Quadratische Gleichungen

Darum geht's

Ein rechteckiges Grundstück soll eine Fläche von $60\,\text{m}^2$ haben, und die Länge soll $4\,\text{m}$ grösser sein als die Breite. Wie gross sind die Seiten? Nennst du die Breite $x$, dann ist die Länge $x + 4$, und die Flächengleichung lautet $x(x+4) = 60$, also $x^2 + 4x - 60 = 0$. Das ist eine quadratische Gleichung — und dieses Kapitel zeigt dir drei Methoden, sie zu lösen.

Quadratische Gleichungen begegnen dir in Geometrie, Physik (Wurfbahnen), Wirtschaft (Gewinnmaximierung) und später in jeder Anwendung der Analysis. Wer sie routiniert löst, löst die halbe Oberstufenmathematik.

Worum geht es?

Eine quadratische Gleichung hat die allgemeine Form $a \cdot x^2 + b \cdot x + c = 0$ mit $a \neq 0$. Die Variable $x$ kommt also im Quadrat vor — und das macht den entscheidenden Unterschied zur linearen Gleichung: Es gibt bis zu zwei Lösungen.

Drei Fälle sind möglich:

• Zwei verschiedene Lösungen — etwa $x^2 = 4$ mit $x_1 = 2$, $x_2 = -2$.
• Eine doppelte Lösung — etwa $x^2 - 4x + 4 = 0$ mit $x = 2$.
• Keine reelle Lösung — etwa $x^2 + 1 = 0$, weil kein reelles $x$ die Gleichung erfüllt.

Welcher Fall vorliegt, verrät dir die Diskriminante $D = b^2 - 4ac$: $D > 0$ bedeutet zwei Lösungen, $D = 0$ eine doppelte Lösung, $D < 0$ keine reelle Lösung.

In diesem Kapitel lernst du mehrere Lösungswege: das Umformen einfacher Formen, die binomischen Formeln, die quadratische Ergänzung und schliesslich die universelle a-b-c-Formel (auch Mitternachtsformel genannt), die jede quadratische Gleichung knackt.

Was du schon können solltest

Für dieses Kapitel sind mehrere Bausteine nötig:

• sichere Termumformungen und Äquivalenzumformungen,
• Rechnen mit Quadratwurzeln — praktisch jede Lösung enthält eine Wurzel,
• Ausklammern und Faktorisieren (aus dem Kapitel Terme),
• die Grundform der quadratischen Funktion aus Potenz- und quadratische Funktionen (wobei die Reihenfolge umgedreht werden kann — beide Themen unterstützen sich gegenseitig).

Was du in diesem Kapitel lernst

Acht Lektionen, die von einfachen Fällen zur universellen Formel führen:

1. Allgemeines — die Normalform $ax^2 + bx + c = 0$, die Anzahl möglicher Lösungen, und der Zusammenhang zur Parabel.
2. Die Gleichung $x^2 = r$ — der einfachste Fall. Lösung: $x = \pm\sqrt{r}$ für $r \ge 0$, keine Lösung für $r < 0$.
3. Die Gleichung $(x-d)^2 = r$ — wie oben, aber mit Verschiebung: $x = d \pm \sqrt{r}$.
4. Binomische Formeln — die drei Schlüsselformeln $(a+b)^2$, $(a-b)^2$ und $(a+b)(a-b)$, die dir das Faktorisieren erleichtern.
5. Quadratische Ausdrücke faktorisieren — eine Gleichung wie $x^2 - 5x + 6 = 0$ in $(x-2)(x-3) = 0$ zerlegen. Dann ist einer der Faktoren null.
6. Quadratische Ergänzung — die Technik, mit der du aus der Normalform die Scheitelpunktform machst. Gleichzeitig ein Lösungsweg: $x^2 + 6x - 7 = 0 \iff (x+3)^2 - 16 = 0 \iff (x+3)^2 = 16$.
7. Lösungsformeln (a-b-c-Formel) — die universelle Formel $x_{1,2} = \tfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$. Sie funktioniert immer.
8. Zeichnerisches Lösungsverfahren — die Nullstellen als Schnittpunkte der Parabel mit der $x$-Achse ablesen. Gut für Kontrolle und Anschauung.

Wichtige Begriffe im Überblick

• Quadratische Gleichung — Gleichung der Form $ax^2 + bx + c = 0$ mit $a \neq 0$.
• Normalform — $x^2 + px + q = 0$ (führender Koeffizient $1$).
• Diskriminante ($D$) — $D = b^2 - 4ac$. Entscheidet, wie viele reelle Lösungen es gibt.
• a-b-c-Formel — $x_{1,2} = \tfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$. Universelle Lösung.
• Quadratische Ergänzung — Technik, aus $x^2 + px$ durch Hinzufügen von $(p/2)^2$ einen vollständigen Binomialterm zu machen.
• Binomische Formeln — $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$ und $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

Häufige Denkfehler

Achtung

Die meisten Fehler bei der a-b-c-Formel passieren bei den Vorzeichen von $b$ und $c$. Eine kurze Notiz am Rand — $a = \ldots$, $b = \ldots$, $c = \ldots$ — verhindert die meisten davon.

1. “Ich kann immer durch $x$ teilen.” Nein. Wenn du $x^2 - 3x = 0$ durch $x$ dividierst, verlierst du die Lösung $x = 0$. Stattdessen ausklammern: $x(x-3) = 0$, also $x_1 = 0$, $x_2 = 3$.
2. ”$(x - 3)^2 = x^2 - 9$.” Falsch. Die binomische Formel: $(x-3)^2 = x^2 - 6x + 9$. $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$ ist eine andere Identität (die dritte Binomische).
3. ”$D < 0$ heisst, die Gleichung ist falsch.” Nein. $D < 0$ heisst nur: es gibt keine reelle Lösung. Die Gleichung ist weiterhin sinnvoll, und im Rahmen der komplexen Zahlen (Oberstufe) findet man trotzdem Lösungen.

Wo es im Lehrplan 21 steht

Quadratische Gleichungen gehören zu MA.1 – Zahl und Variable, 3. Zyklus:

• MA.1.A.5 – Quadratische Gleichungen mit verschiedenen Verfahren lösen.
• MA.1.A.7 – Mit Wurzeln rechnen und quadratische Ausdrücke faktorisieren.
• MA.1.C.2 – Quadratische Zusammenhänge als Gleichung aufstellen.

Das Lösen quadratischer Gleichungen mit den binomischen Formeln und der a-b-c-Formel gilt als Erweiterung in der 8. Klasse und wird in der 9. Klasse und im Gymnasium als Grundanspruch verlangt.

Die Themen im Überblick

• Allgemeines
• Die Gleichung x² = r
• Die Gleichung (x-d)² = r
• Binomische Formeln
• Quadratische Ausdrücke faktorisieren
• Quadratische Ergänzung
• Lösungsformeln (a-b-c-Formel)
• Zeichnerisches Lösungsverfahren

Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport