Rechteck: Fläche und Umfang berechnen

Darum geht's

Dein Zimmer bekommt einen neuen Boden. Dafür musst du zwei Dinge wissen: Wie viele Quadratmeter Parkett braucht es? Und wie viele Meter Sockelleiste kommen rundherum an die Wand? Beide Fragen betreffen dasselbe Rechteck, aber sie haben verschiedene Antworten. Das Parkett bedeckt die Fläche des Bodens. Die Leiste läuft dem Umfang entlang, also dem Rand. Auf dieser Seite lernst du, warum die Fläche eines Rechtecks «Länge mal Breite» ist, wie du den Umfang berechnest und wie du die beiden auseinanderhältst.

Was ist ein Rechteck?

Ein Rechteck ist ein Viereck mit vier rechten Winkeln. Daraus folgt: Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang und parallel. Ein Rechteck hat also nur zwei verschiedene Seitenlängen. Die längere heisst Länge $a$, die kürzere Breite $b$.

Sind alle vier Seiten gleich lang, also $a = b$, ist das Rechteck ein Quadrat. Das Quadrat ist ein Sonderfall des Rechtecks. Alles auf dieser Seite gilt deshalb auch für Quadrate.

An jedem Rechteck kannst du zwei verschiedene Dinge messen:

• die Fläche $A$: wie viel Platz das Rechteck innen bedeckt,
• den Umfang $U$: wie lang der Rand ist, einmal ganz rundherum.

Die Fläche: Kästchen zählen

Flächen misst man mit Quadraten. Ein Quadrat mit der Seitenlänge $1\,\text{cm}$ hat die Fläche ein Quadratzentimeter, kurz $1\,\text{cm}^2$. Die Frage «Wie gross ist die Fläche?» heisst also: Wie viele solche Quadrate passen hinein?

Lege ein Rechteck mit $a = 6\,\text{cm}$ und $b = 4\,\text{cm}$ mit solchen Zentimeter-Quadraten aus. Auf kariertem Papier sind das einfach Kästchen.

Abb. 1: In jeder Reihe liegen 6 Kästchen, und es gibt 4 Reihen. Rechts steht, wie viele Kästchen du nach jeder Reihe gezählt hast.

Du musst nicht jedes Kästchen einzeln zählen. In eine Reihe passen so viele Kästchen, wie das Rechteck lang ist: 6. Es gibt so viele Reihen, wie das Rechteck breit ist: 4. Also sind es $4 \cdot 6 = 24$ Kästchen. Die Fläche beträgt $24\,\text{cm}^2$.

Das funktioniert bei jedem Rechteck: Kästchen pro Reihe mal Anzahl Reihen. Daraus entsteht die Formel.

Definition

$$A = a \cdot b \qquad (\text{Länge mal Breite})$$

Beim Quadrat sind beide Seiten gleich lang:

$$A = a \cdot a = a^2$$

Eine Fläche hat immer eine Flächeneinheit: $\text{mm}^2$, $\text{cm}^2$, $\text{dm}^2$, $\text{m}^2$, $\text{km}^2$ und so weiter.

Warum steht bei der Einheit eine kleine 2? Du rechnest $6\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm}$. Die Zahlen ergeben $6 \cdot 4 = 24$. Die Einheiten ergeben $\text{cm} \cdot \text{cm} = \text{cm}^2$. Die kleine 2 zeigt, dass zwei Längen multipliziert wurden. Das Ergebnis zählt Quadrate, keine Strecken: $24\,\text{cm}^2$ bedeutet 24 Quadrate mit $1\,\text{cm}$ Seitenlänge.

Der Umfang: einmal um den Rand

Für den Umfang gehst du einmal um das Rechteck herum. Du startest in einer Ecke und läufst den Seiten entlang, bis du wieder am Start bist. Die Strecke, die du dabei zurücklegst, ist der Umfang.

Abb. 2: Auf dem Weg rundherum kommst du an jeder Seite genau einmal vorbei: an beiden langen und an beiden kurzen Seiten.

Beim Rechteck aus Abb. 2 sind das $6 + 4 + 6 + 4 = 20\,\text{cm}$. Jede Seitenlänge kommt zweimal vor. Deshalb kannst du kürzer rechnen: zuerst eine lange und eine kurze Seite addieren, dann verdoppeln. $2 \cdot (6 + 4) = 2 \cdot 10 = 20\,\text{cm}$.

Definition

$$U = a + b + a + b = 2 \cdot (a + b)$$

Beim Quadrat sind alle vier Seiten gleich lang: $U = 4 \cdot a$.

Der Umfang ist eine Länge. Er hat eine Längeneinheit ohne kleine 2: $\text{mm}$, $\text{cm}$, $\text{m}$, $\text{km}$ und so weiter.

Vergleiche Abb. 1 und Abb. 2. Dasselbe Rechteck hat die Fläche $24\,\text{cm}^2$ und den Umfang $20\,\text{cm}$. Das sind zwei verschiedene Grössen. Die Fläche zählt Kästchen innen, der Umfang misst die Linie aussen. Du kannst die beiden Zahlen deshalb nicht vergleichen: $24\,\text{cm}^2$ ist nicht «mehr» als $20\,\text{cm}$, denn $\text{cm}^2$ und $\text{cm}$ messen verschiedene Dinge.

Tipp

Eselsbrücke: Alles, was etwas bedeckt (Teppich, Farbe, Rasen, Platten), ist eine Fläche. Alles, was rundherum läuft (Zaun, Sockelleiste, Bilderrahmen, Weg um den Platz), ist ein Umfang.

So gehst du vor

1. Form prüfen: Hat die Figur vier rechte Winkel? Dann ist sie ein Rechteck.
2. Länge $a$ und Breite $b$ ablesen.
3. Einheiten angleichen: Beide Seiten müssen in derselben Einheit stehen, zum Beispiel beide in $\text{m}$. Sonst multiplizierst du Meter mit Zentimetern, und das Ergebnis passt zu keiner Einheit.
4. Rechnen: Für die Fläche multiplizieren. Für den Umfang addieren und verdoppeln.
5. Einheit mitschreiben: $\text{cm}^2$ oder $\text{m}^2$ bei der Fläche, $\text{cm}$ oder $\text{m}$ beim Umfang.

Manchmal kennst du die Fläche und eine Seite, aber die andere Seite fehlt. Dann rechnest du rückwärts. Weil $A = a \cdot b$ ist, gilt:

$$b = A : a \qquad \text{und} \qquad a = A : b$$

Das passt zu den Kästchen: $24$ Kästchen in Reihen zu je $6$ ergeben $24 : 6 = 4$ Reihen.

Kennst du den Umfang und eine Seite, halbierst du zuerst den Umfang. Die Hälfte ist eine lange plus eine kurze Seite: $a + b = U : 2$. Dann ziehst du die bekannte Seite ab.

Beispiele

Beispiel:

Fläche und Umfang

Ein Rechteck ist $6\,\text{cm}$ lang und $4\,\text{cm}$ breit. Berechne Fläche und Umfang.

Gegeben: $a = 6\,\text{cm}$, $b = 4\,\text{cm}$

Gesucht: Fläche $A$ und Umfang $U$

Lösung:

$$\begin{align*} A &= a \cdot b = 6\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 24\,\text{cm}^2 \\ U &= 2 \cdot (a + b) = 2 \cdot (6\,\text{cm} + 4\,\text{cm}) = 2 \cdot 10\,\text{cm} = 20\,\text{cm} \end{align*}$$

Kontrolle: In Abb. 1 sind es 24 Kästchen ✓. In Abb. 2 ergibt der Weg rundherum $6 + 4 + 6 + 4 = 20$ ✓

Antwort: Die Fläche beträgt $24\,\text{cm}^2$, der Umfang $20\,\text{cm}$.

Beispiel:

Tischplatte mit Dezimalzahlen

Eine Tischplatte ist $1{,}2\,\text{m}$ lang und $0{,}8\,\text{m}$ breit. Wie gross ist ihre Fläche?

Lösung: Beide Seiten sind schon in Metern angegeben. Du kannst direkt multiplizieren:

$$A = 1{,}2\,\text{m} \cdot 0{,}8\,\text{m} = 0{,}96\,\text{m}^2$$

So rechnest du $1{,}2 \cdot 0{,}8$ ohne Taschenrechner: Rechne zuerst ohne Komma, $12 \cdot 8 = 96$. Die beiden Faktoren haben zusammen zwei Nachkommastellen. Also hat auch das Ergebnis zwei Nachkommastellen: $0{,}96$.

Kontrolle (Überschlag): $1{,}2$ ist ungefähr $1$, und $0{,}8$ ist ungefähr $1$. Die Fläche muss also ungefähr $1 \cdot 1 = 1\,\text{m}^2$ sein. $0{,}96\,\text{m}^2$ passt ✓

Antwort: Die Tischplatte hat eine Fläche von $0{,}96\,\text{m}^2$.

Beispiel:

Fehlende Seite, dann der Umfang

Ein rechteckiges Beet hat eine Fläche von $36\,\text{m}^2$. Es ist $9\,\text{m}$ lang. Wie breit ist es? Und wie viele Meter Zaun braucht es rundherum?

Gegeben: $A = 36\,\text{m}^2$, $a = 9\,\text{m}$

Gesucht: Breite $b$ und Umfang $U$

Lösung: Die Fläche ist Länge mal Breite. Also ist die Breite die Fläche geteilt durch die Länge:

$$b = A : a = 36 : 9 = 4 \quad \Rightarrow \quad b = 4\,\text{m}$$

Jetzt kennst du beide Seiten. Der Zaun läuft rundherum, also brauchst du den Umfang:

$$U = 2 \cdot (9\,\text{m} + 4\,\text{m}) = 2 \cdot 13\,\text{m} = 26\,\text{m}$$

Kontrolle: $9 \cdot 4 = 36$ ✓

Antwort: Das Beet ist $4\,\text{m}$ breit. Für den Zaun braucht es $26\,\text{m}$.

Wo es oft schiefgeht

Achtung

Einheit vergessen. «20» ist keine Fläche, $20\,\text{cm}^2$ schon. Ohne Einheit weiss niemand, wie gross die Fläche ist. Eine Briefmarke hat nur wenige Quadratzentimeter. Ein Fussballfeld mit $105\,\text{m}$ Länge und $68\,\text{m}$ Breite hat etwa $7000\,\text{m}^2$. Schreib die Einheit deshalb immer dazu.

Achtung

Umfang und Fläche verwechseln. Ein Rechteck mit $a = 10\,\text{cm}$ und $b = 2\,\text{cm}$ hat den Umfang $U = 2 \cdot (10 + 2) = 24\,\text{cm}$ und die Fläche $A = 10 \cdot 2 = 20\,\text{cm}^2$. Frag dich vor dem Rechnen: Geht es um den Rand oder um das Innere?

Achtung

Einheiten mischen. $a = 150\,\text{cm}$, $b = 2\,\text{m}$. Falsch: $150 \cdot 2 = 300\,\text{m}^2$. Richtig: zuerst $150\,\text{cm} = 1{,}5\,\text{m}$, dann $A = 1{,}5 \cdot 2 = 3\,\text{m}^2$. Die falsche Rechnung ist hundertmal zu gross.

Achtung

Addieren statt multiplizieren. Bei $a = 5\,\text{cm}$ und $b = 3\,\text{cm}$ ist die Fläche $5 \cdot 3 = 15\,\text{cm}^2$, nicht $5 + 3 = 8$. Denk an die Kästchen: 3 Reihen zu je 5 Kästchen sind 15 Kästchen.

Aufgaben aus dem Alltag

Beispiel:

Wie viele Säcke Rasensamen?

Ein Garten ist $12\,\text{m}$ lang und $8\,\text{m}$ breit. Ein Sack Rasensamen reicht für $10\,\text{m}^2$. Wie viele Säcke braucht es?

Lösung: Der Samen bedeckt den Boden. Du brauchst also zuerst die Fläche:

$$A = 12\,\text{m} \cdot 8\,\text{m} = 96\,\text{m}^2$$

Dann teilst du durch die Fläche, die ein Sack schafft:

$$96 : 10 = 9{,}6$$

Einen halben Sack kann man nicht kaufen. Mit 9 Säcken reicht es nur für $90\,\text{m}^2$, und $6\,\text{m}^2$ blieben ohne Samen. Du musst also aufrunden.

Antwort: Es braucht 10 Säcke.

Beispiel:

Korridor mit gemischten Einheiten

Ein Korridor ist $15\,\text{m}$ lang und $180\,\text{cm}$ breit. Wie gross ist seine Bodenfläche in $\text{m}^2$?

Lösung: Die Einheiten sind verschieden. Zuerst angleichen: $180\,\text{cm} = 1{,}80\,\text{m}$, denn $1\,\text{m} = 100\,\text{cm}$.

$$A = 15\,\text{m} \cdot 1{,}80\,\text{m} = 27\,\text{m}^2$$

Nebenrechnung: $15 \cdot 1{,}8 = 15 \cdot 1 + 15 \cdot 0{,}8 = 15 + 12 = 27$.

Kontrolle: Wer nicht umrechnet, erhält $15 \cdot 180 = 2700$. Ein Korridor mit $2700\,\text{m}^2$ wäre grösser als ein Drittel eines Fussballfelds. Das kann nicht stimmen.

Antwort: Der Korridor hat eine Bodenfläche von $27\,\text{m}^2$.

Flächeneinheiten umrechnen

Es gilt $1\,\text{m} = 100\,\text{cm}$. Viele denken deshalb, $1\,\text{m}^2$ sei $100\,\text{cm}^2$. Das stimmt nicht. Abb. 3 zeigt, warum.

Abb. 3: Ein Quadratmeter besteht aus 100 Feldern mit $10\,\text{cm}$ Seitenlänge. Jedes Feld besteht wieder aus 100 Quadratzentimetern.

Ein Quadratmeter ist ein Quadrat mit $1\,\text{m} = 100\,\text{cm}$ Seitenlänge. Lege es mit Quadratzentimetern aus: In eine Reihe passen $100$ Stück, und es gibt $100$ Reihen. Das sind $100 \cdot 100 = 10\,000$ Quadratzentimeter. Bei Flächen multiplizierst du den Umrechnungsfaktor der Längen also mit sich selbst.

Ein Feld aus Abb. 3 mit $10\,\text{cm}$ Seitenlänge heisst Quadratdezimeter ($\text{dm}^2$). So hängen die Einheiten zusammen:

Länge	Fläche
$1\,\text{cm} = 10\,\text{mm}$	$1\,\text{cm}^2 = 10 \cdot 10\,\text{mm}^2 = 100\,\text{mm}^2$
$1\,\text{dm} = 10\,\text{cm}$	$1\,\text{dm}^2 = 10 \cdot 10\,\text{cm}^2 = 100\,\text{cm}^2$
$1\,\text{m} = 10\,\text{dm}$	$1\,\text{m}^2 = 10 \cdot 10\,\text{dm}^2 = 100\,\text{dm}^2$
$1\,\text{m} = 100\,\text{cm}$	$1\,\text{m}^2 = 100 \cdot 100\,\text{cm}^2 = 10\,000\,\text{cm}^2$

Tipp

Rechne die Seitenlängen vor dem Multiplizieren in dieselbe Einheit um. Das ist meistens einfacher, als nachher Flächeneinheiten umzurechnen.

Zusammengesetzte Flächen

Viele Grundrisse sind keine Rechtecke, bestehen aber aus Rechtecken. Dann zerlegst du die Figur, berechnest jedes Rechteck einzeln und addierst.

Beispiel:

L-förmiger Raum

Ein Raum hat die Form eines L wie in Abb. 4. Wie gross ist seine Bodenfläche?

Abb. 4: Die gestrichelte Linie zerlegt das L in zwei Rechtecke. Jedes Kästchen ist $1\,\text{m}^2$ gross.

Zerlegen: Unten liegt das grosse Rechteck $A_1$ mit $8\,\text{m}$ mal $4\,\text{m}$. Oben links sitzt das kleine Rechteck $A_2$ mit $3\,\text{m}$ mal $2\,\text{m}$.

Einzeln rechnen:

$$\begin{align*} A_1 &= 8\,\text{m} \cdot 4\,\text{m} = 32\,\text{m}^2 \\ A_2 &= 3\,\text{m} \cdot 2\,\text{m} = 6\,\text{m}^2 \end{align*}$$

Addieren: $A = 32\,\text{m}^2 + 6\,\text{m}^2 = 38\,\text{m}^2$

Kontrolle (ergänzen statt zerlegen): Ergänze das L oben rechts zu einem grossen Rechteck mit $8\,\text{m}$ mal $6\,\text{m}$. Es hat $48\,\text{m}^2$. Das ergänzte Stück ist $8 - 3 = 5\,\text{m}$ lang und $2\,\text{m}$ hoch, also $10\,\text{m}^2$. $48 - 10 = 38\,\text{m}^2$ ✓

Antwort: Der Raum hat eine Bodenfläche von $38\,\text{m}^2$.

Beim Umfang einer zusammengesetzten Figur darfst du die Umfänge der Teile nicht einfach addieren. Die gestrichelte Linie liegt innen und gehört nicht zum Rand. Für den Umfang gehst du wieder einmal rundherum (Aufgabe 14).

Gleicher Umfang, andere Fläche

Du hast $20\,\text{m}$ Zaun und willst damit ein rechteckiges Gehege bauen. Der Umfang ist also immer $20\,\text{m}$, und eine lange plus eine kurze Seite ergeben $20 : 2 = 10\,\text{m}$. Welche Form gibt den Tieren am meisten Platz?

Abb. 5: Alle fünf Rechtecke haben denselben roten Rand von $20\,\text{m}$. Trotzdem sind die Flächen ganz verschieden.

Länge $a$	Breite $b$	Umfang $U$	Fläche $A$
$9\,\text{m}$	$1\,\text{m}$	$20\,\text{m}$	$9\,\text{m}^2$
$8\,\text{m}$	$2\,\text{m}$	$20\,\text{m}$	$16\,\text{m}^2$
$7\,\text{m}$	$3\,\text{m}$	$20\,\text{m}$	$21\,\text{m}^2$
$6\,\text{m}$	$4\,\text{m}$	$20\,\text{m}$	$24\,\text{m}^2$
$5\,\text{m}$	$5\,\text{m}$	$20\,\text{m}$	$25\,\text{m}^2$

Je länger und schmaler das Rechteck, desto kleiner die Fläche. Beim Streifen $9\,\text{m}$ mal $1\,\text{m}$ steckt fast der ganze Zaun in den beiden langen Seiten, und innen bleibt kaum Platz. Am meisten Platz hat das Quadrat. Das gilt immer: Bei gleichem Umfang hat von allen Rechtecken das Quadrat die grösste Fläche.

Umgekehrt geht es auch. Dieselbe Fläche kann ganz verschiedene Umfänge haben. Die 24 Kästchen aus Abb. 1 kannst du als Rechteck $6\,\text{cm}$ mal $4\,\text{cm}$ legen, dann ist $U = 20\,\text{cm}$. Als langer Streifen $24\,\text{cm}$ mal $1\,\text{cm}$ haben sie den Umfang $U = 2 \cdot (24 + 1) = 50\,\text{cm}$. Fläche und Umfang hängen also nicht fest zusammen.

Übungen

Löse zuerst selbst. Die Lösungen mit Rechenweg findest du ganz unten.

1. Rechteck: $a = 5\,\text{cm}$, $b = 3\,\text{cm}$. Wie gross ist die Fläche?
2. Quadrat: Seitenlänge $a = 7\,\text{cm}$. Wie gross ist die Fläche?
3. Schulheft: $29{,}7\,\text{cm}$ lang, $21\,\text{cm}$ breit. Wie gross ist die Fläche der Vorderseite?
4. Zimmer: $a = 4\,\text{m}$, $b = 3{,}5\,\text{m}$. Wie gross ist die Bodenfläche?
5. Schwimmbecken: $25\,\text{m}$ lang, $10\,\text{m}$ breit. Wie gross ist die Wasserfläche in $\text{m}^2$?
6. Ein Zimmer hat eine Fläche von $24\,\text{m}^2$ und ist $6\,\text{m}$ lang. Wie breit ist es?
7. Gang: $350\,\text{cm}$ lang, $1{,}2\,\text{m}$ breit. Wie gross ist die Bodenfläche in $\text{m}^2$?
8. Ein Garten misst $20\,\text{m}$ mal $15\,\text{m}$. In der Mitte liegt ein Beet von $4\,\text{m}$ mal $3\,\text{m}$. Wie gross ist die Rasenfläche rund ums Beet?
9. Bodenplatten messen $30\,\text{cm}$ mal $30\,\text{cm}$. Der Boden im Bad hat $4{,}5\,\text{m}^2$. Wie viele Platten braucht es mindestens?
10. Zwei Rechtecke haben je den Umfang $28\,\text{cm}$. Das erste ist $9\,\text{cm}$ lang, das zweite $7\,\text{cm}$. Berechne beide Flächen. Welche ist grösser?
11. Ein rechteckiges Gemüsebeet hat eine Fläche von $60\,\text{m}^2$ und ist $12\,\text{m}$ lang. Wie breit ist es? Wie lang wird ein Zaun rundherum?
12. Ein Rechteck hat den Umfang $30\,\text{cm}$ und ist $9\,\text{cm}$ lang. Wie breit ist es? Wie gross ist seine Fläche?
13. Ein Quadrat hat die Fläche $64\,\text{cm}^2$. Wie lang ist eine Seite? Wie gross ist der Umfang?
14. Berechne den Umfang der L-Form aus Abb. 4. Zwei Randstücke sind nicht beschriftet. Erkläre auch, warum das Ergebnis kleiner ist als die Summe der Umfänge der beiden Rechtecke.
15. Ein Tischtuch ist $1{,}5\,\text{m}$ lang und $80\,\text{cm}$ breit. Berechne seine Fläche einmal in $\text{m}^2$ und einmal in $\text{cm}^2$. Passen die beiden Ergebnisse zusammen?
16. Ein Zimmer ist $5\,\text{m}$ lang und $4\,\text{m}$ breit. Der neue Parkettboden kostet $35\,\text{CHF}$ pro $\text{m}^2$. Rundherum kommt eine Sockelleiste für $6\,\text{CHF}$ pro Meter, nur bei der $1\,\text{m}$ breiten Türe nicht. Was kostet alles zusammen?

Das Wichtigste in Kürze

• Ein Rechteck hat vier rechte Winkel. Seine Seiten heissen Länge $a$ und Breite $b$. Ein Quadrat ist ein Rechteck mit $a = b$.
• Die Fläche zählt, wie viele Einheitsquadrate hineinpassen: $A = a \cdot b$. Ihre Einheit hat eine kleine 2, zum Beispiel $\text{cm}^2$ oder $\text{m}^2$.
• Der Umfang ist die Länge des Randes: $U = 2 \cdot (a + b)$. Seine Einheit hat keine 2, zum Beispiel $\text{cm}$ oder $\text{m}$.
• Gleiche die Einheiten vor dem Rechnen an.
• Fehlt eine Seite: $b = A : a$. Aus dem Umfang erhältst du $a + b = U : 2$.
• $1\,\text{m}^2 = 10\,000\,\text{cm}^2$, nicht $100\,\text{cm}^2$.
• Zusammengesetzte Flächen: zerlegen, einzeln rechnen, addieren.
• Gleicher Umfang bedeutet nicht gleiche Fläche.

Dein Wissen im Test

❓ Frage:

Ein Rechteck ist $8\,\text{cm}$ lang und $5\,\text{cm}$ breit. Wie gross sind Fläche und Umfang?

Lösung anzeigen

Fläche: $A = 8 \cdot 5 = 40\,\text{cm}^2$. Umfang: $U = 2 \cdot (8 + 5) = 2 \cdot 13 = 26\,\text{cm}$.

❓ Frage:

Ein Bauer zäunt eine rechteckige Weide ein. Braucht er dafür die Fläche oder den Umfang?

Lösung anzeigen

Den Umfang. Der Zaun läuft dem Rand entlang, einmal rundherum. Die Antwort ist deshalb eine Länge in Metern, nicht in Quadratmetern.

❓ Frage:

Wie viele Quadratzentimeter sind $2\,\text{m}^2$?

Lösung anzeigen

$1\,\text{m}^2 = 100 \cdot 100\,\text{cm}^2 = 10\,000\,\text{cm}^2$. Also sind $2\,\text{m}^2 = 2 \cdot 10\,000\,\text{cm}^2 = 20\,000\,\text{cm}^2$.

❓ Frage:

Ein Quadrat hat den Umfang $36\,\text{cm}$. Wie gross ist seine Fläche?

Lösung anzeigen

Ein Quadrat hat vier gleich lange Seiten: $36 : 4 = 9\,\text{cm}$. Die Fläche ist $A = 9 \cdot 9 = 81\,\text{cm}^2$.

❓ Frage:

Lea sagt: «Mein Rechteck hat einen grösseren Umfang als deines. Also hat es auch die grössere Fläche.» Stimmt das immer?

Lösung anzeigen

Nein. Ein Rechteck mit $12\,\text{cm}$ mal $1\,\text{cm}$ hat den Umfang $26\,\text{cm}$, aber nur die Fläche $12\,\text{cm}^2$. Ein Quadrat mit $5\,\text{cm}$ Seitenlänge hat den kleineren Umfang $20\,\text{cm}$, aber die grössere Fläche $25\,\text{cm}^2$.

Ausblick

Das Rechteck ist der Baustein für viele weitere Flächen. Ein Parallelogramm kannst du durch Abschneiden und Verschieben in ein Rechteck verwandeln. Ein Dreieck hat genau halb so viel Fläche wie ein passendes Rechteck. Wenn du verstanden hast, warum beim Rechteck «Länge mal Breite» gilt, verstehst du auch diese Formeln.

Lösungen

1. Fläche ist Länge mal Breite:

$$A = a \cdot b = 5\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} = 15\,\text{cm}^2$$

Antwort: Die Fläche beträgt $15\,\text{cm}^2$.

---

2. Beim Quadrat sind beide Seiten $7\,\text{cm}$ lang:

$$A = a \cdot a = 7\,\text{cm} \cdot 7\,\text{cm} = 49\,\text{cm}^2$$

Antwort: Die Fläche beträgt $49\,\text{cm}^2$.

---

3. Beide Seiten sind in Zentimetern angegeben:

$$A = 29{,}7\,\text{cm} \cdot 21\,\text{cm} = 623{,}7\,\text{cm}^2$$

Nebenrechnung: $29{,}7 \cdot 21 = 29{,}7 \cdot 20 + 29{,}7 \cdot 1 = 594 + 29{,}7 = 623{,}7$.

Antwort: Die Vorderseite hat eine Fläche von $623{,}7\,\text{cm}^2$.

---

4. Beide Seiten sind in Metern angegeben:

$$A = 4\,\text{m} \cdot 3{,}5\,\text{m} = 14\,\text{m}^2$$

Nebenrechnung: $4 \cdot 3{,}5 = 4 \cdot 3 + 4 \cdot 0{,}5 = 12 + 2 = 14$.

Antwort: Die Bodenfläche beträgt $14\,\text{m}^2$.

---

5. Die Wasserfläche ist ein Rechteck:

$$A = 25\,\text{m} \cdot 10\,\text{m} = 250\,\text{m}^2$$

Antwort: Die Wasserfläche beträgt $250\,\text{m}^2$.

---

6. Aus $A = a \cdot b$ folgt $b = A : a$:

$$b = 24 : 6 = 4 \quad \Rightarrow \quad b = 4\,\text{m}$$

Kontrolle: $6 \cdot 4 = 24$ ✓

Antwort: Das Zimmer ist $4\,\text{m}$ breit.

---

7. Zuerst die Einheiten angleichen: $350\,\text{cm} = 3{,}5\,\text{m}$.

$$A = 3{,}5\,\text{m} \cdot 1{,}2\,\text{m} = 4{,}2\,\text{m}^2$$

Nebenrechnung: $35 \cdot 12 = 420$. Die Faktoren haben zusammen zwei Nachkommastellen, also $4{,}20$.

Antwort: Die Bodenfläche beträgt $4{,}2\,\text{m}^2$.

---

8. Der Rasen ist der ganze Garten ohne das Beet. Berechne beide Flächen und subtrahiere:

$$\begin{align*} A_{\text{Garten}} &= 20\,\text{m} \cdot 15\,\text{m} = 300\,\text{m}^2 \\ A_{\text{Beet}} &= 4\,\text{m} \cdot 3\,\text{m} = 12\,\text{m}^2 \\ A_{\text{Rasen}} &= 300\,\text{m}^2 - 12\,\text{m}^2 = 288\,\text{m}^2 \end{align*}$$

Antwort: Die Rasenfläche beträgt $288\,\text{m}^2$.

---

9. Rechne beide Flächen in derselben Einheit, hier in $\text{cm}^2$:

$$\begin{align*} A_{\text{Platte}} &= 30\,\text{cm} \cdot 30\,\text{cm} = 900\,\text{cm}^2 \\ A_{\text{Bad}} &= 4{,}5\,\text{m}^2 = 4{,}5 \cdot 10\,000\,\text{cm}^2 = 45\,000\,\text{cm}^2 \end{align*}$$

Anzahl Platten: $45\,000 : 900 = 450 : 9 = 50$.

Kontrolle in Metern: $0{,}3 \cdot 0{,}3 = 0{,}09\,\text{m}^2$ pro Platte, und $50 \cdot 0{,}09 = 4{,}5\,\text{m}^2$ ✓

Antwort: Es braucht mindestens 50 Platten. «Mindestens», weil beim Zuschneiden am Rand oft Reste entstehen.

---

10. Der halbe Umfang ist eine lange plus eine kurze Seite: $a + b = 28 : 2 = 14\,\text{cm}$.

Erstes Rechteck: $b = 14 - 9 = 5\,\text{cm}$, also $A_1 = 9 \cdot 5 = 45\,\text{cm}^2$.

Zweites Rechteck: $b = 14 - 7 = 7\,\text{cm}$, also $A_2 = 7 \cdot 7 = 49\,\text{cm}^2$.

Antwort: Das zweite Rechteck ist ein Quadrat und hat mit $49\,\text{cm}^2$ die grössere Fläche, genau wie in Abb. 5.

---

11. Zuerst die fehlende Breite:

$$b = A : a = 60 : 12 = 5 \quad \Rightarrow \quad b = 5\,\text{m}$$

Dann der Umfang für den Zaun:

$$U = 2 \cdot (12\,\text{m} + 5\,\text{m}) = 2 \cdot 17\,\text{m} = 34\,\text{m}$$

Kontrolle: $12 \cdot 5 = 60$ ✓

Antwort: Das Beet ist $5\,\text{m}$ breit. Der Zaun wird $34\,\text{m}$ lang.

---

12. Der halbe Umfang ist eine lange plus eine kurze Seite:

$$a + b = 30 : 2 = 15\,\text{cm} \quad \Rightarrow \quad b = 15\,\text{cm} - 9\,\text{cm} = 6\,\text{cm}$$

Jetzt die Fläche:

$$A = 9\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} = 54\,\text{cm}^2$$

Kontrolle: $2 \cdot (9 + 6) = 2 \cdot 15 = 30$ ✓

Antwort: Das Rechteck ist $6\,\text{cm}$ breit und hat die Fläche $54\,\text{cm}^2$.

---

13. Gesucht ist eine Zahl, die mit sich selbst multipliziert $64$ ergibt. Das ist $8$, denn $8 \cdot 8 = 64$. Die Seite ist also $8\,\text{cm}$ lang.

$$U = 4 \cdot 8\,\text{cm} = 32\,\text{cm}$$

Antwort: Eine Seite ist $8\,\text{cm}$ lang, der Umfang beträgt $32\,\text{cm}$.

---

14. Zuerst die beiden fehlenden Randstücke aus Abb. 4:

• oben rechts: $8\,\text{m} - 3\,\text{m} = 5\,\text{m}$
• ganz links: $4\,\text{m} + 2\,\text{m} = 6\,\text{m}$

Jetzt einmal rundherum, unten links beginnend: unten $8\,\text{m}$, rechts $4\,\text{m}$, oben rechts $5\,\text{m}$, die Stufe hinauf $2\,\text{m}$, oben links $3\,\text{m}$, links hinunter $6\,\text{m}$.

$$U = 8 + 4 + 5 + 2 + 3 + 6 = 28\,\text{m}$$

Die beiden Rechtecke haben zusammen den Umfang $2 \cdot (8 + 4) + 2 \cdot (3 + 2) = 24 + 10 = 34\,\text{m}$. Darin ist die gestrichelte Linie von $3\,\text{m}$ zweimal enthalten, einmal bei jedem Rechteck. Sie liegt aber innen und gehört nicht zum Rand: $34 - 2 \cdot 3 = 28\,\text{m}$ ✓

Antwort: Die L-Form hat den Umfang $28\,\text{m}$.

---

15. In Metern: $80\,\text{cm} = 0{,}8\,\text{m}$.

$$A = 1{,}5\,\text{m} \cdot 0{,}8\,\text{m} = 1{,}2\,\text{m}^2$$

In Zentimetern: $1{,}5\,\text{m} = 150\,\text{cm}$.

$$A = 150\,\text{cm} \cdot 80\,\text{cm} = 12\,000\,\text{cm}^2$$

Die Ergebnisse passen zusammen: $1{,}2\,\text{m}^2 = 1{,}2 \cdot 10\,000\,\text{cm}^2 = 12\,000\,\text{cm}^2$ ✓

Antwort: Das Tischtuch hat $1{,}2\,\text{m}^2$, das sind $12\,000\,\text{cm}^2$.

---

16. Das Parkett bedeckt den Boden, dafür brauchst du die Fläche:

$$A = 5\,\text{m} \cdot 4\,\text{m} = 20\,\text{m}^2 \qquad \text{Kosten: } 20 \cdot 35\,\text{CHF} = 700\,\text{CHF}$$

Die Leiste läuft rundherum, dafür brauchst du den Umfang, ohne die Türe:

$$U = 2 \cdot (5\,\text{m} + 4\,\text{m}) = 18\,\text{m} \qquad 18\,\text{m} - 1\,\text{m} = 17\,\text{m}$$

Kosten der Leiste: $17 \cdot 6\,\text{CHF} = 102\,\text{CHF}$.

Zusammen: $700\,\text{CHF} + 102\,\text{CHF} = 802\,\text{CHF}$.

Antwort: Boden und Sockelleiste kosten zusammen $802\,\text{CHF}$.

Verwandte Themen

• Flächen berechnen: Quadrat, Rechteck, Parallelogramm & Co.
• Parallelogramm: So berechnest du die Fläche
• Vielecke verstehen – Von Dreiecken bis zum Zehneck

Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport