Winkelsummen in Dreiecken und Vierecken

Weiterführend:

• Zur Kapitelübersicht „Geometrie”
• Winkel an Geraden – Scheitel-, Neben-, Stufen- und Wechselwinkel
• Besondere Dreiecke erkennen und verstehen
• Zusammenhänge im Dreieck – Seiten, Winkel und besondere Linien

Darum geht's

Nimm ein Blatt Papier und schneide ein Dreieck aus. Reisse nun alle drei Ecken ab und lege sie nebeneinander. Die Spitzen zeigen alle zur Mitte. Was fällt dir auf?

Die drei Ecken bilden zusammen eine gerade Linie. Egal wie schief oder spitz dein Dreieck war – das funktioniert immer. Dieses Experiment zeigt eine wichtige Regel der Geometrie. Die Winkel in einem Dreieck ergeben zusammen immer denselben Wert. In diesem Artikel lernst du, warum das so ist. Du erfährst, wie du fehlende Winkel berechnest. Und du entdeckst, wie sich diese Regel auf Vierecke und andere Vielecke überträgt.

📋Lehrplan 21Zyklus 2 (3.–6. Klasse), Zyklus 3 (7.–9. Klasse) · 7Kompetenzen

• MA.2.A.3.gVielecke und gerade Prismen zur Flächen-/Volumenberechnung zerlegen; Flächeninhalt von Drei- und Vierecken; Kantenlängen, Seitenflächen und Volumen von Quadern berechnen
• MA.2.A.3.hLängen und Flächeninhalte mit Satz von Pythagoras berechnen; Formeln und Tabellenkalkulation bei geometrischen Berechnungen verwenden
• MA.2.A.3.iUmfang und Flächeninhalt von Kreisen; Kantenlängen, Flächen und Volumen an geraden Prismen und Zylindern; Volumen beliebiger Körper schätzen
• MA.2.B.1.gStrecken an Figuren systematisch variieren, Auswirkungen erforschen, Vermutungen formulieren und austauschen
• MA.2.B.1.hBeim Erforschen geometrischer Beziehungen Vermutungen formulieren, überprüfen und allenfalls neue formulieren; auf Forschungsaufgaben einlassen
• MA.2.C.3.fFiguren und Körper in der Vorstellung drehen und schieben (z.B. Ansichten eines Körpers mit 5–8 Würfeln)
• MA.2.C.3.gKörper in der Vorstellung verändern und Ergebnisse beschreiben (z.B. Ecken eines Würfels abschleifen); Operationen im Kopf ausführen und Ergebnisse skizzieren

Quelle: Aargauer Lehrplan Volksschule, Fachbereich Mathematik (August 2022)

Eine kleine Zeitreise

Die Geschichte der Winkelsumme beginnt vor über 2500 Jahren im antiken Griechenland. Der Mathematiker Thales von Milet (etwa 624–547 v. Chr.) gilt als einer der ersten, die geometrische Eigenschaften systematisch erforschten. Er erkannte viele Zusammenhänge zwischen Winkeln und Seiten in Dreiecken.

Richtig berühmt wurde die Winkelsumme jedoch durch Euklid von Alexandria (etwa 300 v. Chr.). In seinem Werk „Die Elemente” bewies Euklid als einer der Ersten präzise, dass die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks immer einem gestreckten Winkel entspricht. Sein Beweis nutzte parallele Geraden und die Eigenschaften von Wechsel- und Stufenwinkeln.

Der Satz über die Winkelsumme gilt als eine der ältesten bewiesenen Tatsachen der Geometrie. Er bildet eine Grundlage für fast alle weiteren Sätze über Dreiecke. Ohne ihn wären Berechnungen in der Trigonometrie unmöglich.

Interessant ist: Euklids Beweis basiert auf dem sogenannten Parallelenaxiom. Dieses Axiom besagt, dass es zu einer Geraden und einem Punkt ausserhalb genau eine Parallele gibt. Erst im 19. Jahrhundert entdeckten Mathematiker wie Carl Friedrich Gauss, Nikolai Lobatschewski und János Bolyai, dass auf gekrümmten Flächen andere Regeln gelten. Auf einer Kugel zum Beispiel kann die Winkelsumme eines Dreiecks grösser als $180°$ sein.

In der Schulgeometrie arbeitest du mit der euklidischen Geometrie. Dort gilt die Winkelsumme von $180°$ ohne Ausnahme. Dieses Wissen wurde über Jahrhunderte weitergegeben. Von Griechenland kam es ins arabische Reich, später nach Europa. Heute ist die Winkelsumme weltweit Teil jedes Mathematikunterrichts.

Die Grundlagen

Bevor du mit Winkelsummen rechnest, solltest du einige Begriffe kennen. Ein Winkel entsteht, wenn zwei Strahlen (Schenkel) von einem gemeinsamen Punkt (Scheitel) ausgehen. Winkel werden in Grad gemessen. Ein voller Kreis entspricht $360°$.

Ein Dreieck hat drei Ecken, drei Seiten und drei Innenwinkel. Die Innenwinkel liegen innerhalb der Figur an den Ecken. Ein Viereck hat vier Ecken, vier Seiten und vier Innenwinkel.

Die Buchstaben $\alpha$ (alpha), $\beta$ (beta), $\gamma$ (gamma) und $\delta$ (delta) sind griechische Buchstaben. In der Geometrie bezeichnen sie Winkel. Sie werden den Ecken des Dreiecks oder Vierecks zugeordnet. Üblich ist: Der Winkel $\alpha$ liegt an Ecke $A$, $\beta$ an Ecke $B$ und so weiter.

Eine gerade Linie entspricht einem gestreckten Winkel von $180°$. Wenn du drei Winkel an einem Punkt so anlegst, dass sie eine gerade Linie bilden, ergeben sie zusammen $180°$.

Definition

Winkelsumme im Dreieck Die Summe aller Innenwinkel eines Dreiecks beträgt immer $180°$.

$$\alpha + \beta + \gamma = 180°$$

Dabei sind $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ die drei Innenwinkel des Dreiecks. Diese Regel gilt für jedes Dreieck – unabhängig von seiner Form oder Grösse.

Diese Eigenschaft nennt man auch Innenwinkelsumme. Sie gilt für spitzwinklige, rechtwinklige und stumpfwinklige Dreiecke. Auch gleichseitige und gleichschenklige Dreiecke folgen dieser Regel. Die Winkelsumme ist also eine universelle Eigenschaft aller Dreiecke.

Die Kernmethode

Warum beträgt die Winkelsumme im Dreieck genau $180°$? Ein anschaulicher Beweis nutzt parallele Linien. Stell dir ein Dreieck $ABC$ vor. Zeichne durch die Ecke $C$ eine Parallele zur Seite $AB$.

An der Ecke $C$ entstehen nun drei Winkel. In der Mitte liegt der Innenwinkel $\gamma$. Links und rechts entstehen zwei weitere Winkel zwischen den Dreiecksseiten und der Parallelen. Diese Winkel sind Wechselwinkel zu $\alpha$ und $\beta$.

Wechselwinkel an parallelen Geraden sind gleich gross. Das bedeutet: Der linke Winkel an $C$ ist gleich $\alpha$, der rechte ist gleich $\beta$. Die drei Winkel an $C$ bilden zusammen einen gestreckten Winkel – eine gerade Linie. Ein gestreckter Winkel beträgt $180°$. Also gilt:

$$\alpha + \beta + \gamma = 180°$$

Damit ist bewiesen: Die Winkelsumme im Dreieck ist immer $180°$.

Definition

Die Summe aller Innenwinkel eines Vierecks beträgt immer $360°$.

$$\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360°$$

Begründung: Jedes Viereck lässt sich durch eine Diagonale in zwei Dreiecke zerlegen. Jedes Dreieck hat die Winkelsumme $180°$. Zwei Dreiecke ergeben zusammen $2 \cdot 180° = 360°$.

Diese Zerlegung funktioniert bei allen Vierecken – bei Quadraten, Rechtecken, Parallelogrammen, Trapezen und sogar bei unregelmässigen Vierecken. Die Winkelsumme bleibt immer $360°$.

Beispiel:

Beispiel 1: Fehlender Winkel im Dreieck

Ein Dreieck hat die Winkel $\alpha = 65°$ und $\beta = 45°$.

Aufgabe: Berechne den dritten Winkel $\gamma$.

Lösung:

Die Winkelsumme im Dreieck beträgt $180°$:

$$\alpha + \beta + \gamma = 180°$$

Setze die bekannten Werte ein:

$$65° + 45° + \gamma = 180°$$

Addiere zuerst die bekannten Winkel:

$$110° + \gamma = 180°$$

Subtrahiere $110°$ auf beiden Seiten:

$$\gamma = 180° - 110° = 70°$$

Der dritte Winkel beträgt $\gamma = 70°$.

Beispiel:

Beispiel 2: Fehlender Winkel im Viereck

Ein Viereck hat die Winkel $\alpha = 90°$, $\beta = 85°$ und $\gamma = 110°$.

Aufgabe: Berechne den vierten Winkel $\delta$.

Lösung:

Die Winkelsumme im Viereck beträgt $360°$:

$$\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360°$$

Setze die bekannten Werte ein:

$$90° + 85° + 110° + \delta = 360°$$

Addiere die drei bekannten Winkel:

$$90° + 85° + 110° = 285°$$

Daraus ergibt sich:

$$285° + \delta = 360°$$

Subtrahiere $285°$ auf beiden Seiten:

$$\delta = 360° - 285° = 75°$$

Der vierte Winkel beträgt $\delta = 75°$. Prüfe zur Kontrolle: $90° + 85° + 110° + 75° = 360°$. Das stimmt.

Die häufigsten Stolpersteine

Beim Rechnen mit Winkelsummen passieren oft dieselben Fehler. Wenn du diese kennst, kannst du sie vermeiden.

Achtung

Stolperstein 1: Dreieck und Viereck verwechseln

Merke dir: Dreieck → $180°$ und Viereck → $360°$. Viele Schüler verwechseln die beiden Werte.

Merkhilfe: Im Dreieck bilden die Ecken eine gerade Linie ($180°$), im Viereck einen vollen Kreis ($360°$).

Achtung

Stolperstein 2: Falsch subtrahieren

Bei der Berechnung eines fehlenden Winkels musst du von der Gesamtsumme subtrahieren, nicht von einem einzelnen Winkel.

Falsch: $\gamma = 65° - 45°$ Richtig: $\gamma = 180° - 65° - 45°$

Rechne immer zuerst die bekannten Winkel zusammen. Dann ziehst du diese Summe von $180°$ oder $360°$ ab.

Achtung

Stolperstein 3: Negativen Wert erhalten

Erhältst du einen negativen Winkel, hast du einen Rechenfehler gemacht. Winkel in Dreiecken und Vierecken sind immer positiv.

Prüfe: Sind die bekannten Winkel richtig addiert? Hast du die richtige Winkelsumme verwendet ($180°$ oder $360°$)?

Achtung

Stolperstein 4: Gleichungen mit mehreren Unbekannten

Wenn zwei Winkel gleich gross sind (z. B. im gleichschenkligen Dreieck), setze dieselbe Variable.

Beispiel: Bei $\alpha = \beta$ schreibst du $\alpha + \alpha + \gamma = 180°$, also $2\alpha + \gamma = 180°$. Dann kannst du nach $\alpha$ auflösen.

Beispiel:

Beispiel 3: Gleichschenkliges Dreieck

In einem gleichschenkligen Dreieck sind die beiden Basiswinkel gleich gross. Der Winkel an der Spitze beträgt $\gamma = 40°$.

Aufgabe: Wie gross sind die beiden Basiswinkel $\alpha$ und $\beta$?

Lösung:

Da $\alpha = \beta$ gilt, verwende dieselbe Variable:

$$\alpha + \beta + \gamma = 180°$$

Setze $\alpha = \beta$ ein:

$$\alpha + \alpha + 40° = 180°$$

Fasse zusammen:

$$2\alpha + 40° = 180°$$

Subtrahiere $40°$:

$$2\alpha = 140°$$

Teile durch $2$:

$$\alpha = 70°$$

Beide Basiswinkel betragen $70°$. Prüfe: $70° + 70° + 40° = 180°$. Stimmt.

Beispiel:

Beispiel 4: Aussenwinkel im Dreieck

Ein Dreieck hat die Innenwinkel $\alpha = 50°$ und $\beta = 60°$. An der Ecke $C$ wird die Seite verlängert. So entsteht ein Aussenwinkel $\gamma'$.

Aufgabe: Berechne zuerst den Innenwinkel $\gamma$ und dann den Aussenwinkel $\gamma'$.

Lösung:

Schritt 1: Innenwinkel $\gamma$ mit der Winkelsumme berechnen:

$$\gamma = 180° - \alpha - \beta = 180° - 50° - 60° = 70°$$

Schritt 2: Innenwinkel und Aussenwinkel liegen nebeneinander auf einer geraden Linie. Ihre Summe beträgt $180°$:

$$\gamma + \gamma' = 180°$$$$\gamma' = 180° - 70° = 110°$$

Der Aussenwinkel beträgt $\gamma' = 110°$.

Du kannst auch einen schnelleren Weg nutzen: Der Aussenwinkel ist gleich der Summe der beiden nicht anliegenden Innenwinkel: $\gamma' = \alpha + \beta = 50° + 60° = 110°$. Das ergibt dasselbe Resultat.

Vertiefung

Was passiert bei Figuren mit mehr als vier Ecken? Es gibt Fünfecke, Sechsecke, Siebenecke und so weiter. Solche Figuren heissen Vielecke oder Polygone. Auch für sie gibt es eine Regel zur Winkelsumme.

Der Schlüssel liegt in der Zerlegung. Jedes Vieleck mit $n$ Ecken lässt sich von einer Ecke aus in $(n-2)$ Dreiecke zerlegen. Bei einem Fünfeck kannst du von einer Ecke zwei Diagonalen ziehen. So entstehen drei Dreiecke. Bei einem Sechseck sind es vier Dreiecke.

Definition

Die Winkelsumme in einem Vieleck mit $n$ Ecken beträgt:

$$\text{Winkelsumme} = (n - 2) \cdot 180°$$

Diese Formel gilt für alle Vielecke – regelmässige und unregelmässige, konvexe und konkave (ohne Überkreuzungen).

Schauen wir uns einige Beispiele an:

• Dreieck ($n = 3$): $(3-2) \cdot 180° = 1 \cdot 180° = 180°$
• Viereck ($n = 4$): $(4-2) \cdot 180° = 2 \cdot 180° = 360°$
• Fünfeck ($n = 5$): $(5-2) \cdot 180° = 3 \cdot 180° = 540°$
• Sechseck ($n = 6$): $(6-2) \cdot 180° = 4 \cdot 180° = 720°$
• Achteck ($n = 8$): $(8-2) \cdot 180° = 6 \cdot 180° = 1080°$

Bei einem regelmässigen Vieleck sind alle Seiten und alle Winkel gleich gross. Dann kannst du einen einzelnen Innenwinkel berechnen, indem du die gesamte Winkelsumme durch $n$ teilst:

$$\text{Einzelwinkel} = \dfrac{(n-2) \cdot 180°}{n}$$

Im regelmässigen Sechseck beträgt ein Innenwinkel also $\dfrac{720°}{6} = 120°$. Im regelmässigen Achteck sind es $\dfrac{1080°}{8} = 135°$.

Beispiel:

Beispiel 5: Innenwinkel im regelmässigen Fünfeck

Ein regelmässiges Fünfeck hat fünf gleich lange Seiten und fünf gleich grosse Innenwinkel.

Aufgabe: Berechne die Grösse eines Innenwinkels.

Lösung:

Schritt 1: Berechne die Winkelsumme mit der Formel für $n$-Ecke:

$$\text{Winkelsumme} = (n-2) \cdot 180° = (5-2) \cdot 180° = 3 \cdot 180° = 540°$$

Schritt 2: Da alle fünf Winkel gleich gross sind, teile die Winkelsumme durch $5$:

$$\text{Einzelwinkel} = \dfrac{540°}{5} = 108°$$

Jeder Innenwinkel im regelmässigen Fünfeck beträgt $108°$. Du findest diese Form auf Verkehrsschildern wie dem Stopschild, das jedoch ein Achteck ist. Fünfecke siehst du auf vielen Fussbällen als Teil des klassischen Musters aus Fünf- und Sechsecken.

Übungen

Bearbeite die folgenden Aufgaben. Die Schwierigkeit steigt von Aufgabe zu Aufgabe. Die Lösungen findest du am Ende des Artikels.

Aufgabe 1: Ein Dreieck hat die Winkel $\alpha = 40°$ und $\beta = 80°$. Berechne $\gamma$.

Aufgabe 2: Ein Viereck hat die Winkel $\alpha = 70°$, $\beta = 110°$ und $\gamma = 95°$. Berechne $\delta$.

Aufgabe 3: Ein rechtwinkliges Dreieck hat einen $90°$-Winkel und einen weiteren Winkel von $35°$. Wie gross ist der dritte Winkel?

Aufgabe 4: Ein gleichschenkliges Dreieck hat an der Spitze einen Winkel von $20°$. Berechne die beiden Basiswinkel.

Aufgabe 5: Ein gleichseitiges Dreieck hat drei gleich grosse Winkel. Wie gross ist jeder Winkel?

Aufgabe 6: Ein Viereck hat die Winkel $\alpha = 75°$, $\beta = 95°$, $\gamma = 100°$. Berechne $\delta$.

Aufgabe 7: Berechne die Winkelsumme in einem Siebeneck ($n = 7$).

Aufgabe 8: Ein regelmässiges Sechseck hat sechs gleich grosse Innenwinkel. Wie gross ist ein einzelner Winkel?

Aufgabe 9: In einem Dreieck gilt: $\alpha = \beta$ und $\gamma = \alpha + 30°$. Berechne alle drei Winkel.

Aufgabe 10: In einem Viereck sind die Winkel der Reihe nach doppelt so gross wie der vorherige: $\beta = 2\alpha$, $\gamma = 2\beta$, $\delta = 2\gamma$. Berechne alle vier Winkel.

Das Wichtigste in Kürze

Die Winkelsumme ist eine fundamentale Eigenschaft geometrischer Figuren. Im Dreieck beträgt sie immer $180°$, im Viereck immer $360°$. Diese Werte gelten für jede Form – egal wie die Figur aussieht.

Für beliebige Vielecke mit $n$ Ecken gilt die Formel $(n-2) \cdot 180°$. Sie basiert auf der Zerlegung des Vielecks in Dreiecke.

Mit der Winkelsumme kannst du fehlende Winkel berechnen. Gehe dabei systematisch vor: Zuerst die bekannten Winkel addieren, dann die Summe von der Gesamtwinkelsumme abziehen. Prüfe stets, ob deine Lösung plausibel ist – alle Winkel müssen positiv sein, und die Summe muss stimmen.

❓ Frage:

Ein Dreieck hat die Winkel $\alpha = 30°$ und $\beta = 90°$. Wie gross ist $\gamma$?

Lösung anzeigen

$\gamma = 180° - 30° - 90° = 60°$. Es handelt sich um ein rechtwinkliges Dreieck mit einem $30°$- und einem $60°$-Winkel.

❓ Frage:

Ein Viereck hat drei rechte Winkel (je $90°$). Wie gross ist der vierte Winkel?

Lösung anzeigen

$\delta = 360° - 3 \cdot 90° = 360° - 270° = 90°$. Das Viereck ist ein Rechteck (oder Quadrat).

❓ Frage:

Wie gross ist die Winkelsumme in einem Sechseck ($n = 6$)?

Lösung anzeigen

$(6 - 2) \cdot 180° = 4 \cdot 180° = 720°$.

❓ Frage:

In einem gleichschenkligen Dreieck beträgt ein Basiswinkel $55°$. Wie gross ist der Winkel an der Spitze?

Lösung anzeigen

Beide Basiswinkel sind gleich gross, also $55°$ und $55°$. Der Winkel an der Spitze beträgt $\gamma = 180° - 55° - 55° = 70°$.

❓ Frage:

Wie gross ist ein Innenwinkel in einem regelmässigen Achteck?

Lösung anzeigen

Winkelsumme: $(8-2) \cdot 180° = 1080°$. Ein Winkel: $1080° : 8 = 135°$.

Ausblick

Die Winkelsumme ist ein Sprungbrett zu vielen weiteren Themen. In den kommenden Klassenstufen lernst du besondere Dreiecke genauer kennen – gleichschenklige, rechtwinklige und gleichseitige Dreiecke mit ihren speziellen Eigenschaften. Auch die Winkel an geschnittenen parallelen Geraden werden wichtig. Sie helfen dir, den Beweis der Winkelsumme nachzuvollziehen.

Später in der Trigonometrie verwendest du die Winkelsumme, um Seitenlängen und Winkel in beliebigen Dreiecken zu berechnen. Sätze wie der Sinussatz und der Kosinussatz bauen direkt darauf auf. Die Geometrie wird so zu einem mächtigen Werkzeug für viele Anwendungen.

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 1:

$$\gamma = 180° - \alpha - \beta = 180° - 40° - 80° = 60°$$

Lösung zu Aufgabe 2:

$$\delta = 360° - \alpha - \beta - \gamma = 360° - 70° - 110° - 95° = 85°$$

Lösung zu Aufgabe 3:

Die drei Winkel summieren sich zu $180°$:

$$\gamma = 180° - 90° - 35° = 55°$$

Der dritte Winkel beträgt $55°$.

Lösung zu Aufgabe 4:

Die beiden Basiswinkel sind gleich gross: $\alpha = \beta$. Der Winkel an der Spitze ist $\gamma = 20°$.

$$\alpha + \alpha + 20° = 180°$$ $$2\alpha = 160°$$ $$\alpha = 80°$$

Beide Basiswinkel betragen $80°$.

Lösung zu Aufgabe 5:

Im gleichseitigen Dreieck sind alle drei Winkel gleich gross:

$$3\alpha = 180°$$ $$\alpha = 60°$$

Jeder Winkel misst $60°$.

Lösung zu Aufgabe 6:

$$\delta = 360° - 75° - 95° - 100° = 90°$$

Der vierte Winkel beträgt $90°$.

Lösung zu Aufgabe 7:

Verwende die Formel für $n$-Ecke mit $n = 7$:

$$\text{Winkelsumme} = (7-2) \cdot 180° = 5 \cdot 180° = 900°$$

Die Winkelsumme im Siebeneck beträgt $900°$.

Lösung zu Aufgabe 8:

Winkelsumme im Sechseck:

$$(6-2) \cdot 180° = 720°$$

Bei sechs gleich grossen Winkeln:

$$\text{Einzelwinkel} = \dfrac{720°}{6} = 120°$$

Ein Innenwinkel beträgt $120°$.

Lösung zu Aufgabe 9:

Setze die Bedingungen in die Winkelsumme ein. Mit $\alpha = \beta$ und $\gamma = \alpha + 30°$ ergibt sich:

$$\alpha + \alpha + (\alpha + 30°) = 180°$$ $$3\alpha + 30° = 180°$$ $$3\alpha = 150°$$ $$\alpha = 50°$$

Also $\alpha = \beta = 50°$ und $\gamma = 50° + 30° = 80°$. Prüfe: $50° + 50° + 80° = 180°$.

Lösung zu Aufgabe 10:

Mit $\beta = 2\alpha$, $\gamma = 2\beta = 4\alpha$ und $\delta = 2\gamma = 8\alpha$ ergibt sich:

$$\alpha + 2\alpha + 4\alpha + 8\alpha = 360°$$ $$15\alpha = 360°$$ $$\alpha = 24°$$

Daraus folgt: $\beta = 48°$, $\gamma = 96°$, $\delta = 192°$.

Prüfe: $24° + 48° + 96° + 192° = 360°$. Stimmt. Beachte: Da $\delta > 180°$, handelt es sich um ein nicht-konvexes (überschlagenes) Viereck, bei dem eine Ecke „nach innen” zeigt.

Verwandte Themen

• Winkel an Geraden – Scheitel-, Neben-, Stufen- und Wechselwinkel
• Besondere Dreiecke erkennen und verstehen
• Zusammenhänge im Dreieck – Seiten, Winkel und besondere Linien

Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport