Reelle Zahlen

Darum geht's

Welches Quadrat hat eine Fläche von $2\,\text{m}^2$? Die Seitenlänge ist $\sqrt{2}\,\text{m}$ — eine Zahl, die ungefähr $1{,}414$ ist, aber niemals aufhört und niemals periodisch wird. Die Griechen waren im $5.$ Jahrhundert vor Christus so schockiert von dieser Entdeckung, dass sie lange ein Geheimnis daraus machten.

In diesem Kapitel folgst du den Spuren dieser Entdeckung: Du lernst Quadratwurzeln kennen, triffst auf irrationale Zahlen wie $\sqrt{2}$ und $\pi$, und verstehst, warum die reellen Zahlen die Zahlengerade lückenlos füllen.

Worum geht es?

Bisher hast du drei Zahlenmengen kennengelernt:

• Natürliche Zahlen $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}$
• Ganze Zahlen $\mathbb{Z} = \{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}$
• Rationale Zahlen $\mathbb{Q}$ — alle Zahlen, die sich als Bruch $\tfrac{a}{b}$ ($b \neq 0$) schreiben lassen. Dazu gehören auch alle endlichen und periodischen Dezimalzahlen.

Die rationale Welt scheint vollständig zu sein — bis man die Gleichung $x^2 = 2$ betrachtet. Die Lösung ist $x = \sqrt{2}$, und man kann beweisen, dass sich $\sqrt{2}$ nicht als Bruch schreiben lässt. $\sqrt{2}$ ist irrational. Das gilt auch für $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$, die Kreiszahl $\pi$ und die eulersche Zahl $\mathrm{e}$.

Die Vereinigung der rationalen und irrationalen Zahlen nennen wir reelle Zahlen $\mathbb{R}$. Sie füllen die Zahlengerade ohne Lücken. Damit hast du ab jetzt eine Zahlenmenge, in der du fast alles rechnen kannst — nur Wurzeln aus negativen Zahlen bleiben in den reellen Zahlen undefiniert.

Was du schon können solltest

Für dieses Kapitel reichen solide Grundlagen aus der 5./6. Klasse:

• sicheres Rechnen mit Brüchen und Dezimalzahlen,
• Potenzen und Quadratzahlen ($1, 4, 9, 16, 25, 36, \ldots$ solltest du auswendig kennen),
• Grundkenntnisse aus Terme und Gleichungen für das Umformen von Wurzeltermen.

Was du in diesem Kapitel lernst

Vier Lektionen, die den Zahlenraum Schritt für Schritt erweitern:

1. Quadratwurzeln — was $\sqrt{a}$ bedeutet: die nicht-negative Zahl, deren Quadrat $a$ ergibt. Du lernst, Wurzeln von Quadratzahlen im Kopf zu bestimmen und Wurzeln anderer Zahlen zu schätzen.
2. Wurzeln und irrationale Zahlen — warum $\sqrt{2}$ nicht als Bruch schreibbar ist (mit Beweisidee), und welche Zahlen noch irrational sind.
3. Rechenregeln für Quadratwurzeln — $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$, $\sqrt{\tfrac{a}{b}} = \tfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$, und die wichtige Nicht-Regel: $\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$.
4. Reelle Zahlen — die formale Definition, die Beziehung zwischen $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ und was sich an der Zahlengeraden verändert.

Wichtige Begriffe im Überblick

• Quadratwurzel ($\sqrt{a}$) — die nicht-negative Zahl, deren Quadrat $a$ ist. Nur für $a \ge 0$ definiert.
• Radikand — die Zahl unter der Wurzel. Bei $\sqrt{9}$ ist $9$ der Radikand.
• Rationale Zahl — lässt sich als Bruch $\tfrac{a}{b}$ schreiben (endliche oder periodische Dezimalzahl).
• Irrationale Zahl — lässt sich nicht als Bruch schreiben (nicht endende, nicht periodische Dezimalzahl). Beispiele: $\sqrt{2}$, $\pi$, $\mathrm{e}$.
• Reelle Zahlen ($\mathbb{R}$) — alle rationalen und irrationalen Zahlen zusammen.

Häufige Denkfehler

Achtung

Wurzelfehler sind fast immer Vorzeichenfehler oder missachtete Rechenregeln. $\sqrt{a^2}$ ist nicht immer $a$ — sondern $|a|$.

1. ”$\sqrt{16} = \pm 4$.” Nein. $\sqrt{16}$ ist per Definition die nicht-negative Lösung, also $4$. Die Gleichung $x^2 = 16$ hat zwar zwei Lösungen $\pm 4$, aber $\sqrt{16}$ als Zahl meint nur die positive.
2. ”$\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$.” Falsch — und ein Klassiker. Probe: $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$, aber $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$. $5 \neq 7$. Die Wurzel verteilt sich nicht auf Summanden.
3. ”$\sqrt{2}$ ist ungefähr $1{,}41$, also ist $\sqrt{2}$ rational.” $1{,}41$ ist eine Näherung, keine exakte Darstellung. Die Dezimaldarstellung von $\sqrt{2}$ ist unendlich und nicht periodisch — deshalb bleibt $\sqrt{2}$ irrational.

Wo es im Lehrplan 21 steht

Reelle Zahlen gehören zu MA.1 – Zahl und Variable, 3. Zyklus:

• MA.1.A.7 – Quadratwurzeln berechnen, mit ihnen rechnen und schätzen.
• MA.1.A.8 – Rationale und irrationale Zahlen unterscheiden; den Zahlenbegriff zu $\mathbb{R}$ erweitern.
• MA.1.B.2 – Eigenschaften von Zahlenmengen begründen (z. B. die Irrationalität von $\sqrt{2}$).

Das Arbeiten mit Quadratwurzeln und das Erkennen irrationaler Zahlen gelten als Grundanspruch für den 3. Zyklus. Formale Beweise (etwa der Irrationalität von $\sqrt{2}$) gehören zur Erweiterung.

Die Themen im Überblick

• Quadratwurzeln
• Wurzeln und irrationale Zahlen
• Rechenregeln für Quadratwurzeln
• Reelle Zahlen

Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport