Brüche addieren und subtrahieren – Einfach erklärt mit Beispielen

Weiterführend:

• Zur Kapitelübersicht „Bruchzahlen”
• Vorwissen: Erweitern und Kürzen
• Vorwissen: Brüche vergleichen
• Als Nächstes: Brüche multiplizieren

Darum geht's

Stell dir vor, du backst Pizza mit Freunden. Eine Person isst einen Viertel der Pizza, eine andere einen Achtel. Wie viel Pizza ist insgesamt weg? Du kannst die Stücke nicht einfach zusammenzählen, weil sie unterschiedlich gross sind. Du musst sie erst vergleichbar machen. Genau darum geht es beim Addieren und Subtrahieren von Brüchen.

Im Alltag begegnest du solchen Situationen ständig: beim Teilen von Kosten, beim Abmessen von Zutaten oder beim Planen einer Wanderung in Etappen. In diesem Artikel lernst du, wie du Brüche gleichnamig machst, wie dir das kleinste gemeinsame Vielfache dabei hilft und wie das Rechteckmodell jede Rechnung sichtbar macht.

📋Lehrplan 21Zyklus 2 (3.–6. Klasse) · 3Kompetenzen

• MA.1.A.1.gBegriffe Bruch, Prozent, Teiler, Vielfache, Zähler, Nenner, überschlagen, runden; Symbole %, ≈; Dezimalzahlen und Brüche lesen und schreiben
• MA.1.A.3.fDezimalzahlen bis 5 Wertziffern addieren/subtrahieren; Brüche am Rechteckmodell kürzen, erweitern, addieren, subtrahieren; Grundoperationen mit Rechner
• MA.1.C.1.gSummen, Differenzen und Produkte von Brüchen und Dezimalzahlen mit Modellen darstellen (Rechteckmodell, Kreismodell)

Quelle: Aargauer Lehrplan Volksschule, Fachbereich Mathematik (August 2022)

Eine kleine Zeitreise

Die Geschichte der Bruchrechnung beginnt vor mehr als 4000 Jahren. Die alten Ägypter waren die ersten, die systematisch mit Brüchen arbeiteten. Sie nutzten Brüche, um Land zu vermessen und Getreide gerecht zu verteilen. Die Babylonier entwickelten etwa zur gleichen Zeit ein anderes System: ein Stellenwertsystem mit der Basis 60. Noch heute nutzen wir ihr Erbe – die Einteilung der Stunde in 60 Minuten geht auf die Babylonier zurück.

Gefahr

Mathe-Fact: Die Ägypter verwendeten fast ausschliesslich Stammbrüche – Brüche mit dem Zähler 1. Der Bruch $\dfrac{3}{4}$ wurde als Summe $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}$ geschrieben. Nur der Bruch $\dfrac{2}{3}$ erhielt ein eigenes Symbol. Eine Addition von Brüchen war für die Ägypter also Alltag – lange bevor es ein Gleichheitszeichen gab.

Ein entscheidender Durchbruch gelang den indischen Mathematikern im 5. Jahrhundert. Brahmagupta entwickelte Regeln für das Rechnen mit Brüchen, die unseren heutigen Methoden sehr ähnlich sind. Er erkannte: Bevor man Brüche addiert oder subtrahiert, muss man sie auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Diese Erkenntnis war revolutionär.

Im Mittelalter brachten arabische Gelehrte das Wissen nach Europa. Der persische Mathematiker Al-Chwarizmi beschrieb im 9. Jahrhundert das Rechnen mit Brüchen systematisch. Der italienische Mathematiker Leonardo Fibonacci machte im 13. Jahrhundert die moderne Bruchschreibweise mit dem Bruchstrich in Europa bekannt. In seinem Buch «Liber Abaci» zeigte er Kaufleuten, wie sie mit Brüchen Währungen umrechnen und Gewinne verteilen.

Im 16. Jahrhundert führte der deutsche Rechenmeister Adam Ries die Bruchrechnung in den Schulunterricht ein. Seine Bücher waren so verständlich, dass auch normale Bürger sie nutzen konnten. Der Ausspruch «nach Adam Riese» erinnert noch heute an ihn. Die Schreibweise, die du heute lernst, wurde schliesslich im 17. und 18. Jahrhundert vereinheitlicht – unter anderem durch Leonhard Euler.

Die Grundlagen

Ein Bruch besteht aus zwei Teilen: dem Zähler und dem Nenner. Der Zähler steht über dem Bruchstrich, der Nenner darunter. Der Bruch $\dfrac{3}{4}$ bedeutet: Du teilst ein Ganzes in 4 gleiche Teile und nimmst 3 davon. Der Nenner gibt also an, wie gross die Teile sind. Der Zähler sagt, wie viele dieser Teile du betrachtest.

Definition

Brüche heissen gleichnamig, wenn sie denselben Nenner haben. Beispiel: $\dfrac{3}{8}$ und $\dfrac{5}{8}$ sind gleichnamig. Brüche mit verschiedenen Nennern heissen ungleichnamig. Nur gleichnamige Brüche kannst du direkt addieren oder subtrahieren.

Warum ist das so? Das Rechteckmodell macht es sichtbar. Zeichne ein Rechteck und teile es in 8 gleich breite Streifen. Färbst du 3 Streifen für $\dfrac{3}{8}$ und 2 weitere für $\dfrac{2}{8}$, kannst du die gefärbten Streifen einfach zählen: 5 von 8 Streifen, also $\dfrac{5}{8}$. Alle Teile sind gleich gross – darum darfst du zählen.

Bei ungleichnamigen Brüchen funktioniert das Zählen nicht. Ein Drittel-Streifen und ein Viertel-Streifen sind verschieden breit. Hier hilft ein Trick: Teile das Rechteck für den einen Bruch senkrecht in 3 Spalten und für den anderen waagrecht in 4 Zeilen. Es entstehen $3 \cdot 4 = 12$ gleich grosse Felder. Aus $\dfrac{1}{3}$ werden 4 Felder, aus $\dfrac{1}{4}$ werden 3 Felder. Das Rechteckmodell erzeugt den gemeinsamen Nenner von selbst.

Rechnerisch heisst dieser Schritt Erweitern: Du multiplizierst Zähler und Nenner mit derselben Zahl. Der Wert des Bruchs bleibt dabei gleich:

$$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{4}{12}$$

Der gemeinsame Nenner muss ein Vielfaches beider ursprünglichen Nenner sein. Am geschicktesten wählst du das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV). Das kgV von 4 und 6 ist 12, weil 12 die kleinste Zahl ist, die durch 4 und durch 6 teilbar ist.

Die Kernmethode

Das Addieren und Subtrahieren von Brüchen folgt immer demselben Schema – egal wie kompliziert die Aufgabe aussieht.

Schritt 1: Prüfe die Nenner. Sind sie gleich, kannst du sofort rechnen. Sind sie verschieden, brauchst du einen gemeinsamen Nenner.

Schritt 2: Finde den Hauptnenner. Bestimme das kgV aller Nenner. Liste dazu die Vielfachen jedes Nenners auf, bis du eine gemeinsame Zahl findest. Bei 4 und 6: Vielfache von 4 sind 4, 8, 12; Vielfache von 6 sind 6, 12. Das kgV ist 12.

Schritt 3: Erweitere alle Brüche. Teile den Hauptnenner durch den alten Nenner – das ergibt den Erweiterungsfaktor. Multipliziere Zähler und Nenner mit diesem Faktor.

Schritt 4: Addiere oder subtrahiere die Zähler. Der Nenner bleibt unverändert.

Schritt 5: Kürze das Ergebnis. Teile Zähler und Nenner durch ihren grössten gemeinsamen Teiler.

Schritt 6: Kontrolliere. Bei einer Addition muss das Ergebnis grösser sein als jeder einzelne Summand. Bei einer Subtraktion wird es kleiner als der erste Bruch.

Definition

Der Hauptnenner ist der gemeinsame Nenner, auf den du alle Brüche einer Aufgabe bringst – idealerweise das kgV der vorhandenen Nenner. Für gleichnamige Brüche gilt die Grundregel:

$$\frac{a}{n} \pm \frac{b}{n} = \frac{a \pm b}{n}$$

Du verrechnest nur die Zähler $a$ und $b$. Der Nenner $n$ bleibt gleich, denn er beschreibt nur die Grösse der Teile.

Beispiel:

Beispiel 1: Gleichnamige Brüche – Die Schokolade

Lisa isst $\dfrac{1}{4}$ einer Tafel Schokolade. Tom isst $\dfrac{1}{4}$ derselben Tafel. Wie viel Schokolade haben beide zusammen gegessen?

Gegeben: Lisas Anteil $\dfrac{1}{4}$, Toms Anteil $\dfrac{1}{4}$

Gesucht: Gesamter gegessener Anteil

Lösung:

Beide Brüche haben den Nenner 4. Sie sind gleichnamig, du musst nichts erweitern. Addiere die Zähler:

$$\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1+1}{4} = \frac{2}{4}$$

Das Ergebnis kannst du kürzen. Zähler und Nenner sind durch 2 teilbar:

$$\frac{2}{4} = \frac{2:2}{4:2} = \frac{1}{2}$$

Antwort: Lisa und Tom haben zusammen die Hälfte der Tafel gegessen.

Kontrolle: Zwei Viertelstücke nebeneinander bedecken im Rechteckmodell genau die halbe Tafel. ✓

Beispiel:

Beispiel 2: Ungleichnamige Brüche im Rechteckmodell

Berechne $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4}$ mit dem Rechteckmodell.

Gegeben: Die Summanden $\dfrac{1}{3}$ und $\dfrac{1}{4}$

Gesucht: Die Summe als gekürzter Bruch

Lösung:

Zeichne ein Rechteck. Teile es senkrecht in 3 Spalten und färbe eine Spalte: das ist $\dfrac{1}{3}$. Teile dasselbe Rechteck waagrecht in 4 Zeilen und schraffiere eine Zeile: das ist $\dfrac{1}{4}$. Das Rechteck besteht jetzt aus $3 \cdot 4 = 12$ gleich grossen Feldern.

Die gefärbte Spalte umfasst 4 Felder, die schraffierte Zeile 3 Felder. Rechnerisch ist das genau das Erweitern auf den Hauptnenner 12:

$$\frac{1}{3} = \frac{4}{12} \qquad \text{und} \qquad \frac{1}{4} = \frac{3}{12}$$

Jetzt addierst du die gleichnamigen Brüche:

$$\frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{4+3}{12} = \frac{7}{12}$$

Antwort: Die Summe beträgt $\dfrac{7}{12}$. Der Bruch ist vollständig gekürzt, weil 7 eine Primzahl ist und 12 nicht teilt.

Kontrolle: $\dfrac{7}{12}$ liegt zwischen $\dfrac{1}{2}$ und 1. Das passt, denn ein Drittel plus ein Viertel ist etwas mehr als die Hälfte. ✓

Die häufigsten Stolpersteine

Beim Addieren und Subtrahieren von Brüchen passieren bestimmte Fehler immer wieder. Wenn du sie kennst, vermeidest du sie leichter.

Achtung

Stolperstein 1: Nenner werden addiert

Der häufigste Fehler: Aus $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4}$ wird fälschlicherweise $\dfrac{2}{7}$. Das ist grundlegend falsch. Der Nenner gibt die Grösse der Teile an – die Teile werden beim Zusammenzählen nicht kleiner. Richtig ist: Hauptnenner 12, also $\dfrac{4}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{7}{12}$. Vergleiche: $\dfrac{7}{12}$ ist mehr als die Hälfte, $\dfrac{2}{7}$ ist deutlich weniger. Das Rechteckmodell zeigt dir den Unterschied sofort.

Achtung

Stolperstein 2: Beim Erweitern den Zähler vergessen

Viele finden den richtigen Hauptnenner, passen aber den Zähler nicht an. Bei $\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{6}$ schreiben sie $\dfrac{2}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{6}$. Falsch: Aus $\dfrac{2}{3}$ wird $\dfrac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \dfrac{4}{6}$, richtig ist also $\dfrac{4}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}$. Schreibe die Erweiterung immer explizit hin. Kontrolle: Kürzt du den erweiterten Bruch, muss wieder der Originalbruch entstehen.

Achtung

Stolperstein 3: Vorzeichenfehler bei der Subtraktion

Aus $\dfrac{5}{8} - \dfrac{3}{8}$ wird versehentlich $\dfrac{8}{8}$ statt $\dfrac{2}{8}$ – es wurde addiert, obwohl ein Minus dasteht. Tückisch sind gemischte Aufgaben wie $\dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{10} - \dfrac{3}{10}$: Erst alles auf den Hauptnenner bringen, dann von links nach rechts rechnen: $\dfrac{4+1-3}{10} = \dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{5}$. Markiere Minuszeichen deutlich und prüfe am Ende: Bei einer Subtraktion muss das Ergebnis kleiner werden.

Achtung

Stolperstein 4: Unnötig grosser Hauptnenner

Wer statt des kgV einfach die Nenner multipliziert, rechnet oft mit unnötig grossen Zahlen. Bei $\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{4}$ funktioniert der Nenner $6 \cdot 4 = 24$, aber das kgV 12 ist kleiner und spart dir das Kürzen am Schluss: $\dfrac{2}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{5}{12}$. Mit 24 erhältst du $\dfrac{4}{24} + \dfrac{6}{24} = \dfrac{10}{24}$ und musst noch auf $\dfrac{5}{12}$ kürzen. Beide Wege sind richtig – der kgV-Weg ist kürzer und weniger fehleranfällig.

Beispiel:

Beispiel 3: Beide Brüche erweitern – Der Maler

Ein Maler streicht am Montag $\dfrac{2}{5}$ einer Wand. Am Dienstag streicht er $\dfrac{1}{3}$ der Wand. Wie viel der Wand ist nach zwei Tagen gestrichen?

Gegeben: Montag $\dfrac{2}{5}$ der Wand, Dienstag $\dfrac{1}{3}$ der Wand

Gesucht: Gestrichener Anteil nach zwei Tagen

Lösung:

Die Nenner sind 5 und 3. Vielfache von 5: 5, 10, 15. Vielfache von 3: 3, 6, 9, 12, 15. Das kgV ist 15.

Erweitere beide Brüche auf den Nenner 15. Für $\dfrac{2}{5}$ gilt $15 : 5 = 3$, also erweitere mit 3:

$$\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{6}{15}$$

Für $\dfrac{1}{3}$ gilt $15 : 3 = 5$, also erweitere mit 5:

$$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{5}{15}$$

Addiere die erweiterten Brüche:

$$\frac{6}{15} + \frac{5}{15} = \frac{6+5}{15} = \frac{11}{15}$$

Antwort: Nach zwei Tagen sind $\dfrac{11}{15}$ der Wand gestrichen. Der Bruch ist vollständig gekürzt, weil 11 eine Primzahl ist und 15 nicht teilt.

Kontrolle: $\dfrac{11}{15}$ ist grösser als jeder einzelne Summand und kleiner als 1 – plausibel, denn die Wand ist noch nicht fertig. ✓

Beispiel:

Beispiel 4: Drei Brüche und der Rest – Das Feld

Ein Bauer pflanzt auf $\dfrac{3}{10}$ seines Feldes Kartoffeln, auf $\dfrac{1}{4}$ Mais und auf $\dfrac{1}{5}$ Rüben. Der Rest bleibt Wiese. Wie gross ist der Anteil der Wiese?

Gegeben: Anteile $\dfrac{3}{10}$, $\dfrac{1}{4}$ und $\dfrac{1}{5}$; das ganze Feld entspricht 1

Gesucht: Anteil der Wiese

Lösung:

Finde den Hauptnenner von 10, 4 und 5. Vielfache von 10: 10, 20. Vielfache von 4: 4, 8, 12, 16, 20. Vielfache von 5: 5, 10, 15, 20. Das kgV ist 20.

Erweitere alle drei Brüche:

$$\frac{3}{10} = \frac{6}{20} \qquad \frac{1}{4} = \frac{5}{20} \qquad \frac{1}{5} = \frac{4}{20}$$

Addiere die genutzten Anteile:

$$\frac{6}{20} + \frac{5}{20} + \frac{4}{20} = \frac{15}{20}$$

Das ganze Feld ist $1 = \dfrac{20}{20}$. Ziehe die genutzte Fläche ab:

$$\frac{20}{20} - \frac{15}{20} = \frac{5}{20} = \frac{5:5}{20:5} = \frac{1}{4}$$

Antwort: Die Wiese macht $\dfrac{1}{4}$ des Feldes aus.

Kontrolle: $\dfrac{15}{20} + \dfrac{5}{20} = \dfrac{20}{20} = 1$. Alle Anteile zusammen ergeben das ganze Feld. ✓

Vertiefung

Bisher hast du das kgV durch Auflisten der Vielfachen gefunden. Bei grösseren Nennern wird das mühsam. Hier hilft die Primfaktorzerlegung: Zerlege jeden Nenner in Primfaktoren und nimm jeden Faktor so oft, wie er in einem der Nenner am häufigsten vorkommt. Beispiel: $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$ und $18 = 2 \cdot 3 \cdot 3$. Das kgV ist $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 36$.

Eine zweite Erweiterung betrifft Ergebnisse, die grösser als 1 sind. Wenn der Zähler grösser als der Nenner wird, liegt ein unechter Bruch vor. Du kannst ihn als gemischte Zahl schreiben: $\dfrac{21}{20} = 1\dfrac{1}{20}$. Im Rechteckmodell heisst das: Ein Rechteck ist ganz gefüllt, vom zweiten ist ein Zwanzigstel gefärbt.

Definition

Ein Bruch heisst unecht, wenn sein Zähler grösser oder gleich dem Nenner ist, zum Beispiel $\dfrac{7}{4}$. Jede unechte Bruchzahl lässt sich als gemischte Zahl schreiben: Du teilst den Zähler durch den Nenner; der ganzzahlige Anteil steht vorne, der Rest bleibt als Bruch. So ist $\dfrac{7}{4} = 1\dfrac{3}{4}$, denn $7 : 4 = 1$ Rest $3$.

Auch beim Subtrahieren ganzer Zahlen hilft diese Sichtweise. Willst du $1 - \dfrac{7}{12}$ rechnen, schreibst du die 1 als gleichnamigen Bruch $\dfrac{12}{12}$ und subtrahierst dann die Zähler. Das hast du im Beispiel mit dem Feld bereits angewendet. Dieselbe Idee trägt dich später durch Aufgaben mit gemischten Zahlen wie $2\dfrac{1}{3} - \dfrac{3}{4}$: Du wandelst alles in unechte Brüche um, machst gleichnamig und rechnest wie gewohnt.

Beispiel:

Beispiel 5: Transfer – Reicht die Milch?

Ein Rezept verlangt $\dfrac{3}{4}$ Liter Milch. Du hast zwei angebrochene Packungen: In der ersten sind noch $\dfrac{1}{2}$ Liter, in der zweiten $\dfrac{1}{3}$ Liter. Reicht die Milch? Wenn ja, wie viel bleibt übrig?

Gegeben: Vorrat $\dfrac{1}{2}$ Liter und $\dfrac{1}{3}$ Liter; Bedarf $\dfrac{3}{4}$ Liter

Gesucht: Vergleich von Vorrat und Bedarf; Restmenge

Lösung:

Addiere zuerst den Vorrat. Das kgV von 2 und 3 ist 6:

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$$

Vergleiche nun $\dfrac{5}{6}$ mit dem Bedarf $\dfrac{3}{4}$. Das kgV von 6 und 4 ist 12:

$$\frac{5}{6} = \frac{10}{12} \qquad \text{und} \qquad \frac{3}{4} = \frac{9}{12}$$

Da $\dfrac{10}{12} > \dfrac{9}{12}$, reicht die Milch. Subtrahiere den Bedarf vom Vorrat:

$$\frac{10}{12} - \frac{9}{12} = \frac{1}{12}$$

Antwort: Die Milch reicht. Es bleibt $\dfrac{1}{12}$ Liter übrig – das sind ungefähr 83 Milliliter.

Kontrolle: $\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{12} = \dfrac{9}{12} + \dfrac{1}{12} = \dfrac{10}{12} = \dfrac{5}{6}$. Bedarf plus Rest ergibt wieder den Vorrat. ✓

Übungen

Die folgenden Aufgaben sind nach Schwierigkeit geordnet. Löse sie ohne Taschenrechner und kürze jedes Ergebnis vollständig. Die Lösungen mit allen Rechenwegen findest du am Ende des Artikels.

Aufgabe 1: Berechne: $\dfrac{2}{9} + \dfrac{4}{9}$

Aufgabe 2: Berechne: $\dfrac{7}{10} - \dfrac{3}{10}$

Aufgabe 3: Addiere: $\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6}$

Aufgabe 4: Berechne: $\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{6}$

Aufgabe 5: Subtrahiere: $\dfrac{5}{8} - \dfrac{1}{4}$

Aufgabe 6: Zeichne ein Rechteckmodell zu $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{5}$: Teile ein Rechteck senkrecht in 2 Spalten und waagrecht in 5 Zeilen. Lies die Summe aus deinem Modell ab und notiere die zugehörige Rechnung.

Aufgabe 7: Ein Schüler löst am Montag $\dfrac{1}{3}$ seiner Hausaufgaben. Am Dienstag erledigt er weitere $\dfrac{1}{4}$. Welcher Anteil der Hausaufgaben ist noch nicht erledigt?

Aufgabe 8: Berechne: $\dfrac{3}{4} + \dfrac{2}{5} - \dfrac{1}{10}$. Gib das Ergebnis auch als gemischte Zahl an.

Aufgabe 9: Eine Wandergruppe legt am Vormittag $\dfrac{2}{7}$ der Strecke zurück, am Nachmittag $\dfrac{3}{14}$ und am Abend $\dfrac{1}{2}$. Hat sie das Ziel erreicht? Begründe mit einer Rechnung.

Aufgabe 10: Ein Rezept benötigt $\dfrac{3}{8}$ Liter Sahne und $\dfrac{1}{4}$ Liter Milch. Ein zweites Rezept braucht $\dfrac{1}{2}$ Liter Sahne und $\dfrac{1}{6}$ Liter Milch. Du bereitest beide gleichzeitig zu. Wie viel Flüssigkeit benötigst du insgesamt? Gib das Ergebnis als gemischte Zahl an.

Das Wichtigste in Kürze

• Grundregel: Nur gleichnamige Brüche kannst du direkt verrechnen: $\dfrac{a}{n} \pm \dfrac{b}{n} = \dfrac{a \pm b}{n}$. Der Nenner bleibt gleich.
• Ungleichnamige Brüche bringst du zuerst auf den Hauptnenner – am besten das kgV der Nenner.
• Erweitern: Hauptnenner durch alten Nenner teilen ergibt den Erweiterungsfaktor; Zähler und Nenner damit multiplizieren.
• Rechteckmodell: Senkrechte und waagrechte Teilung desselben Rechtecks erzeugt den gemeinsamen Nenner sichtbar.
• Kürzen: Teile am Schluss Zähler und Nenner durch ihren grössten gemeinsamen Teiler.
• Unechte Brüche wie $\dfrac{21}{20}$ kannst du als gemischte Zahl $1\dfrac{1}{20}$ schreiben.
• Plausibilitätskontrolle: Addition macht das Ergebnis grösser, Subtraktion kleiner.

Dein Wissen im Test

❓ Frage:

Was bedeutet «gleichnamig» bei Brüchen – und berechne als Beispiel $\dfrac{4}{9} + \dfrac{2}{9}$.

Lösung anzeigen

Gleichnamige Brüche haben denselben Nenner. Der Nenner gibt die Grösse der Teile an, der Zähler ihre Anzahl. Weil bei $\dfrac{4}{9}$ und $\dfrac{2}{9}$ alle Teile gleich gross sind, darfst du die Zähler direkt addieren:

$\dfrac{4}{9} + \dfrac{2}{9} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$ (gekürzt mit 3).

❓ Frage:

Jana rechnet $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{7}$. Erkläre ihren Fehler und gib das richtige Ergebnis an.

Lösung anzeigen

Jana hat Zähler und Nenner addiert. Der Nenner beschreibt aber die Grösse der Teile – er wird nie mitaddiert. Richtig: Hauptnenner 12 bestimmen und erweitern:

$\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{4}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{7}{12}$

Kontrolle: $\dfrac{7}{12}$ ist mehr als die Hälfte – plausibel. $\dfrac{2}{7}$ wäre deutlich weniger als die Hälfte, obwohl schon $\dfrac{1}{3}$ allein fast ein Drittel ist.

❓ Frage:

Ein Schüler berechnet $\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{3}$ und erhält $\dfrac{4}{3}$. Welchen Fehler hat er gemacht?

Lösung anzeigen

Er hat den zweiten Bruch nicht erweitert und einfach $5 - 1 = 4$ gerechnet. Richtig: Das kgV von 6 und 3 ist 6. Erweitere $\dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{6}$, dann:

$\dfrac{5}{6} - \dfrac{2}{6} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$

Plausibilitätskontrolle: Wenn du von $\dfrac{5}{6}$ etwas abziehst, muss das Ergebnis kleiner als $\dfrac{5}{6}$ sein. $\dfrac{4}{3}$ ist grösser als 1 – das kann nicht stimmen.

❓ Frage:

Berechne im Kopf: $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8}$. Welche Vorstellung hilft dir dabei?

Lösung anzeigen

Rechne schrittweise und stelle dir ein Rechteck vor, das du nach und nach füllst: $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$. Dann $\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{6}{8} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{7}{8}$.

Im Modell siehst du: Erst ist die Hälfte gefüllt, dann drei Viertel, am Ende fehlt genau ein Achtel bis zum ganzen Rechteck. Das Ergebnis ist $\dfrac{7}{8}$.

❓ Frage:

Du sollst $\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6}$ berechnen. Welcher Hauptnenner ist am geschicktesten – und was ist das Ergebnis?

Lösung anzeigen

Am geschicktesten ist das kgV von 4 und 6, also 12. Damit gilt:

$\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{12} + \dfrac{2}{12} = \dfrac{5}{12}$

Auch $4 \cdot 6 = 24$ wäre ein gültiger gemeinsamer Nenner: $\dfrac{6}{24} + \dfrac{4}{24} = \dfrac{10}{24}$. Dann musst du aber noch auf $\dfrac{5}{12}$ kürzen. Das kgV spart dir diesen Schritt.

Ausblick

Nach dem Addieren und Subtrahieren folgt das Multiplizieren von Brüchen. Diese Rechenart funktioniert anders – und ist in gewisser Weise sogar einfacher: Du brauchst keinen gemeinsamen Nenner, sondern multiplizierst Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner. Das Rechteckmodell aus diesem Artikel begleitet dich auch dort: Die senkrecht-waagrechte Teilung, die dir hier den Hauptnenner geliefert hat, zeigt bei der Multiplikation direkt das Produkt. Wer das Gleichnamigmachen sicher beherrscht, hat zudem die wichtigste Grundlage für das spätere Rechnen mit Dezimalzahlen und Prozenten gelegt.

Lösungen

Lösung 1: Die Brüche sind gleichnamig. Addiere die Zähler und behalte den Nenner:

$$\frac{2}{9} + \frac{4}{9} = \frac{2+4}{9} = \frac{6}{9}$$

Kürze mit 3:

$$\frac{6}{9} = \frac{6:3}{9:3} = \frac{2}{3}$$

Lösung 2: Die Brüche sind gleichnamig. Subtrahiere die Zähler:

$$\frac{7}{10} - \frac{3}{10} = \frac{7-3}{10} = \frac{4}{10}$$

Kürze mit 2:

$$\frac{4}{10} = \frac{4:2}{10:2} = \frac{2}{5}$$

Lösung 3: Alle drei Brüche haben den Nenner 6. Addiere die Zähler:

$$\frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1+1+1}{6} = \frac{3}{6}$$

Kürze mit 3:

$$\frac{3}{6} = \frac{3:3}{6:3} = \frac{1}{2}$$

Lösung 4: Die Nenner sind 3 und 6. Das kgV ist 6. Erweitere den ersten Bruch mit 2:

$$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{4}{6}$$

Der zweite Bruch bleibt unverändert. Addiere:

$$\frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4+1}{6} = \frac{5}{6}$$

Das Ergebnis ist vollständig gekürzt.

Lösung 5: Die Nenner sind 8 und 4. Das kgV ist 8. Der erste Bruch bleibt, den zweiten erweiterst du mit 2:

$$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{2}{8}$$

Subtrahiere:

$$\frac{5}{8} - \frac{2}{8} = \frac{5-2}{8} = \frac{3}{8}$$

Kontrolle: $\dfrac{3}{8}$ ist kleiner als $\dfrac{5}{8}$ – bei einer Subtraktion muss das so sein. ✓

Lösung 6: Das Rechteck besteht aus $2 \cdot 5 = 10$ gleich grossen Feldern. Die gefärbte Spalte für $\dfrac{1}{2}$ umfasst 5 Felder, die schraffierte Zeile für $\dfrac{1}{5}$ umfasst 2 Felder. Aus dem Modell liest du den Hauptnenner 10 ab. Die Rechnung dazu:

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{5} = \frac{5}{10} + \frac{2}{10} = \frac{7}{10}$$

Im Modell sind 7 der 10 Felder markiert. Der Bruch $\dfrac{7}{10}$ ist vollständig gekürzt.

Lösung 7: Addiere zuerst die erledigten Anteile. Das kgV von 3 und 4 ist 12:

$$\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$$

Der Schüler hat $\dfrac{7}{12}$ erledigt. Subtrahiere vom Ganzen:

$$1 - \frac{7}{12} = \frac{12}{12} - \frac{7}{12} = \frac{5}{12}$$

Es sind noch $\dfrac{5}{12}$ der Hausaufgaben offen.

Lösung 8: Die Nenner sind 4, 5 und 10. Das kgV ist 20. Erweitere alle Brüche:

$$\frac{3}{4} = \frac{15}{20} \qquad \frac{2}{5} = \frac{8}{20} \qquad \frac{1}{10} = \frac{2}{20}$$

Rechne von links nach rechts:

$$\frac{15}{20} + \frac{8}{20} - \frac{2}{20} = \frac{15+8-2}{20} = \frac{21}{20}$$

Der Bruch ist unecht. Als gemischte Zahl: $\dfrac{21}{20} = 1\dfrac{1}{20}$, denn $21 : 20 = 1$ Rest $1$.

Lösung 9: Addiere alle drei Etappen. Die Nenner sind 7, 14 und 2. Das kgV ist 14. Erweitere:

$$\frac{2}{7} = \frac{4}{14} \qquad \frac{3}{14} = \frac{3}{14} \qquad \frac{1}{2} = \frac{7}{14}$$

Addiere:

$$\frac{4}{14} + \frac{3}{14} + \frac{7}{14} = \frac{4+3+7}{14} = \frac{14}{14} = 1$$

Ja, die Gruppe hat das Ziel genau erreicht: Die drei Etappen ergeben zusammen die ganze Strecke.

Lösung 10: Berechne zuerst die Sahnemenge. Das kgV von 8 und 2 ist 8:

$$\frac{3}{8} + \frac{1}{2} = \frac{3}{8} + \frac{4}{8} = \frac{7}{8}$$

Dann die Milchmenge. Das kgV von 4 und 6 ist 12:

$$\frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12}$$

Addiere Sahne und Milch. Das kgV von 8 und 12 ist 24:

$$\frac{7}{8} + \frac{5}{12} = \frac{21}{24} + \frac{10}{24} = \frac{31}{24}$$

Als gemischte Zahl: $\dfrac{31}{24} = 1\dfrac{7}{24}$, denn $31 : 24 = 1$ Rest $7$. Du benötigst insgesamt $1\dfrac{7}{24}$ Liter Flüssigkeit – etwas mehr als einen Liter.

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Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport