Multiplizieren und Dividieren mit ganzen Zahlen – So klappt's mit Plus und Minus

Darum geht's

Stell dir vor, du leihst dir jeden Tag Geld von einem Freund. Fünf Franken pro Tag, sieben Tage lang. Wie viel Schulden hast du am Ende? Oder du bezahlst jeden Tag zehn Franken zurück – drei Tage lang. Wie verändert sich dein Kontostand?

Solche Situationen begegnen dir ständig im Alltag. Temperaturen fallen unter null. Tauchboote sinken unter den Meeresspiegel. Konten rutschen ins Minus. Die Mathematik hinter all dem ist dieselbe: das Rechnen mit ganzen Zahlen. In diesem Artikel lernst du die Vorzeichenregeln für Multiplikation und Division – sicher, verständlich und Schritt für Schritt.

Eine kleine Zeitreise

Die Geschichte der negativen Zahlen ist überraschend lang und voller Widerstand. Für uns ist es heute selbstverständlich, mit Minus-Zahlen zu rechnen. Aber Mathematiker brauchten Jahrtausende, um negative Zahlen überhaupt anzuerkennen.

Indien, 7. Jahrhundert: Der indische Mathematiker Brahmagupta war einer der ersten, der negative Zahlen systematisch verwendete. Er nannte sie «Schulden» und positive Zahlen «Vermögen». In seinem Werk Brahmasphutasiddhanta aus dem Jahr 628 n. Chr. beschrieb er Rechenregeln, die unseren heutigen Vorzeichenregeln sehr ähneln. Schulden mal Schulden ergeben Vermögen – das klingt seltsam, ist aber mathematisch korrekt.

China, noch früher: Im chinesischen Werk «Neun Kapitel über die mathematische Kunst» (ca. 200 v. Chr.) tauchen negative Zahlen bereits auf. Rote Rechenstäbe standen für positive, schwarze für negative Zahlen. Das Konzept war also schon früh bekannt, auch wenn es noch keinen allgemeinen Status hatte.

Europa, viel später: Europäische Mathematiker lehnten negative Zahlen lange ab. Im 16. und 17. Jahrhundert nannten Gelehrte wie Michael Stifel negative Zahlen «absurde Zahlen». René Descartes sprach von «falschen Zahlen». Selbst Blaise Pascal, der grosse Philosoph und Mathematiker, meinte, es sei Unsinn, von null etwas abzuziehen.

Der Durchbruch: Im 18. Jahrhundert setzte sich das Verständnis negativer Zahlen langsam durch. Mathematiker wie Leonhard Euler, der in St. Petersburg und Berlin arbeitete und übrigens aus Basel stammte, formulierten die Rechenregeln präzise. Euler bewies, dass $(-1) \cdot (-1) = +1$ sein muss – nicht als willkürliche Definition, sondern als logische Konsequenz aus den Grundrechenregeln.

Warum ist das wichtig? Die Geschichte zeigt dir: Auch kluge Köpfe hatten Mühe mit negativen Zahlen. Wenn du also mal unsicher bist, bist du in guter Gesellschaft. Gleichzeitig zeigt sie, dass die Vorzeichenregeln keine willkürlichen Erfindungen sind. Sie sind das Ergebnis von Jahrhunderten mathematischen Denkens und logisch zwingend.

Die Grundlagen

Bevor du multiplizierst und dividierst, musst du wissen, womit du es zu tun hast.

Definition

Ganze Zahlen sind alle Zahlen ohne Nachkommastellen: die positiven Zahlen, die negativen Zahlen und die null.

$$\mathbb{Z} = \{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}$$

Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand von null auf dem Zahlenstrahl. Beträge sind immer positiv oder null.

$$|{-7}| = 7 \qquad |{+5}| = 5 \qquad |{0}| = 0$$

Das Vorzeichen einer Zahl gibt an, ob sie positiv oder negativ ist. Positive Zahlen haben das Vorzeichen $+$, negative das Vorzeichen $-$.

Beim Multiplizieren und Dividieren ganzer Zahlen passieren genau zwei Dinge gleichzeitig. Erstens: Du bestimmst das Vorzeichen des Ergebnisses. Zweitens: Du berechnest den Betrag des Ergebnisses. Diese zwei Schritte kannst du vollständig trennen.

Das Vorzeichen hängt einzig davon ab, ob die Vorzeichen der beteiligten Zahlen gleich oder verschieden sind. Der Betrag des Ergebnisses ergibt sich aus der Multiplikation oder Division der Beträge – ganz wie bei positiven Zahlen.

Stell dir zwei Faktoren vor: $(-4)$ und $(-7)$. Der Betrag von $(-4)$ ist $4$. Der Betrag von $(-7)$ ist $7$. Du rechnest $4 \cdot 7 = 28$. Das Vorzeichen bestimmst du danach: Beide Zahlen sind negativ, also gleiche Vorzeichen. Das Ergebnis ist positiv. Resultat: $(-4) \cdot (-7) = +28$.

Diese Trennung in Vorzeichen und Betrag macht das Rechnen übersichtlich. Du wirst sehen: Mit etwas Übung geht das automatisch.

Die Kernmethode

Definition

Beim Multiplizieren und Dividieren ganzer Zahlen gilt:

Gleiche Vorzeichen → positives Ergebnis:

$$(+a) \cdot (+b) = +ab \qquad \text{und} \qquad (-a) \cdot (-b) = +ab$$

Verschiedene Vorzeichen → negatives Ergebnis:

$$(+a) \cdot (-b) = -ab \qquad \text{und} \qquad (-a) \cdot (+b) = -ab$$

Die gleichen Regeln gelten für die Division.

Kurzregel: Zähle die Minuszeichen. Eine gerade Anzahl von Minuszeichen ergibt ein positives Ergebnis. Eine ungerade Anzahl ergibt ein negatives Ergebnis.

Die Kurzregel mit dem Zählen der Minuszeichen ist besonders nützlich, wenn du mehrere Faktoren hast. Bei $(-2) \cdot (-3) \cdot (-5)$ zählst du drei Minuszeichen. Drei ist ungerade, also ist das Ergebnis negativ: $(-2) \cdot (-3) \cdot (-5) = -30$.

Eine gute Eselsbrücke: Stell dir Daumen vor. Daumen hoch ist Plus, Daumen runter ist Minus. Wenn du zwei Daumen nach unten hast, also zwei Minuszeichen, macht das zusammen etwas Positives – doppelte Verneinung ergibt Zustimmung. Zwei negative Aussagen in einer Reihe ergeben etwas Positives, genau wie in der Sprache.

Vorgehen in drei Schritten:

1. Vorzeichen des Ergebnisses bestimmen (Minuszeichen zählen).
2. Betrag berechnen (mit positiven Zahlen rechnen).
3. Vorzeichen und Betrag zusammensetzen.

Beispiel:

Beispiel 1: Einfache Multiplikation

Berechne $(-4) \cdot 7$.

Lösung:

Schritt 1 – Vorzeichen bestimmen: Ein Faktor ist negativ, einer ist positiv. Verschiedene Vorzeichen ergeben ein negatives Ergebnis.

Schritt 2 – Betrag berechnen: $4 \cdot 7 = 28$

Schritt 3 – Zusammensetzen:

$$(-4) \cdot 7 = -28$$

Das Ergebnis ist $-28$. Ein positiver mal ein negativer Faktor ergibt immer ein negatives Produkt. Du kannst es dir so vorstellen: Du hast siebenmal Schulden von vier Franken aufgenommen – das macht insgesamt 28 Franken Schulden.

Beispiel:

Beispiel 2: Division mit zwei negativen Zahlen

Berechne $(-24) : (-6)$.

Lösung:

Schritt 1 – Vorzeichen bestimmen: Dividend und Divisor sind beide negativ. Gleiche Vorzeichen ergeben ein positives Ergebnis.

Schritt 2 – Betrag berechnen: $24 : 6 = 4$

Schritt 3 – Zusammensetzen:

$$(-24) : (-6) = +4 = 4$$

Das positive Vorzeichen schreibt man üblicherweise nicht hin. Das Ergebnis ist einfach $4$.

Prüfe nach: $(-6) \cdot 4 = -24$. ✓

Das Nachprüfen durch Gegenrechnen ist eine gute Gewohnheit. Du erkennst sofort, ob du einen Fehler gemacht hast.

Die häufigsten Stolpersteine

Achtung

Vorzeichen vergessen: Schreibe bei negativen Ergebnissen immer das Minuszeichen. Die Rechnung $(-3) \cdot 8 = -24$ ist korrekt. Wer schreibt $(-3) \cdot 8 = 24$, hat einen schwerwiegenden Fehler. Das Vorzeichen ist Teil des Ergebnisses, nicht eine optionale Ergänzung.

Achtung

Verwechslung bei Klammern und Potenzen: Die Ausdrücke $(-3)^2$ und $-3^2$ bedeuten verschiedene Dinge.

$(-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = +9$ – hier wird die negative Zahl quadriert.

$-3^2 = -(3^2) = -(9) = -9$ – hier wird nur die $3$ quadriert, das Minus gehört aussen dazu.

Setze immer Klammern, wenn du eine negative Zahl potenzierst. So vermeidest du Missverständnisse.

Achtung

Punkt vor Strich vergessen: Bei gemischten Rechnungen wie $-2 + 3 \cdot (-4)$ musst du zuerst die Multiplikation ausführen. Erst danach addierst du.

Richtig: $3 \cdot (-4) = -12$, dann $-2 + (-12) = -14$.

Falsch: $-2 + 3 = 1$, dann $1 \cdot (-4) = -4$.

Die Punkt-vor-Strich-Regel gilt auch dann, wenn negative Zahlen mitspielen.

Achtung

Division durch null: Durch null darfst du nie teilen – weder mit positiven noch mit negativen Zahlen. Der Ausdruck $\dfrac{-5}{0}$ ist nicht definiert. Wenn du bei einer Aufgabe durch null dividieren müsstest, hast du entweder die Aufgabe falsch gelesen oder es handelt sich um eine Fangfrage.

Beispiel:

Beispiel 3: Mehrere Faktoren

Berechne $(-2) \cdot (-3) \cdot (-4)$.

Lösung:

Schritt 1 – Vorzeichen bestimmen: Zähle die Minuszeichen: drei. Drei ist ungerade. Das Ergebnis ist negativ.

Schritt 2 – Betrag berechnen: $2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$

Schritt 3 – Zusammensetzen:

$$(-2) \cdot (-3) \cdot (-4) = -24$$

Du kannst auch schrittweise vorgehen:

$$(-2) \cdot (-3) = +6$$$$(+6) \cdot (-4) = -24$$

Beide Methoden führen zum gleichen Ergebnis. Wähle die Methode, die dir leichter fällt. Mit mehr Übung wirst du die Minuszeichen automatisch zählen.

Beispiel:

Beispiel 4: Textaufgabe mit Temperatur

Die Temperatur sinkt jeden Tag um $3$ Grad Celsius. Wie verändert sich die Temperatur in einer Woche?

Lösung:

Überlegung: «Sinken» bedeutet eine Veränderung in negativer Richtung. Die tägliche Veränderung beträgt $-3$ Grad. Eine Woche hat 7 Tage.

Rechnung:

$$7 \cdot (-3) = -21$$

Antwort: Die Temperatur sinkt in einer Woche um 21 Grad Celsius.

Wenn es zu Beginn der Woche $-2$ Grad hatte, beträgt die Temperatur am Ende:

$$-2 + (-21) = -23 \text{ Grad Celsius}$$

Textaufgaben verlangen, dass du die Situation in eine Rechnung überträgst. «Sinken», «abnehmen», «verlieren» und «Schulden» deuten auf negative Zahlen hin.

Vertiefung

Wenn du die Grundregeln sicher beherrschst, kannst du einen Schritt weiter gehen. Negative Zahlen tauchen nicht nur in einfachen Multiplikationen auf. Sie erscheinen in Termen mit Variablen, in Gleichungen und in Formeln.

Definition

Die Vorzeichenregeln gelten genauso, wenn Variablen im Spiel sind. Für beliebige ganze Zahlen $a$ und $b$ gilt:

$$(-a) \cdot b = -(a \cdot b) = -ab$$$$(-a) \cdot (-b) = a \cdot b = ab$$

Ein häufiger Spezialfall: $(-1) \cdot a = -a$ und $(-1) \cdot (-a) = a$.

Negative Zahlen in Termen erkennt man oft an einem Minuszeichen vor der Klammer:

$$-(a + b) = -a - b \qquad \text{und} \qquad -(a - b) = -a + b$$

Ein Minuszeichen vor einer Klammer kehrt alle Vorzeichen im Innern um. Das ist im Grunde eine Multiplikation mit $(-1)$. Wenn du die Klammer auflöst, wendest du genau die Vorzeichenregeln an, die du bereits kennst.

Schaue dir den Ausdruck $-(3 - 7)$ an. Du könntest zuerst die Klammer ausrechnen: $3 - 7 = -4$, dann $-(-4) = +4$. Oder du löst die Klammer auf: $-3 + 7 = 4$. Das Ergebnis ist dasselbe.

Diese Technik brauchst du später beim Vereinfachen von Termen und beim Lösen von Gleichungen. Je sicherer du jetzt mit den Vorzeichen umgehst, desto leichter wird dir das Algebra in der Mittelstufe fallen.

Ein weiterer Zusammenhang: Die Vorzeichenregeln für die Multiplikation begründen auch, warum eine gerade Potenz einer negativen Zahl immer positiv ist. $(-a)^2 = (-a) \cdot (-a) = a^2$. Eine ungerade Potenz bleibt negativ: $(-a)^3 = (-a) \cdot (-a) \cdot (-a) = a^2 \cdot (-a) = -a^3$.

Beispiel:

Beispiel 5: Vertiefung – Terme mit Variablen

Vereinfache $(-3) \cdot (-2a) \cdot 4$.

Lösung:

Schritt 1 – Vorzeichen bestimmen: Zähle die Minuszeichen. Es gibt zwei: das Minus vor der $3$ und das Minus vor dem $2a$. Zwei ist gerade. Das Ergebnis ist positiv.

Schritt 2 – Zahlenwerte berechnen: $3 \cdot 2 \cdot 4 = 24$

Schritt 3 – Zusammensetzen:

$$(-3) \cdot (-2a) \cdot 4 = +24a = 24a$$

Probe mit $a = 2$:

$$(-3) \cdot (-4) \cdot 4 = 12 \cdot 4 = 48 = 24 \cdot 2 \checkmark$$

Das Vorgehen ist identisch mit dem bei reinen Zahlen. Die Variable $a$ wird einfach mitgenommen.

Übungen

Löse die folgenden Aufgaben selbstständig. Die Lösungen findest du am Ende des Artikels. Die Aufgaben sind nach aufsteigender Schwierigkeit geordnet.

Niveau 1 – Grundrechenarten

Aufgabe 1: Berechne $(-6) \cdot 5$.

Aufgabe 2: Berechne $(-9) \cdot (-4)$.

Aufgabe 3: Berechne $(-35) : 7$.

Aufgabe 4: Berechne $(-48) : (-8)$.

Niveau 2 – Mehrere Faktoren

Aufgabe 5: Berechne $(-2) \cdot (-5) \cdot 3$.

Aufgabe 6: Berechne $(-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1)$.

Niveau 3 – Gemischte Rechnungen

Aufgabe 7: Berechne $(-4)^2 - 3 \cdot (-5)$.

Aufgabe 8: Berechne $\dfrac{(-3) \cdot (-8)}{(-6)}$.

Niveau 4 – Textaufgaben

Aufgabe 9: Ein Taucher sinkt gleichmässig in die Tiefe. Pro Minute sinkt er $4$ Meter. Wie verändert sich seine Position in $6$ Minuten? Gib die Tiefe als ganze Zahl an.

Aufgabe 10: In einer Fabrik wird eine Maschine täglich um $5$ Grad Celsius abgekühlt. Die Starttemperatur beträgt $20$ Grad Celsius. Nach wie vielen Tagen beträgt die Temperatur $-15$ Grad Celsius?

Das Wichtigste in Kürze

Beim Multiplizieren und Dividieren mit ganzen Zahlen brauchst du zwei Dinge: das Vorzeichen und den Betrag des Ergebnisses.

Das Vorzeichen bestimmst du mit einer einzigen Regel: Gleiche Vorzeichen ergeben Plus, verschiedene Vorzeichen ergeben Minus. Bei mehreren Faktoren zählst du die Minuszeichen. Eine gerade Anzahl ergibt Plus, eine ungerade ergibt Minus.

Den Betrag berechnest du wie gewohnt – mit positiven Zahlen, ohne Vorzeichen.

Diese Regeln gelten für Multiplikation und Division gleichermassen. Sie gelten auch dann, wenn Variablen mitspielen. Und sie sind die Grundlage für das Rechnen mit Potenzen, Termen und Gleichungen, das dich in den nächsten Schuljahren erwartet.

❓ Frage: Berechne: $(-5) \cdot (-8)$

Lösung anzeigen

$(-5) \cdot (-8) = 40$ Beide Faktoren sind negativ. Gleiche Vorzeichen ergeben Plus. Der Betrag ist $5 \cdot 8 = 40$. Das Ergebnis ist positiv: $40$.

❓ Frage: Berechne: $(-36) : 9$

Lösung anzeigen

$(-36) : 9 = -4$ Verschiedene Vorzeichen (negativ geteilt durch positiv) ergeben Minus. Der Betrag ist $36 : 9 = 4$. Das Ergebnis ist $-4$.

❓ Frage: Die Temperatur beträgt $-8$ Grad. Sie verdreifacht sich. Wie kalt ist es jetzt?

Lösung anzeigen

$3 \cdot (-8) = -24$ Grad Celsius «Verdreifachen» einer negativen Temperatur macht sie noch kälter. Ein positiver Faktor mal ein negativer ergibt ein negatives Ergebnis. Es ist jetzt $24$ Grad kälter.

❓ Frage: Wie viele Minuszeichen ergeben ein positives Ergebnis: drei oder vier?

Lösung anzeigen

Vier Minuszeichen ergeben ein positives Ergebnis. Vier ist eine gerade Zahl. Eine gerade Anzahl von Minuszeichen führt immer zu einem positiven Ergebnis. Drei Minuszeichen (ungerade) ergäben ein negatives Ergebnis.

❓ Frage: Ist $(-3)^2$ positiv oder negativ? Was ist das Ergebnis?

Lösung anzeigen

$(-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = +9$ – das Ergebnis ist positiv. Zwei negative Faktoren mit gleichen Vorzeichen ergeben ein positives Produkt. Jede gerade Potenz einer negativen Zahl ist positiv. Achtung: $-3^2 = -9$ (ohne Klammern) wäre etwas anderes.

Ausblick

Die Vorzeichenregeln, die du hier gelernt hast, sind ein Fundament. Du wirst ihnen immer wieder begegnen.

In der 8. Klasse nutzt du sie beim Vereinfachen von Termen: $-2 \cdot (3x - 4) = -6x + 8$. In Gleichungen wendest du sie an, wenn du beide Seiten mit einer negativen Zahl multiplizierst – und dabei das Ungleichungszeichen umkehren musst. Später in der Geometrie tauchen sie bei Koordinaten auf, in der Physik bei Kräften und Geschwindigkeiten und in der Statistik bei negativen Abweichungen.

Wer jetzt sicher rechnet, spart sich später viel Mühe. Die Rechenregeln für negative Zahlen sind in Fleisch und Blut übergegangen, wenn du sie genug geübt hast.

Lösungen

Aufgabe 1: Berechne $(-6) \cdot 5$.

Vorzeichen: ein negatives und ein positives Vorzeichen – verschieden, also Minus.

Betrag: $6 \cdot 5 = 30$.

$$(-6) \cdot 5 = -30$$

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Aufgabe 2: Berechne $(-9) \cdot (-4)$.

Vorzeichen: beide negativ – gleich, also Plus.

Betrag: $9 \cdot 4 = 36$.

$$(-9) \cdot (-4) = 36$$

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Aufgabe 3: Berechne $(-35) : 7$.

Vorzeichen: Dividend negativ, Divisor positiv – verschieden, also Minus.

Betrag: $35 : 7 = 5$.

$$(-35) : 7 = -5$$

Probe: $(-5) \cdot 7 = -35$ ✓

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Aufgabe 4: Berechne $(-48) : (-8)$.

Vorzeichen: beide negativ – gleich, also Plus.

Betrag: $48 : 8 = 6$.

$$(-48) : (-8) = 6$$

Probe: $6 \cdot (-8) = -48$ ✓

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Aufgabe 5: Berechne $(-2) \cdot (-5) \cdot 3$.

Minuszeichen zählen: zwei Minuszeichen. Zwei ist gerade, also positives Ergebnis.

Betrag: $2 \cdot 5 \cdot 3 = 30$.

$$(-2) \cdot (-5) \cdot 3 = 30$$

Schrittweise: $(-2) \cdot (-5) = 10$, dann $10 \cdot 3 = 30$. ✓

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Aufgabe 6: Berechne $(-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1)$.

Minuszeichen zählen: fünf Minuszeichen. Fünf ist ungerade, also negatives Ergebnis.

Betrag: $1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$.

$$(-1)^5 = -1$$

Merke: Jede ungerade Potenz von $(-1)$ ergibt $-1$. Jede gerade Potenz ergibt $+1$.

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Aufgabe 7: Berechne $(-4)^2 - 3 \cdot (-5)$.

Zuerst die Potenz: $(-4)^2 = (-4) \cdot (-4) = 16$.

Dann die Multiplikation: $3 \cdot (-5) = -15$.

Jetzt subtrahieren:

$$16 - (-15) = 16 + 15 = 31$$ $$(-4)^2 - 3 \cdot (-5) = 31$$

Wichtig: Minus minus ergibt Plus. Das Subtrahieren einer negativen Zahl ist dasselbe wie Addieren.

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Aufgabe 8: Berechne $\dfrac{(-3) \cdot (-8)}{(-6)}$.

Zähler: $(-3) \cdot (-8) = 24$ (gleiche Vorzeichen, positiv).

Division: $24 : (-6)$. Verschiedene Vorzeichen, also negatives Ergebnis. Betrag: $24 : 6 = 4$.

$$\dfrac{(-3) \cdot (-8)}{(-6)} = \dfrac{24}{-6} = -4$$

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Aufgabe 9: Ein Taucher sinkt $4$ Meter pro Minute. Wie verändert sich seine Position in $6$ Minuten?

«Sinken» bedeutet eine negative Richtung: $-4$ Meter pro Minute.

$$6 \cdot (-4) = -24$$

Der Taucher ist nach 6 Minuten 24 Meter tiefer als zu Beginn. Seine Position hat sich um $-24$ Meter verändert.

Wenn er zu Beginn auf Meeresspiegel war ($0$ Meter), befindet er sich jetzt bei $-24$ Metern (24 Meter unter dem Meeresspiegel).

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Aufgabe 10: Starttemperatur $20$ Grad. Abkühlung $5$ Grad pro Tag. Nach wie vielen Tagen beträgt die Temperatur $-15$ Grad?

Gesuchte Veränderung: von $20$ auf $-15$ Grad. Das sind $20 - (-15) = 35$ Grad Abkühlung.

Abkühlung pro Tag: $5$ Grad.

$$35 : 5 = 7 \text{ Tage}$$

Probe: $20 + 7 \cdot (-5) = 20 + (-35) = 20 - 35 = -15$ ✓

Nach 7 Tagen beträgt die Temperatur $-15$ Grad Celsius.

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• Negative Zahlen verstehen und anwenden

Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport