Die Mittelsenkrechte verstehen und konstruieren

Weiterführend:

• Zur Kapitelübersicht „Geometrie“
• Senkrechte zu einer Geraden konstruieren
• Abstände in der Geometrie – Punkt, Gerade, Parallele
• Zusammenhänge im Dreieck – Seiten, Winkel und besondere Linien

Darum geht's

Stell dir vor, du und deine Freundin stehen auf einem grossen Sportplatz. Ihr wollt euch genau in der Mitte treffen. Aber wo ist “die Mitte”? Sie ist nicht nur ein einzelner Punkt. Es gibt eine ganze Linie von Orten, die von euch beiden gleich weit entfernt sind.

Diese Linie verläuft genau zwischen euch. Sie steht senkrecht zur direkten Verbindung. Jeder Punkt auf ihr hat denselben Abstand zu dir wie zu deiner Freundin. In der Mathematik hat diese besondere Linie einen eigenen Namen: die Mittelsenkrechte. In diesem Artikel lernst du, wie du sie erkennst, konstruierst und anwendest.

📋Lehrplan 21Zyklus 2 (3.–6. Klasse), Zyklus 3 (7.–9. Klasse) · 10Kompetenzen

• MA.3.A.1.iGrundanspruchReferenzgrössen 1 m³, 1 dm³, 1 cm³; Vorsätze Mega, Giga, Tera
• MA.3.A.3.iGrundanspruchFunktionswert zu einer gegebenen Zahl aus Wertetabelle, Graph und Funktionsgleichung bestimmen (z.B. y = 2x + 1, x = 7 → y = 15); Rechner/Software für Funktionswerte nutzen; Sachaufgaben mit Prozentangaben lösen (Steigung, Zins)
• MA.3.B.1.iGrundanspruchErgebnisse zu funktionalen Zusammenhängen überprüfen, insbesondere durch Interpretation von Tabellen, Graphen und Diagrammen
• MA.3.C.3.gGrundanspruch
• MA.3.A.1.jBegriffe Koordinatensystem, Währung, arithmetisches Mittel (Erw: indirekte Proportionalität); Masseinheiten Flächenmasse (km², ha, a, m², dm², cm², mm²), Geld (CHF, €, $)
• MA.3.A.1.kBegriffe absolute und relative Häufigkeit, x-Koordinate, y-Koordinate, x-Achse, y-Achse, Einheitsstrecke, Wahrscheinlichkeit; Masseinheiten Geschwindigkeit (km/h, m/s, kB/s, dpi)
• MA.3.A.3.hZu einer Funktionsgleichung Wertepaare bestimmen und in einem Koordinatensystem einzeichnen
• MA.3.A.3.jSchnittpunkt zweier Geraden algebraisch und graphisch bestimmen
• MA.3.B.1.hErw: Parameter in Gleichungen verändern und Auswirkungen mit elektronischen Hilfsmitteln untersuchen
• MA.3.C.3.h

Quelle: Aargauer Lehrplan Volksschule, Fachbereich Mathematik (August 2022)

Eine kleine Zeitreise

Die Idee der Mittelsenkrechten ist uralt. Schon die Griechen nutzten sie in der Antike. Der Mathematiker Euklid von Alexandria beschrieb sie um 300 v. Chr. in seinem berühmten Werk „Die Elemente”. Dort fasste er das gesamte damalige geometrische Wissen zusammen. Die Konstruktion mit Zirkel und Lineal ist das erste grosse Thema im ersten Buch.

Euklid zeigte, wie man mit wenigen Werkzeugen präzise Figuren erzeugt. Zirkel und Lineal reichten aus. Messungen waren verboten. Die Konstruktion der Mittelsenkrechten war eine der ersten Aufgaben, die er löste. Seine Methode verwenden wir heute noch, mehr als 2300 Jahre später.

Warum war diese Konstruktion so wichtig? Die Griechen suchten nach exakten Verfahren. Ein Lineal mit Skala wäre ein Messgerät. Messungen sind aber immer ungenau. Die Konstruktion mit ungemarktem Lineal und Zirkel liefert hingegen ein mathematisch perfektes Ergebnis.

Im Mittelalter übernahmen arabische Gelehrte das Wissen. Sie übersetzten Euklids Schriften und erweiterten sie. Al-Chwarizmi und seine Nachfolger kombinierten Geometrie mit Algebra. Aus dieser Verbindung entstand die heutige Mathematik.

In der Renaissance entdeckten europäische Gelehrte die Mittelsenkrechte neu. Albrecht Dürer, der berühmte Maler und Mathematiker, schrieb 1525 ein Buch über Konstruktionen mit Zirkel und Lineal. Er zeigte Handwerkern, wie sie präzise arbeiten. Steinmetze, Zimmerleute und Kartografen brauchten diese Methoden.

Heute spielt die Mittelsenkrechte in vielen Bereichen eine Rolle. Ingenieure nutzen sie beim Bau von Brücken. Informatiker brauchen sie in der Bildbearbeitung. Navigationssysteme verwenden das Prinzip, um Positionen zu berechnen. Ein altes Konzept bleibt also hochaktuell.

Die Grundlagen

Die Linie aus dem Sportplatz-Beispiel nennt man Mittelsenkrechte. Der Name verrät bereits zwei wichtige Eigenschaften. Erstens: Sie verläuft durch die Mitte einer Strecke. Zweitens: Sie steht senkrecht auf dieser Strecke.

Denk nochmal an den Sportplatz. Die direkte Verbindung zwischen dir und deiner Freundin ist die Strecke. Die Mittelsenkrechte halbiert diese Strecke exakt. Sie kreuzt sie im rechten Winkel.

Definition

Die Mittelsenkrechte einer Strecke $\overline{AB}$ ist eine Gerade $m$, die folgende zwei Eigenschaften hat:

1. Sie verläuft durch den Mittelpunkt $M$ der Strecke $\overline{AB}$.
2. Sie steht senkrecht ($90°$) auf der Strecke $\overline{AB}$.

Besondere Eigenschaft: Jeder Punkt $P$ auf der Mittelsenkrechten hat den gleichen Abstand zu beiden Endpunkten:

$$|PA| = |PB|$$

Der Mittelpunkt $M$ teilt die Strecke in zwei gleich lange Hälften. Es gilt also $|AM| = |MB|$. Die Senkrechte bedeutet: Der Winkel zwischen Strecke und Mittelsenkrechte beträgt genau $90°$.

Man schreibt die Mittelsenkrechte oft mit dem Kürzel $m_{AB}$. Der Index zeigt, auf welche Strecke sie sich bezieht. In Zeichnungen markiert man den rechten Winkel mit einem kleinen Quadrat. Den Mittelpunkt kennzeichnet man meist mit einem Punkt und dem Buchstaben $M$.

Die Mittelsenkrechte ist unendlich lang. Sie ist eine Gerade, keine Strecke. In Zeichnungen siehst du nur einen Ausschnitt. Gedanklich geht die Linie aber in beide Richtungen unendlich weiter.

Die Kernmethode

Warum sind alle Punkte auf der Mittelsenkrechten gleich weit von $A$ und $B$ entfernt? Stell dir die Mittelsenkrechte als eine Grenzlinie vor. Links davon bist du näher an $A$. Rechts davon bist du näher an $B$. Genau auf der Linie bist du von beiden gleich weit weg.

Diese Eigenschaft funktioniert auch umgekehrt. Wenn ein Punkt gleich weit von $A$ und $B$ entfernt ist, dann liegt er automatisch auf der Mittelsenkrechten. Das ist extrem nützlich für Konstruktionen.

Definition

Die Mittelsenkrechte einer Strecke $\overline{AB}$ ist die Menge aller Punkte, die von $A$ und $B$ den gleichen Abstand haben:

$$m_{AB} = \{P \mid |PA| = |PB|\}$$

Folgerung: Ein Punkt liegt genau dann auf der Mittelsenkrechten, wenn er von beiden Endpunkten gleich weit entfernt ist.

Mit Zirkel und Lineal kannst du die Mittelsenkrechte präzise zeichnen. Du brauchst keine Messungen. Die Konstruktion basiert auf der eben genannten Eigenschaft.

Schritt-für-Schritt-Anleitung:

1. Gegeben: Eine Strecke $\overline{AB}$.
2. Zirkel öffnen: Stelle die Öffnung grösser als die halbe Streckenlänge ein.
3. Erster Kreis: Setze die Zirkelspitze auf $A$. Zeichne einen Kreisbogen oberhalb und unterhalb der Strecke.
4. Zweiter Kreis: Setze die Spitze auf $B$. Zeichne mit derselben Öffnung wieder Bögen. Sie schneiden die ersten in zwei Punkten.
5. Schnittpunkte verbinden: Die beiden Schnittpunkte sind gleich weit von $A$ und $B$ entfernt. Verbinde sie mit dem Lineal.
6. Fertig: Diese Verbindung ist die Mittelsenkrechte $m$.

Die beiden Schnittpunkte erfüllen die Bedingung $|PA| = |PB|$. Damit liegen sie auf der Mittelsenkrechten. Durch zwei Punkte verläuft genau eine Gerade.

Beispiel:

Beispiel 1: Mittelpunkt ablesen

Eine Strecke $\overline{AB}$ hat die Endpunkte $A(2|1)$ und $B(8|1)$.

Aufgabe: Bestimme den Mittelpunkt $M$ und beschreibe die Mittelsenkrechte.

Lösung:

Der Mittelpunkt liegt genau in der Mitte der $x$-Koordinaten:

$$x_M = \dfrac{2 + 8}{2} = \dfrac{10}{2} = 5$$

Die $y$-Koordinate bleibt gleich, weil beide Punkte $y = 1$ haben:

$$y_M = \dfrac{1 + 1}{2} = 1$$

Der Mittelpunkt ist also $M(5|1)$.

Die Strecke verläuft horizontal, weil beide Punkte dieselbe $y$-Koordinate haben. Die Mittelsenkrechte steht senkrecht darauf, verläuft also vertikal. Sie geht durch $M(5|1)$ als senkrechte Gerade mit der Gleichung $x = 5$.

Beispiel:

Beispiel 2: Abstand überprüfen

Gegeben ist die Strecke $\overline{AB}$ mit $A(0|0)$ und $B(6|0)$. Der Punkt $P(3|4)$ soll auf der Mittelsenkrechten liegen.

Aufgabe: Zeige, dass $|PA| = |PB|$ gilt.

Lösung:

Berechne beide Abstände mit der Abstandsformel $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Abstand $|PA|$:

$$|PA| = \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

Abstand $|PB|$:

$$|PB| = \sqrt{(3-6)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

Beide Abstände sind gleich: $|PA| = |PB| = 5$. Der Punkt $P$ liegt tatsächlich auf der Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$.

Die häufigsten Stolpersteine

Bei der Konstruktion und Anwendung der Mittelsenkrechten passieren immer wieder dieselben Fehler. Wenn du sie kennst, kannst du sie vermeiden.

Achtung

Zirkelöffnung zu klein: Die Öffnung muss grösser als die halbe Streckenlänge sein. Sonst schneiden sich die Kreisbögen nicht. Als Faustregel: Wähle eine Öffnung, die etwa zwei Drittel bis drei Viertel der Streckenlänge beträgt. Dann bekommst du saubere Schnittpunkte.

Achtung

Zirkelöffnung verändern: Zwischen dem Kreis um $A$ und dem Kreis um $B$ darfst du die Öffnung nicht verändern. Nur so sind beide Schnittpunkte von $A$ und $B$ gleich weit entfernt. Bei ungleicher Öffnung entsteht keine Mittelsenkrechte, sondern eine andere Linie.

Achtung

Mittelpunkt mit Auge schätzen: Manche Schüler markieren den Mittelpunkt per Augenmass und ziehen eine Senkrechte. Das ist ungenau. Die richtige Konstruktion nutzt Kreisbögen auf beiden Seiten der Strecke. Die Verbindung der Schnittpunkte geht automatisch durch den exakten Mittelpunkt.

Achtung

Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende verwechseln: Beide sind Ortslinien, aber mit unterschiedlicher Bedingung. Die Mittelsenkrechte gehört zu einer Strecke. Die Winkelhalbierende gehört zu einem Winkel. Auf der Mittelsenkrechten gilt $|PA| = |PB|$. Auf der Winkelhalbierenden ist der Abstand zu beiden Schenkeln gleich.

Beispiel:

Beispiel 3: Mittelsenkrechte rechnerisch

Gegeben ist die Strecke mit $A(1|2)$ und $B(5|6)$.

Aufgabe: Bestimme den Mittelpunkt und überprüfe, ob $P(6|1)$ auf der Mittelsenkrechten liegt.

Lösung:

Berechne zuerst den Mittelpunkt $M$:

$$x_M = \dfrac{1 + 5}{2} = 3 \qquad y_M = \dfrac{2 + 6}{2} = 4$$

Also ist $M(3|4)$.

Prüfe nun die Abstände von $P(6|1)$ zu $A$ und $B$:

$$|PA| = \sqrt{(6-1)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}$$$$|PB| = \sqrt{(6-5)^2 + (1-6)^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26}$$

Beide Abstände sind gleich: $|PA| = |PB| = \sqrt{26}$. Der Punkt $P$ liegt also auf der Mittelsenkrechten. Zusammen mit $M(3|4)$ kennst du jetzt zwei Punkte der Mittelsenkrechten und könntest sie zeichnen.

Beispiel:

Beispiel 4: Der ideale Treffpunkt

Zwei Feuerwachen $F_1(2|1)$ und $F_2(8|5)$ liegen an verschiedenen Orten einer Stadt. Ein neuer Hydrant soll gleich weit von beiden Wachen entfernt sein.

Aufgabe: Finde einen möglichen Standort auf der Linie $y = 3$.

Lösung:

Der Hydrant muss auf der Mittelsenkrechten von $\overline{F_1 F_2}$ liegen. Jeder Punkt dort erfüllt $|PF_1| = |PF_2|$.

Setze $P(x|3)$ und berechne beide Abstände:

$$|PF_1|^2 = (x-2)^2 + (3-1)^2 = (x-2)^2 + 4$$$$|PF_2|^2 = (x-8)^2 + (3-5)^2 = (x-8)^2 + 4$$

Setze gleich:

$$(x-2)^2 + 4 = (x-8)^2 + 4$$$$x^2 - 4x + 4 = x^2 - 16x + 64$$$$12x = 60 \quad \Rightarrow \quad x = 5$$

Der Hydrant kann bei $P(5|3)$ platziert werden. Er ist dort von beiden Feuerwachen gleich weit entfernt.

Vertiefung

Die Mittelsenkrechte spielt eine wichtige Rolle in der Dreiecksgeometrie. In jedem Dreieck gibt es drei Seiten und damit drei Mittelsenkrechten. Das Faszinierende: Alle drei Mittelsenkrechten schneiden sich in einem einzigen Punkt.

Definition

Die drei Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt $U$. Dieser Punkt heisst Umkreismittelpunkt.

$U$ hat zu allen drei Ecken des Dreiecks den gleichen Abstand. Ein Kreis um $U$ durch eine Ecke geht deshalb auch durch die beiden anderen. Dieser Kreis heisst Umkreis des Dreiecks.

Warum funktioniert das? Ein Punkt auf der Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$ ist von $A$ und $B$ gleich weit entfernt. Ein Punkt auf der Mittelsenkrechten von $\overline{BC}$ ist von $B$ und $C$ gleich weit entfernt. Der Schnittpunkt beider Linien ist also von $A$, $B$ und $C$ gleich weit entfernt. Damit liegt er auch auf der dritten Mittelsenkrechten.

Die Lage des Umkreismittelpunkts hängt vom Dreieck ab:

• Im spitzwinkligen Dreieck liegt $U$ innerhalb des Dreiecks.
• Im rechtwinkligen Dreieck liegt $U$ genau auf der Hypotenuse (Mittelpunkt).
• Im stumpfwinkligen Dreieck liegt $U$ ausserhalb des Dreiecks.

Auch im Alltag findest du die Mittelsenkrechte. GPS-Navigation nutzt das Prinzip: Ein Gerät empfängt Signale von Satelliten und berechnet Abstände. Die möglichen Standorte liegen auf Schnitten von Kreisen – das sind letztlich Mittelsenkrechten-Konstruktionen im Raum.

In der Bildbearbeitung werden Pixel oft nach dem nächsten Referenzpunkt eingefärbt. Die Grenzen zwischen den Zuordnungen sind Mittelsenkrechten. Diese Struktur heisst Voronoi-Diagramm und wird unter anderem in der Robotik und Stadtplanung eingesetzt.

Beispiel:

Beispiel 5: Umkreis eines Dreiecks

Gegeben ist das Dreieck mit $A(0|0)$, $B(6|0)$ und $C(3|4)$.

Aufgabe: Bestimme den Umkreismittelpunkt $U$ und den Umkreisradius $r$.

Lösung:

Der Umkreismittelpunkt $U(x|y)$ hat zu allen drei Ecken denselben Abstand. Setze $|UA|^2 = |UB|^2$:

$$x^2 + y^2 = (x-6)^2 + y^2$$$$x^2 = x^2 - 12x + 36 \quad \Rightarrow \quad x = 3$$

Setze $|UA|^2 = |UC|^2$:

$$3^2 + y^2 = (3-3)^2 + (y-4)^2$$$$9 + y^2 = y^2 - 8y + 16 \quad \Rightarrow \quad 8y = 7 \quad \Rightarrow \quad y = 0{,}875$$

Der Umkreismittelpunkt ist $U(3 \mid 0{,}875)$.

Der Radius ist der Abstand von $U$ zu einer Ecke:

$$r = |UA| = \sqrt{3^2 + 0{,}875^2} = \sqrt{9 + 0{,}766} \approx 3{,}12$$

Übungen

Bearbeite die folgenden Aufgaben der Reihe nach. Die Schwierigkeit steigt. Die Lösungen findest du am Ende des Artikels.

Aufgabe 1: Eine Strecke $\overline{AB}$ hat die Länge $8 \, \text{cm}$. Wie weit muss die Zirkelöffnung mindestens sein, damit sich die Kreisbögen bei der Konstruktion schneiden?

Aufgabe 2: Der Punkt $P$ liegt auf der Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$. Es gilt $|PA| = 5{,}3 \, \text{cm}$. Wie lang ist $|PB|$?

Aufgabe 3: Bestimme den Mittelpunkt der Strecke mit $A(-2|3)$ und $B(6|7)$.

Aufgabe 4: In welchem Winkel schneidet die Mittelsenkrechte die Strecke? Begründe kurz.

Aufgabe 5: Die Strecke $\overline{AB}$ liegt auf der $x$-Achse mit $A(-4|0)$ und $B(4|0)$. Gib die Gleichung der Mittelsenkrechten an.

Aufgabe 6: Liegt der Punkt $P(0|5)$ auf der Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$ mit $A(-3|1)$ und $B(3|1)$? Begründe durch Rechnung.

Aufgabe 7: Gegeben ist $A(1|1)$ und $B(7|1)$. Der Punkt $Q$ liegt auf der Mittelsenkrechten und hat $|QA| = 5 \, \text{cm}$. Gib zwei mögliche Koordinaten für $Q$ an.

Aufgabe 8: Zwei Freunde wohnen in $F_1(0|0)$ und $F_2(10|0)$. Der Treffpunkt soll auf der Linie $x = 5$ liegen und zugleich genau $13$ Einheiten von jedem Freund entfernt sein. Bestimme die $y$-Koordinate.

Aufgabe 9: In einem Dreieck mit $A(0|0)$, $B(8|0)$ und $C(4|6)$: Bestimme den Umkreismittelpunkt.

Aufgabe 10: Zeige: Wenn ein Punkt $P$ gleich weit von $A$ und $B$ entfernt ist, dann liegt er auf der Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$. Argumentiere mithilfe kongruenter Dreiecke.

Das Wichtigste in Kürze

Die Mittelsenkrechte ist eine Gerade mit zwei Merkmalen: Sie geht durch den Mittelpunkt einer Strecke und steht senkrecht auf ihr. Ihre Kerneigenschaft: Jeder Punkt auf ihr hat denselben Abstand zu den beiden Endpunkten der Strecke.

Die Konstruktion nutzt Zirkel und Lineal. Du schlägst um jeden Endpunkt einen Kreisbogen mit gleicher Öffnung. Die Verbindung der Schnittpunkte ist die Mittelsenkrechte. Die Öffnung muss grösser als die halbe Streckenlänge sein und zwischendurch gleich bleiben.

Im Dreieck schneiden sich alle drei Mittelsenkrechten in einem Punkt – dem Umkreismittelpunkt. Von dort sind alle drei Ecken gleich weit entfernt. Die Mittelsenkrechte wird in Geometrie, GPS, Bildbearbeitung und vielen Alltagsbereichen genutzt.

❓ Frage:

Eine Strecke $\overline{AB}$ hat den Mittelpunkt $M(4|3)$. In welchem Winkel schneidet die Mittelsenkrechte die Strecke?

Lösung anzeigen

Die Mittelsenkrechte steht senkrecht auf der Strecke. Sie schneidet die Strecke im Winkel von $90°$ (rechter Winkel).

❓ Frage:

Punkt $P$ liegt auf der Mittelsenkrechten der Strecke $\overline{AB}$. Es gilt $|PA| = 7 \, \text{cm}$. Wie gross ist $|PB|$?

Lösung anzeigen

$|PB| = 7 \, \text{cm}$. Jeder Punkt auf der Mittelsenkrechten ist von beiden Endpunkten gleich weit entfernt.

❓ Frage:

Bei der Konstruktion der Mittelsenkrechten setzt du den Zirkel zuerst in $A$, dann in $B$. Warum muss die Zirkelöffnung gleich bleiben?

Lösung anzeigen

Nur bei gleicher Zirkelöffnung sind die Schnittpunkte der Kreisbögen gleich weit von $A$ und $B$ entfernt. Diese Bedingung $|PA| = |PB|$ definiert die Mittelsenkrechte.

❓ Frage:

Wie heisst der Punkt, in dem sich die drei Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden?

Lösung anzeigen

Der Umkreismittelpunkt $U$. Er hat zu allen drei Ecken denselben Abstand. Der Kreis um $U$ durch eine Ecke geht auch durch die anderen beiden – das ist der Umkreis.

❓ Frage:

Gegeben sind $A(-2|0)$ und $B(6|0)$. Wie lautet die Gleichung der Mittelsenkrechten?

Lösung anzeigen

Der Mittelpunkt ist $M(2|0)$. Die Strecke liegt auf der $x$-Achse, also horizontal. Die Mittelsenkrechte verläuft vertikal durch $M$. Ihre Gleichung lautet $x = 2$.

Ausblick

Mit der Mittelsenkrechten hast du eine der wichtigsten Ortslinien der Geometrie kennengelernt. Im nächsten Schritt begegnest du der Winkelhalbierenden. Sie arbeitet nach einem ähnlichen Prinzip, aber für Winkel statt Strecken.

Später lernst du, wie sich Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende, Höhe und Schwerlinie im Dreieck verhalten. Alle vier haben einen gemeinsamen Schnittpunkt – jede für sich. Die vier Punkte liegen sogar auf einer gemeinsamen Geraden, der Euler-Geraden. Geometrie wird richtig spannend.

Lösungen

Lösung 1: Die Strecke ist $8 \, \text{cm}$ lang. Die Zirkelöffnung muss grösser als die halbe Strecke sein, also grösser als $4 \, \text{cm}$. In der Praxis wählt man oft $5$ bis $6 \, \text{cm}$, damit die Schnittpunkte klar sichtbar sind.

Lösung 2: Der Punkt $P$ liegt auf der Mittelsenkrechten, also gilt $|PA| = |PB|$. Daraus folgt $|PB| = 5{,}3 \, \text{cm}$.

Lösung 3: Der Mittelpunkt hat die Koordinaten

$$x_M = \dfrac{-2 + 6}{2} = 2, \qquad y_M = \dfrac{3 + 7}{2} = 5$$

Also $M(2|5)$.

Lösung 4: Die Mittelsenkrechte schneidet die Strecke im Winkel von $90°$. Das folgt direkt aus ihrer Definition: Sie steht senkrecht auf der Strecke.

Lösung 5: Der Mittelpunkt liegt bei $M(0|0)$. Die Strecke ist horizontal, also verläuft die Mittelsenkrechte vertikal durch den Ursprung. Die Gleichung lautet $x = 0$. Das ist die $y$-Achse.

Lösung 6: Berechne die Abstände:

$$|PA| = \sqrt{(0-(-3))^2 + (5-1)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$$ $$|PB| = \sqrt{(0-3)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$$

Beide sind gleich. Der Punkt $P(0|5)$ liegt auf der Mittelsenkrechten.

Lösung 7: Der Mittelpunkt ist $M(4|1)$. Die Mittelsenkrechte verläuft vertikal, also hat $Q$ die $x$-Koordinate $4$. Setze $Q(4|y)$:

$$|QA| = \sqrt{(4-1)^2 + (y-1)^2} = 5$$ $$9 + (y-1)^2 = 25 \quad \Rightarrow \quad (y-1)^2 = 16 \quad \Rightarrow \quad y - 1 = \pm 4$$

Also $y = 5$ oder $y = -3$. Zwei mögliche Lösungen: $Q_1(4|5)$ und $Q_2(4|-3)$.

Lösung 8: Der Mittelpunkt von $\overline{F_1 F_2}$ ist $M(5|0)$. Die Linie $x = 5$ ist tatsächlich die Mittelsenkrechte. Setze $T(5|y)$:

$$|TF_1| = \sqrt{(5-0)^2 + (y-0)^2} = 13$$ $$25 + y^2 = 169 \quad \Rightarrow \quad y^2 = 144 \quad \Rightarrow \quad y = \pm 12$$

Die $y$-Koordinate ist $12$ oder $-12$.

Lösung 9: Setze $U(x|y)$ als Umkreismittelpunkt. Aus $|UA|^2 = |UB|^2$ folgt:

$$x^2 + y^2 = (x-8)^2 + y^2 \quad \Rightarrow \quad x = 4$$

Aus $|UA|^2 = |UC|^2$:

$$16 + y^2 = (4-4)^2 + (y-6)^2 \quad \Rightarrow \quad 16 + y^2 = y^2 - 12y + 36$$ $$12y = 20 \quad \Rightarrow \quad y = \dfrac{5}{3} \approx 1{,}67$$

Der Umkreismittelpunkt ist $U(4 \mid \tfrac{5}{3})$.

Lösung 10: Sei $P$ ein Punkt mit $|PA| = |PB|$. Sei $M$ der Mittelpunkt von $\overline{AB}$. Betrachte die Dreiecke $PAM$ und $PBM$. Es gilt:

• $|PA| = |PB|$ (Voraussetzung)
• $|AM| = |BM|$ (Mittelpunkt)
• $|PM| = |PM|$ (gemeinsame Seite)

Nach dem Kongruenzsatz SSS sind die Dreiecke kongruent. Daraus folgt $\angle PMA = \angle PMB$. Zusammen mit $\angle PMA + \angle PMB = 180°$ (Strecke) ergibt sich $\angle PMA = \angle PMB = 90°$. Der Punkt $P$ liegt also auf der Senkrechten zu $\overline{AB}$ durch $M$ – das ist die Mittelsenkrechte.

Verwandte Themen

• Abstände in der Geometrie – Punkt, Gerade, Parallele
• Senkrechte zu einer Geraden konstruieren
• Zusammenhänge im Dreieck – Seiten, Winkel und besondere Linien

Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport