}$ hat die Stammfunktion $\ln|x|$.

Schritt 1: Stammfunktion bilden

Erhöhe den Exponenten um $1$ und teile durch den neuen Exponenten.

Stammfunktion von 2x

$$2x = 2x^1 \quad\to\quad 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2$$

Also ist $F(x) = x^2$. Probe durch Ableiten: $(x^2)' = 2x$. Passt.

Schritt 2: Grenzen einsetzen

Setze die obere und die untere Grenze in $F$ ein, nicht in $f$:

$$\Big[x^2\Big]_1^3 = F(3) - F(1), \qquad F(3) = 3^2 = 9, \qquad F(1) = 1^2 = 1$$

Schritt 3: Abziehen

Immer oben minus unten:

$$\int_1^3 2x\,dx = 9 - 1 = 8$$

Die Fläche unter der Kurve ist $8$ Flächeneinheiten.

Probe: Trapez

Die markierte Fläche ist ein Trapez. Die parallelen Seiten sind $a = f(1) = 2$ und $c = f(3) = 6$, die Höhe ist $h = 2$:

$$A = \frac{a + c}{2} \cdot h = \frac{2 + 6}{2} \cdot 2 = 8$$

Gleiches Resultat wie das Integral. Diese Probe klappt bei jeder Geraden, die im ganzen Intervall nicht unter der $x$-Achse liegt.

Die 3 häufigsten Fehler

Achtung

Unten minus oben. $F(1) - F(3) = 1 - 9 = -8$ ist falsch. Merke: immer oben minus unten.

Achtung

Exponent erhöht, aber nicht geteilt. Aus $2x$ wird nicht $2x^2$. Sonst kommt $18 - 2 = 16$ heraus. Nach dem Plus-1 kommt immer das Teilen.

Achtung

$f$ statt $F$ eingesetzt. $f(3) - f(1) = 6 - 2 = 4$ ist falsch. Die Grenzen gehören in die Stammfunktion $F$.

Übungen

❓ Frage:

Berechne $\int_1^2 4x^3\,dx$.

Lösung anzeigen

Stammfunktion: $4x^3 \to 4 \cdot \dfrac{x^4}{4} = x^4$. Grenzen einsetzen und abziehen: $2^4 - 1^4 = 16 - 1 = 15$.

❓ Frage:

Berechne $\int_{-1}^{1} 3x^2\,dx$. Achte auf die negative Grenze.

Lösung anzeigen

Stammfunktion: $3x^2 \to x^3$. Dann $1^3 - (-1)^3 = 1 - (-1) = 2$. Achtung: $(-1)^3 = -1$.

❓ Frage:

Für welche Zahl $k > 0$ gilt $\int_0^k 2x\,dx = 16$?

Lösung anzeigen

$\int_0^k 2x\,dx = \Big[x^2\Big]_0^k = k^2 - 0 = k^2$. Aus $k^2 = 16$ und $k > 0$ folgt $k = 4$.

Das Wichtigste in Kürze

• Ein bestimmtes Integral ist die Fläche unter dem Graphen, solange $f(x) \ge 0$ ist. Unter der $x$-Achse zählt die Fläche negativ.
• Schritt 1: Stammfunktion bilden, mit der Potenzregel $x^n \to \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ (für $n \neq -1$).
• Schritt 2: Grenzen in $F$ einsetzen. Schritt 3: oben minus unten.
• Probe: Ableiten oder, bei Geraden über der $x$-Achse, mit der Trapezformel nachrechnen.

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