ggT und kgV verstehen – Teiler und Vielfache clever nutzen

Weiterführend:

• Zur Kapitelübersicht „Teilbarkeit”
• Vorwissen: Teiler und Vielfache verstehen
• Methode: Primfaktorzerlegung
• Grundlage: Primzahlen verstehen

Darum geht's

Stell dir vor, du planst eine Party mit deinem besten Freund. Du hast 24 Kekse, dein Freund bringt 36 Gummibärchen mit. Ihr wollt kleine Tütchen packen. Jede Tüte soll gleich viele Kekse und gleich viele Gummibärchen enthalten. Wie viele Tütchen könnt ihr maximal machen?

Oder denk an eine Band-Probe: Der Schlagzeuger spielt alle 4 Sekunden einen Akzent. Die Gitarristin betont alle 6 Sekunden eine Note. Wann treffen sich ihre Betonungen zum ersten Mal gleichzeitig?

Solche Fragen begegnen uns ständig im Alltag. Die Mathematik hat dafür zwei praktische Werkzeuge: den grössten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache.

📋Lehrplan 21Zyklus 2 (3.–6. Klasse) · 2Kompetenzen

• MA.3.B.2.bGrundanspruchSystematisch kombinieren; zu statistischen Daten Fragen stellen und beantworten
• MA.3.A.3.fAnteile bestimmen und vergleichen

Quelle: Aargauer Lehrplan Volksschule, Fachbereich Mathematik (August 2022)

Eine kleine Zeitreise

Die Idee von Teilern und Vielfachen ist uralt. Schon vor mehr als 2000 Jahren beschäftigten sich Menschen mit der Frage, wie sich Zahlen aufteilen lassen. Die Babylonier rechneten bereits um 1800 v. Chr. mit Teilern. Sie nutzten ein Zahlensystem zur Basis 60 – darum hat eine Stunde 60 Minuten und ein Vollkreis 360 Grad. Die Zahl 60 wurde gewählt, weil sie sehr viele Teiler hat: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 und 60. Das machte das Rechnen mit Brüchen besonders einfach.

Den ersten richtigen Algorithmus zur Berechnung des grössten gemeinsamen Teilers entwickelte der griechische Mathematiker Euklid um 300 v. Chr. In seinem berühmten Werk „Elemente” beschrieb er ein Verfahren, das heute „euklidischer Algorithmus” heisst. Es ist eine der ältesten mathematischen Methoden, die noch immer unverändert verwendet wird – auch in modernen Computern.

Im Mittelalter wurde der ggT vor allem für das Rechnen mit Brüchen wichtig. Kaufleute mussten Beträge aufteilen, Bauern Felder vermessen und Handwerker Materialien zuschneiden. Das kgV half dabei, Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen.

Heute steckt diese Mathematik in vielen technischen Anwendungen. Computer nutzen den ggT zur Verschlüsselung von Daten. Wenn du eine sichere Webseite besuchst, läuft im Hintergrund der euklidische Algorithmus. Auch beim Komprimieren von Musik oder Bildern spielen Teiler eine Rolle. Sogar in der Astronomie hilft das kgV: Wenn Astronomen berechnen, wann sich zwei Planeten wieder in derselben Konstellation befinden, brauchen sie das kleinste gemeinsame Vielfache ihrer Umlaufzeiten.

Aus einer einfachen Frage – „Was teilen zwei Zahlen?” – ist also ein Werkzeug geworden, das vom Bahnhof bis zur Raumfahrt überall gebraucht wird.

Die Grundlagen

Bevor wir mit ggT und kgV rechnen, frischen wir zwei wichtige Begriffe auf: Teiler und Vielfache.

Ein Teiler einer Zahl ist eine Zahl, durch die sie sich ohne Rest teilen lässt. Die Teiler von 12 sind zum Beispiel 1, 2, 3, 4, 6 und 12. Jede Zahl hat mindestens zwei Teiler: die 1 und sich selbst. Primzahlen wie 7 oder 13 haben genau diese zwei Teiler.

Ein Vielfaches einer Zahl entsteht, wenn du sie mit einer natürlichen Zahl multiplizierst. Die Vielfachen von 4 sind 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28 und so weiter. Die Liste hört nie auf.

Definition

Eine Zahl $t$ heisst gemeinsamer Teiler von $a$ und $b$, wenn $t$ sowohl $a$ als auch $b$ ohne Rest teilt.

Eine Zahl $v$ heisst gemeinsames Vielfaches von $a$ und $b$, wenn $v$ sowohl ein Vielfaches von $a$ als auch von $b$ ist.

Schau dir die Zahlen 12 und 18 an. Welche Teiler haben sie gemeinsam?

• Teiler von 12: $1, 2, 3, 4, 6, 12$
• Teiler von 18: $1, 2, 3, 6, 9, 18$
• Gemeinsame Teiler: $1, 2, 3, 6$

Die 1 ist immer ein gemeinsamer Teiler von zwei Zahlen. Aber meist gibt es noch grössere. Genau diese suchen wir jetzt.

Die Kernmethode

Definition

Der grösste gemeinsame Teiler zweier Zahlen $a$ und $b$ ist die grösste Zahl, die beide Zahlen ohne Rest teilt.

Schreibweise: $\text{ggT}(a, b)$

Definition

Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Zahlen $a$ und $b$ ist die kleinste positive Zahl, die von beiden Zahlen ohne Rest geteilt wird.

Schreibweise: $\text{kgV}(a, b)$

Es gibt zwei Hauptmethoden, um ggT und kgV zu berechnen. Bei kleinen Zahlen ist das Aufschreiben aller Teiler oder Vielfachen schnell und übersichtlich. Bei grösseren Zahlen lohnt sich die Primfaktorzerlegung.

Für die Primfaktormethode gilt eine wichtige Regel: Beim ggT nimmst du jeden gemeinsamen Primfaktor mit der kleineren Hochzahl. Beim kgV nimmst du jeden vorkommenden Primfaktor mit der grösseren Hochzahl. Diese Regel solltest du dir gut merken.

Es gibt ausserdem eine Formel, die ggT und kgV verbindet:

$$\text{ggT}(a, b) \cdot \text{kgV}(a, b) = a \cdot b$$

Mit dieser Formel kannst du das eine berechnen, sobald du das andere kennst.

Beispiel:

Beispiel 1: ggT mit Teilermengen

Berechne $\text{ggT}(12, 18)$.

Lösung:

Wir schreiben zuerst alle Teiler beider Zahlen auf.

Teiler von 12: $1, 2, 3, 4, 6, 12$

Teiler von 18: $1, 2, 3, 6, 9, 18$

Jetzt suchen wir die gemeinsamen Teiler – also die Zahlen, die in beiden Listen vorkommen.

Gemeinsame Teiler: $1, 2, 3, 6$

Davon ist 6 die grösste Zahl. Also gilt:

$$\text{ggT}(12, 18) = 6$$

Das bedeutet: 12 und 18 lassen sich beide durch 6 teilen. Durch keine grössere Zahl funktioniert das.

Beispiel:

Beispiel 2: kgV mit Primfaktorzerlegung

Berechne $\text{kgV}(24, 36)$.

Lösung:

Zuerst zerlegen wir beide Zahlen in ihre Primfaktoren.

$24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$

$36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3^2$

Jetzt nehmen wir jeden vorkommenden Primfaktor mit der höheren Hochzahl.

• Faktor 2: höhere Hochzahl ist $2^3$ (aus der 24)
• Faktor 3: höhere Hochzahl ist $3^2$ (aus der 36)

Wir multiplizieren diese Faktoren:

$$\text{kgV}(24, 36) = 2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72$$

Die Zahl 72 ist das kleinste Vielfache, das sowohl durch 24 als auch durch 36 teilbar ist. Wir können das prüfen: $72 \div 24 = 3$ und $72 \div 36 = 2$. Beides geht ohne Rest auf.

Die häufigsten Stolpersteine

Beim Arbeiten mit ggT und kgV gibt es vier typische Fehler, die immer wieder auftreten.

Achtung

Verwechslung ggT und kgV: Viele Schülerinnen und Schüler vertauschen die beiden. Merkhilfe: Der grösste gemeinsame Teiler ist eine kleine Zahl (kleiner als $a$ und $b$). Das kleinste gemeinsame Vielfache ist eine grosse Zahl (mindestens so gross wie $a$ und $b$).

Achtung

Falsche Hochzahl bei der Primfaktorzerlegung: Beim ggT nimmst du jeden gemeinsamen Faktor mit der kleineren Hochzahl, beim kgV mit der grösseren Hochzahl. Wer das vertauscht, bekommt sofort das falsche Ergebnis.

Achtung

Faktoren, die nur in einer Zahl vorkommen: Beim ggT zählen nur Primfaktoren, die in beiden Zerlegungen auftauchen. Beim kgV zählen alle Primfaktoren, die in mindestens einer Zerlegung vorkommen. Das ist ein wichtiger Unterschied.

Achtung

Teilermenge vergessen: Wenn du den ggT über Teilermengen suchst, vergiss die 1 nicht – aber denk auch an die Zahl selbst. Die Teiler von 18 sind $1, 2, 3, 6, 9$ und auch $18$. Bei vollständigen Listen findest du den ggT zuverlässig.

Beispiel:

Beispiel 3: Textaufgabe – Die Buslinien

Zwei Buslinien starten um 6:00 Uhr gemeinsam am Bahnhof. Bus A fährt alle 15 Minuten ab, Bus B alle 20 Minuten. Wann starten beide Busse zum nächsten Mal gleichzeitig?

Lösung:

Wir suchen die kleinste Zeit, nach der beide Busse wieder abfahren. Das ist das kleinste gemeinsame Vielfache von 15 und 20.

Primfaktorzerlegung:

$15 = 3 \cdot 5$

$20 = 2^2 \cdot 5$

Wir nehmen jeden Primfaktor mit der höheren Hochzahl.

• Faktor 2: höchste Hochzahl ist $2^2$
• Faktor 3: höchste Hochzahl ist $3^1$
• Faktor 5: höchste Hochzahl ist $5^1$

$$\text{kgV}(15, 20) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$$

Antwort: Nach 60 Minuten – also um 7:00 Uhr – starten beide Busse wieder gleichzeitig.

Beispiel:

Beispiel 4: Brüche kürzen mit dem ggT

Kürze den Bruch $\dfrac{42}{56}$ vollständig.

Lösung:

Damit ein Bruch vollständig gekürzt ist, müssen Zähler und Nenner teilerfremd sein. Der schnellste Weg dahin: Wir berechnen den ggT von Zähler und Nenner und teilen beide durch diese Zahl.

Primfaktorzerlegung:

$42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$

$56 = 2^3 \cdot 7$

Für den ggT nehmen wir jeden gemeinsamen Faktor mit der kleineren Hochzahl.

• Faktor 2: kleinere Hochzahl ist $2^1$
• Faktor 7: kleinere Hochzahl ist $7^1$
• Faktor 3 kommt nur in 42 vor – fällt also weg.

$$\text{ggT}(42, 56) = 2 \cdot 7 = 14$$

Jetzt kürzen wir Zähler und Nenner durch 14:

$$\dfrac{42}{56} = \dfrac{42 \div 14}{56 \div 14} = \dfrac{3}{4}$$

Antwort: Der Bruch in vollständig gekürzter Form lautet $\dfrac{3}{4}$.

Vertiefung

Bisher hast du zwei Methoden für den ggT kennengelernt: Teilermengen aufschreiben und Primfaktorzerlegung. Es gibt aber noch eine dritte Methode, die besonders bei grossen Zahlen unschlagbar schnell ist – den euklidischen Algorithmus.

Definition

Um den $\text{ggT}(a, b)$ zu berechnen (mit $a > b$):

1. Teile $a$ durch $b$ und merke dir den Rest $r$.
2. Ist $r = 0$, dann ist $b$ der ggT.
3. Ist $r \neq 0$, ersetze $a$ durch $b$ und $b$ durch $r$. Wiederhole ab Schritt 1.

Das Verfahren klingt komplizierter als es ist. Du wiederholst einfach den Schritt „grössere Zahl durch kleinere teilen, Rest aufschreiben”, bis kein Rest mehr übrig bleibt. Der letzte nicht-null Rest ist dein ggT.

Diese Methode hat zwei grosse Vorteile. Erstens: Du musst die Zahlen nicht in Primfaktoren zerlegen. Bei sehr grossen Zahlen wäre das sehr aufwendig. Zweitens: Selbst Computer rechnen heute noch genau so – etwa bei der Verschlüsselung im Internet.

Auch das kgV lässt sich mit Hilfe des ggT bestimmen. Aus der Formel $\text{ggT}(a, b) \cdot \text{kgV}(a, b) = a \cdot b$ folgt direkt:

$$\text{kgV}(a, b) = \dfrac{a \cdot b}{\text{ggT}(a, b)}$$

Du brauchst also nur den ggT zu berechnen. Das kgV ergibt sich dann durch eine einzige Division. Diese Beziehung ist nicht nur praktisch, sondern auch ein schöner Beleg dafür, wie eng Teiler und Vielfache miteinander verwandt sind.

Beispiel:

Beispiel 5: Euklidischer Algorithmus

Berechne $\text{ggT}(252, 198)$ mit dem euklidischen Algorithmus.

Lösung:

Wir teilen jeweils die grössere durch die kleinere Zahl und arbeiten mit den Resten weiter.

Schritt 1: $252 \div 198 = 1$ Rest $54$ (denn $198 \cdot 1 = 198$ und $252 - 198 = 54$)

Schritt 2: $198 \div 54 = 3$ Rest $36$ (denn $54 \cdot 3 = 162$ und $198 - 162 = 36$)

Schritt 3: $54 \div 36 = 1$ Rest $18$ (denn $36 \cdot 1 = 36$ und $54 - 36 = 18$)

Schritt 4: $36 \div 18 = 2$ Rest $0$

Der letzte nicht-null Rest war 18. Also gilt:

$$\text{ggT}(252, 198) = 18$$

Mit der Formel berechnen wir auch direkt das kgV:

$$\text{kgV}(252, 198) = \dfrac{252 \cdot 198}{18} = \dfrac{49\,896}{18} = 2772$$

Antwort: $\text{ggT}(252, 198) = 18$ und $\text{kgV}(252, 198) = 2772$.

Übungen

Bearbeite die folgenden Aufgaben in der vorgegebenen Reihenfolge. Sie werden Schritt für Schritt anspruchsvoller. Die ausführlichen Lösungen findest du am Ende der Seite.

Aufgabe 1: Schreibe alle Teiler von 30 auf.

Aufgabe 2: Bestimme $\text{ggT}(16, 24)$ mit der Methode der Teilermengen.

Aufgabe 3: Bestimme $\text{kgV}(6, 9)$, indem du die ersten Vielfachen aufschreibst.

Aufgabe 4: Zerlege 60 und 84 in Primfaktoren und bestimme damit $\text{ggT}(60, 84)$.

Aufgabe 5: Berechne $\text{kgV}(18, 30)$ mit der Primfaktorzerlegung.

Aufgabe 6: In einer Bäckerei werden 48 Brötchen und 72 Croissants gleichmässig auf Körbe verteilt. Jeder Korb soll dieselbe Anzahl Brötchen und dieselbe Anzahl Croissants enthalten. Wie viele Körbe können maximal gefüllt werden, und wie viele Brötchen und Croissants kommen dann in jeden Korb?

Aufgabe 7: Drei Leuchttürme blinken in unterschiedlichen Abständen: Turm A alle 12 Sekunden, Turm B alle 18 Sekunden, Turm C alle 30 Sekunden. Sie blinken um 22:00 Uhr gemeinsam. Wann blinken sie zum nächsten Mal wieder gleichzeitig?

Aufgabe 8: Kürze den Bruch $\dfrac{84}{126}$ vollständig. Verwende den ggT.

Aufgabe 9: Berechne $\text{ggT}(308, 154)$ mit dem euklidischen Algorithmus.

Aufgabe 10: Es gilt $\text{ggT}(a, b) = 12$ und $\text{kgV}(a, b) = 180$. Wie gross ist das Produkt $a \cdot b$? Finde dann ein konkretes Zahlenpaar $(a, b)$, das diese Bedingungen erfüllt.

Das Wichtigste in Kürze

Der grösste gemeinsame Teiler (ggT) zweier Zahlen ist die grösste Zahl, die beide ohne Rest teilt. Du brauchst ihn beim Aufteilen und beim Kürzen von Brüchen.

Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zweier Zahlen ist die kleinste Zahl, die durch beide ohne Rest teilbar ist. Du brauchst es beim Synchronisieren und beim Gleichnamigmachen von Brüchen.

Drei Methoden helfen dir bei der Berechnung: Teilermengen oder Vielfachenlisten aufschreiben, Primfaktorzerlegung und der euklidische Algorithmus. Es gilt immer die Formel $\text{ggT}(a, b) \cdot \text{kgV}(a, b) = a \cdot b$. Wer das eine kennt, berechnet das andere mit einer einzigen Division.

Quiz

❓ Frage:

Berechne $\text{ggT}(20, 30)$.

Lösung anzeigen

Teiler von 20: $1, 2, 4, 5, 10, 20$ Teiler von 30: $1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30$ Gemeinsame Teiler: $1, 2, 5, 10$

$$\text{ggT}(20, 30) = 10$$

❓ Frage:

Berechne $\text{kgV}(6, 8)$.

Lösung anzeigen

Primfaktorzerlegung: $6 = 2 \cdot 3$ $8 = 2^3$ Für das kgV nehmen wir jeden Faktor mit der höheren Hochzahl.

$$\text{kgV}(6, 8) = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24$$

❓ Frage:

Der $\text{ggT}(a, b) = 7$ und $a \cdot b = 294$. Wie gross ist $\text{kgV}(a, b)$?

Lösung anzeigen

Wir nutzen die Formel $\text{ggT}(a, b) \cdot \text{kgV}(a, b) = a \cdot b$. Einsetzen: $7 \cdot \text{kgV}(a, b) = 294$ Auflösen: $\text{kgV}(a, b) = \dfrac{294}{7} = 42$

❓ Frage:

Welche Aussage ist richtig? Beim ggT mit Primfaktoren nimmt man jeden gemeinsamen Faktor mit der … Hochzahl.

Lösung anzeigen

Beim ggT nimmt man jeden gemeinsamen Primfaktor mit der kleineren Hochzahl. Beim kgV mit der grösseren. Merkhilfe: ggT = kleine Zahl, also kleine Hochzahlen.

❓ Frage:

Zwei Lampen blinken: die eine alle 9 Sekunden, die andere alle 12 Sekunden. Nach wie vielen Sekunden blinken sie zum ersten Mal wieder gleichzeitig?

Lösung anzeigen

Wir suchen $\text{kgV}(9, 12)$. $9 = 3^2$ und $12 = 2^2 \cdot 3$

$$\text{kgV}(9, 12) = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$$

Antwort: Nach 36 Sekunden blinken beide Lampen wieder gleichzeitig.

Ausblick

Mit ggT und kgV hast du zwei zentrale Werkzeuge für die Bruchrechnung in der Hand. Das kgV brauchst du, um Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. Den ggT verwendest du, um Brüche vollständig zu kürzen. Beide Methoden begegnen dir auch in der Algebra, wenn du mit Variablen rechnest. Später, im Zyklus 3, lernst du den euklidischen Algorithmus genauer kennen und entdeckst seine Rolle in der Kryptographie und Zahlentheorie.

Lösungen

Lösung 1:

Die Teiler von 30 sind alle Zahlen, durch die 30 ohne Rest teilbar ist.

$30 = 1 \cdot 30 = 2 \cdot 15 = 3 \cdot 10 = 5 \cdot 6$

Teiler von 30: $1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30$

Es sind insgesamt 8 Teiler.

Lösung 2:

Teiler von 16: $1, 2, 4, 8, 16$

Teiler von 24: $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$

Gemeinsame Teiler: $1, 2, 4, 8$

$$\text{ggT}(16, 24) = 8$$

Lösung 3:

Vielfache von 6: $6, 12, 18, 24, 30, 36, \ldots$

Vielfache von 9: $9, 18, 27, 36, 45, \ldots$

Das kleinste gemeinsame Vielfache, das in beiden Listen vorkommt, ist 18.

$$\text{kgV}(6, 9) = 18$$

Lösung 4:

Primfaktorzerlegung:

$60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$

$84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$

Für den ggT nehmen wir jeden gemeinsamen Faktor mit der kleineren Hochzahl.

• Faktor 2: $2^2$ (in beiden gleich)
• Faktor 3: $3^1$ (in beiden gleich)
• Faktoren 5 und 7 kommen nur in einer Zahl vor – fallen weg.

$$\text{ggT}(60, 84) = 2^2 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12$$

Lösung 5:

Primfaktorzerlegung:

$18 = 2 \cdot 3^2$

$30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$

Für das kgV nehmen wir jeden vorkommenden Faktor mit der höheren Hochzahl.

• Faktor 2: $2^1$
• Faktor 3: $3^2$ (höhere Hochzahl aus der 18)
• Faktor 5: $5^1$

$$\text{kgV}(18, 30) = 2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 2 \cdot 9 \cdot 5 = 90$$

Lösung 6:

Wir suchen die maximale Anzahl gleicher Körbe – also den $\text{ggT}(48, 72)$.

$48 = 2^4 \cdot 3$

$72 = 2^3 \cdot 3^2$

Für den ggT: kleinere Hochzahlen.

$$\text{ggT}(48, 72) = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24$$

In jeden Korb kommen $48 \div 24 = 2$ Brötchen und $72 \div 24 = 3$ Croissants.

Antwort: Maximal 24 Körbe mit je 2 Brötchen und 3 Croissants.

Lösung 7:

Wir suchen $\text{kgV}(12, 18, 30)$.

$12 = 2^2 \cdot 3$

$18 = 2 \cdot 3^2$

$30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$

Wir nehmen jeden vorkommenden Faktor mit der höchsten Hochzahl.

• Faktor 2: $2^2$
• Faktor 3: $3^2$
• Faktor 5: $5^1$

$$\text{kgV}(12, 18, 30) = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 4 \cdot 9 \cdot 5 = 180$$

Antwort: Nach 180 Sekunden, also 3 Minuten – um 22:03 Uhr – blinken alle drei Türme wieder gleichzeitig.

Lösung 8:

Primfaktorzerlegung:

$84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$

$126 = 2 \cdot 3^2 \cdot 7$

Für den ggT nehmen wir jeden gemeinsamen Faktor mit der kleineren Hochzahl.

$$\text{ggT}(84, 126) = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$$

Wir kürzen Zähler und Nenner durch 42:

$$\dfrac{84}{126} = \dfrac{84 \div 42}{126 \div 42} = \dfrac{2}{3}$$

Antwort: Der vollständig gekürzte Bruch lautet $\dfrac{2}{3}$.

Lösung 9:

Wir wenden den euklidischen Algorithmus an.

Schritt 1: $308 \div 154 = 2$ Rest $0$ (denn $154 \cdot 2 = 308$)

Da der Rest sofort 0 ist, ist die kleinere Zahl bereits der ggT.

$$\text{ggT}(308, 154) = 154$$

Das ergibt Sinn, denn 154 ist ein Teiler von 308.

Lösung 10:

Aus der Formel $\text{ggT}(a, b) \cdot \text{kgV}(a, b) = a \cdot b$ folgt direkt:

$$a \cdot b = 12 \cdot 180 = 2160$$

Jetzt suchen wir ein konkretes Paar. Beide Zahlen müssen den ggT 12 als gemeinsamen Faktor haben. Wir setzen $a = 12 \cdot m$ und $b = 12 \cdot n$, wobei $m$ und $n$ teilerfremd sein müssen (sonst wäre der ggT grösser als 12).

Aus $a \cdot b = 2160$ folgt: $144 \cdot m \cdot n = 2160$, also $m \cdot n = 15$.

Mögliche teilerfremde Paare: $(1, 15)$ oder $(3, 5)$.

Mit $(m, n) = (3, 5)$ erhalten wir $a = 36$ und $b = 60$.

Probe: $\text{ggT}(36, 60) = 12$ ✓ und $\text{kgV}(36, 60) = 180$ ✓

Antwort: $a \cdot b = 2160$, ein passendes Paar ist $(a, b) = (36, 60)$.

Verwandte Themen

• Primfaktorzerlegung – Jede Zahl hat einen geheimen Bauplan
• Teiler und Vielfache verstehen – So erkennst du Teilbarkeit
• Primzahlen verstehen: Teilbarkeit einfach erklärt

Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport