Erwartungswert der Binomialverteilung: So berechnest du den Durchschnitt bei Zufallsexperimenten

Weiterführend:

• Zur Kapitelübersicht „Binomialverteilung”
• Vorwissen: Binomialverteilung einfach erklärt – Bernoulli-Experimente
• Als Nächstes: Kumulierte Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung

Darum geht's

Stell dir vor, du bist Torwart bei einem Elfmeterschiessen. Bei jedem Schuss hast du eine bestimmte Chance, den Ball zu halten. Wenn du in einer Saison 100 Elfmeter abwehrst, wie viele davon wirst du wohl halten? Du könntest jeden einzelnen Schuss aufschreiben und am Ende zählen. Aber es gibt einen eleganteren Weg. Die Mathematik erlaubt dir, schon vorher eine fundierte Vorhersage zu treffen. Genau das macht der Erwartungswert der Binomialverteilung. Er sagt dir, welches Ergebnis du im Durchschnitt erwarten kannst, wenn du ein Zufallsexperiment oft genug wiederholst. Die Formel dafür ist überraschend einfach und du wirst sie bald im Schlaf beherrschen.

📋Lehrplan 21Zyklus 3 (7.–9. Klasse) · 6Kompetenzen

• MA.3.A.1.kGrundanspruchBegriffe absolute und relative Häufigkeit, x-Koordinate, y-Koordinate, x-Achse, y-Achse, Einheitsstrecke, Wahrscheinlichkeit; Masseinheiten Geschwindigkeit (km/h, m/s, kB/s, dpi)
• MA.3.B.2.eGrundanspruchHäufigkeiten experimentell bestimmen und Vermutungen zu Wahrscheinlichkeiten formulieren; unbekannte Fragestellungen zu Kombinatorik/Wahrscheinlichkeit bearbeiten
• MA.3.A.1.mBegriffe (lineare) Funktion, sichere/mögliche/unmögliche Ereignisse, Flussdiagramm, Bit, Byte; Vorsätze Mikro, Nano; Masseinheiten Dichte (kg/dm³, g/cm³)
• MA.3.B.2.fWahrscheinlichkeiten und statistische Angaben überprüfen und begründen
• MA.3.C.1.hMehrstufige Zufallsexperimente mit Würfeln, Münzen oder Karten durchführen und Baumdiagramm zeichnen
• MA.3.C.1.iErweiterungErw: Zufallsexperimente durchführen und Wahrscheinlichkeiten ermitteln; Wahrscheinlichkeit aus relativer Häufigkeit ableiten

Quelle: Aargauer Lehrplan Volksschule, Fachbereich Mathematik (August 2022)

Eine kleine Zeitreise

Die Idee des Erwartungswerts ist älter, als du vielleicht denkst. Sie entstand im 17. Jahrhundert aus einem sehr weltlichen Anlass: dem Glücksspiel. Zwei französische Adlige, der Chevalier de Méré und sein Freund, stritten darüber, wie ein unterbrochenes Würfelspiel fair aufgeteilt werden sollte. Sie wandten sich an den Mathematiker Blaise Pascal. Dieser tauschte sich brieflich mit Pierre de Fermat aus. Aus diesem Briefwechsel im Jahr 1654 entstanden die Grundlagen der modernen Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Pascal und Fermat entdeckten, dass man erwartete Gewinne mathematisch vorhersagen kann. Sie formulierten die Idee, dass jeder mögliche Ausgang eines Spiels mit seiner Wahrscheinlichkeit gewichtet werden muss. Die Summe dieser gewichteten Werte ergibt den Erwartungswert. Diese Überlegung war revolutionär. Zum ersten Mal liess sich der Zufall mit festen Regeln beschreiben.

Wenige Jahre später griff der niederländische Mathematiker Christiaan Huygens diese Ideen auf. Er veröffentlichte 1657 das Werk “De Ratiociniis in Ludo Aleae” (Über die Berechnungen im Glücksspiel). Huygens prägte den Begriff “expectatio”, aus dem unser heutiger Erwartungswert wurde. Sein Buch wurde zum Standardwerk der jungen Wahrscheinlichkeitstheorie.

Den entscheidenden Schritt für die Binomialverteilung machte Jakob Bernoulli. In seinem posthum erschienenen Werk “Ars Conjectandi” (1713) untersuchte er Zufallsexperimente mit genau zwei Ausgängen. Er erkannte, dass sich bei $n$ Wiederholungen die durchschnittliche Anzahl von Erfolgen als $n \cdot p$ berechnen lässt.

Später erweiterten Mathematiker wie Abraham de Moivre und Pierre-Simon Laplace die Theorie. De Moivre zeigte 1733, wie sich die Binomialverteilung bei grossen $n$ durch die heute bekannte Glockenkurve annähern lässt. Laplace verallgemeinerte den Erwartungswert auf viele weitere Situationen. Was mit einem Streit über ein unterbrochenes Spiel begann, wurde zum Fundament der modernen Statistik, Versicherungsmathematik und Ökonomie.

Die Grundlagen

Bevor du den Erwartungswert berechnest, musst du wissen, in welchem Kontext er auftritt. Der Erwartungswert der Binomialverteilung gehört zu einer ganz bestimmten Art von Zufallsexperiment: dem Bernoulli-Experiment mit Wiederholung.

Ein Bernoulli-Experiment hat genau zwei mögliche Ausgänge. Diese nennst du Erfolg und Misserfolg. Ob es um einen Münzwurf, einen Torschuss oder eine Qualitätsprüfung geht: Immer gilt entweder das eine oder das andere. Die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg wird mit $p$ bezeichnet, die für einen Misserfolg mit $q = 1 - p$.

Wiederholst du ein solches Experiment unter gleichen Bedingungen mehrfach, erhältst du eine Bernoulli-Kette. Die Zufallsvariable $X$ zählt dann die Anzahl der Erfolge in dieser Kette. Ihre Verteilung nennt man Binomialverteilung.

Definition

Eine Bernoulli-Kette der Länge $n$ besteht aus $n$ unabhängigen Bernoulli-Experimenten mit gleicher Erfolgswahrscheinlichkeit $p$.

Die Zufallsvariable $X$, die die Anzahl der Erfolge zählt, ist binomialverteilt mit den Parametern $n$ und $p$. Man schreibt:

$$X \sim B(n; p)$$

Die Wahrscheinlichkeit für genau $k$ Erfolge beträgt:

$$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$$

Damit du die Binomialverteilung anwenden darfst, müssen drei Bedingungen erfüllt sein:

1. Zwei Ausgänge: Jeder Versuch kennt nur Erfolg oder Misserfolg.
2. Feste Wahrscheinlichkeit: $p$ bleibt bei jedem Versuch gleich.
3. Unabhängigkeit: Der Ausgang eines Versuchs beeinflusst die anderen nicht.

Denkst du an unser Elfmeterbeispiel, passt alles: Du hältst oder hältst nicht. Deine Quote ändert sich über die Saison nicht wesentlich. Und ob du den ersten Elfmeter hältst, hat keinen Einfluss auf den zweiten. Diese sauberen Annahmen machen die Binomialverteilung zum mächtigsten Werkzeug für Serien von Zufallsexperimenten.

Die Kernmethode

Die gute Nachricht zuerst: Die Formel für den Erwartungswert der Binomialverteilung ist verblüffend einfach. Du brauchst keine komplizierten Summen zu berechnen. Du multiplizierst einfach die Anzahl der Versuche mit der Erfolgswahrscheinlichkeit.

Definition

Für eine binomialverteilte Zufallsvariable $X$ mit $n$ Versuchen und Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ gilt:

$$E(X) = \mu = n \cdot p$$

Dabei bedeuten:

• $E(X)$ oder $\mu$ (griechischer Buchstabe “mü”): der Erwartungswert
• $n$: die Anzahl der Versuche (natürliche Zahl, $n \geq 1$)
• $p$: die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg bei einem einzelnen Versuch ($0 \leq p \leq 1$)

Warum funktioniert diese einfache Formel?

Stell dir jeden einzelnen Versuch als eigenen Zähler vor. Bei jedem Versuch “gewinnst” du mit Wahrscheinlichkeit $p$ genau einen Erfolg. Im Durchschnitt trägt dieser eine Versuch also den Wert $p$ zum Gesamtergebnis bei. Hast du $n$ solcher Versuche, summieren sich die Beiträge: $p + p + p + \ldots + p = n \cdot p$. Diese Überlegung nennt sich Linearität des Erwartungswerts.

Schritt für Schritt zum Erwartungswert:

1. Prüfen: Handelt es sich wirklich um eine Binomialverteilung? Alle drei Bedingungen erfüllt?
2. $n$ bestimmen: Wie oft wird das Experiment durchgeführt?
3. $p$ bestimmen: Wie gross ist die Erfolgswahrscheinlichkeit pro Versuch (als Dezimalzahl)?
4. Rechnen: $E(X) = n \cdot p$
5. Interpretieren: Das Ergebnis ist der durchschnittlich erwartete Wert, nicht das exakte Ergebnis eines einzelnen Durchlaufs.

Zurück zum Elfmeterschiessen: Mit $n = 100$ und $p = 0{,}25$ ergibt sich

$$E(X) = 100 \cdot 0{,}25 = 25\,.$$

Du erwartest also durchschnittlich 25 gehaltene Elfmeter. Das deckt sich mit deiner Intuition. Diese Formel ist so einfach, weil sie genau das wiedergibt, was wir unter “durchschnittlich” verstehen: den über alle Versuche gemittelten Erfolgsanteil.

Beispiel:

Beispiel 1: Münzwurf

Du wirfst eine faire Münze $n = 50$ Mal. Wie viele Male erwartest du im Durchschnitt “Kopf”?

Lösung:

Eine faire Münze hat für “Kopf” die Wahrscheinlichkeit $p = 0{,}5$.

Die Anzahl der Versuche ist $n = 50$.

Der Erwartungswert berechnet sich zu:

$$E(X) = n \cdot p = 50 \cdot 0{,}5 = 25$$

Interpretation: Bei 50 Münzwürfen erwartest du im Durchschnitt 25-mal “Kopf”.

Das bedeutet nicht, dass du exakt 25-mal “Kopf” werfen wirst. Du könntest 22, 27 oder auch 31 Treffer haben. Wenn du aber den Versuch sehr oft wiederholen würdest, läge der Mittelwert aller Durchläufe nahe bei 25. Je mehr Durchläufe du machst, desto näher kommst du diesem Wert.

Beispiel:

Beispiel 2: Qualitätskontrolle in einer Fabrik

Eine Maschine produziert Schrauben. Erfahrungsgemäss sind $2\%$ der Schrauben fehlerhaft. Ein Prüfer untersucht eine Stichprobe von $n = 500$ Schrauben. Wie viele fehlerhafte Schrauben erwartet er im Durchschnitt? Ab welcher Anzahl sollte er die Maschine prüfen lassen?

Lösung:

Die Wahrscheinlichkeit für eine fehlerhafte Schraube beträgt $p = 0{,}02$ (nicht 2!).

Die Stichprobengrösse ist $n = 500$.

Der Erwartungswert berechnet sich zu:

$$E(X) = n \cdot p = 500 \cdot 0{,}02 = 10$$

Interpretation: Der Prüfer erwartet im Durchschnitt 10 fehlerhafte Schrauben in seiner Stichprobe.

Findet er deutlich mehr, etwa 20 oder 30, liegt vermutlich ein Problem vor. Die Maschine sollte dann gewartet werden. Findet er nur 4 oder 5 fehlerhafte Schrauben, ist das ebenfalls kein Grund zur Sorge. Der Erwartungswert ist eine Orientierung, keine starre Grenze. In der Praxis legt man Toleranzbereiche fest, die auch die Streuung berücksichtigen.

Die häufigsten Stolpersteine

Beim Erwartungswert passieren immer wieder dieselben Fehler. Wenn du diese kennst, umgehst du sie mühelos.

Achtung

Stolperstein 1: Wahrscheinlichkeit als Prozentzahl einsetzen

Wenn die Erfolgswahrscheinlichkeit $30\%$ beträgt, musst du $p = 0{,}3$ in die Formel einsetzen, nicht $p = 30$. Sonst wird dein Ergebnis 100-mal zu gross.

Falsch: $E(X) = 20 \cdot 30 = 600$ Richtig: $E(X) = 20 \cdot 0{,}3 = 6$

Merke: $p$ ist immer eine Zahl zwischen 0 und 1.

Achtung

Stolperstein 2: Den Erwartungswert als sichere Vorhersage verstehen

Der Erwartungswert ist ein theoretischer Durchschnitt, keine Garantie. Wenn $E(X) = 25$, bedeutet das nicht, dass du genau 25 Erfolge haben wirst. Es ist der Wert, um den sich die tatsächlichen Ergebnisse bei vielen Wiederholungen verteilen. In einem einzelnen Durchlauf sind Abweichungen die Regel.

Achtung

Stolperstein 3: Erwartungswert muss ganzzahlig sein

Ein Erwartungswert von $E(X) = 3{,}7$ ist mathematisch völlig korrekt. Er beschreibt einen theoretischen Mittelwert, kein konkretes Ergebnis. In der Realität kannst du natürlich nicht 3,7 Erfolge haben, sondern nur 3 oder 4. Der Erwartungswert sagt dir: Ergebnisse in der Nähe von 3 oder 4 sind am wahrscheinlichsten. Runden ist nur bei der Interpretation sinnvoll, nicht bei der Rechnung.

Achtung

Stolperstein 4: Die Formel auch anwenden, wenn keine Binomialverteilung vorliegt

Die Formel $E(X) = n \cdot p$ gilt NUR für binomialverteilte Zufallsvariablen. Wenn die Bedingungen verletzt sind, etwa weil $p$ sich von Versuch zu Versuch ändert oder die Versuche voneinander abhängen, darfst du die Formel nicht verwenden.

Klassisches Gegenbeispiel: Du ziehst ohne Zurücklegen. Dann ändert sich die Wahrscheinlichkeit nach jeder Ziehung. Hier liegt keine Binomialverteilung mehr vor, sondern eine hypergeometrische Verteilung.

Beispiel:

Beispiel 3: Multiple-Choice-Test mit Raten

Ein Multiple-Choice-Test besteht aus $n = 40$ Fragen. Jede Frage hat 4 Antwortmöglichkeiten, von denen genau eine richtig ist. Ein Schüler rät bei jeder Frage zufällig.

a) Wie viele richtige Antworten erwartet er im Durchschnitt? b) Zum Bestehen braucht er mindestens 16 richtige Antworten. Ist Raten eine gute Strategie? c) Was wäre, wenn er bei der Hälfte der Fragen zwei Antworten ausschliessen könnte?

Lösung:

a) Bei zufälligem Raten beträgt die Wahrscheinlichkeit für eine richtige Antwort $p = \dfrac{1}{4} = 0{,}25$.

Die Anzahl der Fragen ist $n = 40$.

$$E(X) = n \cdot p = 40 \cdot 0{,}25 = 10$$

Der Schüler erwartet im Durchschnitt 10 richtige Antworten durch reines Raten.

b) Der Erwartungswert von 10 liegt deutlich unter der Bestehensgrenze von 16. Raten ist also keine gute Strategie. Selbst wenn er manchmal mehr als 10 richtige Antworten erzielt, wird er im Durchschnitt durchfallen.

c) Bei 20 Fragen bleibt $p_1 = 0{,}25$, bei den anderen 20 Fragen steigt $p_2 = 0{,}5$. Die beiden Erwartungswerte lassen sich addieren: $E(X) = 20 \cdot 0{,}25 + 20 \cdot 0{,}5 = 5 + 10 = 15$. Immer noch zu wenig.

Beispiel:

Beispiel 4: Wettervorhersage für den Urlaub

Laut Statistik regnet es an der Mittelmeerküste im Juli an $15\%$ der Tage. Eine Familie plant einen 14-tägigen Urlaub. An wie vielen Tagen müssen sie im Durchschnitt mit Regen rechnen? Wie verändert sich das Bild bei einer dreiwöchigen Reise?

Lösung:

Die Regenwahrscheinlichkeit pro Tag beträgt $p = 0{,}15$.

Die Urlaubsdauer ist $n = 14$ Tage.

$$E(X) = n \cdot p = 14 \cdot 0{,}15 = 2{,}1$$

Interpretation: Die Familie erwartet im Durchschnitt etwa 2 Regentage während ihres Urlaubs. Der Wert 2,1 zeigt: Es werden wahrscheinlich 2 oder 3 Tage sein. Der Erwartungswert muss nicht ganzzahlig sein. Das ist völlig normal und mathematisch korrekt.

Bei einer dreiwöchigen Reise mit $n = 21$ Tagen ergibt sich:

$$E(X) = 21 \cdot 0{,}15 = 3{,}15$$

Mit etwa 3 Regentagen. Der Erwartungswert wächst linear mit der Reisedauer. Das ist eine wichtige Einsicht: Doppelt so lange verreisen bedeutet doppelt so viele erwartete Regentage. Dabei solltest du kritisch prüfen, ob die Tage wirklich unabhängig voneinander sind, denn Regentage treten in der Realität oft in Serien auf.

Vertiefung

Der Erwartungswert ist nur einer von mehreren Kennwerten, mit denen du eine Binomialverteilung beschreiben kannst. Er sagt dir, wo das Zentrum der Verteilung liegt. Er verrät dir aber nicht, wie stark die einzelnen Ergebnisse um diesen Mittelwert streuen. Diese Lücke füllt die Varianz und die daraus abgeleitete Standardabweichung.

Definition

Für eine binomialverteilte Zufallsvariable $X \sim B(n; p)$ gilt:

$$\begin{align*} \text{Varianz:}\quad & V(X) = n \cdot p \cdot (1-p) \\ \text{Standardabweichung:}\quad & \sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} \end{align*}$$

Die Standardabweichung $\sigma$ (griechisches “Sigma”) misst die durchschnittliche Abweichung der Ergebnisse vom Erwartungswert.

Der Zusammenhang zum Erwartungswert:

Während der Erwartungswert $\mu = n \cdot p$ die Lage der Verteilung beschreibt, beschreibt die Standardabweichung $\sigma$ ihre Breite. Beide zusammen geben dir ein fast vollständiges Bild der Binomialverteilung.

Besonders nützlich ist die sogenannte Sigma-Regel. Sie besagt: Etwa $68\%$ aller Ergebnisse liegen im Intervall $[\mu - \sigma; \mu + \sigma]$. Rund $95\%$ liegen im Intervall $[\mu - 2\sigma; \mu + 2\sigma]$. Und fast alle, etwa $99{,}7\%$, liegen in $[\mu - 3\sigma; \mu + 3\sigma]$. Diese Regel gilt exakt nur für die Normalverteilung, ist aber für hinreichend grosse $n$ auch eine sehr gute Näherung für die Binomialverteilung.

Ein anschauliches Beispiel:

Beim Münzwurf mit $n = 100$ und $p = 0{,}5$ ergibt sich:

• Erwartungswert: $\mu = 100 \cdot 0{,}5 = 50$
• Standardabweichung: $\sigma = \sqrt{100 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5} = \sqrt{25} = 5$

Nach der Sigma-Regel liegen etwa $68\%$ aller Ergebnisse zwischen 45 und 55. Rund $95\%$ liegen zwischen 40 und 60. Ein Ergebnis von weniger als 40 oder mehr als 60 “Kopf”-Würfen wäre auffällig selten, obwohl es nicht unmöglich ist. So wird aus dem Erwartungswert eine praktische Orientierungshilfe für den Alltag.

Beispiel:

Beispiel 5: Lottoschein und grosse Zahlen

Beim Lotto 6 aus 49 beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen “Sechser” ohne Zusatzzahl etwa $p \approx \dfrac{1}{13\,983\,816}$. Jemand spielt jede Woche einen Tipp, 52 Jahre lang. Wie viele Sechser erwartet er im Durchschnitt?

Lösung:

Die Anzahl der Versuche ist $n = 52 \cdot 52 = 2\,704$ Tippscheine.

Die Erfolgswahrscheinlichkeit beträgt $p = \dfrac{1}{13\,983\,816}$.

$$E(X) = n \cdot p = 2\,704 \cdot \frac{1}{13\,983\,816} \approx 0{,}000193$$

Interpretation: Im Durchschnitt erwartet der Spieler weniger als ein Tausendstel eines Sechsers. Anders gesagt: Er müsste etwa $\dfrac{1}{0{,}000193} \approx 5\,180$ solcher Spielerleben hintereinander absolvieren, um im Schnitt einmal einen Sechser zu erzielen.

Dieses Beispiel zeigt zwei Dinge. Erstens: Der Erwartungswert muss nicht ganzzahlig sein. Zweitens: Er kann sehr klein werden und dir realistisch aufzeigen, wie unwahrscheinlich seltene Ereignisse wirklich sind. Gleichzeitig bleibt die Wahrscheinlichkeit, dass irgendein einzelner Tippschein gewinnt, genauso klein, egal wie oft schon gezogen wurde. Der Zufall hat kein Gedächtnis.

Übungen

Arbeite dich durch die folgenden Aufgaben. Sie sind nach Schwierigkeit geordnet. Die Lösungen findest du am Ende des Artikels.

Aufgabe 1: Berechne den Erwartungswert für 20 Würfe mit einem fairen Würfel, wenn du die Augenzahl 6 als Erfolg zählst.

Aufgabe 2: Eine Münze wird 80 Mal geworfen. Wie viele Male erwartest du im Durchschnitt “Zahl”?

Aufgabe 3: Eine Basketballspielerin trifft einen Freiwurf mit Wahrscheinlichkeit $0{,}75$. In einem Spiel hat sie 12 Freiwürfe. Wie viele Treffer erwartet sie?

Aufgabe 4: In einem Glas sind 30 rote und 70 blaue Kugeln. Du ziehst mit Zurücklegen 40 Kugeln. Wie viele rote Kugeln erwartest du?

Aufgabe 5: Eine Fabrik produziert Glühbirnen. Die Ausschussquote beträgt $3\%$. Bei einer Kontrollcharge von 1’000 Stück, wie viele fehlerhafte Glühbirnen erwartest du?

Aufgabe 6: Ein Test besteht aus 25 Fragen. Jede Frage hat 5 Antwortmöglichkeiten, davon genau eine richtig. Ein Schüler rät. a) Erwartungswert bestimmen. b) Wie viele Fragen müsste er selbst beantworten können, um im Erwartungswert mindestens 15 richtige Antworten zu erreichen?

Aufgabe 7: In einer Stichprobe werden 200 Personen nach ihrem Lieblingssport gefragt. $12\%$ der Bevölkerung geben “Tennis” an. Bestimme den Erwartungswert für Tennis-Fans in der Stichprobe und die Standardabweichung.

Aufgabe 8: Eine Zufallsvariable $X$ ist binomialverteilt mit $E(X) = 18$ und $n = 60$. Bestimme die Erfolgswahrscheinlichkeit $p$.

Aufgabe 9: Bei einem Glücksspiel gewinnst du pro Runde mit Wahrscheinlichkeit $0{,}4$ genau 5 CHF und verlierst sonst 3 CHF. Du spielst 50 Runden. a) Wie viele Runden gewinnst du im Durchschnitt? b) Wie hoch ist dein erwarteter Gesamtgewinn?

Aufgabe 10: Ein Virus wird in einer Bevölkerung von 10’000 Personen untersucht. Die Infektionsquote beträgt $0{,}5\%$. a) Berechne den Erwartungswert für infizierte Personen. b) Bestimme die Standardabweichung. c) In welchem Intervall liegen gemäss der $2\sigma$-Regel etwa $95\%$ der möglichen Infektionszahlen?

Das Wichtigste in Kürze

Der Erwartungswert $E(X) = n \cdot p$ gibt die durchschnittlich erwartete Anzahl von Erfolgen bei einer Binomialverteilung an. Er ist ein theoretischer Mittelwert, keine Vorhersage für einen einzelnen Versuch. Die Wahrscheinlichkeit $p$ muss als Dezimalzahl in die Formel eingesetzt werden. Der Erwartungswert muss keine ganze Zahl sein. Je mehr Versuche du durchführst, desto näher liegt dein tatsächliches Ergebnis im Durchschnitt am Erwartungswert. Zusammen mit der Standardabweichung $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ erhältst du ein vollständiges Bild der Binomialverteilung. Die Formel für den Erwartungswert folgt direkt aus der Linearität: Jeder einzelne Versuch trägt im Mittel $p$ zum Gesamtergebnis bei.

Dein Wissen im Test

❓ Frage:

Eine Würfelfabrik prüft 200 Würfel auf Fehler. Erfahrungsgemäss sind 5% der Würfel fehlerhaft. Berechne den Erwartungswert für die Anzahl fehlerhafter Würfel.

Lösung anzeigen

Gegeben: $n = 200$ und $p = 0{,}05$.

$$E(X) = n \cdot p = 200 \cdot 0{,}05 = 10$$

Die Fabrik erwartet im Durchschnitt 10 fehlerhafte Würfel.

❓ Frage:

Bei einem Glücksrad ist ein Viertel des Rades rot gefärbt. Das Rad wird 60-mal gedreht. Der Erwartungswert für “rot” beträgt $E(X) = 20$. Ist diese Aussage richtig? Begründe.

Lösung anzeigen

Überprüfung: $n = 60$, $p = \dfrac{1}{4} = 0{,}25$.

$$E(X) = n \cdot p = 60 \cdot 0{,}25 = 15$$

Die Aussage ist falsch. Der korrekte Erwartungswert beträgt 15, nicht 20.

❓ Frage:

Ein Basketballspieler hat eine Freiwurfquote von 80%. In einem Spiel wirft er 15 Freiwürfe. a) Wie lautet der Erwartungswert für Treffer? b) Warum wird er wahrscheinlich nicht genau so viele Treffer erzielen?

Lösung anzeigen

a) Gegeben: $n = 15$, $p = 0{,}80$.

$$E(X) = n \cdot p = 15 \cdot 0{,}80 = 12$$

Der Erwartungswert beträgt 12 Treffer. b) Der Erwartungswert ist ein Durchschnittswert über viele Spiele hinweg. In einem einzelnen Spiel unterliegt das Ergebnis dem Zufall. Der Spieler könnte 10, 12, 14 oder eine andere Anzahl Treffer erzielen. Erst über viele Spiele hinweg würde sich der Durchschnitt dem Wert 12 annähern.

❓ Frage:

Für eine binomialverteilte Zufallsvariable gilt $n = 80$ und $E(X) = 24$. Bestimme die Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ und anschliessend die Standardabweichung.

Lösung anzeigen

Aus $E(X) = n \cdot p$ folgt:

$$p = \frac{E(X)}{n} = \frac{24}{80} = 0{,}3$$

Damit ergibt sich die Standardabweichung zu:

$$\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{80 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}7} = \sqrt{16{,}8} \approx 4{,}10$$

Die Erfolgswahrscheinlichkeit beträgt $p = 0{,}3$, die Standardabweichung rund 4,10.

❓ Frage:

Eine Umfrage unter 500 Personen soll den Anteil der Velofahrer schätzen. Die bisherige Studienlage geht von $p = 0{,}24$ aus. a) Wie viele Velofahrer erwartest du in der Stichprobe? b) In welchem Bereich liegen nach der Sigma-Regel etwa 68% der Umfrageergebnisse?

Lösung anzeigen

a) $E(X) = n \cdot p = 500 \cdot 0{,}24 = 120$. Du erwartest 120 Velofahrer. b) Standardabweichung:

$$\sigma = \sqrt{500 \cdot 0{,}24 \cdot 0{,}76} = \sqrt{91{,}2} \approx 9{,}55$$

Das Intervall $[\mu - \sigma; \mu + \sigma] = [110{,}45; 129{,}55]$ enthält nach der Sigma-Regel etwa 68% der möglichen Ergebnisse. Gerundet liegen die meisten Umfrageergebnisse zwischen 110 und 130 Velofahrern.

Ausblick

Du kennst jetzt den Erwartungswert. Er zeigt dir, wo das Zentrum der Binomialverteilung liegt. Aber wie weit streuen die einzelnen Ergebnisse um diesen Mittelwert? Diese Frage beantwortet die Varianz und die daraus abgeleitete Standardabweichung. Mit ihr kannst du einschätzen, in welchem Bereich die meisten Ergebnisse liegen werden. Ausserdem wirst du lernen, wie du mit der Sigma-Regel Wahrscheinlichkeiten für bestimmte Ergebnisbereiche schnell abschätzen kannst. Als Nächstes geht es um kumulierte Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung. Damit kannst du dann Fragen der Form “Wie wahrscheinlich sind höchstens 10 Erfolge?” beantworten.

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 1: Bei einem fairen Würfel ist die Wahrscheinlichkeit für eine 6 gleich $p = \dfrac{1}{6}$. Mit $n = 20$ ergibt sich:

$$E(X) = 20 \cdot \frac{1}{6} = \frac{20}{6} \approx 3{,}33$$

Du erwartest also im Durchschnitt etwa 3 bis 4 Sechser bei 20 Würfen.

Lösung zu Aufgabe 2: Die Wahrscheinlichkeit für “Zahl” beträgt $p = 0{,}5$ bei einer fairen Münze.

$$E(X) = 80 \cdot 0{,}5 = 40$$

Im Durchschnitt erwartest du 40 Mal “Zahl”. Das passt zur Intuition: Bei einer fairen Münze fällt im Mittel die Hälfte der Würfe auf jede Seite.

Lösung zu Aufgabe 3: Mit $n = 12$ und $p = 0{,}75$:

$$E(X) = 12 \cdot 0{,}75 = 9$$

Die Basketballspielerin erwartet 9 Treffer bei 12 Freiwürfen. In einem einzelnen Spiel kann das Ergebnis aber auch bei 7, 10 oder 11 Treffern liegen. Der Erwartungswert ist der langfristige Mittelwert.

Lösung zu Aufgabe 4: Die Wahrscheinlichkeit für eine rote Kugel beträgt $p = \dfrac{30}{100} = 0{,}3$. Mit Zurücklegen bleibt diese Wahrscheinlichkeit konstant. Die Binomialverteilung ist also anwendbar.

$$E(X) = 40 \cdot 0{,}3 = 12$$

Du erwartest 12 rote Kugeln. Achtung: Ohne Zurücklegen läge keine Binomialverteilung mehr vor.

Lösung zu Aufgabe 5: Die Ausschussquote $3\%$ entspricht $p = 0{,}03$.

$$E(X) = 1\,000 \cdot 0{,}03 = 30$$

In der Kontrollcharge erwartest du durchschnittlich 30 fehlerhafte Glühbirnen. Sollte die tatsächliche Anzahl deutlich abweichen, wäre das ein Hinweis auf Qualitätsprobleme.

Lösung zu Aufgabe 6: a) Bei zufälligem Raten gilt $p = \dfrac{1}{5} = 0{,}2$.

$$E(X) = 25 \cdot 0{,}2 = 5$$

Der Erwartungswert beim Raten liegt bei 5 richtigen Antworten.

b) Sei $k$ die Anzahl der Fragen, die er selbst richtig beantwortet. Für die restlichen $25 - k$ Fragen rät er mit $p = 0{,}2$. Der Erwartungswert beträgt dann $E(X) = k + (25 - k) \cdot 0{,}2$. Für $E(X) \geq 15$ folgt:

$$k + 5 - 0{,}2k \geq 15 \quad\Leftrightarrow\quad 0{,}8k \geq 10 \quad\Leftrightarrow\quad k \geq 12{,}5$$

Er muss also mindestens 13 Fragen sicher beherrschen.

Lösung zu Aufgabe 7: Mit $n = 200$ und $p = 0{,}12$:

$$E(X) = 200 \cdot 0{,}12 = 24$$

Die Standardabweichung beträgt:

$$\sigma = \sqrt{200 \cdot 0{,}12 \cdot 0{,}88} = \sqrt{21{,}12} \approx 4{,}60$$

Du erwartest 24 Tennis-Fans mit einer Streuung von rund 4,6 Personen.

Lösung zu Aufgabe 8: Aus $E(X) = n \cdot p$ folgt direkt:

$$p = \frac{E(X)}{n} = \frac{18}{60} = 0{,}3$$

Die Erfolgswahrscheinlichkeit beträgt $p = 0{,}3$.

Lösung zu Aufgabe 9: a) Du gewinnst mit Wahrscheinlichkeit $p = 0{,}4$. Bei $n = 50$ Runden:

$$E(X) = 50 \cdot 0{,}4 = 20$$

Du gewinnst im Durchschnitt 20 Runden.

b) Bei 20 gewonnenen Runden erhältst du $20 \cdot 5 = 100$ CHF. In den 30 verlorenen Runden verlierst du $30 \cdot 3 = 90$ CHF. Dein erwarteter Gesamtgewinn beträgt $100 - 90 = 10$ CHF. Das Spiel ist also für dich leicht vorteilhaft, aber nicht sehr stark.

Lösung zu Aufgabe 10: a) Mit $n = 10\,000$ und $p = 0{,}005$:

$$E(X) = 10\,000 \cdot 0{,}005 = 50$$

Du erwartest 50 infizierte Personen.

b) Die Standardabweichung beträgt:

$$\sigma = \sqrt{10\,000 \cdot 0{,}005 \cdot 0{,}995} = \sqrt{49{,}75} \approx 7{,}05$$

c) Nach der $2\sigma$-Regel liegen etwa $95\%$ aller möglichen Infektionszahlen im Intervall

$$[\mu - 2\sigma;\ \mu + 2\sigma] = [50 - 14{,}1;\ 50 + 14{,}1] = [35{,}9;\ 64{,}1]\,.$$

Gerundet: Mit grosser Wahrscheinlichkeit liegen die beobachteten Infektionszahlen zwischen 36 und 64 Personen. Werte darüber oder darunter wären statistisch ungewöhnlich und könnten auf Sondereffekte hindeuten, zum Beispiel einen lokalen Ausbruch oder eine Testkampagne.

Verwandte Themen

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Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport