Addieren und Subtrahieren (ganze Zahlen) – So rechnest du mit Plus und Minus

Darum geht's

Stell dir vor, du stehst in einem Aufzug im Erdgeschoss eines grossen Kaufhauses. Das Erdgeschoss ist Etage null. Du fährst drei Stockwerke nach oben in die Technikabteilung. Dann merkst du, dass du noch in die Tiefgarage musst – also fährst du fünf Stockwerke nach unten. Wo landest du? Du warst auf Etage $3$ und bist $5$ runtergefahren. Das bringt dich zwei Stockwerke unter die Erde, also auf Etage $-2$.

Genau so funktioniert das Rechnen mit ganzen Zahlen. Du bewegst dich auf einer Linie – manchmal nach rechts (Plus), manchmal nach links (Minus). Und manchmal landest du dabei im negativen Bereich. In diesem Artikel lernst du alle Regeln, um dabei sicher zu navigieren.

Eine kleine Zeitreise

Negative Zahlen haben die Menschheit lange Zeit verwirrt. Für Jahrtausende galt eine einfache Überzeugung: Eine Zahl kleiner als null kann nicht existieren. Schliesslich konnte man keine negativen Äpfel besitzen.

Die ersten Spuren negativer Zahlen tauchen im alten China auf. Im Werk Neun Kapitel zur mathematischen Kunst, entstanden etwa 200 vor Christus, verwendeten chinesische Mathematiker rote Rechenstäbe für positive Werte und schwarze für negative. Das System war rein praktisch gedacht – es half beim Abrechnen von Schulden und Guthaben auf dem Markt.

In Indien machte der Mathematiker Brahmagupta im 7. Jahrhundert nach Christus einen entscheidenden Schritt. Er formulierte als Erster klare Rechenregeln für negative Zahlen. Er nannte sie “Schulden” im Gegensatz zu “Vermögen”. Seine Regeln klingen vertraut: Schulden plus Schulden gibt mehr Schulden. Vermögen minus Schulden gibt mehr Vermögen.

In Europa war man skeptischer. Noch im 16. Jahrhundert nannten renommierte Mathematiker wie Michael Stifel negative Zahlen numeri absurdi – unsinnige Zahlen. René Descartes bezeichnete sie im 17. Jahrhundert als “falsche Zahlen”. Dennoch arbeiteten Mathematiker zunehmend mit ihnen, weil sie schlicht nützlich waren.

Den Durchbruch schaffte der Zahlenstrahl. Erst als man negative Zahlen als Positionen links von null auf einer Linie darstellte, wurde ihre Logik für alle greifbar. John Wallis leistete im 17. Jahrhundert wichtige Beiträge dazu.

Heute sind ganze Zahlen aus Mathematik, Physik, Informatik und dem Alltag nicht wegzudenken. Temperaturen unter null, Kontoschulden, Meerestiefen oder der Speicherbedarf in Programmen – überall tauchen negative Zahlen auf. Was Generationen von Mathematikern verwirrt hat, lernst du heute in einer Schulstunde.

Die Grundlagen

Definition

Die Menge der ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ besteht aus allen positiven ganzen Zahlen, der Null und allen negativen ganzen Zahlen:

$\mathbb{Z} = \{\ldots, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, \ldots\}$

Das Symbol $\mathbb{Z}$ kommt vom deutschen Wort “Zahlen”.

Der Betrag einer ganzen Zahl $a$ ist ihr Abstand zur Null und wird als $|a|$ geschrieben:

$|-7| = 7 \qquad |+5| = 5 \qquad |0| = 0$

Die Gegenzahl einer ganzen Zahl $a$ ist $-a$. Sie liegt auf dem Zahlenstrahl spiegelbildlich zur Null.

Auf dem Zahlenstrahl liegen positive Zahlen rechts von der Null. Negative Zahlen liegen links davon. Je weiter links eine Zahl liegt, desto kleiner ist sie. Das bedeutet: $-7 < -3$, obwohl $7$ als reine Zahl grösser als $3$ ist.

Der Zahlenstrahl als Werkzeug

Du kannst dir jede Addition und Subtraktion als Bewegung auf dem Zahlenstrahl vorstellen. Du startest bei der ersten Zahl und bewegst dich dann:

• Bei Addition einer positiven Zahl: nach rechts
• Bei Addition einer negativen Zahl: nach links
• Bei Subtraktion einer positiven Zahl: nach links
• Bei Subtraktion einer negativen Zahl: nach rechts

Diese Bewegungslogik ist der Schlüssel. Alles andere folgt daraus.

Ein weiteres Alltagsbeispiel: Stell dir ein Thermometer vor. Positive Zahlen sind Temperaturen über null, negative sind Temperaturen unter null. Wenn es $-3$ Grad ist und die Temperatur um $5$ Grad steigt, bewegst du dich auf dem Thermometer von $-3$ aus um $5$ Einheiten nach oben: $-3 + 5 = +2$. Es sind also $2$ Grad.

Die Kernmethode

Definition

Addition ganzer Zahlen – zwei Fälle:

Fall 1: Gleiche Vorzeichen

Beträge addieren, gemeinsames Vorzeichen übernehmen.

$(-6) + (-4) = -(6 + 4) = -10$

Fall 2: Verschiedene Vorzeichen

Kleineren Betrag vom grösseren subtrahieren. Vorzeichen der betragsgrösseren Zahl übernehmen.

$(-8) + 5 = -(8 - 5) = -3$

Subtraktion ganzer Zahlen:

Jede Subtraktion wird in eine Addition der Gegenzahl umgewandelt:

$a - b = a + (-b)$

Doppelte Vorzeichen vereinfachen:

$+(+) = + \qquad +(-) = - \qquad -(+) = - \qquad -(-) = +$

Der wichtigste Trick ist die Umwandlung von Subtraktionen in Additionen. Sobald du das beherrschst, hast du nur noch einen Rechentyp: die Addition. Die Vorzeichen-Regeln gelten immer. Lerne sie auswendig – sie sind das Fundament für alle weiteren Themen in der Algebra.

Beispiel:

Beispiel 1: Addition mit gleichen Vorzeichen

Berechne $(-6) + (-8)$.

Lösung:

Beide Zahlen sind negativ. Also addieren wir die Beträge und setzen ein Minuszeichen davor.

$$\begin{aligned} (-6) + (-8) &= -(6 + 8) \\ &= -14 \end{aligned}$$

Das Ergebnis ist $-14$.

Kontrolle am Zahlenstrahl: Du startest bei $-6$ und gehst $8$ Schritte nach links. Du landest bei $-14$. Das stimmt.

Thermometer-Bild: Es sind $-6$ Grad und es wird $8$ Grad kälter. Das ergibt $-14$ Grad.

Beispiel:

Beispiel 2: Subtraktion mit Vorzeichenwechsel

Berechne $(-5) - (-12)$.

Lösung:

Zuerst wandeln wir die Subtraktion in eine Addition um. Die Gegenzahl von $-12$ ist $+12$. Aus dem doppelten Minuszeichen wird ein Plus.

$$(-5) - (-12) = (-5) + (+12)$$

Jetzt haben wir verschiedene Vorzeichen. Der Betrag von $12$ ist grösser als der von $5$. Das Ergebnis ist positiv.

$$\begin{aligned} (-5) + 12 &= +(12 - 5) \\ &= +7 \end{aligned}$$

Das Ergebnis ist $7$.

Zahlenstrahl-Kontrolle: Du startest bei $-5$. Subtrahieren einer negativen Zahl bedeutet Bewegung nach rechts. Du gehst $12$ Schritte nach rechts: von $-5$ nach $+7$. Passt.

Die häufigsten Stolpersteine

Achtung

Doppeltes Minuszeichen vergessen: Bei $5 - (-3)$ rechnen viele nur $5 - 3 = 2$. Das ist falsch. Das doppelte Minuszeichen $-(-3)$ wird zu $+3$. Richtig ist: $5 - (-3) = 5 + 3 = 8$. Immer erst die Vorzeichen auflösen, dann rechnen.

Achtung

Falsches Vorzeichen beim Ergebnis: Bei $(-4) + 9$ gewinnt die $9$, weil $|9| > |-4|$. Das Ergebnis ist positiv: $+5$. Viele setzen hier automatisch ein Minus, weil eine der Zahlen negativ ist. Das Vorzeichen richtet sich immer nach der betragsgrösseren Zahl – nicht nach der ersten oder einer beliebigen Zahl.

Achtung

Betrag und Zahl verwechseln: Der Betrag von $-7$ ist $7$, nicht $-7$. Beim Rechnen mit Beträgen rechnest du immer mit positiven Werten. Schreibe dir die Beträge beim Lösen explizit auf: $|-7| = 7$. Das verhindert Flüchtigkeitsfehler.

Achtung

Rechenreihenfolge bei Kettentermen: Bei $3 - 7 + 2$ rechnen manche zuerst $7 + 2 = 9$ und dann $3 - 9 = -6$. Das ist falsch. Du rechnest von links nach rechts: $3 - 7 = -4$, dann $-4 + 2 = -2$. Das Ergebnis ist $-2$. Addition und Subtraktion haben gleichen Rang und werden immer von links nach rechts ausgeführt.

Beispiel:

Beispiel 3: Kettenrechnung

Berechne $(-3) + 8 - (-5) - 4$.

Lösung:

Zuerst lösen wir alle doppelten Vorzeichen auf:

$(-3) + 8 - (-5) - 4 = (-3) + 8 + 5 - 4$

Jetzt rechnen wir von links nach rechts:

$$\begin{aligned} (-3) + 8 &= 5 \\ 5 + 5 &= 10 \\ 10 - 4 &= 6 \end{aligned}$$

Das Ergebnis ist $6$.

Alternative Methode: Du kannst alle positiven und negativen Summanden getrennt zusammenfassen.

Positive Summanden: $8 + 5 = 13$

Negative Summanden: $3 + 4 = 7$ (Beträge)

Ergebnis: $13 - 7 = 6$

Beide Methoden führen zum gleichen Ergebnis.

Beispiel:

Beispiel 4: Textaufgabe Kontostand

Lena hat auf ihrem Konto CHF $-35$ (also $35$ Franken Schulden). Sie zahlt CHF $50$ ein und hebt danach CHF $80$ ab. Wie hoch ist ihr neuer Kontostand?

Lösung:

Startkontostand: $-35$

Wir rechnen schrittweise.

Schritt 1: Einzahlung von CHF $50$

$-35 + 50 = +(50 - 35) = +15$

Nach der Einzahlung hat Lena CHF $+15$ auf dem Konto.

Schritt 2: Abhebung von CHF $80$

$15 - 80 = -(80 - 15) = -65$

Lenas Kontostand beträgt CHF $-65$.

Sie hat also $65$ Franken Schulden. Die Abhebung war grösser als das Guthaben, daher ist der Kontostand ins Negative gerutscht.

Gesamtrechnung in einem Ausdruck:

$-35 + 50 - 80 = 15 - 80 = -65$

Vertiefung

Wenn du die Grundregeln sicher beherrschst, kannst du sie auf komplexere Situationen anwenden. Zwei wichtige Vertiefungsthemen schliessen sich direkt an das Addieren und Subtrahieren ganzer Zahlen an.

Zusammenhang mit Gleichungen

In der Algebra löst du Gleichungen, indem du Terme auf beiden Seiten addierst oder subtrahierst. Zum Beispiel:

$x + (-7) = 3$

Du addierst $+7$ auf beiden Seiten:

$x = 3 + 7 = 10$

Das funktioniert nur, wenn du sicher mit ganzen Zahlen rechnest. Die Gleichungslehre baut direkt auf diesen Grundlagen auf.

Koordinatensystem und Abstände

Im zweidimensionalen Koordinatensystem haben Punkte zwei Koordinaten. Der Abstand zweier Punkte auf einer Achse lässt sich durch Subtraktion bestimmen.

Definition

Der Abstand zweier ganzer Zahlen $a$ und $b$ auf dem Zahlenstrahl ist:

$d(a, b) = |a - b|$

Der Betrag stellt sicher, dass der Abstand immer positiv ist.

Beispiele:

$d(-3, 5) = |-3 - 5| = |-8| = 8$

$d(5, -3) = |5 - (-3)| = |5 + 3| = |8| = 8$

Der Abstand ist in beiden Richtungen gleich.

Terme vereinfachen

Oft treffst du auf Terme mit mehreren Summanden, die du zuerst vereinfachen musst. Dabei hilft das Kommutativgesetz (du darfst die Reihenfolge der Summanden ändern) und das Assoziativgesetz (du darfst beliebig Klammern setzen).

$(-5) + 8 + (-3) + 2 = (-5) + (-3) + 8 + 2 = -8 + 10 = 2$

Du gruppierst alle negativen und alle positiven Zahlen getrennt, rechnest sie zusammen und erhältst dann ein einfaches Ergebnis.

Beispiel:

Beispiel 5: Abstand und Temperaturunterschied

Der Nordpol hat im Januar eine Durchschnittstemperatur von $-34$ Grad. In Zürich beträgt die Durchschnittstemperatur im Januar $-1$ Grad. Wie gross ist der Temperaturunterschied?

Lösung:

Der Temperaturunterschied ist der Abstand der beiden Temperaturen auf dem Zahlenstrahl.

$d = |(-1) - (-34)|$

Zuerst die Subtraktion auflösen:

$(-1) - (-34) = (-1) + 34 = 33$

Dann den Betrag:

$d = |33| = 33$

Der Temperaturunterschied beträgt $33$ Grad.

Probe mit umgekehrter Reihenfolge:

$d = |(-34) - (-1)| = |(-34) + 1| = |-33| = 33$

Das Ergebnis ist dasselbe – der Abstand ist immer positiv.

Übungen

Löse die folgenden Aufgaben selbstständig. Aufgaben 1–3 sind einfach, Aufgaben 4–7 sind mittelschwer, Aufgaben 8–10 sind anspruchsvoll. Die Lösungen findest du am Ende des Artikels.

Niveau 1: Grundrechenarten

Aufgabe 1: Berechne $(-7) + (-5)$.

Aufgabe 2: Berechne $(-12) + 8$.

Aufgabe 3: Berechne $6 - (-4)$.

Niveau 2: Mehrere Schritte

Aufgabe 4: Berechne $(-9) - (-15)$.

Aufgabe 5: Berechne $(-3) + 7 - (-2)$.

Aufgabe 6: Berechne $-10 - 4 + (-6) - (-20)$.

Aufgabe 7: Ordne der Grösse nach (kleinste zuerst): $-5$, $3$, $-11$, $0$, $7$, $-1$.

Niveau 3: Textaufgaben und Vertiefung

Aufgabe 8: Der Tiefpunkt des Toten Meeres liegt auf $-430$ Meter über dem Meeresspiegel. Der Gipfel des Matterhorns liegt auf $+4478$ Meter. Berechne den Höhenunterschied.

Aufgabe 9: Ein Taucher befindet sich auf $-18$ Meter. Er taucht $7$ Meter tiefer. Dann steigt er $12$ Meter auf. Wo befindet er sich jetzt?

Aufgabe 10: Berechne den Abstand zwischen $-23$ und $+17$ auf dem Zahlenstrahl und erkläre deinen Rechenweg.

Das Wichtigste in Kürze

Ganze Zahlen umfassen alle positiven Zahlen, die Null und alle negativen Zahlen. Auf dem Zahlenstrahl liegen negative Zahlen links von null.

Beim Addieren mit gleichen Vorzeichen addierst du die Beträge und übernimmst das gemeinsame Vorzeichen. Bei verschiedenen Vorzeichen subtrahierst du die Beträge und übernimmst das Vorzeichen der betragsgrösseren Zahl.

Jede Subtraktion lässt sich in eine Addition umwandeln: $a - b = a + (-b)$. Doppelte Vorzeichen fasst du zusammen: Minus und Minus ergibt Plus.

Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand zur Null – immer positiv. Der Abstand zweier Zahlen auf dem Zahlenstrahl ist $|a - b|$.

Diese Regeln sind das Fundament für Algebra, Gleichungen und das gesamte weitere Mathematikstudium.

❓ Frage: Berechne: $(-9) + (-4)$

Lösung anzeigen

$(-9) + (-4) = -(9 + 4) = -13$ Beide Zahlen sind negativ. Also addieren wir die Beträge $9 + 4 = 13$ und setzen ein Minuszeichen davor. Das Ergebnis ist $-13$.

❓ Frage: Berechne: $7 - (-3)$

Lösung anzeigen

$7 - (-3) = 7 + 3 = 10$ Das doppelte Minus $-(-3)$ wird zu $+3$. Aus der Subtraktion wird eine Addition. Das Ergebnis ist $10$.

❓ Frage: Die Temperatur beträgt $-8$ Grad. Sie steigt um $5$ Grad. Wie kalt ist es jetzt?

Lösung anzeigen

$-8 + 5 = -(8 - 5) = -3$ Es ist jetzt $-3$ Grad. Die Beträge sind $8$ und $5$. Da $8 > 5$, bleibt das Ergebnis negativ. Wir rechnen $8 - 5 = 3$ und setzen ein Minus davor.

❓ Frage: Welche der folgenden Aussagen ist richtig? A: $-5 > -3$ B: $-5 < -3$ C: $-5 = -3$

Lösung anzeigen

B ist richtig: $-5 < -3$ Auf dem Zahlenstrahl liegt $-5$ weiter links als $-3$. Weiter links bedeutet kleiner. Obwohl $5$ als positive Zahl grösser als $3$ ist, gilt für negative Zahlen das Umgekehrte: Je grösser der Betrag, desto kleiner die negative Zahl.

❓ Frage: Berechne: $(-6) + 10 - (-4) - 8$

Lösung anzeigen

Zuerst doppelte Vorzeichen auflösen: $(-6) + 10 + 4 - 8$ Dann von links nach rechts:

$$\begin{aligned} (-6) + 10 &= 4 \\ 4 + 4 &= 8 \\ 8 - 8 &= 0 \end{aligned}$$

Das Ergebnis ist $0$.

Ausblick

Das Addieren und Subtrahieren ganzer Zahlen ist die Basis für vieles, was in der Mathematik noch kommt. Als nächstes lernst du das Multiplizieren und Dividieren ganzer Zahlen – dort gelten ähnliche Vorzeichen-Regeln. Danach folgen rationale Zahlen, also Brüche und Dezimalzahlen mit Vorzeichen.

Langfristig benötigst du diese Grundlagen für das Lösen von Gleichungen, für Funktionen und Koordinatensysteme sowie für die gesamte Algebra. Auch in Physik, Chemie und Informatik begegnest du negativen Zahlen ständig. Ein solides Fundament hier zahlt sich über Jahre aus.

Lösungen

Aufgabe 1: $(-7) + (-5)$

Beide Zahlen sind negativ. Die Beträge betragen $7$ und $5$.

$(-7) + (-5) = -(7 + 5) = -12$

Das Ergebnis ist $-12$.

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Aufgabe 2: $(-12) + 8$

Verschiedene Vorzeichen. Die Beträge sind $12$ und $8$. Da $12 > 8$, ist das Ergebnis negativ.

$(-12) + 8 = -(12 - 8) = -4$

Das Ergebnis ist $-4$.

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Aufgabe 3: $6 - (-4)$

Zuerst doppeltes Vorzeichen auflösen: $-(-4) = +4$.

$6 - (-4) = 6 + 4 = 10$

Das Ergebnis ist $10$.

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Aufgabe 4: $(-9) - (-15)$

Doppeltes Vorzeichen auflösen: $-(-15) = +15$.

$(-9) - (-15) = (-9) + 15 = +(15 - 9) = +6$

Da $15 > 9$ und $15$ positiv ist, ist das Ergebnis positiv. Das Ergebnis ist $6$.

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Aufgabe 5: $(-3) + 7 - (-2)$

Doppeltes Vorzeichen auflösen: $-(-2) = +2$.

$(-3) + 7 + 2$

Von links nach rechts:

$$\begin{aligned} (-3) + 7 &= 4 \\ 4 + 2 &= 6 \end{aligned}$$

Das Ergebnis ist $6$.

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Aufgabe 6: $-10 - 4 + (-6) - (-20)$

Doppeltes Vorzeichen auflösen: $-(-20) = +20$.

$-10 - 4 + (-6) + 20$

Negative Summanden: $10 + 4 + 6 = 20$

Positive Summanden: $20$

$-20 + 20 = 0$

Das Ergebnis ist $0$.

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Aufgabe 7: Ordne der Grösse nach: $-5$, $3$, $-11$, $0$, $7$, $-1$

Auf dem Zahlenstrahl von links nach rechts (also von klein nach gross):

$-11 < -5 < -1 < 0 < 3 < 7$

Die richtige Reihenfolge ist: $-11$, $-5$, $-1$, $0$, $3$, $7$.

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Aufgabe 8: Höhenunterschied Totes Meer und Matterhorn

Totes Meer: $-430$ Meter. Matterhorn: $+4478$ Meter.

$\text{Höhenunterschied} = 4478 - (-430) = 4478 + 430 = 4908$

Der Höhenunterschied beträgt $4908$ Meter.

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Aufgabe 9: Position des Tauchers

Startposition: $-18$ Meter.

Schritt 1: $7$ Meter tiefer tauchen

Tiefer tauchen bedeutet eine grössere negative Zahl (weiter von null entfernt nach unten):

$-18 - 7 = -25$

Schritt 2: $12$ Meter aufsteigen

Aufsteigen bedeutet addition einer positiven Zahl:

$-25 + 12 = -(25 - 12) = -13$

Der Taucher befindet sich jetzt auf $-13$ Meter.

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Aufgabe 10: Abstand zwischen $-23$ und $+17$

Den Abstand berechnet man mit der Betragsformel:

$d = |(-23) - 17|$

Zuerst die Subtraktion:

$(-23) - 17 = (-23) + (-17) = -(23 + 17) = -40$

Dann den Betrag:

$d = |-40| = 40$

Der Abstand zwischen $-23$ und $+17$ beträgt $40$.

Erklärung des Rechenwegs: Von $-23$ bis zur Null sind es $23$ Schritte nach rechts. Von der Null bis $+17$ sind es weitere $17$ Schritte nach rechts. Zusammen: $23 + 17 = 40$ Schritte. Die Betragsformel macht genau das – sie addiert die beiden Abstände zur Null, wenn die Zahlen auf verschiedenen Seiten der Null liegen.

Verwandte Themen

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Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport