Wahrscheinlichkeit zweier Ereignisse: So berechnest du kombinierte Wahrscheinlichkeiten

Darum geht's

Du spielst mit deinen Freunden ein Brettspiel. Du brauchst eine 6, um zu gewinnen – oder zumindest eine 5, dann wärst du noch im Rennen. Wie gross ist eigentlich die Chance, dass du eine 5 oder eine 6 würfelst? Oder denk an einen regnerischen Montagmorgen: Wie wahrscheinlich ist es, dass der Bus Verspätung hat und du gleichzeitig deinen Regenschirm vergessen hast? Im Alltag interessieren uns selten einzelne Ereignisse allein. Meistens wollen wir wissen, was passiert, wenn mehrere Dinge zusammenkommen. Genau das lernst du jetzt: Wie du die Wahrscheinlichkeit von zwei Ereignissen berechnest – egal ob sie zusammen oder alternativ auftreten sollen.

Vom Alltag zur Mathematik: Wie hängen zwei Ereignisse zusammen?

Bleiben wir beim Würfelbeispiel. Du hast einen fairen Würfel mit sechs Seiten. Jede Zahl hat die gleiche Wahrscheinlichkeit:

$$P(\text{eine bestimmte Zahl}) = \frac{1}{6}$$

Jetzt wird es spannend. Du fragst dich: Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, eine 5 oder eine 6 zu würfeln?

Dein erster Instinkt sagt vielleicht: “Einfach addieren!” Und tatsächlich – in diesem Fall liegst du richtig. Aber Vorsicht: Das funktioniert nicht immer so einfach. Manchmal überschneiden sich Ereignisse. Dann würdest du etwas doppelt zählen.

Deshalb brauchen wir klare Regeln. In der Wahrscheinlichkeitsrechnung gibt es zwei zentrale Fragen:

1. “Oder”-Fragen: Wie wahrscheinlich ist es, dass Ereignis $A$ oder Ereignis $B$ eintritt?
2. “Und”-Fragen: Wie wahrscheinlich ist es, dass Ereignis $A$ und Ereignis $B$ beide eintreten?

Für jede dieser Fragen gibt es eine eigene Formel. Lass uns beide Schritt für Schritt erkunden.

Der Additionssatz: Wahrscheinlichkeit bei “oder”

Wenn du wissen willst, ob mindestens eines von zwei Ereignissen eintritt, brauchst du den Additionssatz.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Bestimme die Einzelwahrscheinlichkeiten: Berechne $P(A)$ und $P(B)$ separat.
2. Prüfe auf Überschneidung: Gibt es Ergebnisse, die zu beiden Ereignissen gehören? Falls ja, berechne $P(A \cap B)$.
3. Wende die Formel an: Setze alles in den Additionssatz ein.

Definition

Die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis $A$ oder Ereignis $B$ eintritt, berechnet sich so:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

Dabei bedeutet:

• $P(A \cup B)$: Wahrscheinlichkeit, dass $A$ oder $B$ (oder beide) eintreten
• $P(A)$: Wahrscheinlichkeit von Ereignis $A$
• $P(B)$: Wahrscheinlichkeit von Ereignis $B$
• $P(A \cap B)$: Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse gleichzeitig eintreten

Warum ziehen wir etwas ab?

Zeichne zwei Kreise, die sich überlappen – wie bei einem Venn-Diagramm. Der überlappende Bereich gehört zu beiden Ereignissen. Wenn du einfach $P(A) + P(B)$ rechnest, zählst du diesen Bereich doppelt. Deshalb musst du $P(A \cap B)$ einmal abziehen.

Der Spezialfall: Sich ausschliessende Ereignisse

Manchmal können zwei Ereignisse gar nicht gleichzeitig passieren. Beim Würfeln kannst du nicht gleichzeitig eine 5 und eine 6 bekommen. Solche Ereignisse heissen disjunkt oder sich gegenseitig ausschliessend.

Für disjunkte Ereignisse gilt: $P(A \cap B) = 0$

Die Formel vereinfacht sich dann zu:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$

Der Multiplikationssatz: Wahrscheinlichkeit bei “und”

Jetzt zur zweiten grossen Frage: Was, wenn beide Ereignisse eintreten sollen?

Denk an folgendes Szenario: Du wirfst eine Münze und danach einen Würfel. Wie wahrscheinlich ist es, Kopf und eine 6 zu bekommen?

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Bestimme die Einzelwahrscheinlichkeiten: Berechne $P(A)$ und $P(B)$.
2. Prüfe auf Unabhängigkeit: Beeinflusst das erste Ereignis das zweite? Falls nein, sind sie unabhängig.
3. Wende die Formel an: Multipliziere die Wahrscheinlichkeiten.

Definition

Wenn zwei Ereignisse $A$ und $B$ unabhängig voneinander sind, gilt:

$$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$

Dabei bedeutet:

• $P(A \cap B)$: Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse eintreten
• $P(A)$: Wahrscheinlichkeit von Ereignis $A$
• $P(B)$: Wahrscheinlichkeit von Ereignis $B$
• Unabhängig heisst: Das Eintreten von $A$ verändert die Wahrscheinlichkeit von $B$ nicht.

Was bedeutet Unabhängigkeit?

Zwei Ereignisse sind unabhängig, wenn das eine das andere nicht beeinflusst. Beispiele:

• Unabhängig: Münzwurf und Würfelwurf. Was die Münze zeigt, hat keinen Einfluss auf den Würfel.
• Unabhängig: Zwei separate Lottoziehungen an verschiedenen Tagen.
• Nicht unabhängig: Du ziehst zwei Karten aus einem Stapel ohne Zurücklegen. Die erste Karte verändert die Wahrscheinlichkeiten für die zweite.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Achtung

Fehler 1: “Oder” und “Und” verwechseln

“Oder” bedeutet Addition (mit Korrektur). “Und” bedeutet Multiplikation. Lies die Aufgabe genau: Sollen beide Ereignisse eintreten, oder reicht eines?

Fehler 2: Die Überschneidung vergessen

Bei “oder”-Aufgaben mit sich überschneidenden Ereignissen musst du $P(A \cap B)$ abziehen. Zeichne im Zweifel ein Venn-Diagramm.

Fehler 3: Unabhängigkeit falsch einschätzen

Beim Ziehen ohne Zurücklegen sind die Ereignisse nicht unabhängig! Die Multiplikationsregel $P(A) \cdot P(B)$ gilt dann nicht direkt. Hier brauchst du bedingte Wahrscheinlichkeiten.

Fehler 4: Brüche falsch multiplizieren

Bei $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}$ multiplizierst du Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner: $\frac{1 \cdot 1}{6 \cdot 6} = \frac{1}{36}$. Nicht addieren!

Beispiele

Beispiel 1: Würfeln – Eine 5 oder eine 6

Aufgabe: Du wirfst einen fairen Würfel. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, eine 5 oder eine 6 zu würfeln?

Lösung:

Die Ereignisse sind:

• $A$: “Es fällt eine 5” mit $P(A) = \frac{1}{6}$
• $B$: “Es fällt eine 6” mit $P(B) = \frac{1}{6}$

Die Ereignisse sind disjunkt – du kannst nicht gleichzeitig 5 und 6 würfeln. Also: $P(A \cap B) = 0$

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$$$P(A \cup B) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} - 0 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit beträgt $\frac{1}{3}$ oder etwa $33{,}3\%$.

Beispiel 2: Münze und Würfel – Kopf und eine 6

Aufgabe: Du wirfst eine Münze und danach einen Würfel. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, Kopf und eine 6 zu bekommen?

Lösung:

Die Ereignisse sind:

• $A$: “Die Münze zeigt Kopf” mit $P(A) = \frac{1}{2}$
• $B$: “Der Würfel zeigt 6” mit $P(B) = \frac{1}{6}$

Die Ereignisse sind unabhängig – die Münze beeinflusst den Würfel nicht.

$$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$$$P(A \cap B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{12}$$

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit beträgt $\frac{1}{12}$ oder etwa $8{,}3\%$.

Beispiel 3: Kartenziehen – Eine rote Karte oder ein Ass

Aufgabe: Aus einem Skatblatt mit 32 Karten (8 Herz, 8 Karo, 8 Pik, 8 Kreuz; je 4 Asse) ziehst du eine Karte. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, eine rote Karte (Herz oder Karo) oder ein Ass zu ziehen?

Lösung:

Die Ereignisse sind:

• $A$: “Die Karte ist rot” (Herz oder Karo) – es gibt 16 rote Karten. Also $P(A) = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$
• $B$: “Die Karte ist ein Ass” – es gibt 4 Asse. Also $P(B) = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}$

Achtung: Die Ereignisse überschneiden sich! Es gibt 2 rote Asse (Herz-Ass und Karo-Ass).

$$P(A \cap B) = \frac{2}{32} = \frac{1}{16}$$

Jetzt der Additionssatz:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$$$P(A \cup B) = \frac{16}{32} + \frac{4}{32} - \frac{2}{32} = \frac{18}{32} = \frac{9}{16}$$

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit beträgt $\frac{9}{16}$ oder $56{,}25\%$.

Beispiel 4: Zweimal Würfeln – Zwei Sechsen hintereinander

Aufgabe: Du wirfst einen Würfel zweimal. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, zweimal hintereinander eine 6 zu würfeln?

Lösung:

Die Ereignisse sind:

• $A$: “Der erste Wurf zeigt 6” mit $P(A) = \frac{1}{6}$
• $B$: “Der zweite Wurf zeigt 6” mit $P(B) = \frac{1}{6}$

Die Würfe sind unabhängig voneinander.

$$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$$$P(A \cap B) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$$

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit beträgt $\frac{1}{36}$ oder etwa $2{,}8\%$.

Beispiel 5: Klassenumfrage – Sport oder Musik

Aufgabe: In einer Klasse mit 25 Schülern spielen 12 ein Instrument, 15 sind im Sportverein, und 6 machen beides. Ein Schüler wird zufällig ausgewählt. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass er ein Instrument spielt oder im Sportverein ist?

Lösung:

Die Ereignisse sind:

• $A$: “spielt ein Instrument” mit $P(A) = \frac{12}{25}$
• $B$: “ist im Sportverein” mit $P(B) = \frac{15}{25}$
• $A \cap B$: “macht beides” mit $P(A \cap B) = \frac{6}{25}$

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$$$P(A \cup B) = \frac{12}{25} + \frac{15}{25} - \frac{6}{25} = \frac{21}{25}$$

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit beträgt $\frac{21}{25}$ oder $84\%$.

Das Wichtigste in Kürze

• “Oder”-Wahrscheinlichkeiten berechnest du mit dem Additionssatz: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
• “Und”-Wahrscheinlichkeiten bei unabhängigen Ereignissen berechnest du mit dem Multiplikationssatz: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$
• Bei disjunkten Ereignissen (keine Überschneidung) fällt der Korrekturterm weg: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
• Unabhängigkeit bedeutet: Ein Ereignis beeinflusst das andere nicht. Beim Ziehen ohne Zurücklegen sind Ereignisse nicht unabhängig!

Dein Wissen im Test

❓ Frage:Du wirfst einen Würfel. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl (2, 4 oder 6) oder eine Zahl grösser als 4 (also 5 oder 6) zu würfeln?

Lösung anzeigen

Lösung:

• $A$: gerade Zahl → $\{2, 4, 6\}$ → $P(A) = \frac{3}{6}$
• $B$: Zahl $> 4$ → $\{5, 6\}$ → $P(B) = \frac{2}{6}$
• $A \cap B$: gerade und $> 4$ → $\{6\}$ → $P(A \cap B) = \frac{1}{6}$

$$P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

Die Wahrscheinlichkeit beträgt $\frac{2}{3}$ oder etwa $66{,}7\%$.

❓ Frage:Du wirfst zwei faire Münzen gleichzeitig. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kopf zeigen?

Lösung anzeigen

Lösung:

Die Münzwürfe sind unabhängig.

• $P(\text{Münze 1 zeigt Kopf}) = \frac{1}{2}$
• $P(\text{Münze 2 zeigt Kopf}) = \frac{1}{2}$

$$P(\text{beide Kopf}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$

Die Wahrscheinlichkeit beträgt $\frac{1}{4}$ oder $25\%$.

❓ Frage:In einer Lostrommel sind 10 Lose: 3 Gewinne und 7 Nieten. Du ziehst ein Los. Welche Formel verwendest du, wenn du wissen willst, ob du einen Gewinn oder eine Niete ziehst? Was ist das Ergebnis und warum?

Lösung anzeigen

Lösung:

Die Ereignisse “Gewinn” und “Niete” sind disjunkt – ein Los kann nicht beides sein.

$$P(\text{Gewinn oder Niete}) = P(\text{Gewinn}) + P(\text{Niete}) = \frac{3}{10} + \frac{7}{10} = \frac{10}{10} = 1$$

Das Ergebnis ist $1$ (oder $100\%$), weil du garantiert entweder einen Gewinn oder eine Niete ziehst. Es gibt keine andere Möglichkeit. Die Wahrscheinlichkeit für das sichere Ereignis ist immer $1$.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du hast jetzt das Werkzeug, um die Wahrscheinlichkeit von zwei Ereignissen zu berechnen – sowohl bei “oder” als auch bei “und”. Als Nächstes wirst du bedingte Wahrscheinlichkeiten kennenlernen. Dabei geht es um Fragen wie: “Wie wahrscheinlich ist Ereignis $B$, wenn ich schon weiss, dass $A$ eingetreten ist?” Das wird besonders wichtig beim Ziehen ohne Zurücklegen und bei komplexeren Baumdiagrammen. Ausserdem wirst du mehrstufige Zufallsexperimente analysieren, bei denen mehr als zwei Ereignisse nacheinander passieren.

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Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport