Potenzfunktionen mit negativen Exponenten: So meisterst du 1/x und Co.

Weiterführend:

• Zur Kapitelübersicht „Funktionstypen”
• Vorwissen: Potenzfunktionen einfach erklärt
• Verwandt: Exponentialfunktionen einfach erklärt
• Als Nächstes: Ganzrationale Funktionen einfach erklärt

Darum geht's

Stell dir vor, du planst eine Autofahrt von Zürich nach Bern – etwa 120 Kilometer. Mit 60 km/h brauchst du 2 Stunden. Fährst du doppelt so schnell, bist du in 1 Stunde am Ziel. Bei 180 km/h sind es nur noch 40 Minuten. Je schneller du fährst, desto kürzer wird die Fahrzeit – aber nicht gleichmässig, sondern auf eine ganz besondere Weise. Genau diese Beziehung zwischen Geschwindigkeit und Zeit beschreibt die Mathematik mit sogenannten Potenzfunktionen mit negativen Exponenten. Sie stecken überall in deinem Alltag: in der Helligkeit einer Lampe, in der Lautstärke von Musik, in der Schwerkraft der Planeten. In diesem Artikel lernst du, wie du sie erkennst, zeichnest und meisterst.

📋Lehrplan 21Zyklus 3 (7.–9. Klasse) · 9Kompetenzen

• MA.1.A.1.iGrundanspruchBegriffe Term, Variable, Unbekannte, hoch, Potenz, Zehnerpotenz, Vorzeichen, positive/negative Zahlen, (Quadrat-)Wurzel (Erw: Basis, Exponent); Symbole √, ≤, ≥; Zahlen bis 1 Milliarde lesen und schreiben
• MA.3.A.3.hGrundanspruchZu einer Funktionsgleichung Wertepaare bestimmen und in einem Koordinatensystem einzeichnen
• MA.3.C.2.gGrundanspruchAbhängigkeit zweier Grössen mit Funktionsgraph darstellen; Graphenverläufe interpretieren (Erw: geeignete Skalierung wählen; lineare funktionale Zusammenhänge mit Term beschreiben)
• MA.1.A.1.jZahlen in wissenschaftlicher Schreibweise mit positiven Exponenten lesen/schreiben; Potenzen mit rationaler Basis und natürlichem Exponenten
• MA.1.A.1.kBegriffe natürliche Zahlen, ganze Zahlen, rationale Zahlen, Kehrwert, 3. Wurzel; wissenschaftliche Schreibweise mit negativen Exponenten
• MA.1.A.4.lQuadratische Gleichungen durch Faktorzerlegung lösen; binomische Formeln anwenden; Rechenregeln Potenz vor Punkt vor Strich
• MA.1.A.4.mBruchterme mit Binomen umformen; Rechengesetze bei Potenzen, Wurzeln und wissenschaftlicher Schreibweise; Bruchgleichungen und Gleichungen mit Parameter lösen; lineare Gleichungssysteme mit 2 Unbekannten
• MA.3.A.3.iFunktionswert zu einer gegebenen Zahl aus Wertetabelle, Graph und Funktionsgleichung bestimmen (z.B. y = 2x + 1, x = 7 → y = 15); Rechner/Software für Funktionswerte nutzen; Sachaufgaben mit Prozentangaben lösen (Steigung, Zins)
• MA.3.C.2.hWertetabellen, Diagramme, Sachtexte, Terme und Graphen einander zuordnen und interpretieren; Sachsituationen nach funktionalen, statistischen und probabilistischen Gesichtspunkten bearbeiten

Quelle: Aargauer Lehrplan Volksschule, Fachbereich Mathematik (August 2022)

Eine kleine Zeitreise

Die Idee der negativen Exponenten ist überraschend jung. Lange Zeit kannte die Mathematik nur positive ganze Zahlen als Exponenten. Schon die alten Ägypter und Babylonier rechneten mit Brüchen wie $\dfrac{1}{x}$, aber niemand nannte das “Potenz mit Exponent $-1$”. Die elegante Schreibweise fehlte noch.

Ein grosser Durchbruch gelang dem englischen Mathematiker John Wallis im Jahr 1655. In seinem Werk Arithmetica Infinitorum erweiterte er die Idee der Potenzen zum ersten Mal auf negative und gebrochene Exponenten. Er erkannte: Wenn $x^3 \cdot x^2 = x^5$ gilt, dann muss logisch auch $x^3 \cdot x^{-3} = x^0 = 1$ sein. Daraus folgt zwingend $x^{-3} = \dfrac{1}{x^3}$.

Isaac Newton griff diese Idee wenige Jahre später auf. Er formulierte seinen berühmten binomischen Satz so allgemein, dass er auch für negative und gebrochene Exponenten funktioniert. Diese Verallgemeinerung war einer der Grundpfeiler der modernen Analysis.

Gleichzeitig entdeckten Naturforscher überall Gesetze mit negativen Exponenten. Johannes Kepler fand 1619 heraus: Die Anziehungskraft zwischen Himmelskörpern nimmt mit dem Quadrat der Entfernung ab. Newton goss diese Idee 1687 in die Formel

$F = G \cdot \dfrac{m_1 \cdot m_2}{r^2}$

Hier steckt ein $r^{-2}$ im Kern der Physik. Auch Charles Augustin de Coulomb entdeckte 1785 das gleiche Muster für elektrische Ladungen. Wer den Himmel oder den Atomkern verstehen will, braucht Potenzfunktionen mit negativen Exponenten. Ohne diese Funktionen gäbe es weder Astronomie noch moderne Elektrotechnik.

Die Grundlagen

Kehren wir zur Autofahrt zurück. Die Formel für die Fahrzeit lautet:

$t = \dfrac{s}{v}$

Dabei ist $t$ die Zeit, $s$ die Strecke und $v$ die Geschwindigkeit. Wenn die Strecke feststeht (zum Beispiel $s = 120 \, \text{km}$), dann gilt:

$t = \dfrac{120}{v} = 120 \cdot v^{-1}$

Hier taucht er auf: der negative Exponent. Die Variable $v$ steht im Nenner, und das drücken wir mathematisch durch $v^{-1}$ aus.

Ein negativer Exponent bedeutet nichts anderes als “eins durch”:

$x^{-n} = \dfrac{1}{x^n}$

Das gilt für alle natürlichen Zahlen $n$ und alle $x \neq 0$. Hier einige Beispiele:

• $x^{-1} = \dfrac{1}{x}$
• $x^{-2} = \dfrac{1}{x^2}$
• $x^{-3} = \dfrac{1}{x^3}$
• $5^{-2} = \dfrac{1}{5^2} = \dfrac{1}{25} = 0{,}04$

Definition

Eine Potenzfunktion mit negativem Exponenten hat die Form $f(x) = x^{-n}$ oder gleichwertig $f(x) = \dfrac{1}{x^n}$, wobei $n$ eine positive ganze Zahl ist. Der Definitionsbereich ist $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{0\}$, denn eine Division durch Null ist nicht erlaubt. Diese Funktionen beschreiben Zusammenhänge, bei denen eine Grösse abnimmt, wenn eine andere zunimmt – und zwar nicht linear, sondern immer schneller am Anfang und immer langsamer am Ende.

Merke dir: Jeder Ausdruck mit negativem Exponenten lässt sich als Bruch schreiben und umgekehrt. Das ist der Schlüssel zum Verstehen dieser Funktionen.

Die Kernmethode

Lass uns die wichtigsten Vertreter dieser Funktionsfamilie systematisch kennenlernen. Der entscheidende Trick beim Zeichnen: Wir unterscheiden zwischen ungeraden und geraden negativen Exponenten, denn sie verhalten sich grundlegend verschieden.

Ungerade negative Exponenten: $f(x) = x^{-1}, \, x^{-3}, \, x^{-5}, \ldots$

Setzt du eine negative Zahl ein, bleibt das Ergebnis negativ. Beispiel: $(-2)^{-3} = \dfrac{1}{(-2)^3} = -\dfrac{1}{8}$. Der Graph liegt im 1. und 3. Quadranten. Er ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

Gerade negative Exponenten: $f(x) = x^{-2}, \, x^{-4}, \, x^{-6}, \ldots$

Setzt du eine negative Zahl ein, wird das Ergebnis positiv. Beispiel: $(-2)^{-2} = \dfrac{1}{(-2)^2} = \dfrac{1}{4}$. Der Graph liegt komplett oberhalb der $x$-Achse. Er ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse.

Definition

Jede Potenzfunktion $f(x) = x^{-n}$ mit $n \in \mathbb{N}$ hat folgende Eigenschaften:

• Definitionsbereich: $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{0\}$
• Wertebereich: $\mathbb{W} = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ (bei ungeradem $n$), $\mathbb{W} = \mathbb{R}^+$ (bei geradem $n$)
• Keine Nullstellen, denn $\dfrac{1}{x^n}$ wird nie null.
• Zwei Asymptoten: die $x$-Achse (waagerecht) und die $y$-Achse (senkrecht). Diese berührt der Graph nie.
• Symmetrie: punktsymmetrisch zu $(0|0)$ bei ungeradem $n$, achsensymmetrisch zur $y$-Achse bei geradem $n$.

Die Kernmethode zum Zeichnen: Wertetabelle mit positiven $x$-Werten erstellen, dann über die Symmetrie den zweiten Ast ergänzen. Das spart Arbeit und schützt vor Vorzeichenfehlern.

Beispiel:

Beispiel 1: Wertetabelle und Graph von $f(x) = x^{-1}$

Aufgabe: Erstelle eine Wertetabelle für $f(x) = x^{-1}$ und skizziere den Graphen.

Lösung:

Schritt 1: Wähle sinnvolle $x$-Werte. Nimm sowohl Werte nahe bei null (zum Beispiel $0{,}5$) als auch weit entfernte (zum Beispiel $4$).

Schritt 2: Berechne die Funktionswerte über die Beziehung $f(x) = \dfrac{1}{x}$.

Für $x = 2$: $f(2) = \dfrac{1}{2} = 0{,}5$.

Für $x = 0{,}25$: $f(0{,}25) = \dfrac{1}{0{,}25} = 4$.

Für $x = -3$: $f(-3) = \dfrac{1}{-3} \approx -0{,}33$.

Schritt 3: Trage die Werte in die Tabelle ein.

$x$	$-3$	$-1$	$-0{,}5$	$0{,}5$	$1$	$3$
$f(x)$	$-0{,}33$	$-1$	$-2$	$2$	$1$	$0{,}33$

Schritt 4: Zeichne die Punkte ein und verbinde sie. Du erhältst eine Hyperbel mit zwei Ästen im 1. und 3. Quadranten.

Beispiel:

Beispiel 2: Funktionswerte bei geradem negativem Exponenten

Aufgabe: Berechne $f(-3)$ und $f(3)$ für $f(x) = x^{-4}$ und erkläre dein Ergebnis. Bestimme zusätzlich $f(0{,}5)$.

Lösung:

Schritt 1: Wandle den negativen Exponenten in einen Bruch um.

$f(x) = x^{-4} = \dfrac{1}{x^4}$

Schritt 2: Setze die Werte ein.

Für $x = 3$:

$f(3) = \dfrac{1}{3^4} = \dfrac{1}{81} \approx 0{,}0123$

Für $x = -3$:

$f(-3) = \dfrac{1}{(-3)^4} = \dfrac{1}{81} \approx 0{,}0123$

Für $x = 0{,}5$:

$f(0{,}5) = \dfrac{1}{(0{,}5)^4} = \dfrac{1}{0{,}0625} = 16$

Schritt 3: Interpretiere.

Beide Werte $f(3)$ und $f(-3)$ sind identisch. Das liegt daran, dass $(-3)^4 = 81 = 3^4$. Bei geraden Exponenten verschwindet das Minuszeichen. Deshalb ist $f(x) = x^{-4}$ achsensymmetrisch zur $y$-Achse.

Beachte auch: Je näher $x$ bei null liegt, desto grösser wird $f(x)$. Bei $x = 0{,}5$ erreicht die Funktion bereits den Wert 16.

Die häufigsten Stolpersteine

Auf dem Weg zu sicheren Lösungen lauern einige Fallstricke. Wenn du sie kennst, sparst du dir viele Punkte in der Prüfung.

Achtung

Stolperstein 1: Division durch Null vergessen. Viele setzen $x = 0$ in $f(x) = x^{-2}$ ein und wundern sich über einen Fehler im Rechner. Merke: Bei Potenzfunktionen mit negativen Exponenten ist $x = 0$ niemals im Definitionsbereich. Schreibe immer $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ explizit in deine Lösung. Das gibt extra Punkte und schützt vor Folgefehlern.

Achtung

Stolperstein 2: Vorzeichen bei ungeraden Exponenten. Bei $f(x) = x^{-3}$ gilt $f(-2) = \dfrac{1}{(-2)^3} = \dfrac{1}{-8} = -\dfrac{1}{8}$. Das Minuszeichen bleibt erhalten, weil die Klammer hoch 3 ungerade bleibt. Rechne immer zuerst die Potenz in der Klammer aus, dann bilde den Kehrwert. Niemals das Minuszeichen einfach unterschlagen.

Achtung

Stolperstein 3: Symmetrie falsch bestimmen. Ungerade Exponenten erzeugen Punktsymmetrie zum Ursprung. Gerade Exponenten erzeugen Achsensymmetrie zur $y$-Achse. Ein sicherer Test: Setze $-x$ ein. Gilt $f(-x) = f(x)$, liegt Achsensymmetrie vor. Gilt $f(-x) = -f(x)$, liegt Punktsymmetrie vor. Probier es immer aus, statt nur zu raten.

Achtung

Stolperstein 4: Asymptoten berühren. Ein häufiger Zeichenfehler: Der Graph “tippt” die Achsen an. Das ist falsch. Eine Asymptote wird nie berührt, egal wie lange du den Graphen verlängerst. Bei $f(1000) = 0{,}001$ ist der Wert extrem klein, aber nicht null. Zeichne den Graphen immer so, dass er sich den Achsen nur annähert.

Beispiel:

Beispiel 3: Symmetrie rechnerisch nachweisen

Aufgabe: Weise rechnerisch nach, dass $f(x) = x^{-3}$ punktsymmetrisch zum Ursprung ist. Zeige dann, dass $g(x) = x^{-4}$ achsensymmetrisch zur $y$-Achse ist.

Lösung für $f(x) = x^{-3}$:

Eine Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn $f(-x) = -f(x)$ gilt.

Schritt 1: Berechne $f(-x)$.

$f(-x) = (-x)^{-3} = \dfrac{1}{(-x)^3} = \dfrac{1}{-x^3} = -\dfrac{1}{x^3}$

Schritt 2: Berechne $-f(x)$.

$-f(x) = -x^{-3} = -\dfrac{1}{x^3}$

Schritt 3: Vergleiche beide Ausdrücke.

$f(-x) = -\dfrac{1}{x^3} = -f(x) \quad \checkmark$

Die Bedingung ist erfüllt. Also ist $f(x) = x^{-3}$ punktsymmetrisch zum Ursprung.

Lösung für $g(x) = x^{-4}$:

$g(-x) = (-x)^{-4} = \dfrac{1}{(-x)^4} = \dfrac{1}{x^4} = g(x) \quad \checkmark$

Also ist $g(x) = x^{-4}$ achsensymmetrisch zur $y$-Achse.

Beispiel:

Beispiel 4: Anwendung – Beleuchtungsstärke

Aufgabe: Die Beleuchtungsstärke $E$ einer Punktlichtquelle nimmt mit dem Quadrat der Entfernung $r$ ab. Es gilt $E(r) = \dfrac{k}{r^2}$ mit einer Konstante $k$. In 2 Metern Entfernung beträgt die Beleuchtungsstärke 100 Lux. Wie gross ist sie in 4 Metern Entfernung? Wann wird sie nur noch 1 Lux betragen?

Lösung:

Schritt 1: Bestimme die Konstante $k$ aus dem Anfangswert.

Gegeben: $E(2) = 100$, also:

$100 = \dfrac{k}{2^2} = \dfrac{k}{4}$

Daraus folgt: $k = 400$.

Schritt 2: Die vollständige Funktion lautet $E(r) = \dfrac{400}{r^2} = 400 \cdot r^{-2}$.

Schritt 3: Berechne $E(4)$.

$E(4) = \dfrac{400}{4^2} = \dfrac{400}{16} = 25 \, \text{Lux}$

Schritt 4: Finde $r$, sodass $E(r) = 1$.

$1 = \dfrac{400}{r^2} \quad \Rightarrow \quad r^2 = 400 \quad \Rightarrow \quad r = 20 \, \text{m}$

Antwort: In 4 Metern Entfernung beträgt die Beleuchtungsstärke 25 Lux. Sie hat sich also auf ein Viertel reduziert, obwohl sich die Entfernung nur verdoppelt hat. Erst in 20 Metern Entfernung sinkt sie auf 1 Lux.

Vertiefung: Verschiebungen und Streckungen

Bisher hast du die Grundform $f(x) = x^{-n}$ kennengelernt. In der Praxis – besonders in der Physik – treten Potenzfunktionen aber oft in einer allgemeineren Form auf. Sie sind gestreckt, gestaucht oder verschoben.

Definition

Eine allgemeine Potenzfunktion mit negativem Exponenten hat die Form

$f(x) = a \cdot (x - d)^{-n} + c$

Dabei bedeuten die Parameter:

• $a$: Streckfaktor. $|a| > 1$ streckt den Graphen, $|a| < 1$ staucht ihn. Negatives $a$ spiegelt an der $x$-Achse.
• $d$: Horizontale Verschiebung. Die senkrechte Asymptote wandert von $x = 0$ nach $x = d$.
• $c$: Vertikale Verschiebung. Die waagerechte Asymptote wandert von $y = 0$ nach $y = c$.
• $n$: natürliche Zahl, bestimmt die Grundgestalt.

Ein Beispiel: Die Funktion $f(x) = \dfrac{2}{x - 3} + 1$ lässt sich als $f(x) = 2 \cdot (x - 3)^{-1} + 1$ schreiben. Ihre Asymptoten sind $x = 3$ (senkrecht) und $y = 1$ (waagerecht).

Ein weiterer wichtiger Aspekt ist das Grenzverhalten. Für sehr grosse $x$ nähert sich $f(x) = x^{-n}$ dem Wert null. Für $x$-Werte nahe bei null wird $|f(x)|$ beliebig gross. Das schreibt man mit Grenzwerten so:

$\lim_{x \to \infty} \dfrac{1}{x^n} = 0 \quad \text{und} \quad \lim_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x^n} = \infty$

Dieses Verhalten unterscheidet Potenzfunktionen mit negativen Exponenten grundlegend von Polynomfunktionen. Es macht sie perfekt, um physikalische Abstandsgesetze zu modellieren.

Beispiel:

Beispiel 5: Verschobene Hyperbel analysieren

Aufgabe: Gegeben ist die Funktion $f(x) = \dfrac{3}{x - 2} - 1$. Bestimme den Definitionsbereich, die Asymptoten und den $y$-Achsenabschnitt. Entscheide, ob der Graph durch den Punkt $P(5 | 0)$ verläuft.

Lösung:

Schritt 1: Schreibe die Funktion mit negativem Exponenten.

$f(x) = 3 \cdot (x - 2)^{-1} - 1$

Parameter: $a = 3$, $d = 2$, $c = -1$, $n = 1$.

Schritt 2: Bestimme den Definitionsbereich.

Der Nenner darf nicht null werden: $x - 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$. Also $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{2\}$.

Schritt 3: Bestimme die Asymptoten.

• Senkrechte Asymptote: $x = 2$.
• Waagerechte Asymptote: $y = -1$.

Schritt 4: Berechne den $y$-Achsenabschnitt mit $x = 0$.

$f(0) = \dfrac{3}{0 - 2} - 1 = \dfrac{3}{-2} - 1 = -1{,}5 - 1 = -2{,}5$

Der Graph schneidet die $y$-Achse bei $(0 | -2{,}5)$.

Schritt 5: Prüfe Punkt $P(5 | 0)$.

$f(5) = \dfrac{3}{5 - 2} - 1 = \dfrac{3}{3} - 1 = 1 - 1 = 0 \quad \checkmark$

$P$ liegt auf dem Graphen. Gleichzeitig ist $x = 5$ eine Nullstelle von $f$.

Übungen

Bearbeite die Aufgaben in der angegebenen Reihenfolge. Die Schwierigkeit steigt von Aufgabe 1 bis Aufgabe 10. Die ausführlichen Lösungen findest du am Ende des Artikels.

Aufgabe 1: Schreibe die folgenden Ausdrücke als Bruch ohne negativen Exponenten.

a) $x^{-2}$ b) $5^{-3}$ c) $(2y)^{-1}$ d) $\left(\dfrac{1}{4}\right)^{-2}$

Aufgabe 2: Berechne $f(2)$, $f(-2)$ und $f(0{,}5)$ für $f(x) = x^{-3}$.

Aufgabe 3: Gib den Definitionsbereich der folgenden Funktionen an.

a) $f(x) = x^{-5}$ b) $g(x) = \dfrac{1}{x^2}$ c) $h(x) = (x - 4)^{-2}$

Aufgabe 4: Erstelle eine Wertetabelle für $f(x) = x^{-2}$ mit den $x$-Werten $-4, -2, -1, -0{,}5, 0{,}5, 1, 2, 4$. Welche Symmetrie erkennst du?

Aufgabe 5: Weise rechnerisch nach, dass $f(x) = x^{-5}$ punktsymmetrisch zum Ursprung ist.

Aufgabe 6: Eine Funktion hat die Form $f(x) = \dfrac{k}{x^2}$. Der Graph geht durch den Punkt $P(3 | 4)$. Bestimme $k$ und berechne $f(6)$.

Aufgabe 7: Die Lautstärke einer Schallquelle nimmt mit dem Quadrat der Entfernung ab. In 1 Meter Entfernung beträgt sie 80 Dezibel (wobei die physikalische Intensität $I$ sich wie $I(r) = \dfrac{I_0}{r^2}$ verhält, hier vereinfacht gerechnet). In welcher Entfernung hat sich die Intensität auf ein Neuntel verringert?

Aufgabe 8: Bestimme die Asymptoten und den $y$-Achsenabschnitt von $f(x) = \dfrac{2}{x + 1} - 3$.

Aufgabe 9: Für welche $x$-Werte gilt $x^{-2} > 4$? Gib die Lösungsmenge in Intervallschreibweise an.

Aufgabe 10: Ein Planet bewegt sich nach Newtons Gravitationsgesetz in einem Kraftfeld $F(r) = \dfrac{G \cdot M \cdot m}{r^2}$. Erdmasse: $M = 6 \cdot 10^{24} \, \text{kg}$. Gravitationskonstante: $G = 6{,}67 \cdot 10^{-11} \, \text{N} \cdot \text{m}^2 / \text{kg}^2$. Satellitenmasse: $m = 500 \, \text{kg}$. Berechne die Gravitationskraft auf den Satelliten in einer Höhe von 400 km über der Erdoberfläche. Der Erdradius beträgt 6370 km.

Das Wichtigste in Kürze

• Potenzfunktionen mit negativen Exponenten haben die Form $f(x) = x^{-n} = \dfrac{1}{x^n}$ und sind für $x = 0$ nicht definiert.
• Ungerade negative Exponenten ($-1, -3, -5, \ldots$) erzeugen punktsymmetrische Graphen (Hyperbeln im 1. und 3. Quadranten).
• Gerade negative Exponenten ($-2, -4, -6, \ldots$) erzeugen achsensymmetrische Graphen (Hyperbeln komplett oberhalb der $x$-Achse).
• Beide Koordinatenachsen sind Asymptoten: Der Graph nähert sich ihnen beliebig an, berührt sie aber nie.
• Die allgemeine Form $f(x) = a \cdot (x - d)^{-n} + c$ erlaubt Verschiebungen und Streckungen.
• Typische Anwendungen: Zeit bei fester Strecke, Beleuchtungsstärke, Gravitation und elektrische Felder.

Dein Wissen im Test

❓ Frage:

Welchen Definitionsbereich hat die Funktion $f(x) = x^{-5}$?

Lösung anzeigen

Der Definitionsbereich ist $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{0\}$, also alle reellen Zahlen ausser Null. Für $x = 0$ wäre der Nenner in $\dfrac{1}{x^5}$ null, was nicht erlaubt ist.

❓ Frage:

Ist die Funktion $f(x) = x^{-6}$ achsensymmetrisch oder punktsymmetrisch? Begründe kurz.

Lösung anzeigen

Die Funktion $f(x) = x^{-6}$ ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse. Der Exponent $-6$ ist gerade, also gilt $(-x)^{-6} = x^{-6}$, somit $f(-x) = f(x)$ für alle $x$ im Definitionsbereich.

❓ Frage:

Berechne $f(-2)$ für $f(x) = x^{-3}$.

Lösung anzeigen

$f(-2) = (-2)^{-3} = \dfrac{1}{(-2)^3} = \dfrac{1}{-8} = -\dfrac{1}{8} = -0{,}125$

❓ Frage:

Welche Asymptoten hat die Funktion $f(x) = \dfrac{1}{x - 5} + 2$?

Lösung anzeigen

Die senkrechte Asymptote liegt bei $x = 5$ (dort wird der Nenner null). Die waagerechte Asymptote liegt bei $y = 2$ (denn für sehr grosse $|x|$ nähert sich $\dfrac{1}{x - 5}$ an null an und $f(x)$ an $2$).

❓ Frage:

Die Beleuchtungsstärke sinkt mit $E(r) = \dfrac{k}{r^2}$. Um welchen Faktor ändert sie sich, wenn die Entfernung verdreifacht wird?

Lösung anzeigen

Verdreifachst du die Entfernung, steht im Nenner $(3r)^2 = 9r^2$. Die Beleuchtungsstärke sinkt also auf ein Neuntel. Faktor: $\dfrac{1}{9}$.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du hast jetzt Potenzfunktionen mit ganzzahligen negativen Exponenten sicher im Griff. Der nächste logische Schritt führt zu rationalen Exponenten – also Brüchen wie $\dfrac{1}{2}$ oder $\dfrac{2}{3}$ als Exponenten. Damit kannst du Funktionen wie $f(x) = x^{0{,}5} = \sqrt{x}$ beschreiben. Später fasst du alle diese Typen zu einer grossen Familie zusammen: den Potenz- und Wurzelfunktionen. Sie sind das Fundament für Exponential-, Logarithmus- und später sogar Differentialgleichungen in Physik und Wirtschaft.

Lösungen

Aufgabe 1: Wandle die negativen Exponenten in Brüche.

a) $x^{-2} = \dfrac{1}{x^2}$.

b) $5^{-3} = \dfrac{1}{5^3} = \dfrac{1}{125} = 0{,}008$.

c) $(2y)^{-1} = \dfrac{1}{2y}$.

d) $\left(\dfrac{1}{4}\right)^{-2} = \dfrac{1}{\left(\dfrac{1}{4}\right)^2} = \dfrac{1}{\dfrac{1}{16}} = 16$. Merke: Ein negativer Exponent dreht den Bruch um.

Aufgabe 2: Für $f(x) = x^{-3}$ gilt $f(x) = \dfrac{1}{x^3}$.

$f(2) = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8} = 0{,}125$.

$f(-2) = \dfrac{1}{(-2)^3} = \dfrac{1}{-8} = -\dfrac{1}{8} = -0{,}125$.

$f(0{,}5) = \dfrac{1}{(0{,}5)^3} = \dfrac{1}{0{,}125} = 8$.

Aufgabe 3:

a) $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{0\}$, denn $0^{-5}$ ist nicht definiert.

b) $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{0\}$, denn der Nenner $x^2$ darf nicht null sein.

c) $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{4\}$, denn für $x = 4$ wird der Nenner $(x - 4)^2$ null.

Aufgabe 4: Wertetabelle für $f(x) = \dfrac{1}{x^2}$.

$x$	$-4$	$-2$	$-1$	$-0{,}5$	$0{,}5$	$1$	$2$	$4$
$f(x)$	$0{,}0625$	$0{,}25$	$1$	$4$	$4$	$1$	$0{,}25$	$0{,}0625$

Alle Werte sind positiv. Die Spiegelpaare $f(-4) = f(4)$, $f(-2) = f(2)$ usw. zeigen: Der Graph ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse.

Aufgabe 5: Punktsymmetrie-Nachweis für $f(x) = x^{-5}$.

$f(-x) = (-x)^{-5} = \dfrac{1}{(-x)^5} = \dfrac{1}{-x^5} = -\dfrac{1}{x^5} = -f(x) \quad \checkmark$

Die Bedingung $f(-x) = -f(x)$ ist erfüllt. Also ist $f$ punktsymmetrisch zum Ursprung.

Aufgabe 6: Setze den Punkt $P(3 | 4)$ in $f(x) = \dfrac{k}{x^2}$ ein.

$4 = \dfrac{k}{3^2} = \dfrac{k}{9} \quad \Rightarrow \quad k = 36$

Die Funktion lautet $f(x) = \dfrac{36}{x^2}$. Für $x = 6$ folgt:

$f(6) = \dfrac{36}{6^2} = \dfrac{36}{36} = 1$

Aufgabe 7: Ansatz: $I(r) = \dfrac{I_0}{r^2}$. Gesucht ist $r$, sodass $I(r) = \dfrac{I_0}{9}$.

$\dfrac{I_0}{9} = \dfrac{I_0}{r^2} \quad \Rightarrow \quad r^2 = 9 \quad \Rightarrow \quad r = 3 \, \text{m}$

In 3 Metern Entfernung hat sich die Schallintensität auf ein Neuntel reduziert.

Aufgabe 8: Die Funktion $f(x) = \dfrac{2}{x + 1} - 3$ hat die allgemeine Form $a \cdot (x - d)^{-1} + c$ mit $a = 2$, $d = -1$, $c = -3$.

Senkrechte Asymptote: $x = -1$.

Waagerechte Asymptote: $y = -3$.

$y$-Achsenabschnitt ($x = 0$): $f(0) = \dfrac{2}{0 + 1} - 3 = 2 - 3 = -1$. Schnittpunkt: $(0 | -1)$.

Aufgabe 9: Löse $x^{-2} > 4$, also $\dfrac{1}{x^2} > 4$.

Da $x^2 > 0$ immer gilt, darfst du beide Seiten mit $x^2$ multiplizieren, ohne das Ungleichheitszeichen zu drehen:

$1 > 4x^2 \quad \Rightarrow \quad x^2 < \dfrac{1}{4} \quad \Rightarrow \quad |x| < \dfrac{1}{2}$

Vergiss nicht: $x = 0$ ist nicht im Definitionsbereich.

Lösungsmenge: $\mathbb{L} = \left]-\dfrac{1}{2}; 0\right[ \cup \left]0; \dfrac{1}{2}\right[$.

Aufgabe 10: Gesamtabstand vom Erdmittelpunkt: $r = 6370 + 400 = 6770 \, \text{km} = 6{,}77 \cdot 10^6 \, \text{m}$.

$F = \dfrac{G \cdot M \cdot m}{r^2} = \dfrac{6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot 6 \cdot 10^{24} \cdot 500}{(6{,}77 \cdot 10^6)^2}$

Zähler berechnen: $6{,}67 \cdot 6 \cdot 500 = 20\,010$, also $2{,}001 \cdot 10^4$. Mit den Zehnerpotenzen: $2{,}001 \cdot 10^4 \cdot 10^{-11} \cdot 10^{24} = 2{,}001 \cdot 10^{17}$.

Nenner: $(6{,}77)^2 \approx 45{,}83$, also $45{,}83 \cdot 10^{12} \approx 4{,}583 \cdot 10^{13}$.

$F \approx \dfrac{2{,}001 \cdot 10^{17}}{4{,}583 \cdot 10^{13}} \approx 0{,}437 \cdot 10^4 \approx 4366 \, \text{N}$

Auf den Satelliten wirkt eine Gravitationskraft von etwa 4366 Newton. Das entspricht dem Gewicht von rund 445 Kilogramm auf der Erdoberfläche. Der Satellit spürt also noch fast die volle Erdanziehung – er “fällt” permanent auf die Erde zu und verfehlt sie nur, weil er seitlich schnell genug fliegt.

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Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport