Antiproportionale Zuordnungen verstehen – Der umgekehrte Dreisatz

Darum geht's

Du planst eine Geburtstagsparty. Du hast einen grossen Kuchen, der in gleich grosse Stücke geschnitten wird. Kommen 4 Gäste, bekommt jeder ein ordentliches Stück. Kommen 8 Gäste, muss der Kuchen auf mehr Leute verteilt werden. Jeder bekommt dann nur noch halb so viel. Das ist der Kern einer antiproportionalen Zuordnung: Doppelt so viele Personen bedeuten halb so viel für jeden Einzelnen. In diesem Artikel lernst du, wie du solche Aufgaben sicher und schnell löst.

Antiproportionale Zuordnungen: die Idee

Bei einer antiproportionalen Zuordnung verhalten sich zwei Grössen umgekehrt zueinander. Wird die eine Grösse grösser, wird die andere kleiner. Und zwar in einem ganz bestimmten Verhältnis.

Zurück zum Kuchen: Bei 4 Gästen bekommt jeder $\dfrac{1}{4}$ des Kuchens. Bei 8 Gästen bekommt jeder nur noch $\dfrac{1}{8}$. Die Anzahl der Gäste hat sich verdoppelt. Die Kuchenmenge pro Person hat sich halbiert.

Das Besondere dabei: Das Produkt aus beiden Werten bleibt immer gleich. Bei 4 Gästen mit je $\dfrac{1}{4}$ Kuchen ergibt das $4 \cdot \dfrac{1}{4} = 1$. Bei 8 Gästen mit je $\dfrac{1}{8}$ Kuchen ergibt das $8 \cdot \dfrac{1}{8} = 1$. Immer genau ein ganzer Kuchen.

Definition

Zwei Grössen sind antiproportional zueinander, wenn gilt:

$$x_1 \cdot y_1 = x_2 \cdot y_2 = k$$

Das Produkt der einander zugeordneten Werte bleibt immer gleich. Dieses Produkt heisst die Konstante $k$ der Zuordnung.

Erkennungsmerkmal: Verdoppelt (verdreifacht) sich die eine Grösse, so halbiert (drittelt) sich die andere.

“Je mehr …, desto weniger …” ist nur ein erster Hinweis: Eine 20 cm lange Kerze brennt pro Stunde 2 cm ab. Nach 2 Stunden ist sie noch 16 cm lang, nach 4 Stunden aber noch 12 cm und nicht 8 cm. Das ist nicht antiproportional.

Typische Situationen: Arbeiter und Arbeitszeit, Geschwindigkeit und Fahrtdauer, Personen und Anteil an einem Vorrat.

Denke an eine Wippe auf dem Spielplatz. Wenn die eine Seite nach oben geht, geht die andere nach unten. Genauso funktioniert die antiproportionale Zuordnung: Steigt ein Wert, sinkt der andere zwangsläufig.

Antiproportionale Zuordnungen: der Rechenweg

Der Dreisatz funktioniert bei antiproportionalen Zuordnungen anders als bei proportionalen. Statt zu multiplizieren, wenn du vergrösserst, musst du dividieren. Die Rechnung läuft in drei klaren Schritten ab.

Weiterführend:

• Proportionale Zuordnungen (zum Vergleichen)
• Dreisatz – Überblick über beide Fälle

Schritt 1: Schreibe die bekannten Werte als Zuordnung auf. Zum Beispiel: 6 Arbeiter → 4 Tage.

Schritt 2: Berechne das Produkt der beiden Werte. Das ist die Konstante $k$. Also: $6 \cdot 4 = 24$.

Schritt 3: Teile die Konstante durch den neuen Wert. Für 9 Arbeiter: $\dfrac{24}{9} = \dfrac{8}{3} \approx 2{,}67$ Tage.

Definition

Gegeben: $x_1$ und $y_1$ sowie ein neuer Wert $x_2$.

Gesucht: $y_2$

Berechnung:

$$y_2 = \frac{x_1 \cdot y_1}{x_2}$$

Merksatz: Konstante berechnen, dann dividieren.

Bei proportionalen Zuordnungen hättest du multipliziert. Bei antiproportionalen Zuordnungen dividierst du. Das ist der entscheidende Unterschied.

Du kannst alternativ auch den “Umweg über 1” gehen: Berechne zuerst, wie lange 1 Arbeiter bräuchte. Dann teile durch die neue Anzahl Arbeiter.

Beispiel:

Maler und Arbeitsstunden

Aufgabe: 3 Maler streichen eine Wand in 12 Stunden. Wie lange brauchen 6 Maler?

Lösung:

Zuerst prüfen: Brauchen doppelt so viele Maler halb so lange? Ja, also antiproportional.

Konstante berechnen:

$$k = 3 \cdot 12 = 36$$

Das bedeutet: Die gesamte Arbeit entspricht 36 “Malerstunden”.

Für 6 Maler:

$$y_2 = \frac{36}{6} = 6 \, \text{Stunden}$$

Antwort: 6 Maler brauchen 6 Stunden.

Probe: $6 \cdot 6 = 36$ ✓

Beispiel:

Pumpen leeren einen Pool

Aufgabe: 8 Pumpen leeren einen Pool in 3 Stunden. Wie lange brauchen 5 Pumpen für denselben Pool?

Lösung:

Doppelt so viele Pumpen brauchen halb so lange, also antiproportional.

Konstante berechnen:

$$k = 8 \cdot 3 = 24$$

Für 5 Pumpen:

$$y_2 = \frac{24}{5} = 4{,}8 \, \text{Stunden}$$

Umrechnen: $0{,}8 \cdot 60 = 48$ Minuten.

Antwort: 5 Pumpen brauchen 4 Stunden und 48 Minuten.

Probe: $5 \cdot 4{,}8 = 24$ ✓

Beachte: Das Ergebnis ist grösser als 3 Stunden. Das macht Sinn. Weniger Pumpen brauchen länger.

Typische Fehler bei Antiproportionale Zuordnungen

Achtung

Stolperstein 1: Proportional und antiproportional verwechseln

Das ist der häufigste Fehler überhaupt. Frage dich immer zuerst: Was passiert mit dem Ergebnis, wenn ich die andere Grösse verdopple? Doppelt so viele Arbeiter brauchen halb so lange. Das ist antiproportional. Doppelt so viele Maschinen produzieren in derselben Zeit doppelt so viel. Das ist proportional. Erst wenn du diese Frage beantwortet hast, darfst du rechnen.

Achtung

Stolperstein 2: Falsche Rechenrichtung beim Dreisatz

Viele Schülerinnen und Schüler rechnen beim antiproportionalen Dreisatz trotzdem mit Multiplikation – wie sie es vom proportionalen Dreisatz gewohnt sind. Merke dir: Bei antiproportionalen Zuordnungen teilst du die Konstante durch den neuen Wert. Du multiplizierst nicht. Ein einfacher Selbstcheck: Wenn du mehr von einer Grösse hast, muss das Ergebnis kleiner werden. Wird das Ergebnis bei deiner Rechnung grösser, hast du etwas falsch gemacht.

Achtung

Stolperstein 3: Einheiten ignorieren

Ein Ergebnis wie $4{,}75$ Stunden klingt fertig – ist es aber nicht immer. Die Aufgabe fragt vielleicht nach Stunden und Minuten. Dann musst du $0{,}75 \cdot 60 = 45$ Minuten ausrechnen. Das Ergebnis lautet dann 4 Stunden und 45 Minuten. Lies die Frage genau. Überprüfe immer, in welcher Einheit die Antwort erwartet wird. Und schreibe deine Antwort als vollständigen Satz mit Einheit.

Antiproportionale Zuordnungen in Aufgaben

Beispiel:

Tierfutter und Rückwärtsrechnung

Aufgabe: Ein Futtervorrat reicht für 15 Tiere genau 8 Tage. Der Bauer kauft zusätzliche Tiere. Nun reicht das Futter nur noch 5 Tage. Wie viele Tiere hat der Bauer jetzt insgesamt?

Lösung:

Doppelt so viele Tiere – das Futter reicht halb so lange, also antiproportional.

Konstante berechnen:

$$k = 15 \cdot 8 = 120$$

Diese 120 “Tier-Tage” entsprechen dem gesamten Futtervorrat.

Jetzt wird nach der Anzahl Tiere gesucht:

$$x_2 = \frac{120}{5} = 24 \, \text{Tiere}$$

Antwort: Der Bauer hat jetzt 24 Tiere.

Probe: $24 \cdot 5 = 120$ ✓

Hinweis: Hier wurde nicht nach der Zeit, sondern nach der Anzahl Tiere gefragt. Die Formel bleibt dieselbe – du teilst die Konstante durch den bekannten neuen Wert.

Beispiel:

Geschwindigkeit und Fahrtzeit

Aufgabe: Ein Auto fährt mit 80 km/h und braucht für eine Strecke 3 Stunden. Wie lange braucht es mit 120 km/h für dieselbe Strecke?

Lösung:

Doppelte Geschwindigkeit – halbe Fahrzeit, also antiproportional.

Konstante berechnen (entspricht der Streckenlänge):

$$k = 80 \cdot 3 = 240 \, \text{km}$$

Für 120 km/h:

$$y_2 = \frac{240}{120} = 2 \, \text{Stunden}$$

Antwort: Das Auto braucht mit 120 km/h genau 2 Stunden.

Probe: $120 \cdot 2 = 240$ ✓

Dieser Aufgabentyp zeigt: Die Konstante hat oft eine physikalische Bedeutung. Hier ist sie die Streckenlänge. Das Produkt aus Geschwindigkeit und Zeit ergibt immer den Weg – das kennst du aus dem Physikunterricht.

Übungen

Löse die folgenden Aufgaben selbstständig. Überprüfe danach deine Ergebnisse im Lösungsteil.

Aufgabe 1: 4 Bagger heben eine Grube in 6 Tagen aus. Wie viele Tage brauchen 8 Bagger?

Aufgabe 2: Ein Vorrat reicht für 12 Personen genau 5 Tage. Für wie viele Tage reicht er für 20 Personen?

Aufgabe 3: 6 Maschinen produzieren eine Bestellung in 10 Stunden. Wie viele Maschinen braucht man, um die Bestellung in 4 Stunden zu schaffen?

Aufgabe 4: 5 Handwerker benötigen 9 Tage für einen Auftrag. Wie lange brauchen 15 Handwerker?

Aufgabe 5: Ein Auto fährt mit 90 km/h und benötigt 4 Stunden. Wie lange dauert die Fahrt mit 60 km/h?

Aufgabe 6: Ein Schwimmbecken wird durch 3 Rohre in 8 Stunden gefüllt. Wie lange dauert das Füllen mit 6 Rohren?

Aufgabe 7: Ein Lager Getreide reicht für 200 Tiere 30 Tage. Wie viele Tage reicht es für 250 Tiere?

Aufgabe 8: 18 Näherinnen fertigen eine Bestellung in 4 Tagen. Die Hälfte der Näherinnen ist krank. Wie viele Tage brauchen die verbliebenen Näherinnen?

Das Wichtigste in Kürze

Antiproportionale Zuordnungen erkennst du daran, dass das Produkt der zugeordneten Werte konstant bleibt: doppelt so viel von der einen Grösse, halb so viel von der anderen. “Je mehr, desto weniger” allein genügt nicht. Beim Dreisatz berechnest du zuerst diese Konstante und teilst sie dann durch den neuen Wert.

Wenn du zuerst noch einmal die Grundlagen der Zuordnungen wiederholen willst:

• Zuordnungen – Überblick

Typische Beispiele sind: Arbeitszeit bei unterschiedlich vielen Helfern, Geschwindigkeit und Fahrtdauer oder das Aufteilen eines festen Vorrats auf mehrere Personen.

Prüfe immer zuerst, ob eine Zuordnung proportional oder antiproportional ist. Das ist der wichtigste Schritt. Führe danach eine Probe durch, indem du die beiden Produkte vergleichst. Nur wenn sie gleich sind, stimmt deine Rechnung.

❓ Frage:4 Bagger heben eine Grube in 6 Tagen aus. Wie viele Tage brauchen 8 Bagger?

Lösung anzeigen

Konstante: $4 \cdot 6 = 24$

Für 8 Bagger:

$$\frac{24}{8} = 3 \, \text{Tage}$$

Antwort: 8 Bagger brauchen 3 Tage.

❓ Frage:Ein Vorrat reicht für 12 Personen genau 5 Tage. Für wie viele Tage reicht er für 20 Personen?

Lösung anzeigen

Konstante: $12 \cdot 5 = 60$

Für 20 Personen:

$$\frac{60}{20} = 3 \, \text{Tage}$$

Antwort: Für 20 Personen reicht der Vorrat 3 Tage.

❓ Frage:6 Maschinen produzieren eine Bestellung in 10 Stunden. Wie viele Maschinen braucht man, um die Bestellung in 4 Stunden zu schaffen?

Lösung anzeigen

Konstante: $6 \cdot 10 = 60$

Für 4 Stunden:

$$\frac{60}{4} = 15 \, \text{Maschinen}$$

Antwort: Man braucht 15 Maschinen.

Ausblick

Antiproportionale Zuordnungen begegnen dir in vielen Lebensbereichen. Im Physikunterricht triffst du sie bei der Beziehung zwischen Masse und Beschleunigung, wenn dieselbe Kraft wirkt. Beim Einkaufen erscheinen sie, wenn du einen festen Betrag ausgibst: Stückpreis mal Stückzahl bleibt gleich. Im Alltag nutzt du sie, wenn du Fahrtzeiten oder Arbeitspläne berechnest.

Im nächsten Thema lernst du, wie proportionale und antiproportionale Zuordnungen in Tabellen und Diagrammen dargestellt werden. Dann erkennst du auf einen Blick, welcher Typ vorliegt.

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 1:

4 Bagger → 6 Tage. Doppelt so viele Bagger – halb so viele Tage. Antiproportional.

$$k = 4 \cdot 6 = 24$$ $$y_2 = \frac{24}{8} = 3 \, \text{Tage}$$

8 Bagger brauchen 3 Tage. Probe: $8 \cdot 3 = 24$ ✓

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Lösung zu Aufgabe 2:

12 Personen → 5 Tage. Doppelt so viele Personen – halb so viele Tage. Antiproportional.

$$k = 12 \cdot 5 = 60$$ $$y_2 = \frac{60}{20} = 3 \, \text{Tage}$$

Für 20 Personen reicht der Vorrat 3 Tage. Probe: $20 \cdot 3 = 60$ ✓

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Lösung zu Aufgabe 3:

6 Maschinen → 10 Stunden. Doppelt so viele Maschinen – halb so viele Stunden. Antiproportional.

$$k = 6 \cdot 10 = 60$$ $$x_2 = \frac{60}{4} = 15 \, \text{Maschinen}$$

Man braucht 15 Maschinen. Probe: $15 \cdot 4 = 60$ ✓

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Lösung zu Aufgabe 4:

5 Handwerker → 9 Tage. Doppelt so viele Handwerker – halb so viele Tage. Antiproportional.

$$k = 5 \cdot 9 = 45$$ $$y_2 = \frac{45}{15} = 3 \, \text{Tage}$$

15 Handwerker brauchen 3 Tage. Probe: $15 \cdot 3 = 45$ ✓

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Lösung zu Aufgabe 5:

90 km/h → 4 Stunden. Doppelte Geschwindigkeit – halbe Zeit. Antiproportional.

$$k = 90 \cdot 4 = 360$$ $$y_2 = \frac{360}{60} = 6 \, \text{Stunden}$$

Mit 60 km/h dauert die Fahrt 6 Stunden. Probe: $60 \cdot 6 = 360$ ✓

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Lösung zu Aufgabe 6:

3 Rohre → 8 Stunden. Doppelt so viele Rohre – halb so viele Stunden. Antiproportional.

$$k = 3 \cdot 8 = 24$$ $$y_2 = \frac{24}{6} = 4 \, \text{Stunden}$$

Mit 6 Rohren dauert das Füllen 4 Stunden. Probe: $6 \cdot 4 = 24$ ✓

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Lösung zu Aufgabe 7:

200 Tiere → 30 Tage. Doppelt so viele Tiere – halb so viele Tage. Antiproportional.

$$k = 200 \cdot 30 = 6000$$ $$y_2 = \frac{6000}{250} = 24 \, \text{Tage}$$

Für 250 Tiere reicht das Getreide 24 Tage. Probe: $250 \cdot 24 = 6000$ ✓

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Lösung zu Aufgabe 8:

18 Näherinnen → 4 Tage. Die Hälfte ist krank, also sind noch $18 \div 2 = 9$ Näherinnen da. Halb so viele Näherinnen – doppelt so viele Tage. Antiproportional.

$$k = 18 \cdot 4 = 72$$ $$y_2 = \frac{72}{9} = 8 \, \text{Tage}$$

9 Näherinnen brauchen 8 Tage. Probe: $9 \cdot 8 = 72$ ✓

Verwandte Themen

• Proportionale Zuordnungen und der Dreisatz – So löst du jede Aufgabe
• Der Dreisatz – Rechnen mit Verhältnissen
• Proportional oder antiproportional? Zuordnungen erkennen und mit dem Dreisatz rechnen

Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport