Parallele und senkrechte Geraden

Darum geht's

Stell dir vor, du stehst an einer Strassenkreuzung. Zwei Strassen verlaufen genau parallel nebeneinander – wie Bahngleise, die sich nie treffen. Eine dritte Strasse kreuzt beide im rechten Winkel.

Architekten und Ingenieure müssen ständig wissen, ob Linien parallel oder senkrecht zueinander verlaufen. Beim Hausbau sollen Wände gerade sein. Fensterrahmen müssen rechtwinklig sein. Strassenbauer planen Kreuzungen.

Die gute Nachricht: Um das herauszufinden, brauchst du nur eine einzige Zahl zu kennen – die Steigung der Geraden. In diesem Artikel lernst du, wie das funktioniert.

📋Lehrplan 21Zyklus 3 (7.–9. Klasse) · 2Kompetenzen

• MA.3.B.1.iGrundanspruchErgebnisse zu funktionalen Zusammenhängen überprüfen, insbesondere durch Interpretation von Tabellen, Graphen und Diagrammen
• MA.3.A.3.kZu linearen Funktionen den Funktionsgraphen zeichnen; Steigung, y-Achsenabschnitt und Nullstelle bestimmen

Quelle: Aargauer Lehrplan Volksschule, Fachbereich Mathematik (August 2022)

Eine kleine Zeitreise

Die Geschichte der parallelen und senkrechten Geraden reicht weit zurück. Sie beginnt vor mehr als 2300 Jahren in Alexandria.

Euklid und seine Elemente

Der griechische Mathematiker Euklid lebte um 300 v. Chr. in Alexandria, dem damaligen Wissenszentrum der Welt. In seinem Werk Die Elemente legte er die Grundlagen der Geometrie fest. Dieses Werk besteht aus 13 Büchern und enthält 465 Sätze. Es war über 2000 Jahre lang das wichtigste Mathematiklehrbuch der Welt.

Euklid definierte parallele Geraden als Geraden, die in derselben Ebene liegen und sich – egal wie weit man sie verlängert – niemals schneiden. Diese Definition klingt einfach. Sie hat aber Mathematiker über Jahrhunderte beschäftigt. Das sogenannte Parallelenaxiom – Euklids fünfter Grundsatz – wurde immer wieder hinterfragt.

René Descartes und das Koordinatensystem

Im 17. Jahrhundert machte der französische Philosoph und Mathematiker René Descartes einen entscheidenden Schritt. Er verband Geometrie und Algebra. Er erfand das kartesische Koordinatensystem, das du heute aus dem Schulunterricht kennst.

Durch diese Erfindung wurde es möglich, Geraden mit Gleichungen zu beschreiben. Statt zu sagen „diese Linie verläuft so”, konnte man plötzlich schreiben: $y = 2x + 3$. Das war ein Riesenfortschritt.

Was Steigungen mit Winkeln zu tun haben

Erst durch das Koordinatensystem konnte man die Steigung einer Geraden als Zahl ausdrücken. Die Steigung $m$ hängt direkt mit dem Winkel zusammen, den die Gerade mit der x-Achse bildet. In der Trigonometrie schreibt man dafür: $m = \tan(\alpha)$.

Der Zusammenhang zwischen parallelen Geraden und gleichen Steigungen ist dann logisch: Gleiche Winkel zur x-Achse bedeuten gleiche Richtung – und das bedeutet parallel. Der Zusammenhang bei senkrechten Geraden ist etwas überraschender und zeigt die Eleganz der Mathematik. Zwei Winkel, die sich zu 90° ergänzen, führen genau auf das Produkt $m_1 \cdot m_2 = -1$.

Diese Entdeckungen machen es heute möglich, mit einfachen Rechnungen zu prüfen, ob zwei Geraden parallel oder senkrecht zueinander sind.

Die Grundlagen

Bevor wir uns parallele und senkrechte Geraden ansehen, wiederholen wir kurz das Wichtigste über Geraden.

Eine Gerade in der Ebene lässt sich durch eine Gleichung beschreiben. Die häufigste Form ist die Normalform:

$$y = mx + q$$

Darin sind zwei Grössen entscheidend:

• $m$ ist die Steigung. Sie gibt an, wie steil die Gerade verläuft. Ist $m$ positiv, steigt die Gerade von links nach rechts. Ist $m$ negativ, fällt sie. Ist $m = 0$, ist die Gerade waagrecht.
• $q$ ist der y-Achsenabschnitt. Er gibt an, wo die Gerade die y-Achse schneidet.

Definition

Die Steigung $m$ einer Geraden gibt an, wie stark sie ansteigt oder abfällt.

Du berechnest sie mit:

$$m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

Dabei sind $P_1(x_1 | y_1)$ und $P_2(x_2 | y_2)$ zwei beliebige Punkte auf der Geraden.

Eine Steigung von $m = 2$ bedeutet: Geht man 1 Schritt nach rechts, geht man 2 Schritte nach oben.

Eine Steigung von $m = -\dfrac{1}{3}$ bedeutet: Geht man 3 Schritte nach rechts, geht man 1 Schritt nach unten.

Die Steigung ist der Schlüssel zu allem, was folgt. Sie enthält alle Information über die Richtung der Geraden. Zwei Geraden mit der gleichen Steigung verlaufen in dieselbe Richtung. Zwei Geraden mit bestimmten Steigungen stehen senkrecht aufeinander.

Der y-Achsenabschnitt $q$ spielt für die Beziehung zwischen zwei Geraden keine Rolle. Er bestimmt nur, wie weit oben oder unten die Gerade liegt.

Die Kernmethode

Jetzt kommen wir zum Herzstück dieses Artikels. Es gibt zwei Fälle: Geraden können parallel oder senkrecht zueinander sein.

Definition

Zwei Geraden $g_1\colon y = m_1 x + q_1$ und $g_2\colon y = m_2 x + q_2$ sind parallel, wenn sie dieselbe Steigung haben:

$$m_1 = m_2$$

Die y-Achsenabschnitte $q_1$ und $q_2$ dürfen dabei verschieden sein. Sind auch die y-Achsenabschnitte gleich, sind die Geraden identisch – also dieselbe Gerade.

Definition

Zwei Geraden $g_1\colon y = m_1 x + q_1$ und $g_2\colon y = m_2 x + q_2$ sind senkrecht (orthogonal), wenn das Produkt ihrer Steigungen $-1$ ergibt:

$$m_1 \cdot m_2 = -1$$

Das bedeutet: $m_2 = -\dfrac{1}{m_1}$

Man sagt: Die Steigungen sind negative Kehrwerte voneinander.

Wie bildest du den negativen Kehrwert?

Du machst zwei Dinge gleichzeitig:

1. Kehrwert bilden: Zähler und Nenner vertauschen.
2. Vorzeichen wechseln: Plus wird Minus, Minus wird Plus.

Einige Beispiele:

Steigung $m_1$	Negativer Kehrwert $m_2$	Probe: $m_1 \cdot m_2$
$2$	$-\dfrac{1}{2}$	$2 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -1$ ✓
$-3$	$\dfrac{1}{3}$	$(-3) \cdot \dfrac{1}{3} = -1$ ✓
$\dfrac{3}{4}$	$-\dfrac{4}{3}$	$\dfrac{3}{4} \cdot \left(-\dfrac{4}{3}\right) = -1$ ✓

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Beispiel:

Beispiel 1: Parallele Geraden erkennen

Sind die Geraden $g\colon y = 2x + 3$ und $h\colon y = 2x - 5$ parallel?

Lösung:

Schritt 1: Steigungen ablesen.

Steigung von $g$: $m_1 = 2$

Steigung von $h$: $m_2 = 2$

Schritt 2: Steigungen vergleichen.

$$m_1 = m_2 = 2 \checkmark$$

Schritt 3: y-Achsenabschnitte vergleichen.

$q_1 = 3$ und $q_2 = -5$. Die Werte sind verschieden.

Antwort: Ja, die Geraden sind parallel. Sie haben die gleiche Steigung, aber verschiedene y-Achsenabschnitte. Sie verlaufen also nebeneinander und treffen sich niemals.

Beispiel:

Beispiel 2: Senkrechte Geraden prüfen

Sind die Geraden $g\colon y = 3x + 1$ und $h\colon y = -\dfrac{1}{3}x + 4$ senkrecht zueinander?

Lösung:

Schritt 1: Steigungen ablesen.

Steigung von $g$: $m_1 = 3$

Steigung von $h$: $m_2 = -\dfrac{1}{3}$

Schritt 2: Produkt der Steigungen berechnen.

$$m_1 \cdot m_2 = 3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = -1 \checkmark$$

Das Ergebnis ist $-1$.

Antwort: Ja, die Geraden sind senkrecht zueinander. Das Produkt der Steigungen ergibt genau $-1$. Die Geraden schneiden sich in einem rechten Winkel von 90°.

Hinweis: Der y-Achsenabschnitt spielt bei dieser Prüfung keine Rolle. Senkrechte Geraden können sich an jedem beliebigen Punkt schneiden.

Die häufigsten Stolpersteine

Beim Thema parallele und senkrechte Geraden gibt es einige typische Fehler. Lies diese Warnungen gut durch, bevor du die Übungsaufgaben angehst.

Achtung

Kehrwert ohne Vorzeichen: Nur den Kehrwert bilden reicht nicht. Die Steigungen $2$ und $\dfrac{1}{2}$ ergeben $2 \cdot \dfrac{1}{2} = 1$. Das ist nicht $-1$. Die Geraden sind also nicht senkrecht. Es müsste $2$ und $-\dfrac{1}{2}$ sein: $2 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -1$ ✓

Achtung

Fehler bei negativen Steigungen: Der negative Kehrwert von $-4$ ist $+\dfrac{1}{4}$, nicht $-\dfrac{1}{4}$. Das Vorzeichen dreht sich um. Probe: $(-4) \cdot \dfrac{1}{4} = -1$ ✓. Rechnung mit falschem Kehrwert: $(-4) \cdot \left(-\dfrac{1}{4}\right) = +1$ ✗

Achtung

Gleichung nicht in Normalform: Manchmal ist eine Gerade nicht in der Form $y = mx + q$ gegeben. Zum Beispiel: $2y = 6x + 4$. Du musst erst durch 2 dividieren: $y = 3x + 2$. Erst dann kannst du die Steigung ablesen. Lese $m$ niemals direkt aus einer nicht-umgeformten Gleichung ab.

Achtung

Parallele mit identischen Geraden verwechseln: Zwei Geraden mit gleicher Steigung und gleichem y-Achsenabschnitt sind nicht parallel – sie sind identisch. Die Gerade $y = 2x + 3$ und nochmals $y = 2x + 3$ sind dieselbe Gerade. Parallele Geraden haben gleiche Steigung, aber verschiedene y-Achsenabschnitte.

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Beispiel:

Beispiel 3: Gleichung einer parallelen Geraden aufstellen

Die Gerade $g$ hat die Gleichung $y = -2x + 5$. Bestimme eine Gerade $h$, die parallel zu $g$ ist und durch den Punkt $P(2 | 1)$ geht.

Lösung:

Schritt 1: Steigung der parallelen Geraden bestimmen.

Parallele Geraden haben dieselbe Steigung. Also: $m_h = m_g = -2$.

Schritt 2: Ansatz aufstellen.

$$h\colon y = -2x + q$$

Schritt 3: Punkt $P(2 | 1)$ einsetzen.

$$1 = -2 \cdot 2 + q$$$$1 = -4 + q$$$$q = 5$$

Schritt 4: Gleichung der gesuchten Geraden angeben.

$$h\colon y = -2x + 5$$

Antwort: Die Gerade $h\colon y = -2x + 5$ ist parallel zu $g$ und verläuft durch $P(2|1)$.

Probe: Punkt einsetzen: $y = -2 \cdot 2 + 5 = -4 + 5 = 1$ ✓

Beispiel:

Beispiel 4: Gleichung einer senkrechten Geraden aufstellen

Die Gerade $g\colon y = \dfrac{1}{2}x - 3$ ist gegeben. Bestimme eine Gerade $h$, die senkrecht zu $g$ ist und durch den Punkt $Q(4 | 2)$ geht.

Lösung:

Schritt 1: Steigung der senkrechten Geraden bestimmen.

Steigung von $g$: $m_1 = \dfrac{1}{2}$

Negativer Kehrwert: $m_2 = -\dfrac{2}{1} = -2$

Probe: $\dfrac{1}{2} \cdot (-2) = -1$ ✓

Schritt 2: Ansatz aufstellen.

$$h\colon y = -2x + q$$

Schritt 3: Punkt $Q(4 | 2)$ einsetzen.

$$2 = -2 \cdot 4 + q$$$$2 = -8 + q$$$$q = 10$$

Schritt 4: Gleichung der gesuchten Geraden angeben.

$$h\colon y = -2x + 10$$

Antwort: Die Gerade $h\colon y = -2x + 10$ steht senkrecht auf $g$ und geht durch $Q(4|2)$.

Probe: $y = -2 \cdot 4 + 10 = -8 + 10 = 2$ ✓

Vertiefung

Du weisst jetzt, wie du erkennst, ob zwei Geraden parallel oder senkrecht sind. Jetzt schauen wir uns einen fortgeschritteneren Zusammenhang an.

Sonderfall: Horizontale und vertikale Geraden

Was passiert bei waagrechten und senkrechten Geraden im Koordinatensystem? Eine waagrechte Gerade hat die Gleichung $y = c$ mit $m = 0$. Eine senkrechte Gerade hat die Gleichung $x = d$ – sie lässt sich gar nicht in die Form $y = mx + q$ bringen, weil ihre Steigung nicht definiert ist.

Diese beiden Geraden stehen immer senkrecht aufeinander. Die Formel $m_1 \cdot m_2 = -1$ funktioniert hier aber nicht, weil $m = 0$ im Nenner stehen würde. Das ist ein Sonderfall, den du dir merken musst: Eine waagrechte und eine senkrechte Gerade stehen immer senkrecht aufeinander – unabhängig von der Formel.

Abstand zwischen parallelen Geraden

Parallele Geraden haben überall denselben Abstand. Wie gross ist dieser Abstand?

Definition

Für zwei parallele Geraden $g_1\colon y = mx + q_1$ und $g_2\colon y = mx + q_2$ gilt:

Der senkrechte Abstand $d$ zwischen den Geraden berechnet sich mit:

$$d = \frac{|q_1 - q_2|}{\sqrt{1 + m^2}}$$

Dabei ist $|q_1 - q_2|$ der Betrag der Differenz der y-Achsenabschnitte und $\sqrt{1 + m^2}$ ein Korrekturfaktor für die Steigung.

Diese Formel ist für die 8. Klasse noch nicht prüfungsrelevant. Aber sie zeigt: Parallele Geraden haben wirklich überall denselben Abstand, egal wo du misst.

Verbindung zur Trigonometrie

Die Bedingung $m_1 \cdot m_2 = -1$ lässt sich mit Trigonometrie erklären. Die Steigung einer Geraden ist gleich dem Tangens des Winkels, den sie mit der x-Achse bildet: $m = \tan(\alpha)$. Zwei Geraden stehen senkrecht, wenn ihre Winkel sich um 90° unterscheiden. Mit der Formel für den Tangens eines um 90° verschobenen Winkels ergibt sich exakt die Bedingung $m_1 \cdot m_2 = -1$. Das ist kein Zufall – das ist Mathematik!

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Beispiel:

Beispiel 5: Abstand paralleler Geraden berechnen

Berechne den Abstand zwischen den parallelen Geraden $g_1\colon y = 3x + 7$ und $g_2\colon y = 3x - 2$.

Lösung:

Schritt 1: Prüfen, ob die Geraden wirklich parallel sind.

$m_1 = m_2 = 3$ ✓ Die Geraden sind parallel.

Schritt 2: Werte ablesen.

$q_1 = 7$, $q_2 = -2$, $m = 3$

Schritt 3: Formel anwenden.

$$d = \frac{|q_1 - q_2|}{\sqrt{1 + m^2}} = \frac{|7 - (-2)|}{\sqrt{1 + 3^2}} = \frac{|9|}{\sqrt{10}} = \frac{9}{\sqrt{10}}$$

Schritt 4: Vereinfachen.

$$d = \frac{9}{\sqrt{10}} = \frac{9\sqrt{10}}{10} \approx 2{,}85$$

Antwort: Der Abstand zwischen den parallelen Geraden beträgt $\dfrac{9}{\sqrt{10}} \approx 2{,}85$ Längeneinheiten.

Übungen

Löse die folgenden Aufgaben selbst. Die vollständigen Lösungswege findest du im Abschnitt «Lösungen» am Ende des Artikels.

Aufgabe 1 (Niveau: einfach) Sind die Geraden $g\colon y = 5x - 3$ und $h\colon y = 5x + 8$ parallel, senkrecht oder keines von beiden?

Aufgabe 2 (Niveau: einfach) Sind die Geraden $g\colon y = 2x + 1$ und $h\colon y = -\dfrac{1}{2}x + 4$ senkrecht zueinander?

Aufgabe 3 (Niveau: einfach) Welche Steigung hat eine Gerade, die senkrecht zu $y = 4x - 1$ steht?

Aufgabe 4 (Niveau: mittel) Schreibe eine Gleichung einer Geraden, die parallel zu $y = -3x + 2$ ist und durch den Ursprung $(0|0)$ geht.

Aufgabe 5 (Niveau: mittel) Bestimme die Gleichung der Geraden durch $P(3|5)$, die senkrecht zu $y = \dfrac{3}{2}x - 1$ ist.

Aufgabe 6 (Niveau: mittel) Bringe die Gleichung $4x - 2y + 6 = 0$ in die Normalform und bestimme eine dazu parallele Gerade durch $Q(1|4)$.

Aufgabe 7 (Niveau: mittel) Sind die Geraden $g\colon 3x + y = 7$ und $h\colon y - 6 = -3(x + 1)$ parallel oder identisch?

Aufgabe 8 (Niveau: schwer) Die Geraden $g\colon y = kx + 3$ und $h\colon y = 2x - 1$ sind parallel. Bestimme $k$ und prüfe, ob die Geraden identisch sind.

Aufgabe 9 (Niveau: schwer) Bestimme $k$ so, dass die Geraden $g\colon y = kx + 5$ und $h\colon y = \dfrac{1}{4}x - 2$ senkrecht zueinander sind.

Aufgabe 10 (Niveau: schwer) Ein Dreieck hat die Eckpunkte $A(0|0)$, $B(4|0)$ und $C(4|3)$. Prüfe, ob der Winkel bei $B$ ein rechter Winkel ist, indem du die Steigungen der Seiten $AB$ und $BC$ berechnest.

Das Wichtigste in Kürze

Zwei Geraden können in drei verschiedenen Beziehungen zueinander stehen:

Beziehung	Bedingung	Beispiel
Parallel	$m_1 = m_2$, aber $q_1 \neq q_2$	$y = 3x + 2$ und $y = 3x - 7$
Identisch	$m_1 = m_2$ und $q_1 = q_2$	$y = 3x + 2$ und $y = 3x + 2$
Senkrecht	$m_1 \cdot m_2 = -1$	$y = 2x + 1$ und $y = -\dfrac{1}{2}x + 4$

Merke dir die zwei zentralen Regeln:

• Parallel → gleiche Steigung: $m_1 = m_2$
• Senkrecht → negativ-reziproker Kehrwert: $m_1 \cdot m_2 = -1$

Bringst du Geradengleichungen immer zuerst in die Form $y = mx + q$, kannst du Steigungen direkt ablesen und diese Regeln anwenden.

Quiz

❓ Frage: Sind die Geraden $y = 4x - 1$ und $y = 4x + 6$ parallel, senkrecht oder keines von beiden?

Lösung anzeigen

Parallel. Beide Geraden haben die Steigung $m = 4$. Da $m_1 = m_2$, sind sie parallel. Die y-Achsenabschnitte $-1$ und $+6$ sind verschieden, also sind die Geraden nicht identisch.

❓ Frage: Welche Steigung muss eine Gerade haben, die senkrecht zu $y = \dfrac{1}{2}x + 3$ steht?

Lösung anzeigen

Die Steigung muss $m = -2$ sein. Der negative Kehrwert von $\dfrac{1}{2}$ ist $-\dfrac{2}{1} = -2$. Probe: $\dfrac{1}{2} \cdot (-2) = -1$ ✓

❓ Frage: Prüfe: Sind $y = -3x + 2$ und $y = \dfrac{1}{3}x - 5$ senkrecht zueinander?

Lösung anzeigen

Ja. Rechnung: $m_1 \cdot m_2 = (-3) \cdot \dfrac{1}{3} = -1$ ✓ Die Geraden sind senkrecht zueinander.

❓ Frage: Die Gerade $g\colon y = -\dfrac{2}{5}x + 1$ ist gegeben. Welche Steigung hat eine dazu senkrechte Gerade?

Lösung anzeigen

Die Steigung ist $m = \dfrac{5}{2}$. Der negative Kehrwert von $-\dfrac{2}{5}$ ist $+\dfrac{5}{2}$ (Kehrwert bilden: $\dfrac{5}{2}$; Vorzeichen wechseln: aus $-$ wird $+$). Probe: $\left(-\dfrac{2}{5}\right) \cdot \dfrac{5}{2} = -1$ ✓

❓ Frage: Sind die Geraden $2y = 6x + 4$ und $y = 3x - 7$ parallel oder identisch?

Lösung anzeigen

Parallel. Forme zuerst um: $2y = 6x + 4 \Rightarrow y = 3x + 2$. Beide Geraden haben die Steigung $m = 3$. Die y-Achsenabschnitte sind $2$ und $-7$ – also verschieden. Die Geraden sind parallel, nicht identisch.

Ausblick

Du kannst jetzt parallele und senkrechte Geraden sicher erkennen und deren Gleichungen aufstellen. Dieses Wissen ist eine wichtige Grundlage für vieles, was noch kommt.

In der 9. Klasse lernst du, Gleichungssysteme zu lösen. Dabei bestimmst du den genauen Schnittpunkt zweier Geraden. Das Wissen über parallele Geraden hilft dir dann zu verstehen, wann ein Gleichungssystem keine Lösung hat – nämlich genau dann, wenn die Geraden parallel sind.

Auch in der Analytischen Geometrie der Oberstufe spielen diese Konzepte eine zentrale Rolle – dann in drei Dimensionen und mit Vektoren.

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 1

Geradengleichungen: $g\colon y = 5x - 3$ und $h\colon y = 5x + 8$

Steigungen ablesen: $m_1 = 5$ und $m_2 = 5$

Vergleich: $m_1 = m_2 = 5$ ✓

Die y-Achsenabschnitte sind $-3 \neq 8$.

Antwort: Die Geraden sind parallel.

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Lösung zu Aufgabe 2

Steigungen ablesen: $m_1 = 2$ und $m_2 = -\dfrac{1}{2}$

Produkt berechnen: $m_1 \cdot m_2 = 2 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -1$ ✓

Antwort: Ja, die Geraden sind senkrecht zueinander.

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Lösung zu Aufgabe 3

Steigung von $y = 4x - 1$: $m_1 = 4$

Negativer Kehrwert: $m_2 = -\dfrac{1}{4}$

Probe: $4 \cdot \left(-\dfrac{1}{4}\right) = -1$ ✓

Antwort: Die gesuchte Steigung ist $m = -\dfrac{1}{4}$.

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Lösung zu Aufgabe 4

Steigung der parallelen Geraden: $m = -3$ (gleich wie $y = -3x + 2$)

Ansatz: $y = -3x + q$

Ursprung $(0|0)$ einsetzen: $0 = -3 \cdot 0 + q \Rightarrow q = 0$

Antwort: Die gesuchte Gerade ist $y = -3x$.

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Lösung zu Aufgabe 5

Steigung von $y = \dfrac{3}{2}x - 1$: $m_1 = \dfrac{3}{2}$

Negativer Kehrwert: $m_2 = -\dfrac{2}{3}$

Probe: $\dfrac{3}{2} \cdot \left(-\dfrac{2}{3}\right) = -1$ ✓

Ansatz: $y = -\dfrac{2}{3}x + q$

Punkt $P(3|5)$ einsetzen:

$$5 = -\frac{2}{3} \cdot 3 + q = -2 + q \Rightarrow q = 7$$

Antwort: Die gesuchte Gerade ist $y = -\dfrac{2}{3}x + 7$.

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Lösung zu Aufgabe 6

Gleichung umformen:

$$4x - 2y + 6 = 0 \Rightarrow -2y = -4x - 6 \Rightarrow y = 2x + 3$$

Steigung: $m = 2$

Ansatz für parallele Gerade: $y = 2x + q$

Punkt $Q(1|4)$ einsetzen: $4 = 2 \cdot 1 + q \Rightarrow q = 2$

Antwort: Die parallele Gerade durch $Q(1|4)$ ist $y = 2x + 2$.

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Lösung zu Aufgabe 7

Gerade $g\colon 3x + y = 7$ umformen: $y = -3x + 7$, also $m_1 = -3$, $q_1 = 7$

Gerade $h\colon y - 6 = -3(x + 1)$ umformen: $y = -3x - 3 + 6 = -3x + 3$, also $m_2 = -3$, $q_2 = 3$

Vergleich: $m_1 = m_2 = -3$, aber $q_1 = 7 \neq 3 = q_2$

Antwort: Die Geraden sind parallel (nicht identisch).

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Lösung zu Aufgabe 8

Damit $g \parallel h$ gilt: $k = m_h = 2$

Also $g\colon y = 2x + 3$ und $h\colon y = 2x - 1$

Vergleich der y-Achsenabschnitte: $q_1 = 3 \neq -1 = q_2$

Antwort: $k = 2$. Die Geraden sind parallel, aber nicht identisch.

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Lösung zu Aufgabe 9

Damit $g \perp h$ gilt: $m_g \cdot m_h = -1$

$$k \cdot \frac{1}{4} = -1 \Rightarrow k = -4$$

Probe: $(-4) \cdot \dfrac{1}{4} = -1$ ✓

Antwort: $k = -4$

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Lösung zu Aufgabe 10

Seite $AB$: Von $A(0|0)$ nach $B(4|0)$. Beide Punkte haben $y = 0$.

$$m_{AB} = \frac{0 - 0}{4 - 0} = 0$$

Die Seite $AB$ ist waagrecht.

Seite $BC$: Von $B(4|0)$ nach $C(4|3)$. Beide Punkte haben $x = 4$.

Die Seite $BC$ ist senkrecht (vertikale Gerade, Steigung nicht definiert).

Eine waagrechte und eine senkrechte Gerade stehen immer senkrecht aufeinander.

Antwort: Ja, der Winkel bei $B$ ist ein rechter Winkel (90°). Die Seite $AB$ verläuft waagrecht ($m = 0$) und die Seite $BC$ verläuft senkrecht (undefinierte Steigung). Diese beiden Richtungen stehen immer im rechten Winkel zueinander.

Verwandte Themen

• Spezialfälle linearer Funktionen
• Umkehrfunktionen
• Lineare Funktionen

Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport