Logarithmen einfach erklärt: Die Umkehrung der Potenzrechnung verstehen

Darum geht's

Du kennst die Frage: «Was ergibt $2^3$?» Beim Logarithmus suchst du umgekehrt den Exponenten: «$2$ hoch wie viel ergibt $8$?» Die Antwort ist $3$.

Diese Frage hilft auch bei Wachstumsaufgaben. In einem vereinfachten Sparmodell werden 1000 CHF jedes Jahr mit $5\,\%$ verzinst. Die Zinsen bleiben auf dem Konto; Gebühren und Steuern lassen wir weg. Wann sind mindestens 2000 CHF erreicht? Dafür suchst du den Exponenten in $1{,}05^n = 2$. Mit Logarithmen kannst du ihn berechnen. Ob du das Ergebnis anschliessend auf volle Jahre aufrunden musst, hängt vom Modell ab.

Tipp

Das brauchst du: Potenzgesetze, negative Exponenten und das Umformen einfacher Gleichungen. Für Näherungswerte brauchst du einen Taschenrechner mit log oder ln.

Das lernst du: Du übersetzt zwischen Potenz- und Logarithmusform, begründest die Rechenregeln und löst Gleichungen mit unbekanntem Exponenten. Bei Anwendungen prüfst du, welche Zeiten oder Werte überhaupt erlaubt sind.

Logarithmen: die Idee

Beim Potenzieren kennst du die Basis und den Exponenten. Du berechnest das Ergebnis:

$2^3 = 8$

Manchmal ist die Situation umgekehrt. Du kennst die Basis und das Ergebnis, suchst aber den Exponenten:

$2^{?} = 8$

Die Antwort ist 3, denn $2^3 = 8$. Doch wie drückst du das mathematisch präzise aus? Genau hier kommt der Logarithmus ins Spiel.

Abb. 1: Beim Potenzieren gehst du von $x = 3$ hinauf zum Graphen und erhältst $2^3 = 8$. Der Logarithmus geht den Weg rückwärts: von $8$ auf der $y$-Achse zum Graphen und hinunter zum Exponenten $3$.

Definition

Der Logarithmus von $b$ zur Basis $a$ ist der Exponent, mit dem man $a$ potenzieren muss, um $b$ zu erhalten:

$\log_a(b) = x \quad \Leftrightarrow \quad a^x = b$

Wir rechnen hier mit reellen Zahlen. Es gilt: $a > 0$, $a \neq 1$ und $b > 0$.

• $a$ heisst Basis des Logarithmus
• $b$ heisst Numerus (die Zahl, deren Logarithmus du berechnest)
• $x$ ist der gesuchte Exponent

Die Schreibweisen $\log_a(b) = x$ und $a^x = b$ beschreiben denselben Zusammenhang. Frage beim Umschreiben immer: Welche Zahl ist die Basis, welche der Exponent und welche das Ergebnis?

Warum gelten die Bedingungen? Eine positive Basis ergibt bei reellen Exponenten nur positive Werte. Deshalb muss $b > 0$ sein. Die Basis $1$ ist ausgeschlossen, weil $1^x = 1$ für jeden Exponenten gilt. Damit wäre der gesuchte Exponent nicht eindeutig.

Gesucht	Beispiel	Passende Rechnung
Ergebnis einer Potenz	$2^3 = b$	$b = 8$
Positive Basis bei bekanntem Exponenten	$a^3 = 8$	$a = \sqrt[3]{8} = 2$
Exponent bei bekannter Basis	$2^x = 8$	$x = \log_2(8) = 3$

In der Praxis begegnen dir drei Basen besonders häufig:

Basis	Schreibweise	Name	Verwendung
10	$\log(x)$ oder $\lg(x)$	Dekadischer Logarithmus	Taschenrechner, pH-Wert, Dezibel
$e \approx 2{,}718$	$\ln(x)$	Natürlicher Logarithmus	Naturwissenschaften, Wachstum
2	$\log_2(x)$	Binärer Logarithmus	Informatik, Algorithmen

In diesem Artikel bedeutet $\log(x)$ immer $\log_{10}(x)$. Viele Schultaschenrechner verwenden log für Basis 10 und ln für Basis $e$. Für andere Basen kannst du die Basiswechselformel verwenden, auch wenn dein Gerät keine eigene Eingabe dafür anbietet.

Logarithmen: der Rechenweg

Die Logarithmusregeln folgen aus den Potenzgesetzen. Sie helfen dir beim Zusammenfassen von Termen und beim Lösen von Gleichungen.

Definition

Für $a > 0$, $a \neq 1$ und $u, v > 0$ gelten die folgenden Regeln. In der Potenzregel darf $n$ jede reelle Zahl sein. Beim Basiswechsel gilt zusätzlich: $b > 0$, $c > 0$ und $c \neq 1$.

Produktregel: $\log_a(u \cdot v) = \log_a(u) + \log_a(v)$

Quotientenregel: $\log_a\!\left(\frac{u}{v}\right) = \log_a(u) - \log_a(v)$

Potenzregel: $\log_a(u^n) = n \cdot \log_a(u)$

Basiswechselformel: $\log_a(b) = \frac{\log_c(b)}{\log_c(a)}$

Warum wird aus einem Produkt eine Summe? Setze $r = \log_a(u)$ und $s = \log_a(v)$. Dann gilt $u = a^r$ und $v = a^s$. Mit dem Potenzgesetz folgt:

$u \cdot v = a^r \cdot a^s = a^{r+s}$

Der Exponent, der zu $u \cdot v$ führt, ist also $r+s$. Deshalb gilt $\log_a(u \cdot v) = \log_a(u) + \log_a(v)$.

Auch der Basiswechsel lässt sich begründen: Aus $a^x = b$ folgt durch Logarithmieren zur erlaubten Basis $c$ die Gleichung $x \cdot \log_c(a) = \log_c(b)$. Weil $a \neq 1$ gilt, ist $\log_c(a) \neq 0$. Du darfst durch diesen Wert dividieren.

Zwei besondere Werte kannst du direkt aus der Definition herleiten:

$\log_a(1) = 0 \qquad \text{(weil } a^0 = 1\text{)}$

$\log_a(a) = 1 \qquad \text{(weil } a^1 = a\text{)}$

Die Potenzregel ist besonders nützlich. Sie erlaubt es dir, einen Exponenten aus dem Argument herauszuziehen und als Faktor zu schreiben. Das ist der Schlüsseltrick beim Lösen von Exponentialgleichungen. Die Basiswechselformel hilft dir, wenn dein Taschenrechner nur $\log$ und $\ln$ kennt, du aber einen Logarithmus mit einer anderen Basis brauchst.

Beispiel:

Logarithmus direkt berechnen

Berechne $\log_3(81)$ ohne Taschenrechner.

Lösung:

Gefragt ist: “3 hoch was ergibt 81?”

Du probierst systematisch:

• $3^1 = 3$
• $3^2 = 9$
• $3^3 = 27$
• $3^4 = 81$ ✓

Also gilt $\log_3(81) = 4$.

Probe: $3^4 = 81$ ✓

Tipp: Bei einfachen Logarithmen hilft das schrittweise Potenzieren. Du fragst dich immer: “Welcher Exponent passt?” Sobald du die Verbindung $\log_a(b) = x \Leftrightarrow a^x = b$ sicher beherrschst, gehst du von der Logarithmusform direkt in die Potenzform – und die Antwort liegt offen.

Beispiel:

Logarithmusgleichung lösen

Löse die Gleichung $\log_5(x) = 3$.

Lösung:

Du schreibst die Gleichung in die Potenzform um. Das ist die zentrale Technik:

$\log_5(x) = 3 \quad \Leftrightarrow \quad 5^3 = x$

Du berechnest:

$x = 5^3 = 125$

Probe: Ist $\log_5(125) = 3$? Prüfe: $5^3 = 125$ ✓

Zweites Beispiel: Löse $\log_x(27) = 3$.

Hier ist die Basis unbekannt. Deshalb muss $x > 0$ und $x \neq 1$ gelten. Umschreiben ergibt:

$x^3 = 27$

Also ist $x = \sqrt[3]{27} = 3$.

Probe: $\log_3(27) = 3$, denn $3^3 = 27$ ✓

Die Lösung $x = 3$ erfüllt beide Bedingungen an die Basis. Prüfe solche Bedingungen immer zusätzlich zur Rechnung.

Ein Logarithmus muss keine positive ganze Zahl sein:

Logarithmus	Ergebnis	Kontrolle in Potenzform
$\log_2\!\left(\dfrac{1}{8}\right)$	$-3$	$2^{-3} = \dfrac{1}{8}$
$\log_4(2)$	$\dfrac{1}{2}$	$4^{1/2} = \sqrt{4} = 2$
$\log_{1/2}(8)$	$-3$	$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-3} = 8$

Das Argument muss positiv sein. Der Wert des Logarithmus darf dagegen negativ, null oder positiv sein.

Typische Fehler bei Logarithmen

Achtung

Fehler 1: Es gibt keine Summenregel

Viele Lernende denken fälschlicherweise:

$\log_a(u + v) \stackrel{?}{=} \log_a(u) + \log_a(v)$

Das ist keine gültige Rechenregel. Ein Gegenbeispiel zeigt den Unterschied:

$\log_2(4+4) = \log_2(8) = 3 \neq 4 = \log_2(4)+\log_2(4)$

Die Produktregel gilt für Multiplikation im Argument. Eine Summe darfst du nicht auf diese Weise aufteilen. Konkrete Zahlen kannst du natürlich zuerst addieren.

Achtung

Fehler 2: Logarithmus von Null oder negativen Zahlen

Die Ausdrücke $\log_a(0)$ und $\log_a(-5)$ sind im Bereich der reellen Zahlen nicht definiert. Der Numerus muss immer strikt positiv sein ($b > 0$). Frage dich: “Welchen Exponenten bräuchte ich, damit eine positive Basis eine negative Zahl oder Null ergibt?” Das ist unmöglich. Vergiss beim Lösen von Gleichungen nie, den Definitionsbereich zu prüfen.

Achtung

Fehler 3: Potenzregel falsch angewendet

Die Potenzregel lautet: $\log_a(u^n) = n \cdot \log_a(u)$

Der Exponent $n$ wird zum Faktor vor dem Logarithmus. Er wird nicht selbst zum Exponenten des Logarithmus:

Falsch: $\log_a(u^n) \stackrel{?}{=} [\log_a(u)]^n$

Diese Verwechslung führt zu komplett falschen Ergebnissen. Denk daran: Der Exponent wandert nach vorne als Multiplikator.

Achtung

Fehler 4: Basis und Numerus vertauschen

$\log_2(8) = 3$ bedeutet: $2^3 = 8$. Die Basis des Logarithmus ($2$) ist die Basis der Potenz. Der Numerus ($8$) ist das Ergebnis der Potenz. Wer diese beiden Zahlen vertauscht und schreibt $8^3 = 2$, erhält Unsinn. Beim Umschreiben in Potenzform: Die Basis bleibt unten, der Logarithmuswert wird zum Exponenten.

Logarithmen in Aufgaben

Beispiel:

Exponentialgleichung mit Logarithmus lösen

Löse die Gleichung $2^x = 50$.

Lösung:

Der Exponent $x$ ist unbekannt. Du kannst $x$ nicht direkt ablesen. Deshalb wendest du auf beiden Seiten den natürlichen Logarithmus an:

$\ln(2^x) = \ln(50)$

Mit der Potenzregel ziehst du $x$ nach vorne:

$x \cdot \ln(2) = \ln(50)$

Du löst nach $x$ auf:

$x = \frac{\ln(50)}{\ln(2)}$

Du berechnest mit dem Taschenrechner:

$x = \frac{\ln(50)}{\ln(2)} \approx 5{,}643856 \approx 5{,}64$

Gib den ganzen Quotienten in den Taschenrechner ein. Runde erst das Endergebnis, damit sich Rundungsfehler nicht verstärken.

Probe: $2^{5{,}64} \approx 49{,}9 \approx 50$ ✓

Wichtig: Du kannst genauso den dekadischen Logarithmus $\log$ verwenden. Das Ergebnis ist dasselbe:

$x = \frac{\log(50)}{\log(2)} \approx 5{,}64$

Beispiel:

Logarithmusregeln anwenden und vereinfachen

Vereinfache $\log_2(32) - \log_2(4) + \log_2(8)$.

Lösung:

Methode 1 – Direkte Berechnung:

Du berechnest jeden Logarithmus einzeln:

• $\log_2(32) = 5$, denn $2^5 = 32$
• $\log_2(4) = 2$, denn $2^2 = 4$
• $\log_2(8) = 3$, denn $2^3 = 8$

Ergebnis: $5 - 2 + 3 = 6$

Methode 2 – Mit den Logarithmusregeln:

Du fasst zuerst zusammen. Subtraktion entspricht einer Division im Argument, Addition einer Multiplikation:

$\log_2(32) - \log_2(4) + \log_2(8) = \log_2\!\left(\frac{32 \cdot 8}{4}\right) = \log_2(64) = 6$

Beide Methoden liefern 6. Methode 2 ist effizienter, wenn die einzelnen Logarithmen keine ganzen Zahlen ergeben.

Logarithmen genauer betrachtet

Sobald du die Grundlagen sicher beherrschst, öffnen sich weitere wichtige Konzepte.

Logarithmusfunktion: Für jede erlaubte Basis $a > 0$, $a \neq 1$ ist $f(x) = \log_a(x)$ auf $x > 0$ definiert. Ihr Graph verläuft durch $(1 \mid 0)$.

• Für $a > 1$ ist die Funktion streng steigend.
• Für $0 < a < 1$ ist die Funktion streng fallend.

In beiden Fällen ist sie die Umkehrfunktion von $g(x) = a^x$. Die Graphen sind Spiegelbilder an der Geraden $y = x$. Beispielsweise gehört zur Potenz $2^3 = 8$ der Punkt $(3 \mid 8)$ der Exponentialfunktion. Beim Logarithmus werden die Koordinaten vertauscht: $(8 \mid 3)$.

Abb. 2: Zu jedem Punkt $(x \mid 2^x)$ des blauen Graphen gehört der Spiegelpunkt $(2^x \mid x)$ auf dem roten Graphen, zum Beispiel $(3 \mid 8)$ und $(8 \mid 3)$. Weil $2^x$ immer positiv ist, liegt der rote Graph ganz rechts der $y$-Achse.

Basiswechsel in der Praxis: Mit den Tasten log oder ln kannst du jeden Logarithmus zu einer erlaubten Basis berechnen:

$\log_a(b) = \frac{\ln(b)}{\ln(a)} = \frac{\log(b)}{\log(a)}$

Definition

Für $a > 0$, $a \neq 1$, $b > 0$ und reelle $n$ heben sich Potenzieren und Logarithmieren gegenseitig auf:

$a^{\log_a(b)} = b \qquad \text{und} \qquad \log_a(a^n) = n$

Diese Eigenschaft macht den Logarithmus zur Umkehrfunktion der Exponentialfunktion.

Wachstum und Zerfall vergleichen: In einem Modell $M(t) = M_0 \cdot q^t$ beschreibt $q > 1$ Wachstum und $0 < q < 1$ Zerfall. Wenn du den Zeitpunkt suchst, zu dem die Menge einen bekannten Zielwert $M_{\mathrm{Ziel}} > 0$ erreicht, löst du $M_0 \cdot q^t = M_{\mathrm{Ziel}}$:

$t = \frac{\ln\!\left(M_{\mathrm{Ziel}}/M_0\right)}{\ln(q)}$

Dabei muss $M_0 > 0$ gelten. Die Zeiteinheit von $t$ muss zum Faktor $q$ passen: Bei einem jährlichen Faktor rechnest du in Jahren.

Tipp

Reelle Zeit oder ganze Schritte? In einem kontinuierlichen Modell darf $t$ auch eine Kommazahl sein. Wenn eine Aufgabe nur Jahresenden oder vollständige Verdopplungsschritte betrachtet, sind nur ganze Schrittzahlen erlaubt. Bestimme zuerst die Grenze und prüfe dann die benachbarten erlaubten Werte. Bei «mehr als» oder «weniger als» zählt Gleichheit nicht als Lösung.

Beispiel:

Zinseszins-Aufgabe

Du legst im Modell 5000 CHF zu $3\,\%$ Jahreszins an. Die Zinsen werden jeweils am Jahresende gutgeschrieben und mitverzinst. Gebühren und Steuern bleiben unberücksichtigt. Nach wie vielen vollen Jahren sind erstmals mindestens 7000 CHF auf dem Konto?

Lösung:

Nach $n$ vollen Jahren beträgt das Kapital:

$K_n = 5000 \cdot 1{,}03^n$

Gesucht ist die kleinste ganze Zahl $n \geq 0$, für die gilt:

$5000 \cdot 1{,}03^n \geq 7000 \quad \Leftrightarrow \quad 1{,}03^n \geq 1{,}4$

Der natürliche Logarithmus ist streng steigend. Beim Logarithmieren bleibt deshalb das Ungleichheitszeichen erhalten:

$n \cdot \ln(1{,}03) \geq \ln(1{,}4)$

Weil $\ln(1{,}03) > 0$ ist, bleibt die Richtung auch beim Dividieren erhalten:

$n \geq \frac{\ln(1{,}4)}{\ln(1{,}03)} \approx 11{,}383149$

Die kleinste erlaubte ganze Zahl ist $n = 12$.

Kontrolle der Grenze:

• Nach 11 Jahren: $5000 \cdot 1{,}03^{11} \approx 6921{,}17$ CHF. Das Ziel ist noch nicht erreicht.
• Nach 12 Jahren: $5000 \cdot 1{,}03^{12} \approx 7128{,}80$ CHF. Das Ziel ist erreicht.

Abb. 3: Der Kontostand steigt nur am Jahresende und verläuft deshalb wie eine Treppe. Die rechnerische Kurve $5000 \cdot 1{,}03^t$ erreicht 7000 CHF bei $t \approx 11{,}38$. Auf dem Konto sind es dann noch 6921,17 CHF. Erst die Gutschrift am Ende des 12. Jahres hebt den Kontostand über 7000 CHF.

Antwort: Erstmals nach 12 vollen Jahren sind mindestens 7000 CHF auf dem Konto. Die rechnerische Grenze von etwa $11{,}38$ ist kein zusätzlicher Gutschriftzeitpunkt in diesem Modell.

Damit kannst du auch die Frage aus der Einleitung beantworten: Für die Verdopplung bei $5\,\%$ gilt $n \geq \ln(2)/\ln(1{,}05) \approx 14{,}206699$. Bei jährlicher Gutschrift dauert es 15 volle Jahre. Nach 14 Jahren sind es rund 1979,93 CHF, nach 15 Jahren rund 2078,93 CHF.

Übungen

Die folgenden Aufgaben sind nach Schwierigkeit geordnet. Beginne oben und arbeite dich vor. Die vollständigen Lösungswege findest du im Abschnitt “Lösungen” am Ende des Artikels.

Grundlagen (Aufgaben 1–3)

Aufgabe 1: Berechne ohne Taschenrechner:

a) $\log_2(16)$ b) $\log_3(27)$ c) $\log_{10}(1000)$ d) $\log_5(1)$

Aufgabe 2: Schreibe jeweils in Potenzform um:

a) $\log_4(64) = 3$ b) $\log_2(0{,}5) = -1$ c) $\log_a(m) = k$

Aufgabe 3: Schreibe jeweils in Logarithmusform um:

a) $7^2 = 49$ b) $10^{-2} = 0{,}01$ c) $e^1 = e$

Regelanwendung (Aufgaben 4–6)

Aufgabe 4: Vereinfache mit den Logarithmusregeln (ohne Taschenrechner):

a) $\log_3(9) + \log_3(3)$ b) $\log_2(64) - \log_2(8)$ c) $\log_5(5^7)$

Aufgabe 5: Berechne mit dem Taschenrechner (auf zwei Dezimalstellen):

a) $\log_3(20)$ b) $\log_7(100)$ c) $\log_6(200)$

Aufgabe 6: Gib zuerst die Bedingungen für $x$ an. Löse dann die Gleichungen und prüfe deine Lösung:

a) $\log_3(x) = 4$ b) $\log_x(16) = 2$ c) $\log_2(x+1) = 5$

Exponentialgleichungen (Aufgaben 7–8)

Aufgabe 7: Löse die Exponentialgleichungen (auf zwei Dezimalstellen):

a) $3^x = 20$ b) $5^x = 0{,}1$ c) $2^{x+1} = 10$

Aufgabe 8: Fasse zu einem einzigen Logarithmus zusammen. Berechne danach einen Näherungswert auf zwei Dezimalstellen:

$\log_6(4) + 2 \cdot \log_6(3) - \log_6(2)$

Anwendungen (Aufgaben 9–10)

Aufgabe 9: Eine Bakterienkultur startet mit 500 Bakterien. Ihre Anzahl verdoppelt sich im Modell alle 30 Minuten.

a) Du kontrollierst die Anzahl nur nach vollständigen 30-Minuten-Perioden. Bei welcher Kontrolle sind es erstmals mehr als 100 000 Bakterien? Gib die Zeit in Minuten an.

b) Ein kontinuierliches Modell lautet $P(t) = 500 \cdot 2^{t/30}$, wobei $t$ die Zeit in Minuten ist. Bestimme den Zeitpunkt, an dem der Modellwert genau 100 000 beträgt. Ab welcher ganzen Minute liegt er darüber? Erkläre den Unterschied zu a).

Aufgabe 10: Von einer Substanz bleiben im Zerfallsmodell nach jedem Jahr $88\,\%$ der vorherigen Menge übrig. Anfangs sind es 200 g. Du misst jeweils am Ende eines vollen Jahres. Bei welcher Jahresmessung sind erstmals weniger als 50 g übrig? Begründe die Richtung des Ungleichheitszeichens und kontrolliere das Ergebnis mit zwei benachbarten Jahreswerten.

Das Wichtigste in Kürze

• Der Logarithmus beantwortet: “Mit welchem Exponenten muss ich die Basis potenzieren, um eine bestimmte Zahl zu erhalten?”
• Zentrale Beziehung: $\log_a(b) = x \Leftrightarrow a^x = b$
• Produktregel: $\log_a(u \cdot v) = \log_a(u) + \log_a(v)$
• Quotientenregel: $\log_a\!\left(\dfrac{u}{v}\right) = \log_a(u) - \log_a(v)$
• Potenzregel: $\log_a(u^n) = n \cdot \log_a(u)$
• Basiswechsel: $\log_a(b) = \dfrac{\ln(b)}{\ln(a)}$
• Es gibt keine Summenregel für $\log_a(u+v)$.
• Die Bedingungen sind $a > 0$, $a \neq 1$ und $b > 0$. Ein negativer Logarithmuswert ist trotzdem möglich.
• Für Exponentialgleichungen: Logarithmieren und Potenzregel anwenden, dann nach $x$ auflösen.
• Runde erst am Ende. Bei Anwendungen prüfst du zusätzlich Zeiteinheit, erlaubte Zeitpunkte und die genaue Grenze.

Dein Wissen im Test

❓ Frage:

Was ist $\log_4(64)$?

Lösung anzeigen

$\log_4(64) = 3$ Begründung: Gesucht ist der Exponent $x$ mit $4^x = 64$. Probe: $4^3 = 64$ ✓ Also ist $\log_4(64) = 3$.

❓ Frage:

Vereinfache: $\log_5(25) + \log_5(5)$

Lösung anzeigen

Methode 1 – Produktregel: $\log_5(25) + \log_5(5) = \log_5(25 \cdot 5) = \log_5(125) = 3$ Methode 2 – Einzeln berechnen: $\log_5(25) = 2$ (weil $5^2 = 25$) und $\log_5(5) = 1$ (weil $5^1 = 5$). Also: $2 + 1 = 3$ Das Ergebnis ist 3.

❓ Frage:

Löse die Gleichung $3^x = 100$. Runde auf zwei Dezimalstellen.

Lösung anzeigen

Du logarithmierst beide Seiten: $\ln(3^x) = \ln(100)$ $x \cdot \ln(3) = \ln(100)$ $x = \frac{\ln(100)}{\ln(3)} \approx 4{,}191807 \approx 4{,}19$ Die Lösung ist $x \approx 4{,}19$. Probe: $3^{4{,}19} \approx 100$ ✓

❓ Frage:

Welche der folgenden Aussagen ist korrekt? A) $\log_2(8 + 4) = \log_2(8) + \log_2(4)$ B) $\log_2(8 \cdot 4) = \log_2(8) + \log_2(4)$ C) $\log_2(8 \cdot 4) = \log_2(8) \cdot \log_2(4)$

Lösung anzeigen

Die richtige Antwort ist B. Die Produktregel lautet: $\log_a(u \cdot v) = \log_a(u) + \log_a(v)$. Probe: $\log_2(8 \cdot 4) = \log_2(32) = 5$ und $\log_2(8) + \log_2(4) = 3 + 2 = 5$ ✓ Aussage A ist falsch: Rechts steht $3+2=5$, links $\log_2(12)$. Weil $2^3 < 12 < 2^4$ gilt, liegt die linke Seite zwischen 3 und 4. Sie kann also nicht 5 sein. Aussage C ist falsch: Der Logarithmus eines Produkts ist die Summe, nicht das Produkt der Logarithmen.

❓ Frage:

Berechne $\log_8(2)$.

Lösung anzeigen

Gesucht ist $x$ mit $8^x = 2$. Du erkennst: $8 = 2^3$, also: $(2^3)^x = 2^1$ $2^{3x} = 2^1$ Durch Vergleich der Exponenten: $3x = 1$, also $x = \dfrac{1}{3}$. Somit ist $\log_8(2) = \dfrac{1}{3}$. Probe: $8^{1/3} = \sqrt[3]{8} = 2$ ✓

Ausblick

Beim nächsten Wachstumsproblem kannst du gezielt entscheiden: Suchst du das Ergebnis einer Potenz oder ihren Exponenten? Für den unbekannten Exponenten helfen dir Logarithmen. Prüfe nach der Rechnung, ob das Ergebnis zur Aufgabe passt: Welche Einheit hat es? Sind nur ganze Schritte erlaubt? Wird die Grenze erreicht oder wirklich überschritten?

Für die weitere Arbeit mit Funktionen kannst du untersuchen, wie sich Exponential- und Logarithmusgraphen an der Geraden $y = x$ spiegeln.

Lösungen

Aufgabe 1:

a) $\log_2(16) = 4$, denn $2^4 = 16$

b) $\log_3(27) = 3$, denn $3^3 = 27$

c) $\log_{10}(1000) = 3$, denn $10^3 = 1000$

d) $\log_5(1) = 0$, denn $5^0 = 1$ (gilt für jede erlaubte Basis)

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Aufgabe 2:

a) $\log_4(64) = 3 \Leftrightarrow 4^3 = 64$

b) $\log_2(0{,}5) = -1 \Leftrightarrow 2^{-1} = 0{,}5$

c) $\log_a(m) = k \Leftrightarrow a^k = m$, für $a > 0$, $a \neq 1$ und $m > 0$.

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Aufgabe 3:

a) $7^2 = 49 \Leftrightarrow \log_7(49) = 2$

b) $10^{-2} = 0{,}01 \Leftrightarrow \log_{10}(0{,}01) = -2$

c) $e^1 = e \Leftrightarrow \ln(e) = 1$

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Aufgabe 4:

a) $\log_3(9) + \log_3(3) = 2 + 1 = 3$. Oder: $\log_3(9 \cdot 3) = \log_3(27) = 3$ ✓

b) $\log_2(64) - \log_2(8) = 6 - 3 = 3$. Oder: $\log_2\!\left(\dfrac{64}{8}\right) = \log_2(8) = 3$ ✓

c) $\log_5(5^7) = 7$ (direkt aus der Regel $\log_a(a^n) = n$)

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Aufgabe 5: Du verwendest die Basiswechselformel $\log_a(b) = \dfrac{\ln(b)}{\ln(a)}$:

a) $\log_3(20) = \dfrac{\ln(20)}{\ln(3)} \approx 2{,}726833 \approx 2{,}73$

b) $\log_7(100) = \dfrac{\ln(100)}{\ln(7)} \approx 2{,}366589 \approx 2{,}37$

c) $\log_6(200) = \dfrac{\ln(200)}{\ln(6)} \approx 2{,}957047 \approx 2{,}96$

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Aufgabe 6:

a) Bedingung: $x > 0$. Aus $\log_3(x) = 4$ folgt $x = 3^4 = 81$. Die Lösung ist positiv. Probe: $3^4 = 81$.

b) Bedingungen an die Basis: $x > 0$ und $x \neq 1$. Aus $\log_x(16) = 2$ folgt $x^2 = 16$. Die Kandidaten sind $4$ und $-4$. Nur $x = 4$ ist als Basis erlaubt. Probe: $4^2 = 16$.

c) Bedingung: $x+1 > 0$, also $x > -1$. Aus $\log_2(x+1) = 5$ folgt $x+1 = 2^5 = 32$, also $x = 31$. Die Bedingung ist erfüllt. Probe: $\log_2(31+1) = \log_2(32) = 5$.

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Aufgabe 7:

a) $3^x = 20$: Du logarithmierst beide Seiten.

$x = \frac{\ln(20)}{\ln(3)} \approx 2{,}73$

b) $5^x = 0{,}1$: Du logarithmierst beide Seiten.

$x = \frac{\ln(0{,}1)}{\ln(5)} \approx -1{,}43$

Der negative Exponent passt: Für eine Basis grösser als 1 führen negative Exponenten zu Werten zwischen 0 und 1.

c) $2^{x+1} = 10$: Du logarithmierst beide Seiten und wendest die Potenzregel an.

$(x+1) \cdot \ln(2) = \ln(10)$

$x + 1 = \frac{\ln(10)}{\ln(2)}$

$x = \frac{\ln(10)}{\ln(2)} - 1 \approx 2{,}32$

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Aufgabe 8:

$\log_6(4) + 2 \cdot \log_6(3) - \log_6(2)$

Du wendest die Potenzregel auf den mittleren Term an:

$= \log_6(4) + \log_6(3^2) - \log_6(2) = \log_6(4) + \log_6(9) - \log_6(2)$

Du fasst mit Produkt- und Quotientenregel zusammen:

$= \log_6\!\left(\frac{4 \cdot 9}{2}\right) = \log_6(18)$

Da $6^1 = 6$ und $6^2 = 36$, liegt der Wert zwischen 1 und 2. Genauer: $\log_6(18) = \dfrac{\ln(18)}{\ln(6)} \approx 1{,}613147 \approx 1{,}61$. Der einzelne Logarithmus ist das exakte Ergebnis; die Dezimalzahl ist eine Näherung.

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Aufgabe 9:

a) Kontrolle nach vollständigen Verdopplungsperioden

Nach $n$ vollständigen Perioden gilt $P_n = 500 \cdot 2^n$. Gesucht ist die kleinste ganze Zahl $n \geq 0$ mit:

$500 \cdot 2^n > 100\,000 \quad \Leftrightarrow \quad 2^n > 200$

Weil der natürliche Logarithmus streng steigt und $\ln(2) > 0$ ist, folgt:

$n > \frac{\ln(200)}{\ln(2)} \approx 7{,}643856$

Die erste passende ganze Zahl ist $n = 8$. Das entspricht $8 \cdot 30 = 240$ Minuten, also 4 Stunden.

Kontrolle: Nach 7 Perioden sind es $500 \cdot 2^7 = 64\,000$, nach 8 Perioden $500 \cdot 2^8 = 128\,000$. Erst die zweite Zahl liegt über 100 000.

b) Kontinuierliches Modell

Für den Zeitpunkt $t_*$, an dem der Modellwert genau 100 000 beträgt, gilt:

$500 \cdot 2^{t_*/30} = 100\,000$

$\frac{t_*}{30} = \frac{\ln(200)}{\ln(2)}$

$t_* = 30 \cdot \frac{\ln(200)}{\ln(2)} \approx 229{,}315686\ \text{Minuten}$

Genau bei $t_*$ beträgt der Modellwert 100 000. Für $t > t_*$ liegt er darüber. Die erste ganze Minute danach ist Minute 230.

Der Unterschied: In a) werden nur die Zeitpunkte 0, 30, 60, … Minuten betrachtet. Das kontinuierliche Modell in b) beschreibt auch Zeiten dazwischen. Eine Verdopplungszeit allein legt noch nicht fest, welches dieser Modelle die Aufgabe verwenden soll.

Abb. 4: Das kontinuierliche Modell (grau) erreicht 100 000 bei $t_* \approx 229{,}3$ Minuten. Die Kontrollen alle 30 Minuten (blau) zeigen das erst nach 240 Minuten: Nach 210 Minuten sind es 64 000, nach 240 Minuten 128 000.

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Aufgabe 10:

Der jährliche Faktor ist $q = 0{,}88$. Gesucht ist die kleinste ganze Jahreszahl $n \geq 0$, für die gilt:

$200 \cdot 0{,}88^n < 50 \quad \Leftrightarrow \quad 0{,}88^n < 0{,}25$

Beim Anwenden des streng steigenden natürlichen Logarithmus bleibt die Richtung erhalten:

$n \cdot \ln(0{,}88) < \ln(0{,}25)$

Erst beim Dividieren durch die negative Zahl $\ln(0{,}88)$ dreht sich das Ungleichheitszeichen um:

$n > \frac{\ln(0{,}25)}{\ln(0{,}88)} \approx 10{,}844542$

Die kleinste passende ganze Jahreszahl ist $n = 11$.

• Nach 10 Jahren: $200 \cdot 0{,}88^{10} \approx 55{,}70\ \text{g}$, also noch mehr als 50 g.
• Nach 11 Jahren: $200 \cdot 0{,}88^{11} \approx 49{,}02\ \text{g}$, also weniger als 50 g.

Abb. 5: Weil die Menge abnimmt, liegt sie erst nach der Grenze $t \approx 10{,}84$ unter 50 g. Die Grenze liegt zwischen zwei Messungen. Erst die Messung am Ende von Jahr 11 zeigt weniger als 50 g.

Antwort: Bei der Messung am Ende des 11. Jahres sind erstmals weniger als 50 g übrig.

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Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport