Kongruenz

Darum geht's

Zwei Geldscheine desselben Werts sehen gleich aus — nicht weil sie zufällig ähnlich sind, sondern weil sie deckungsgleich aus derselben Druckmaschine kommen. In der Mathematik heisst “deckungsgleich” kongruent: Zwei Figuren sind kongruent, wenn sich die eine durch Verschieben, Drehen oder Spiegeln exakt auf die andere legen lässt.

In diesem Kapitel lernst du, wann Figuren kongruent sind, und du bekommst die vier berühmten Kongruenzsätze — Werkzeuge, mit denen du beweisen kannst, dass zwei Dreiecke kongruent sind, ohne alle sechs Bestimmungsstücke (drei Seiten, drei Winkel) einzeln zu prüfen.

Worum geht es?

Zwei Figuren heissen kongruent ($\cong$), wenn sie durch eine Kongruenzabbildung aufeinander abgebildet werden können. Die drei Kongruenzabbildungen in der Ebene sind:

• Verschiebung (Translation) — alle Punkte werden in dieselbe Richtung um denselben Betrag verschoben,
• Drehung (Rotation) — alle Punkte werden um einen festen Punkt um denselben Winkel gedreht,
• Spiegelung (Reflexion) — alle Punkte werden an einer Achse gespiegelt.

Was diese drei Abbildungen verbindet: Sie erhalten Längen und Winkel. Kongruente Figuren sind also “gleich gross und gleich geformt”, können aber unterschiedlich positioniert und orientiert sein.

Die Kunst liegt darin, Kongruenz effizient nachzuweisen. Zwei Dreiecke haben insgesamt sechs Bestimmungsstücke (drei Seiten + drei Winkel), aber es genügen drei davon, wenn sie die richtigen sind. Die vier Kongruenzsätze sagen genau, welche Kombinationen ausreichen:

• SSS — drei Seiten.
• SWS — zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel.
• WSW — zwei Winkel und die eingeschlossene Seite.
• SsW — zwei Seiten und der Winkel gegenüber der längeren Seite.

Wichtig: WWW reicht nicht. Zwei Dreiecke mit denselben Winkeln können unterschiedlich gross sein — sie sind dann nur ähnlich, nicht kongruent.

Was du schon können solltest

Für dieses Kapitel brauchst du:

• die geometrischen Grundbegriffe der 5./6. Klasse,
• Winkel messen und zeichnen,
• die Inhalte aus Geometrie (dieses Zyklus), besonders Winkelsummen und besondere Dreiecke,
• sichere Handhabung von Zirkel und Lineal — Kongruenzsätze sind oft Konstruktionssätze.

Was du in diesem Kapitel lernst

Vier Lektionen, die aufeinander aufbauen:

1. Kongruente Figuren — was Kongruenz genau bedeutet, die drei Kongruenzabbildungen, und wie du Kongruenz praktisch prüfst.
2. Kongruente Dreiecke — warum Dreiecke besonders wichtig sind: sie sind die einfachsten Figuren, bei denen Kongruenz-Kriterien mit wenigen Bestimmungsstücken auskommen.
3. Kongruenzsätze — die vier Sätze SSS, SWS, WSW und SsW formal, mit Beispielen und Beweisführungen. Plus die Nicht-Sätze (WWW, SSW mit kleiner Seite gegenüber).
4. Schnittfiguren — was passiert, wenn sich zwei kongruente Figuren überlagern. Eine nette Anwendung, die auch in der 8./9. Klasse bei Winkelbeziehungen auftaucht.

Wichtige Begriffe im Überblick

• Kongruent ($\cong$) — deckungsgleich; durch eine Kongruenzabbildung aufeinander abbildbar.
• Kongruenzabbildung — Verschiebung, Drehung oder Spiegelung; erhält alle Längen und Winkel.
• SSS — “Seite-Seite-Seite”: drei Seitenlängen stimmen überein.
• SWS — “Seite-Winkel-Seite”: zwei Seiten und der zwischen ihnen eingeschlossene Winkel.
• WSW — “Winkel-Seite-Winkel”: zwei Winkel und die zwischen ihnen liegende Seite.
• SsW — “Seite-Seite-Winkel”: die längere Seite, eine weitere Seite und der Winkel gegenüber der längeren Seite.
• Ähnlich — gleiche Form, aber unter Umständen andere Grösse. Alle Winkel gleich, Seiten proportional.

Häufige Denkfehler

Achtung

Der grösste Stolperstein ist der Unterschied zwischen kongruent (gleich gross und gleich geformt) und ähnlich (nur gleich geformt). Beide werden oft vertauscht.

1. “Zwei Dreiecke mit denselben drei Winkeln sind kongruent.” Nein — sie sind nur ähnlich. Ein Dreieck mit den Seiten $3, 4, 5$ und eines mit $6, 8, 10$ haben dieselben Winkel, sind aber unterschiedlich gross.
2. “SSW reicht als Kongruenzsatz.” Nicht immer. SSW ist nur eindeutig, wenn der Winkel gegenüber der längeren Seite liegt (SsW). Liegt er gegenüber der kleineren, können zwei verschiedene Dreiecke mit denselben Angaben existieren.
3. “Gespiegelte Figuren sind nicht kongruent.” Doch. Spiegelung ist eine Kongruenzabbildung. Deshalb sind zum Beispiel eine rechte und eine linke Hand zueinander kongruent, auch wenn man sie nicht durch Verschieben und Drehen aufeinander legen kann.

Wo es im Lehrplan 21 steht

Kongruenz gehört zu MA.2 – Form und Raum, 3. Zyklus:

• MA.2.A.4 – Kongruenzabbildungen (Verschiebung, Drehung, Spiegelung) durchführen.
• MA.2.B.3 – Kongruenz von Figuren begründen und anhand der Kongruenzsätze nachweisen.
• MA.2.C.4 – Figuren kongruent konstruieren.

Das Erkennen kongruenter Figuren und das Anwenden der Kongruenzsätze auf Dreiecke gelten als Grundanspruch. Das formale Beweisen mit Kongruenzsätzen ist Erweiterung.

Die Themen im Überblick

• Kongruente Figuren
• Kongruente Dreiecke
• Kongruenzsätze
• Schnittfiguren

Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport