Summenregel der Wahrscheinlichkeit einfach erklärt: So berechnest du ODER-Ereignisse

Darum geht's

Du stehst vor einem Glücksrad auf dem Jahrmarkt. Es gibt rote, blaue und gelbe Felder. Du gewinnst einen Preis, wenn das Rad auf Rot ODER auf Blau stehen bleibt. Wie hoch ist deine Gewinnchance? Instinktiv würdest du wahrscheinlich die Chancen für Rot und Blau zusammenzählen. Und genau das ist der Kerngedanke der Summenregel! In der Mathematik brauchst du diese Regel immer dann, wenn du wissen willst, wie wahrscheinlich es ist, dass EINES von mehreren möglichen Ereignissen eintritt. Lass uns gemeinsam herausfinden, wie das funktioniert und worauf du achten musst.

Vom Glücksrad zur Mathematik

Kehren wir zum Glücksrad zurück. Angenommen, das Rad hat 10 gleich grosse Felder: 3 rote, 2 blaue und 5 gelbe. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Rad auf Rot landet, beträgt $\frac{3}{10}$. Die Wahrscheinlichkeit für Blau ist $\frac{2}{10}$.

Wenn du gewinnst, sobald Rot ODER Blau erscheint, dann zählst du einfach alle günstigen Felder zusammen. Das sind 3 rote plus 2 blaue Felder, also 5 von 10 Feldern insgesamt.

$$P(\text{Rot oder Blau}) = \frac{3 + 2}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$$

Das funktioniert so einfach, weil sich die Ereignisse “Rot” und “Blau” gegenseitig ausschliessen. Das Rad kann nicht gleichzeitig auf Rot UND Blau stehen. Solche Ereignisse nennen wir disjunkt oder unvereinbar.

Die Summenregel für disjunkte Ereignisse

Die Summenregel ist dein Werkzeug, wenn du die Wahrscheinlichkeit für “Ereignis A ODER Ereignis B” berechnen willst. Bei disjunkten Ereignissen ist das Vorgehen besonders einfach.

So gehst du vor:

1. Prüfe, ob sich die Ereignisse gegenseitig ausschliessen (disjunkt sind).
2. Bestimme die Einzelwahrscheinlichkeiten $P(A)$ und $P(B)$.
3. Addiere die beiden Wahrscheinlichkeiten.

Definition

Zwei Ereignisse $A$ und $B$ heissen disjunkt, wenn sie nicht gleichzeitig eintreten können. Für disjunkte Ereignisse gilt:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$

Das Symbol $\cup$ bedeutet “Vereinigung” und steht für “oder”. Die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ oder $B$ eintritt, ist also die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten.

Diese Regel lässt sich auf beliebig viele disjunkte Ereignisse erweitern. Wenn du drei, vier oder mehr Ereignisse hast, die sich alle gegenseitig ausschliessen, addierst du einfach alle Wahrscheinlichkeiten:

$$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C)$$

Was passiert bei nicht-disjunkten Ereignissen?

Jetzt wird es etwas kniffliger. Nicht alle Ereignisse schliessen sich gegenseitig aus. Manchmal können zwei Ereignisse auch gleichzeitig eintreten.

Du wirfst einen normalen Würfel. Ereignis $A$ ist “eine gerade Zahl würfeln” und Ereignis $B$ ist “eine Zahl grösser als 3 würfeln”.

• Ereignis $A$: $\{2, 4, 6\}$ – drei günstige Ergebnisse
• Ereignis $B$: $\{4, 5, 6\}$ – drei günstige Ergebnisse

Siehst du das Problem? Die Zahlen 4 und 6 gehören zu BEIDEN Ereignissen. Wenn du einfach $\frac{3}{6} + \frac{3}{6}$ rechnest, zählst du diese Zahlen doppelt!

Die Lösung: Du musst die Überschneidung wieder abziehen.

Definition

Für zwei beliebige Ereignisse $A$ und $B$ gilt:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

Das Symbol $\cap$ bedeutet “Schnittmenge” und steht für “und”. Der Term $P(A \cap B)$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse gleichzeitig eintreten. Diese Überschneidung wird abgezogen, damit sie nicht doppelt gezählt wird.

Zurück zu unserem Würfelbeispiel:

• $P(A) = \frac{3}{6}$ (gerade Zahl)
• $P(B) = \frac{3}{6}$ (grösser als 3)
• $P(A \cap B) = \frac{2}{6}$ (gerade UND grösser als 3: nur 4 und 6)

$$P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

Zur Kontrolle: Die Zahlen, die entweder gerade ODER grösser als 3 sind, lauten: $\{2, 4, 5, 6\}$. Das sind 4 von 6 möglichen Ergebnissen, also tatsächlich $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Achtung

Fehler 1: Wahrscheinlichkeiten bei nicht-disjunkten Ereignissen einfach addieren

Viele Schüler vergessen zu prüfen, ob die Ereignisse disjunkt sind. Bei nicht-disjunkten Ereignissen führt das blosse Addieren zu einem zu grossen Ergebnis. Prüfe IMMER zuerst, ob eine Überschneidung existiert.

Fehler 2: Die Schnittmenge falsch bestimmen

Die Schnittmenge $A \cap B$ enthält nur die Ergebnisse, die zu BEIDEN Ereignissen gehören. Lies die Aufgabe genau und liste beide Ereignisse separat auf. Dann siehst du sofort, welche Elemente in beiden vorkommen.

Fehler 3: Wahrscheinlichkeiten über 1 erhalten

Eine Wahrscheinlichkeit kann niemals grösser als 1 (oder 100%) sein. Wenn du ein Ergebnis wie $\frac{7}{6}$ erhältst, hast du definitiv etwas falsch gemacht. Gehe dann nochmals alle Schritte durch.

Beispiele

Beispiel 1: Karten ziehen aus einem Jassspiel

Ein Jassspiel hat 36 Karten: 4 Farben (Schellen, Schilten, Rosen und Eicheln) mit je 9 Karten (6, 7, 8, 9, Banner, Under, Ober, König, Ass). Du ziehst zufällig eine Karte.

a) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, einen König ODER ein Ass zu ziehen?

Analyse: Ein König kann nicht gleichzeitig ein Ass sein. Die Ereignisse sind disjunkt.

Lösung:

• Anzahl Könige: 4 (einer pro Farbe)
• Anzahl Asse: 4 (eines pro Farbe)

$$P(\text{König}) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$$$$P(\text{Ass}) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$$

Da die Ereignisse disjunkt sind:

$$P(\text{König oder Ass}) = \frac{1}{9} + \frac{1}{9} = \frac{2}{9}$$

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit beträgt $\frac{2}{9}$, also etwa 22,2%.

b) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, eine Schellen-, Schilten- ODER Eichel-Karte zu ziehen?

Analyse: Jede Karte hat genau eine Farbe. Die drei Ereignisse schliessen sich gegenseitig aus, also darfst du alle drei Wahrscheinlichkeiten addieren.

$$P(\text{Schellen}) = P(\text{Schilten}) = P(\text{Eicheln}) = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$$$$P(\text{Schellen oder Schilten oder Eicheln}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$

Kontrolle über das Gegenereignis: Gesucht sind genau die Karten, die keine Rosen sind. Es gilt $1 - P(\text{Rosen}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$. Das Ergebnis stimmt überein.

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit beträgt $\frac{3}{4}$ oder 75%.

Mit französischen Jasskarten (Herz, Ecken, Schaufeln, Kreuz) rechnest du genau gleich: Auch dort gibt es 36 Karten mit je einem König und einem Ass pro Farbe.

Beispiel 2: Swiss Lotto

Beim Swiss Lotto werden 6 Zahlen aus den Zahlen 1 bis 42 gezogen. Dazu kommt eine Glückszahl von 1 bis 6, die hier keine Rolle spielt. Markus hat auf seinem Lottoschein die Zahlen 7, 14, 21, 28, 35 und 42 angekreuzt. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass die erste gezogene Kugel eine von Markus’ Zahlen zeigt?

Analyse: Die erste Kugel zeigt genau eine Zahl. Die sechs Ereignisse “die erste Kugel zeigt 7”, “die erste Kugel zeigt 14” und so weiter schliessen sich also gegenseitig aus. Sie sind disjunkt.

Lösung: Für die erste Kugel ist jede der 42 Zahlen gleich wahrscheinlich:

$$P(\text{eine bestimmte Zahl}) = \frac{1}{42}$$

Mit der Summenregel für sechs disjunkte Ereignisse:

$$P(\text{eine von Markus' Zahlen}) = 6 \cdot \frac{1}{42} = \frac{6}{42} = \frac{1}{7}$$

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit beträgt $\frac{1}{7}$, also etwa 14,3%.

Beispiel 3: Würfeln mit zwei Würfeln

Du wirfst zwei Würfel gleichzeitig. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme 7 ODER mindestens ein Sechser dabei ist?

Analyse: Diese Ereignisse sind NICHT disjunkt! Bei einer Augensumme von 7 kann durchaus ein Sechser dabei sein (nämlich bei 6+1 oder 1+6).

Ereignis A: Augensumme ist 7. Die möglichen Kombinationen sind: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) – das sind 6 günstige von 36 möglichen Ergebnissen.

$$P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$$

Ereignis B: Mindestens ein Sechser. Hier zählen wir alle Kombinationen mit mindestens einer 6. Das sind 11 Stück: (1,6), (2,6), (3,6), (4,6), (5,6), (6,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5).

$$P(B) = \frac{11}{36}$$

Schnittmenge: Augensumme 7 UND mindestens ein Sechser. Das sind: (1,6) und (6,1) – genau 2 Kombinationen.

$$P(A \cap B) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$$

Anwendung der allgemeinen Summenregel:

$$P(A \cup B) = \frac{6}{36} + \frac{11}{36} - \frac{2}{36} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$$

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit beträgt $\frac{5}{12}$, also etwa 41,7%.

Beispiel 4: Bus oder Tram – wer kommt zuerst?

An einer Haltestelle verkehren drei Linien. Aus Erfahrung kennst du die Wahrscheinlichkeiten dafür, welches Fahrzeug in den nächsten 10 Minuten als erstes kommt: mit 30% Wahrscheinlichkeit ein Bus der Linie 5, mit 25% ein Bus der Linie 8 und mit 40% ein Tram der Linie 11. In den restlichen 5% kommt in dieser Zeit gar kein Fahrzeug. Du steigst in das erste Fahrzeug ein, das kommt. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass du einen Bus (Linie 5 oder 8) nimmst?

Analyse: Es kann immer nur ein Fahrzeug das erste sein. Die Ereignisse “Bus Linie 5 kommt zuerst” und “Bus Linie 8 kommt zuerst” sind disjunkt.

Kontrolle der Angaben: $0{,}30 + 0{,}25 + 0{,}40 + 0{,}05 = 1$. Alle Möglichkeiten zusammen ergeben 100%.

Lösung:

$$P(\text{Bus Linie 5 oder 8}) = 0{,}30 + 0{,}25 = 0{,}55$$

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit beträgt 55%.

Zusatzfrage: Wie wahrscheinlich ist es, dass in den nächsten 10 Minuten überhaupt ein Fahrzeug kommt? Entweder addierst du $0{,}30 + 0{,}25 + 0{,}40 = 0{,}95$, oder du nutzt das Gegenereignis “kein Fahrzeug”: $1 - 0{,}05 = 0{,}95$. Die Wahrscheinlichkeit beträgt 95%.

Vergleich mit dem nächsten Beispiel: Dort geht es um Verspätungen. Zwei Busse können gleichzeitig verspätet sein. Diese Ereignisse sind deshalb nicht disjunkt, und du brauchst die allgemeine Summenregel.

Beispiel 5: Busfahrplan und Verspätungen

An einer Haltestelle fährt Bus Linie 5 mit einer Wahrscheinlichkeit von 15% zu spät ab. Bus Linie 8 ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 20% verspätet. Die Wahrscheinlichkeit, dass beide gleichzeitig Verspätung haben, beträgt 5%.

Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass MINDESTENS einer der beiden Busse Verspätung hat?

Analyse: “Mindestens einer” bedeutet “Linie 5 ODER Linie 8 oder beide”. Die Ereignisse sind nicht disjunkt, da beide gleichzeitig verspätet sein können.

Gegeben:

• $P(\text{Linie 5 verspätet}) = 0{,}15$
• $P(\text{Linie 8 verspätet}) = 0{,}20$
• $P(\text{beide verspätet}) = 0{,}05$

Anwendung der allgemeinen Summenregel:

$$P(\text{mindestens einer verspätet}) = 0{,}15 + 0{,}20 - 0{,}05 = 0{,}30$$

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Bus Verspätung hat, beträgt 30%.

Beispiel 6: Lotterie mit mehreren Gewinnkategorien

Bei einer Schultombola gibt es 200 Lose. Davon gewinnen 10 einen Hauptpreis, 25 einen Trostpreis und 165 sind Nieten. Du kaufst ein Los. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, IRGENDEINEN Preis zu gewinnen?

Analyse: Ein Los kann entweder einen Hauptpreis, einen Trostpreis oder eine Niete sein. Diese drei Kategorien schliessen sich gegenseitig aus – die Ereignisse sind disjunkt.

Lösung:

$$P(\text{Hauptpreis}) = \frac{10}{200} = \frac{1}{20}$$$$P(\text{Trostpreis}) = \frac{25}{200} = \frac{1}{8}$$

Da disjunkt:

$$P(\text{irgendein Preis}) = \frac{10}{200} + \frac{25}{200} = \frac{35}{200} = \frac{7}{40}$$

Antwort: Die Gewinnwahrscheinlichkeit beträgt $\frac{7}{40}$ oder 17,5%.

Das Wichtigste in Kürze

• Die Summenregel hilft dir, die Wahrscheinlichkeit für “A ODER B” zu berechnen.
• Bei disjunkten Ereignissen (können nicht gleichzeitig eintreten) gilt: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
• Bei nicht-disjunkten Ereignissen musst du die Überschneidung abziehen: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
• Prüfe IMMER zuerst, ob die Ereignisse disjunkt sind, bevor du rechnest.
• Eine Wahrscheinlichkeit kann nie grösser als 1 sein – nutze das zur Kontrolle.

Dein Wissen im Test

❓ Frage:Ein Würfel wird einmal geworfen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, eine 1 ODER eine 6 zu würfeln?

Lösung anzeigen

Die Ereignisse “1 würfeln” und “6 würfeln” sind disjunkt (man kann nicht gleichzeitig eine 1 und eine 6 würfeln).

$$P(1) = \frac{1}{6}, \quad P(6) = \frac{1}{6}$$$$P(1 \text{ oder } 6) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit beträgt $\frac{1}{3}$ oder etwa 33,3%.

❓ Frage:Beim Würfeln mit zwei Würfeln ist die Wahrscheinlichkeit für die Augensumme 7 genau $\frac{6}{36}$ und für die Augensumme 11 genau $\frac{2}{36}$. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, die Augensumme 7 ODER 11 zu würfeln?

Lösung anzeigen

Die Augensummen 7 und 11 schliessen sich gegenseitig aus: Bei einem Wurf entsteht genau eine Augensumme. Die Ereignisse sind disjunkt.

$$P(\text{Summe 7 oder 11}) = \frac{6}{36} + \frac{2}{36} = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}$$

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit beträgt $\frac{2}{9}$, also etwa 22,2%.

Tipp: Rechne mit den exakten Brüchen und runde erst am Schluss. Addierst du die gerundeten Prozentwerte $16{,}7\% + 5{,}6\%$, erhältst du $22{,}3\%$ – ein kleiner Rundungsfehler.

❓ Frage:In einer Klasse spielen 40% der Schüler Fussball, 30% spielen Basketball und 10% spielen beides. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Schüler Fussball ODER Basketball spielt?

Lösung anzeigen

Die Ereignisse sind NICHT disjunkt, da 10% beides spielen.

$$P(F) = 0{,}40, \quad P(B) = 0{,}30, \quad P(F \cap B) = 0{,}10$$$$P(F \cup B) = 0{,}40 + 0{,}30 - 0{,}10 = 0{,}60$$

Antwort: 60% der Schüler spielen Fussball oder Basketball (oder beides).

❓ Frage:Warum darfst du bei nicht-disjunkten Ereignissen die Wahrscheinlichkeiten nicht einfach addieren? Erkläre in eigenen Worten.

Lösung anzeigen

Wenn sich zwei Ereignisse überschneiden können, dann gibt es Ergebnisse, die zu BEIDEN Ereignissen gehören. Wenn du die Wahrscheinlichkeiten einfach addierst, zählst du diese gemeinsamen Ergebnisse doppelt. Das führt zu einem zu grossen Wert. Um das zu korrigieren, musst du die Wahrscheinlichkeit der Überschneidung (Schnittmenge) einmal abziehen.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du hast jetzt die Summenregel gemeistert und kannst ODER-Ereignisse berechnen. Der nächste logische Schritt sind Baumdiagramme mit der 1. Pfadregel: Entlang eines Pfades multiplizierst du die Wahrscheinlichkeiten. Diese Regel brauchst du, wenn du die Wahrscheinlichkeit für “A UND B” berechnen willst – zum Beispiel: Wie wahrscheinlich ist es, zweimal hintereinander eine 6 zu würfeln? Zusammen mit dem Gegenereignis, das du schon kennst, löst du damit auch “mindestens”-Aufgaben elegant.

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Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport