Was sind Terme? Rechenausdrücke einfach erklärt

Darum geht's

Stell dir vor, du gehst mit deinen Freunden in die Bäckerei. Jeder möchte ein Brötchen und ein Stück Kuchen kaufen. Du weisst noch nicht genau, wie viele Freunde mitkommen – vielleicht drei, vielleicht fünf.

Wie würdest du dem Bäcker erklären, was du brauchst, ohne die genaue Anzahl zu kennen? Du könntest sagen: “Für jede Person ein Brötchen und ein Stück Kuchen.”

Diese Art, etwas zu beschreiben, ohne schon alle Zahlen zu kennen, ist genau das, was Mathematiker mit Termen machen. Ein Term ist wie ein Rezept: Er zeigt dir, was du rechnen sollst – und später setzt du die konkreten Zahlen ein.

Eine kleine Zeitreise

Menschen rechnen schon seit Jahrtausenden – aber Buchstaben in der Mathematik zu verwenden, das ist eine vergleichsweise junge Idee. Sie hat eine spannende Geschichte, die zeigt, warum Terme so nützlich sind.

Die Babylonier (vor ca. 4000 Jahren) lösten Gleichungen, die wir heute mit Termen beschreiben würden. Sie hatten aber noch keine Buchstaben. Sie schrieben alles in Worten: “Eine Zahl, zu der du die Hälfte der Zahl addierst, ergibt 21. Was ist die Zahl?” Das war mühsam und unübersichtlich.

Die Griechen (vor ca. 2500 Jahren) dachten geometrisch. Für sie war eine unbekannte Grösse einfach eine Strecke, kein Buchstabe. Algebra spielte sich auf Papyrus und in Figuren ab, nicht in Formeln.

Al-Khwarizmi (ca. 780–850 n. Chr.), ein persischer Mathematiker, gilt als Vater der Algebra. Sein Buch Al-Kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr wal-muqabala ist legendär. Unser Wort “Algebra” stammt direkt aus dem Titel dieses Buches, aus dem arabischen Wort al-jabr. Al-Khwarizmi löste Gleichungen systematisch – aber noch immer in Worten, nicht mit Symbolen.

François Viète (1540–1603), ein französischer Mathematiker, brachte den entscheidenden Durchbruch. Er führte als Erster konsequent Buchstaben für unbekannte Grössen ein. Damit konnten allgemeine Rechenregeln aufgeschrieben werden, die für viele verschiedene Zahlen gleichzeitig gelten.

René Descartes (1596–1650) verfeinerte das System und führte die Konvention ein, die wir noch heute benutzen: Buchstaben am Anfang des Alphabets ($a$, $b$, $c$) für bekannte Grössen, Buchstaben am Ende ($x$, $y$, $z$) für Unbekannte.

Diese Geschichte zeigt: Terme sind keine willkürliche Erfindung der Schule. Sie sind das Ergebnis von Jahrtausenden menschlicher Kreativität – ein Werkzeug, das die Mathematik von einzelnen Rechnungen zu allgemeinen Gesetzen gehoben hat.

Die Grundlagen

Kehren wir zur Bäckerei zurück. Ein Brötchen kostet 0,50 CHF und ein Stück Kuchen 2 CHF. Du weisst noch nicht, wie viele Personen mitkommen. Diese unbekannte Anzahl nennst du $n$.

Für jede Person zahlst du: $0{,}50 + 2{,}00 = 2{,}50$ CHF

Für $n$ Personen zahlst du also: $n \cdot 2{,}50$ CHF

Der Ausdruck $n \cdot 2{,}50$ ist ein Term. Er beschreibt eine Rechnung, bei der noch nicht alle Werte feststehen.

Definition

Ein Term ist ein sinnvoller mathematischer Ausdruck, der aus Zahlen, Variablen und Rechenzeichen zusammengesetzt ist.

• Zahlen (z. B. $5$, $3$, $2{,}50$) heissen Konstanten – sie ändern sich nicht.
• Buchstaben (z. B. $x$, $n$, $a$) heissen Variablen – sie sind Platzhalter für Zahlen.
• Rechenzeichen ($+$, $-$, $\cdot$, $:$) verbinden alles zu einem Ausdruck.

Beispiele für Terme: $5 + 3$, $\; x \cdot 4$, $\; 2a + 7$, $\; \dfrac{n}{2} - 1$

Kein Term sind: $= 7$ (kein linker Teil), $\; + \cdot x$ (zwei Rechenzeichen hintereinander ohne Zahl), $\; \dfrac{x}{0}$ (Division durch null ist verboten).

Stell dir einen Term wie einen Baukasten vor. Du hast verschiedene Bausteine: Zahlensteine, Buchstabensteine und Verbindungssteine. Diese kannst du zu Rechenvorschriften zusammensetzen. Der Term $3x + 7$ besteht aus dem Baustein $3x$ – also “drei mal die unbekannte Zahl” – verbunden durch $+$ mit dem Baustein $7$.

Jeder Baustein hat seinen eigenen Namen. Der Ausdruck $3x + 7$ hat zwei Summanden: $3x$ und $7$. Den Summanden $3x$ nennt man auch ein Produkt aus der Zahl $3$ (dem Koeffizienten) und der Variablen $x$.

Die Kernmethode

Wenn du für die Variable eine konkrete Zahl einsetzt, berechnest du den Termwert. Das Einsetzen folgt immer dem gleichen Prinzip.

Definition

Um den Termwert eines Terms zu berechnen, setzt du für jede Variable die gegebene Zahl ein und rechnest anschliessend nach den üblichen Regeln:

1. Einsetzen: Ersetze den Buchstaben durch die Zahl (in Klammern, wenn die Zahl negativ ist).
2. Klammern auflösen (falls vorhanden).
3. Punkt vor Strich: Rechne Multiplikation und Division vor Addition und Subtraktion.
4. Von links nach rechts beim gleichen Rang.

Beispiel: Term $3x + 2$ für $x = 4$:

$3 \cdot 4 + 2 = 12 + 2 = 14$

Beim Aufstellen von Termen aus Textaufgaben übersetzt du Wörter in Rechenzeichen:

• “und”, “dazu”, “mehr als” → $+$
• “weniger”, “minus”, “abziehen” → $-$
• “mal”, “pro”, “je”, “das Doppelte” → $\cdot$
• “geteilt”, “aufteilen”, “die Hälfte” → $:$ oder Bruchstrich

Das unsichtbare Malzeichen ist ein wichtige Konvention: $3 \cdot x$ schreibt man kurz als $3x$. Das spart Platz und macht Terme übersichtlicher. Zwischen zwei Variablen gilt das gleiche: $a \cdot b = ab$.

Beispiel:

Beispiel 1: Einen einfachen Term berechnen

Gegeben ist der Term $2x + 5$. Berechne den Termwert für $x = 3$.

Lösung:

1. Setze $3$ für $x$ ein: $2 \cdot 3 + 5$
2. Rechne die Multiplikation zuerst (Punkt vor Strich): $6 + 5$
3. Rechne die Addition: $11$

Der Termwert ist $\mathbf{11}$.

Probe auf Sinnhaftigkeit: Ein Term wie $2x + 5$ wächst mit zunehmendem $x$. Für $x = 0$ wäre der Wert $5$, für $x = 3$ ist er $11$. Das ist um $6$ mehr – nämlich $2 \cdot 3 = 6$. Das passt.

Beispiel:

Beispiel 2: Term mit verschiedenen Werten

Gegeben ist der Term $4a - 10$. Berechne den Termwert für $a = 2$ und für $a = -3$.

Lösung für $a = 2$:

1. Einsetzen: $4 \cdot 2 - 10$
2. Multiplikation zuerst: $8 - 10$
3. Subtraktion: $-2$

Der Termwert ist $\mathbf{-2}$.

Lösung für $a = -3$:

1. Einsetzen (negative Zahl in Klammern!): $4 \cdot (-3) - 10$
2. Multiplikation: $-12 - 10$
3. Subtraktion: $-22$

Der Termwert ist $\mathbf{-22}$.

Merke: Negative Zahlen immer in Klammern setzen beim Einsetzen. So vermeidest du Vorzeichenfehler.

Die häufigsten Stolpersteine

Beim Arbeiten mit Termen schleichen sich immer wieder die gleichen Fehler ein. Hier sind die vier häufigsten – und wie du sie vermeidest.

Achtung

Stolperstein 1 – Reihenfolge bei Subtermen: “5 weniger als $x$” bedeutet $x - 5$, nicht $5 - x$. Die Frage ist immer: Von welcher Grösse wird etwas abgezogen? Lies den Satz langsam und überlege, wer die “grössere” Grösse ist.

Achtung

Stolperstein 2 – Das unsichtbare Malzeichen: $3x$ bedeutet $3 \cdot x$, nicht $3 + x$ und nicht eine zweistellige Zahl “dreiunddreissig”. Sobald eine Zahl direkt vor einem Buchstaben steht, ist das eine Multiplikation.

Achtung

Stolperstein 3 – Fehlende Klammern: “Das Doppelte der Summe von $x$ und $5$” ist $2 \cdot (x + 5)$, nicht $2x + 5$. Ohne Klammern wird nur $x$ verdoppelt, nicht die ganze Summe. Immer fragen: Was genau wird verdoppelt, halbiert oder mit etwas multipliziert?

Achtung

Stolperstein 4 – Punkt-vor-Strich vergessen: Im Term $3 + 2 \cdot x$ wird zuerst $2 \cdot x$ gerechnet, dann erst die Addition mit $3$. Für $x = 4$ ergibt das $3 + 8 = 11$, nicht $(3 + 2) \cdot 4 = 20$. Punkt-vor-Strich gilt auch dann, wenn du Variablen einsetzt.

Beispiel:

Beispiel 3: Term aufstellen – Textaufgabe

Ein Schwimmbad kostet 4 CHF Eintritt pro Person. Für eine Gruppe gibt es zusätzlich 3 CHF Rabatt auf den Gesamtpreis. Stelle einen Term für den Gesamtpreis einer Gruppe auf. Berechne den Preis für 7 Personen.

Lösung:

1. Die unbekannte Grösse ist die Personenanzahl. Wähle die Variable $p$.
2. Pro Person kostet es 4 CHF, also für $p$ Personen: $4p$
3. Es gibt 3 CHF Rabatt (Abzug): $4p - 3$

Der Term lautet: $4p - 3$

Für 7 Personen:

$4 \cdot 7 - 3 = 28 - 3 = 25 \text{ CHF}$

Probe: Ohne Rabatt würden 7 Personen $4 \cdot 7 = 28$ CHF zahlen. Mit 3 CHF Rabatt sind es $25$ CHF. Das ergibt Sinn. ✓

Beispiel:

Beispiel 4: Transfer – Zwei Variablen

Emma und Finn kaufen Stifte. Emma kauft $e$ rote Stifte zu je 1,20 CHF. Finn kauft $f$ blaue Stifte zu je 0,80 CHF. Stelle einen Term für den gemeinsamen Gesamtpreis auf. Berechne den Preis, wenn Emma 3 und Finn 5 Stifte kauft.

Lösung:

1. Emmas Anteil: $e$ Stifte zu je 1,20 CHF → Term: $1{,}20 \cdot e$
2. Finns Anteil: $f$ Stifte zu je 0,80 CHF → Term: $0{,}80 \cdot f$
3. Gemeinsam addiert: $1{,}20e + 0{,}80f$

Der Term lautet: $1{,}20e + 0{,}80f$

Einsetzen für $e = 3$ und $f = 5$:

$1{,}20 \cdot 3 + 0{,}80 \cdot 5 = 3{,}60 + 4{,}00 = 7{,}60 \text{ CHF}$

Merke: Terme können mehrere Variablen enthalten. Jede Variable steht für eine andere unbekannte Grösse.

Vertiefung

Du hast gelernt, was Terme sind und wie du Termwerte berechnest. Jetzt schauen wir uns an, was passiert, wenn Terme vereinfacht werden können – und warum das nützlich ist.

Viele Terme enthalten gleichartige Glieder, also Teile, die die gleiche Variable (oder gar keine Variable) haben. Diese kannst du zusammenfassen, genauso wie du Äpfel und Äpfel zusammenzählen kannst – aber nicht Äpfel und Birnen.

Definition

Gleichartige Glieder (auch: gleichartige Terme) sind Summanden, die die exakt gleiche Variable (bzw. keinen Buchstaben) haben.

Gleichartige Glieder dürfen addiert oder subtrahiert werden:

$3x + 5x = 8x \qquad \text{(beide Glieder enthalten } x\text{)}$

$7a - 2a + 4 = 5a + 4 \qquad \text{(die } a\text{-Glieder werden zusammengefasst)}$

Nicht zusammenfassbar sind ungleichartige Glieder:

$3x + 5y \quad \text{bleibt } 3x + 5y \qquad \text{(verschiedene Variablen)}$

$4a + 3 \quad \text{bleibt } 4a + 3 \qquad \text{(ein Glied mit } a\text{, eines ohne)}$

Das Zusammenfassen gleichartiger Glieder macht Terme kürzer und übersichtlicher. In der Algebra und später in der Gleichungslehre ist das eine unverzichtbare Fähigkeit.

Ein weiterer wichtiger Begriff ist der Wert eines Terms bei mehreren Variablen. Solche Terme begegnen dir zum Beispiel bei Flächenberechnungen: Die Fläche eines Rechtecks mit Seiten $a$ und $b$ ist der Term $a \cdot b$. Wenn $a = 5$ cm und $b = 3$ cm, dann berechnet sich die Fläche als $5 \cdot 3 = 15$ cm².

Terme bilden auch die Grundlage für Gleichungen – dort werden zwei Terme mit einem Gleichheitszeichen verbunden: $3x + 2 = 14$. Das Lösen solcher Gleichungen lernst du in der nächsten Einheit.

Beispiel:

Beispiel 5: Gleichartige Glieder zusammenfassen

Vereinfache den Term $5x + 3 + 2x - 1$ so weit wie möglich.

Lösung:

1. Erkenne die Glieder: $5x$, $+3$, $+2x$, $-1$
2. Sortiere nach gleichartigen Gliedern:
   • Glieder mit $x$: $5x$ und $2x$
   • Zahlen ohne Variable: $3$ und $-1$
3. Fasse zusammen:

$5x + 2x = 7x$

$3 + (-1) = 3 - 1 = 2$

4. Schreibe das Ergebnis:

$5x + 3 + 2x - 1 = 7x + 2$

Probe für $x = 1$: Ursprünglicher Term: $5 \cdot 1 + 3 + 2 \cdot 1 - 1 = 5 + 3 + 2 - 1 = 9$. Vereinfachter Term: $7 \cdot 1 + 2 = 9$. ✓ Die Probe stimmt.

Übungen

Die folgenden Aufgaben helfen dir, das Gelernte zu festigen. Sie beginnen einfach und werden schrittweise anspruchsvoller. Löse jede Aufgabe zuerst selbst, bevor du in die Lösungen schaust.

Stufe 1 – Termwert berechnen

Aufgabe 1: Berechne den Termwert des Terms $x + 9$ für $x = 5$.

Aufgabe 2: Berechne den Termwert des Terms $3n - 4$ für $n = 6$.

Aufgabe 3: Berechne den Termwert des Terms $2a + a$ für $a = 7$.

Stufe 2 – Terme aufstellen

Aufgabe 4: Übersetze in einen Term: “Eine Zahl $x$ wird mit $6$ multipliziert und dann $4$ abgezogen.”

Aufgabe 5: Übersetze in einen Term: “Das Dreifache einer Zahl $n$, vermehrt um $10$.”

Aufgabe 6: Ein Taxi kostet 3 CHF Grundgebühr plus 2 CHF pro Kilometer. Stelle einen Term für den Preis einer Fahrt von $k$ Kilometern auf. Wie viel kostet eine Fahrt von 8 km?

Stufe 3 – Gleichartige Glieder und Vereinfachen

Aufgabe 7: Vereinfache den Term $4x + 6 + x - 2$.

Aufgabe 8: Vereinfache den Term $8a - 3a + 5 + 2a - 1$.

Stufe 4 – Anspruchsvollere Aufgaben

Aufgabe 9: Ein Rechteck hat die Länge $l$ und die Breite $b$. Der Umfang eines Rechtecks berechnet sich als doppelte Länge plus doppelte Breite. Stelle den Term für den Umfang auf. Berechne den Umfang für $l = 8$ cm und $b = 5$ cm.

Aufgabe 10: Lena kauft $x$ Hefte zu je 1,50 CHF und $y$ Stifte zu je 0,80 CHF. Sie hat einen Gutschein von 2 CHF. Stelle einen Term für den Betrag auf, den sie nach Abzug des Gutscheins zahlt. Berechne den Betrag für $x = 4$ Hefte und $y = 3$ Stifte.

Das Wichtigste in Kürze

Ein Term ist ein mathematischer Ausdruck aus Zahlen, Variablen und Rechenzeichen. Variablen sind Buchstaben wie $x$, $n$ oder $a$ – sie stehen als Platzhalter für unbekannte oder veränderliche Zahlen.

Um den Termwert zu berechnen, setzt du eine Zahl für die Variable ein und rechnest dann nach Punkt-vor-Strich-Regel aus.

Terme stellst du auf, indem du eine Textsituation in Rechenzeichen übersetzt. Dabei gelten klare Zuordnungen: “mehr” bedeutet $+$, “weniger” bedeutet $-$, “je” oder “pro” bedeutet $\cdot$.

Gleichartige Glieder – also Teile mit der gleichen Variablen – können zusammengefasst werden. Das vereinfacht den Term.

Terme sind die Grundlage für Gleichungen, Formeln und fast alles in der weiterführenden Mathematik.

❓ Frage: Berechne den Termwert von $5x - 2$ für $x = 4$.

Lösung anzeigen

Einsetzen und ausrechnen: $5 \cdot 4 - 2 = 20 - 2 = \mathbf{18}$ Punkt-vor-Strich: Multiplikation zuerst, dann Subtraktion.

❓ Frage: Wie lautet der Term für: “Das Dreifache einer Zahl $n$, vermehrt um $7$”?

Lösung anzeigen

Der Term lautet $\mathbf{3n + 7}$. “Das Dreifache” bedeutet $3 \cdot n$, geschrieben als $3n$. “Vermehrt um” bedeutet $+7$.

❓ Frage: Ein Kinoticket kostet 9 CHF. Popcorn kostet 5 CHF. Stelle einen Term auf für ”$k$ Personen gehen ins Kino, und jede kauft Popcorn.” Wie viel zahlen 4 Personen?

Lösung anzeigen

Term: Pro Person kostet Ticket und Popcorn zusammen $9 + 5 = 14$ CHF. Für $k$ Personen: $14k$ Für 4 Personen: $14 \cdot 4 = \mathbf{56} \text{ CHF}$

❓ Frage: Vereinfache den Term $6x + 2 - 2x + 5$.

Lösung anzeigen

Gleichartige Glieder zusammenfassen:

• $x$-Glieder: $6x - 2x = 4x$
• Zahlen: $2 + 5 = 7$ Vereinfachter Term: $\mathbf{4x + 7}$ Probe für $x = 1$: Ursprünglich: $6 + 2 - 2 + 5 = 11$. Vereinfacht: $4 + 7 = 11$. ✓

❓ Frage: Welcher der folgenden Ausdrücke ist kein Term? A) $3x + 2$ B) $7 - n$ C) $= 5x$ D) $\dfrac{a}{4}$

Lösung anzeigen

Die Antwort ist C) $= 5x$. Ein Term darf kein Gleichheitszeichen enthalten. Das Gleichheitszeichen verbindet zwei Terme zu einer Gleichung. Der Ausdruck $= 5x$ beginnt mit einem Gleichheitszeichen und hat keinen linken Teil – das ist kein sinnvoller mathematischer Ausdruck. A, B und D sind korrekte Terme.

Ausblick

Terme sind das Fundament für fast alles, was in der Mathematik noch kommt. Schon bald wirst du Terme nicht nur berechnen, sondern in Gleichungen einsetzen: Zum Beispiel $3x + 2 = 14$ – und herausfinden, welchen Wert $x$ haben muss.

Später lernst du, Terme durch Ausklammern oder Ausmultiplizieren umzuformen. In der Geometrie wirst du Terme für Flächen und Umfänge aufstellen. In der Prozentrechnung sind Terme das Werkzeug, um allgemeine Formeln zu beschreiben.

Termine sind überall – in der Physik, der Informatik, der Wirtschaft. Mit diesem Artikel hast du den ersten, wichtigsten Schritt gemacht.

Lösungen

Aufgabe 1: Term $x + 9$ für $x = 5$

Einsetzen: $5 + 9 = 14$

Der Termwert ist $\mathbf{14}$.

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Aufgabe 2: Term $3n - 4$ für $n = 6$

Einsetzen: $3 \cdot 6 - 4$

Punkt-vor-Strich: $18 - 4 = 14$

Der Termwert ist $\mathbf{14}$.

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Aufgabe 3: Term $2a + a$ für $a = 7$

Zuerst vereinfachen: $2a + a = 3a$ (gleichartige Glieder)

Einsetzen: $3 \cdot 7 = 21$

Der Termwert ist $\mathbf{21}$.

Alternativ ohne Vereinfachen: $2 \cdot 7 + 7 = 14 + 7 = 21$. Gleiches Ergebnis. ✓

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Aufgabe 4: “Eine Zahl $x$ wird mit $6$ multipliziert und dann $4$ abgezogen.”

• ”$x$ wird mit $6$ multipliziert” → $6x$
• “dann $4$ abgezogen” → $- 4$

Term: $\mathbf{6x - 4}$

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Aufgabe 5: “Das Dreifache einer Zahl $n$, vermehrt um $10$.”

• “Das Dreifache von $n$” → $3n$
• “vermehrt um $10$” → $+ 10$

Term: $\mathbf{3n + 10}$

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Aufgabe 6: Taxi: 3 CHF Grundgebühr + 2 CHF pro km

• Grundgebühr: $3$ (konstant)
• Kilometerpreis für $k$ km: $2k$
• Zusammen: $3 + 2k$

Term: $\mathbf{2k + 3}$

Für 8 km: $2 \cdot 8 + 3 = 16 + 3 = 19$ CHF

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Aufgabe 7: Term $4x + 6 + x - 2$ vereinfachen

Gleichartige Glieder identifizieren:

• $x$-Glieder: $4x + x = 5x$
• Zahlen: $6 - 2 = 4$

Vereinfachter Term: $\mathbf{5x + 4}$

Probe für $x = 2$: Ursprünglich: $8 + 6 + 2 - 2 = 14$. Vereinfacht: $10 + 4 = 14$. ✓

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Aufgabe 8: Term $8a - 3a + 5 + 2a - 1$ vereinfachen

Gleichartige Glieder identifizieren:

• $a$-Glieder: $8a - 3a + 2a = 7a$
• Zahlen: $5 - 1 = 4$

Vereinfachter Term: $\mathbf{7a + 4}$

Probe für $a = 1$: Ursprünglich: $8 - 3 + 5 + 2 - 1 = 11$. Vereinfacht: $7 + 4 = 11$. ✓

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Aufgabe 9: Umfang eines Rechtecks mit Länge $l$ und Breite $b$

• Doppelte Länge: $2l$
• Doppelte Breite: $2b$
• Umfang: $2l + 2b$

Term: $\mathbf{2l + 2b}$

Für $l = 8$ cm und $b = 5$ cm:

$2 \cdot 8 + 2 \cdot 5 = 16 + 10 = 26 \text{ cm}$

Der Umfang beträgt $\mathbf{26}$ cm.

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Aufgabe 10: Lena: $x$ Hefte à 1,50 CHF, $y$ Stifte à 0,80 CHF, Gutschein 2 CHF

• Hefte: $1{,}50x$
• Stifte: $0{,}80y$
• Abzug Gutschein: $-2$

Term: $\mathbf{1{,}50x + 0{,}80y - 2}$

Für $x = 4$ und $y = 3$:

$1{,}50 \cdot 4 + 0{,}80 \cdot 3 - 2 = 6{,}00 + 2{,}40 - 2 = 6{,}40 \text{ CHF}$

Lena zahlt $\mathbf{6{,}40}$ CHF.

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Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport