Kongruenz und Schnittfiguren einfach erklärt: So erkennst du deckungsgleiche Formen

Weiterführend:

• Zur Kapitelübersicht „Kongruenz”
• Vorwissen: Kongruente Figuren erkennen
• Die vier Kongruenzsätze im Überblick
• Kongruente Dreiecke anwenden

Darum geht's

Stell dir vor, du backst Weihnachtsplätzchen. Du drückst einen Stern-Ausstecher in den Teig – einmal, zweimal, dreimal. Jeder ausgestochene Stern hat exakt die gleiche Form und Grösse wie der Ausstecher. Wenn du zwei Sterne übereinanderlegst, passen sie perfekt aufeinander.

Genau dieses Prinzip nutzen Mathematiker täglich. Architekten entwerfen identische Fenster. Ingenieure konstruieren Ersatzteile. Überall braucht es die Gewissheit, dass zwei Formen exakt gleich sind. In der Mathematik nennen wir diese perfekte Deckungsgleichheit Kongruenz. Wenn sich geometrische Figuren schneiden, entstehen dabei neue Formen – die Schnittfiguren. Heute lernst du, wie du Kongruenz erkennst und welche Eigenschaften Schnittfiguren haben.

📋Lehrplan 21Zyklus 3 (7.–9. Klasse) · 7Kompetenzen

• MA.2.A.3.jGrundanspruchStrecken, Flächen und Volumen an Pyramiden, Kegeln und Kugeln berechnen; Winkel aufgrund von Winkelsummen, Satz von Thales, Ähnlichkeit und Kongruenz bestimmen
• MA.2.B.1.iGrundanspruchComputer zur Erforschung geometrischer Beziehungen nutzen (z.B. Umkreismittelpunkt bei verschiedenen Dreiecken)
• MA.2.C.3.gGrundanspruchKörper in der Vorstellung verändern und Ergebnisse beschreiben (z.B. Ecken eines Würfels abschleifen); Operationen im Kopf ausführen und Ergebnisse skizzieren
• MA.2.A.3.iUmfang und Flächeninhalt von Kreisen; Kantenlängen, Flächen und Volumen an geraden Prismen und Zylindern; Volumen beliebiger Körper schätzen
• MA.2.A.3.kÄhnlichkeiten erkennen; bei ähnlichen Figuren und Körpern Längen, Flächeninhalte und Volumen berechnen
• MA.2.B.1.hBeim Erforschen geometrischer Beziehungen Vermutungen formulieren, überprüfen und allenfalls neue formulieren; auf Forschungsaufgaben einlassen
• MA.2.C.3.h

Quelle: Aargauer Lehrplan Volksschule, Fachbereich Mathematik (August 2022)

Eine kleine Zeitreise

Die Idee der Deckungsgleichheit ist uralt. Schon die ägyptischen Baumeister vor über 4000 Jahren mussten sicherstellen, dass ihre Pyramidensteine exakt zusammenpassten. Sie benutzten Seile mit Knoten in festen Abständen. Diese frühen Werkzeuge nutzten bereits unbewusst das Prinzip, dass drei gleiche Seiten ein einzigartiges Dreieck festlegen.

Den entscheidenden Schritt machte der griechische Mathematiker Euklid um 300 v. Chr. In seinem berühmten Werk „Die Elemente” formulierte er im ersten Buch die ersten Kongruenzsätze. Proposition 4 beschreibt den SWS-Satz. Proposition 8 behandelt den SSS-Satz. Euklid bewies diese Sätze durch geschicktes „Aufeinanderlegen” der Figuren – eine Methode, die wir heute noch verwenden.

Interessant ist, dass Euklid selbst mit diesen Beweisen nicht zufrieden war. Das Aufeinanderlegen schien ihm intuitiv, aber nicht streng mathematisch. Über 2000 Jahre später, 1899, gab David Hilbert in seinen „Grundlagen der Geometrie” der Kongruenz ein modernes axiomatisches Fundament. Kongruenz wurde zu einer Grundbeziehung, die nicht mehr hergeleitet, sondern als Axiom gesetzt wurde.

Die Schnittmengenlehre, aus der unser Begriff der Schnittfigur stammt, ist deutlich jünger. Sie wurde im 19. Jahrhundert von Georg Cantor entwickelt. Das Symbol $\cap$ für den Durchschnitt führte der italienische Mathematiker Giuseppe Peano 1888 ein. Heute verbinden wir beide Ideen: Wenn sich zwei kongruente Figuren schneiden, entsteht eine Schnittfigur mit oft überraschend schönen Symmetrieeigenschaften. Diese Verbindung nutzen Ornamentkünstler, Architekten und sogar Informatiker in der Computergrafik.

Die Grundlagen

Kehren wir zu den Plätzchen zurück. Der Ausstecher ist eine Schablone. Jedes Plätzchen ist eine Kopie dieser Schablone. In der Geometrie funktioniert das genauso: Zwei kongruente Figuren sind wie Kopien voneinander.

Zwei Figuren sind kongruent, wenn du sie durch Verschieben, Drehen oder Spiegeln zur Deckung bringen kannst. Die Form bleibt gleich. Nur Position oder Ausrichtung ändern sich.

Definition

Zwei geometrische Figuren heissen kongruent (Zeichen: $\cong$), wenn sie durch Verschiebung, Drehung oder Spiegelung zur Deckung gebracht werden können. Kongruente Figuren haben die gleiche Form und die gleiche Grösse. Alle entsprechenden Seiten sind gleich lang. Alle entsprechenden Winkel sind gleich gross.

Das Zeichen $\cong$ liest du als „ist kongruent zu”. Für Dreieck $ABC$ kongruent zu Dreieck $DEF$ schreibst du:

$\triangle ABC \cong \triangle DEF$

Die Reihenfolge der Buchstaben zeigt, welche Ecken einander entsprechen:

Ecke	entspricht	Seite	entspricht
$A \leftrightarrow D$		$\overline{AB} \leftrightarrow \overline{DE}$
$B \leftrightarrow E$		$\overline{BC} \leftrightarrow \overline{EF}$
$C \leftrightarrow F$		$\overline{CA} \leftrightarrow \overline{FD}$

Kongruente Figuren haben immer auch den gleichen Flächeninhalt und den gleichen Umfang. Die Umkehrung gilt aber nicht: Ein Quadrat und ein Kreis können denselben Flächeninhalt haben – kongruent sind sie nicht.

Die Kernmethode

Wie beweist du, dass zwei Dreiecke kongruent sind? Musst du alle sechs Stücke prüfen? Nein. Bestimmte Kombinationen von drei Stücken genügen bereits.

Definition

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in einer der folgenden vier Kombinationen übereinstimmen:

• SSS: in allen drei Seiten
• SWS: in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel
• WSW: in zwei Winkeln und der eingeschlossenen Seite
• SsW: in zwei Seiten und dem Winkel gegenüber der längeren Seite

Der eingeschlossene Winkel ist der Winkel zwischen zwei bestimmten Seiten.

Die Schnittfigur kommt ins Spiel, wenn sich zwei Figuren überlappen. Der gemeinsame Bereich heisst Schnittfigur.

Definition

Die Schnittfigur zweier geometrischer Figuren $A$ und $B$ ist die Menge aller Punkte, die sowohl zu $A$ als auch zu $B$ gehören. Man schreibt $A \cap B$ (gelesen: „A geschnitten B”). Ist die Schnittfigur leer, schreibt man $A \cap B = \emptyset$.

Je nach Figuren entstehen unterschiedliche Schnittfiguren:

Ausgangsfiguren	Mögliche Schnittfigur
Zwei Kreise	Linse, Punkt, leere Menge
Kreis und Gerade	Sehne, Tangentialpunkt, leere Menge
Zwei Rechtecke	Rechteck, Strecke, Punkt, leere Menge
Zwei Dreiecke	3-bis 6-Eck, Strecke, Punkt, leere Menge

Beispiel:

Beispiel 1: Kongruenz mit dem SSS-Satz nachweisen

Aufgabe: Zeige, dass die Dreiecke $ABC$ und $DEF$ kongruent sind:

• $\overline{AB} = 5 \, \text{cm}$, $\overline{BC} = 7 \, \text{cm}$, $\overline{CA} = 6 \, \text{cm}$
• $\overline{DE} = 5 \, \text{cm}$, $\overline{EF} = 7 \, \text{cm}$, $\overline{FD} = 6 \, \text{cm}$

Lösung:

Wir vergleichen die entsprechenden Seiten:

$\overline{AB} = \overline{DE} = 5 \, \text{cm}$

$\overline{BC} = \overline{EF} = 7 \, \text{cm}$

$\overline{CA} = \overline{FD} = 6 \, \text{cm}$

Alle drei Seitenpaare stimmen überein. Nach dem SSS-Satz gilt:

$\triangle ABC \cong \triangle DEF$

Beispiel:

Beispiel 2: Schnittfigur zweier Quadrate bestimmen

Aufgabe: Zwei kongruente Quadrate mit Seitenlänge $4 \, \text{cm}$ überlappen sich. Das zweite Quadrat ist um $1 \, \text{cm}$ nach rechts und $1 \, \text{cm}$ nach oben verschoben. Bestimme Form und Flächeninhalt der Schnittfigur.

Lösung:

Schritt 1: Die Ausgangssituation skizzieren.

Das erste Quadrat hat die Ecken $(0,0)$, $(4,0)$, $(4,4)$, $(0,4)$.

Das zweite Quadrat hat die Ecken $(1,1)$, $(5,1)$, $(5,5)$, $(1,5)$.

Schritt 2: Den Überlappungsbereich bestimmen.

Horizontal überlappen beide Quadrate von $x=1$ bis $x=4$. Das ergibt eine Breite von $3 \, \text{cm}$.

Vertikal überlappen sie von $y=1$ bis $y=4$. Das ergibt eine Höhe von $3 \, \text{cm}$.

Schritt 3: Fläche berechnen.

Die Schnittfigur ist ein Quadrat mit Seitenlänge $3 \, \text{cm}$:

$A = 3 \, \text{cm} \cdot 3 \, \text{cm} = 9 \, \text{cm}^2$

Die Schnittfigur ist also ein Quadrat mit dem Flächeninhalt $9 \, \text{cm}^2$.

Die häufigsten Stolpersteine

Achtung

Buchstabenreihenfolge ignorieren: Bei $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ ist die Reihenfolge entscheidend. $A$ entspricht $D$, $B$ entspricht $E$, $C$ entspricht $F$. Wer die Reihenfolge vertauscht, vergleicht die falschen Seiten. Schreibe die einander entsprechenden Ecken immer untereinander auf.

Achtung

Ähnlichkeit mit Kongruenz verwechseln: Ähnliche Figuren haben nur die gleiche Form. Kongruente Figuren haben die gleiche Form und die gleiche Grösse. Ein kleines und ein grosses Quadrat sind ähnlich, aber nicht kongruent. Merke dir: Kongruenz ist strenger als Ähnlichkeit.

Achtung

Beim SsW-Satz den falschen Winkel wählen: Der Winkel muss der längeren der beiden Seiten gegenüberliegen. Liegt er der kürzeren Seite gegenüber, können zwei verschiedene Dreiecke entstehen. Der Kongruenzsatz gilt dann nicht. Zeichne im Zweifel eine Skizze und prüfe, welche Seite wirklich länger ist.

Achtung

Schnittfigur mit Vereinigung verwechseln: Die Schnittfigur $A \cap B$ enthält nur Punkte, die zu beiden Figuren gehören. Die Vereinigung $A \cup B$ enthält alle Punkte, die zu $A$ oder $B$ gehören. Die Schnittfigur ist immer kleiner oder gleich jeder Ausgangsfigur. Die Vereinigung ist immer grösser oder gleich.

Beispiel:

Beispiel 3: Kongruenzsatz identifizieren

Aufgabe: Welcher Kongruenzsatz passt? Zwei Dreiecke haben jeweils:

• Seite $a = 8 \, \text{cm}$
• Seite $b = 6 \, \text{cm}$
• Winkel $\gamma = 45°$

Lösung:

Schritt 1: Die Lage des Winkels prüfen.

Der Winkel $\gamma$ liegt bei Ecke $C$. Dort treffen die Seiten $a$ und $b$ aufeinander.

Schritt 2: Typ bestimmen.

Der Winkel liegt also zwischen den beiden bekannten Seiten. Es handelt sich um den eingeschlossenen Winkel.

Schritt 3: Kongruenzsatz nennen.

Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel – das ist der SWS-Satz.

Da beide Dreiecke die gleichen Masse haben, sind sie nach SWS kongruent:

$\triangle_1 \cong \triangle_2$

Wichtig: Läge der Winkel einer der beiden Seiten gegenüber, wäre der SWS-Satz nicht anwendbar. Dann müsstest du den SsW-Satz verwenden – unter der Bedingung, dass er der längeren Seite gegenüberliegt.

Beispiel:

Beispiel 4: Kongruente Dreiecke in einer Schnittfigur finden

Aufgabe: Zwei Geraden $g$ und $h$ schneiden sich im Punkt $S$. Eine dritte Gerade $f$ schneidet $g$ in $P$ und $h$ in $Q$, wobei $\overline{SP} = \overline{SQ}$ gilt. Zeige, dass auf der Gegenseite von $S$ ein kongruentes Dreieck entsteht.

Lösung:

Schritt 1: Winkel bei $S$ analysieren.

Zwei sich schneidende Geraden erzeugen vier Winkel. Gegenüberliegende Winkel sind Scheitelwinkel und gleich gross.

Schritt 2: Spiegelpunkte wählen.

Auf der anderen Seite von $S$ wählst du $P'$ auf $g$ und $Q'$ auf $h$ mit $\overline{SP'} = \overline{SP}$ und $\overline{SQ'} = \overline{SQ}$.

Schritt 3: Kongruenz nach SWS nachweisen.

In den Dreiecken $SPQ$ und $SP'Q'$ gilt:

$\overline{SP} = \overline{SP'}, \quad \overline{SQ} = \overline{SQ'}$

Der Winkel $\angle PSQ$ und $\angle P'SQ'$ sind Scheitelwinkel und damit gleich. Nach SWS sind die Dreiecke kongruent:

$\triangle SPQ \cong \triangle SP'Q'$

Die Schnittfigur aus beiden Dreiecken besitzt also eine punktsymmetrische Struktur bezüglich $S$.

Vertiefung

Schnittfiguren werden besonders spannend, wenn die Ausgangsfiguren selbst kongruent sind. Dann treten oft Symmetrien auf, die du zum Beweisen nutzen kannst.

Legst du zwei kongruente Kreise mit Radius $r$ so übereinander, dass jeder Mittelpunkt auf dem Rand des anderen Kreises liegt, entsteht die sogenannte Vesica Piscis. Diese linsenförmige Schnittfigur ist das Lieblingsmotiv der gotischen Architektur. Sie taucht in Kirchenfenstern auf und in alten mathematischen Manuskripten.

Definition

Die Vesica Piscis (lateinisch „Fischblase”) ist die Schnittfigur zweier gleich grosser Kreise, bei denen jeder Mittelpunkt auf dem Rand des anderen Kreises liegt. Der Abstand der Mittelpunkte entspricht dem Radius $r$. Die Figur hat zwei Symmetrieachsen und wird von zwei Kreisbögen begrenzt.

Auch die Winkelbeziehungen an Parallelen spielen eine wichtige Rolle. Schneidet eine Gerade zwei parallele Geraden, gilt:

• Stufenwinkel sind gleich gross.
• Wechselwinkel sind gleich gross.
• Nebenwinkel ergänzen sich zu $180°$.

Mit diesen Winkelbeziehungen beweist du, dass Dreiecke in einer Schnittfigur kongruent sind. Das Prinzip steckt hinter vielen Beweisen in der Schulmathematik.

Eine besondere Eigenschaft: Wenn zwei kongruente Figuren punktsymmetrisch zueinander liegen und sich überlappen, ist die Schnittfigur selbst punktsymmetrisch. Diese Beobachtung hilft bei Konstruktionsaufgaben. Du kannst sie als Arbeitshypothese nutzen und dann mit einem Kongruenzsatz beweisen.

Beispiel:

Beispiel 5: Vesica Piscis berechnen

Aufgabe: Zwei Kreise mit Radius $r = 6 \, \text{cm}$ haben ihre Mittelpunkte $M_1$ und $M_2$ genau $6 \, \text{cm}$ voneinander entfernt. Bestimme die Länge der Strecke zwischen den beiden Schnittpunkten der Kreise.

Lösung:

Schritt 1: Die Schnittpunkte heissen $S_1$ und $S_2$.

Da beide Punkte auf Kreis 1 liegen, gilt $\overline{M_1 S_1} = \overline{M_1 S_2} = 6 \, \text{cm}$. Analog folgt $\overline{M_2 S_1} = \overline{M_2 S_2} = 6 \, \text{cm}$.

Schritt 2: Gleichseitige Dreiecke erkennen.

Das Dreieck $M_1 M_2 S_1$ hat drei Seiten der Länge $6 \, \text{cm}$. Es ist gleichseitig. Jeder Winkel beträgt $60°$.

Schritt 3: Höhe berechnen.

Die Verbindungsstrecke $\overline{M_1 M_2}$ ist die Symmetrieachse. Der Abstand von $S_1$ zu dieser Achse ist die Höhe des gleichseitigen Dreiecks:

$h = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot 6 \, \text{cm} = 3\sqrt{3} \, \text{cm}$

Schritt 4: Gesamtstrecke ermitteln.

Die Schnittpunkte $S_1$ und $S_2$ liegen symmetrisch zur Achse. Ihr Abstand beträgt also das Doppelte:

$\overline{S_1 S_2} = 2 \cdot 3\sqrt{3} \, \text{cm} = 6\sqrt{3} \, \text{cm} \approx 10{,}39 \, \text{cm}$

Die beiden Schnittpunkte liegen rund $10{,}39 \, \text{cm}$ voneinander entfernt.

Übungen

1. Beschreibe in eigenen Worten, was Kongruenz bedeutet. Nenne zwei Abbildungen, die Kongruenz erhalten.
2. Die Dreiecke $ABC$ und $PQR$ haben alle drei Seiten paarweise gleich lang. Welcher Kongruenzsatz greift?
3. Zwei Dreiecke stimmen in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel überein. Sind sie kongruent? Begründe.
4. Zeichne ein Dreieck mit $a = 5 \, \text{cm}$, $b = 7 \, \text{cm}$ und $\gamma = 60°$. Konstruiere ein zweites kongruentes Dreieck an anderer Stelle des Blattes.
5. Zwei Rechtecke mit den Seitenlängen $4 \, \text{cm} \times 3 \, \text{cm}$ werden so übereinandergelegt, dass sich die Überlappung auf $2 \, \text{cm} \times 3 \, \text{cm}$ beläuft. Berechne die Fläche der Schnittfigur.
6. Zwei Kreise mit Radius $r = 5 \, \text{cm}$ haben ihre Mittelpunkte $12 \, \text{cm}$ voneinander entfernt. Wie sieht die Schnittfigur aus?
7. Ein Dreieck $ABC$ hat die Winkel $\alpha = 50°$, $\beta = 70°$ und die Seite $c = 8 \, \text{cm}$. Ein Dreieck $DEF$ hat $\delta = 50°$, $\varepsilon = 70°$ und $f = 8 \, \text{cm}$. Sind die Dreiecke kongruent? Welcher Satz greift?
8. Zwei kongruente gleichseitige Dreiecke mit Seitenlänge $4 \, \text{cm}$ werden so übereinandergelegt, dass das zweite Dreieck um $180°$ gedreht ist und der Mittelpunkt beider Dreiecke zusammenfällt. Beschreibe die Schnittfigur.
9. Zeige mit dem SWS-Satz, dass die Diagonalen eines Quadrats kongruente Dreiecke erzeugen.
10. Zwei kongruente Kreise mit Radius $r = 4 \, \text{cm}$ bilden eine Vesica Piscis. Berechne den Flächeninhalt der Schnittfigur. (Hinweis: Zwei Kreissegmente; pro Segment gilt $A = \dfrac{r^2}{2}\cdot(\alpha - \sin\alpha)$ mit $\alpha$ im Bogenmass.)

Das Wichtigste in Kürze

• Kongruenz bedeutet Deckungsgleichheit. Zwei Figuren sind kongruent ($\cong$), wenn sie durch Verschieben, Drehen oder Spiegeln zur Deckung kommen.
• Die vier Kongruenzsätze (SSS, SWS, WSW, SsW) beweisen Kongruenz mit nur drei passenden Angaben.
• Die Schnittfigur zweier Figuren ist die Menge der Punkte, die zu beiden gehören. Sie wird mit $A \cap B$ bezeichnet.
• Bei der Notation $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ entsprechen sich die Ecken in genau dieser Reihenfolge.
• Kongruente Figuren erzeugen oft symmetrische Schnittfiguren – ein häufig genutztes Werkzeug in Beweisen.

Dein Wissen im Test

❓ Frage:

Welcher Kongruenzsatz gilt, wenn zwei Dreiecke in allen drei Seitenlängen übereinstimmen?

Lösung anzeigen

Der SSS-Satz (Seite-Seite-Seite). Wenn alle drei Seiten eines Dreiecks genauso lang sind wie die drei entsprechenden Seiten eines anderen Dreiecks, sind die Dreiecke kongruent.

❓ Frage:

Ein Dreieck $ABC$ hat die Seiten $\overline{AB} = 5 \, \text{cm}$, $\overline{BC} = 8 \, \text{cm}$ und den Winkel $\angle ABC = 60°$. Ein zweites Dreieck $DEF$ hat $\overline{DE} = 5 \, \text{cm}$, $\overline{EF} = 8 \, \text{cm}$ und $\angle DEF = 60°$. Sind die Dreiecke kongruent?

Lösung anzeigen

Ja, die Dreiecke sind kongruent nach dem SWS-Satz. Der Winkel $\angle ABC$ liegt bei Ecke $B$, also zwischen $\overline{AB}$ und $\overline{BC}$. Es handelt sich um den eingeschlossenen Winkel. Ebenso liegt $\angle DEF$ zwischen $\overline{DE}$ und $\overline{EF}$. Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel stimmen überein. Damit gilt: $\triangle ABC \cong \triangle DEF$.

❓ Frage:

Zwei Kreise mit Radius $r = 3 \, \text{cm}$ haben ihre Mittelpunkte $4 \, \text{cm}$ voneinander entfernt. Beschreibe die Schnittfigur.

Lösung anzeigen

Die Schnittfigur ist eine Linse. Der Mittelpunktabstand ($4 \, \text{cm}$) ist kleiner als die Summe der Radien ($6 \, \text{cm}$) und grösser als deren Differenz ($0 \, \text{cm}$). Die Kreise überlappen sich also teilweise. Die Schnittfigur wird von zwei Kreisbögen begrenzt und hat zwei Spitzen an den Kreisschnittpunkten.

❓ Frage:

Was ist der Unterschied zwischen Kongruenz und Ähnlichkeit?

Lösung anzeigen

Kongruenz erfordert gleiche Form und gleiche Grösse. Ähnlichkeit erfordert nur gleiche Form, die Grösse darf unterschiedlich sein. Jede Kongruenz ist automatisch auch eine Ähnlichkeit, aber nicht jede Ähnlichkeit ist eine Kongruenz. Ein kleines und ein grosses Quadrat sind ähnlich, aber nicht kongruent.

❓ Frage:

Zwei kongruente Quadrate mit Seitenlänge $6 \, \text{cm}$ überlappen sich vollständig, sind aber um $45°$ gegeneinander gedreht (gleicher Mittelpunkt). Welche Form hat ihre Schnittfigur?

Lösung anzeigen

Die Schnittfigur ist ein regelmässiges Achteck. Die acht Seiten entstehen dort, wo die Kanten der beiden Quadrate sich paarweise schneiden. Durch die Drehung um $45°$ und den gemeinsamen Mittelpunkt ist die Schnittfigur zusätzlich symmetrisch: Sie besitzt acht Symmetrieachsen und eine Drehsymmetrie um $45°$.

Ausblick

Du weisst jetzt, wann zwei Figuren kongruent sind und wie du Schnittfiguren bestimmst. Als Nächstes wirst du dich mit Ähnlichkeit beschäftigen. Während kongruente Figuren exakt gleich gross sind, haben ähnliche Figuren nur dieselbe Form. Die Ähnlichkeit ist das Werkzeug für masstabsgetreue Vergrösserungen. Du lernst den Strahlensatz kennen und nutzt ihn, um Baumhöhen oder Flussbreiten zu berechnen. Die Kongruenz bleibt dabei immer deine Basis.

Lösungen

Aufgabe 1: Kongruenz bedeutet Deckungsgleichheit. Zwei Figuren sind kongruent, wenn sie durch Bewegungen zur Deckung gebracht werden können. Kongruenzerhaltende Abbildungen sind: Verschiebung (Translation), Drehung (Rotation) und Spiegelung. Jede Verkettung dieser Abbildungen erhält ebenfalls die Kongruenz. Eine Streckung mit Faktor $k \neq 1$ ist keine Kongruenzabbildung.

Aufgabe 2: Es greift der SSS-Satz (Seite-Seite-Seite). Wenn alle drei Seiten paarweise gleich lang sind, gilt: $\triangle ABC \cong \triangle PQR$.

Aufgabe 3: Ja, die Dreiecke sind kongruent. Der SWS-Satz (Seite-Winkel-Seite) greift. Wichtig ist, dass der Winkel zwischen den beiden Seiten liegt (eingeschlossener Winkel). Läge er einer der Seiten gegenüber, wäre die Eindeutigkeit nicht garantiert.

Aufgabe 4: Zeichnen: Seite $a$ mit $5 \, \text{cm}$ zeichnen. An einem Ende einen Winkel von $60°$ abtragen. Von diesem Scheitelpunkt aus auf dem Winkelschenkel $7 \, \text{cm}$ abtragen – das ist die Seite $b$. Die fehlende Seite $c$ verbindet die beiden offenen Endpunkte. Das zweite Dreieck konstruierst du an einer anderen Stelle mit exakt denselben Massen. Nach dem SWS-Satz sind beide Dreiecke kongruent.

Aufgabe 5: Die Schnittfigur ist ein Rechteck mit den Seitenlängen $2 \, \text{cm}$ und $3 \, \text{cm}$. Der Flächeninhalt beträgt:

$A = 2 \, \text{cm} \cdot 3 \, \text{cm} = 6 \, \text{cm}^2$

Aufgabe 6: Die Schnittfigur ist leer ($\emptyset$). Der Mittelpunktabstand ($12 \, \text{cm}$) ist grösser als die Summe der Radien ($5 + 5 = 10 \, \text{cm}$). Die Kreise berühren sich also nicht.

Aufgabe 7: Ja, die Dreiecke sind kongruent nach dem WSW-Satz (Winkel-Seite-Winkel). Die Seite $c$ liegt dem Winkel $\gamma$ gegenüber und ist die gemeinsame Seite der beiden anderen Winkel $\alpha$ und $\beta$. Da die bekannten Winkel an den Enden der bekannten Seite liegen, greift der WSW-Satz direkt.

Aufgabe 8: Die Schnittfigur ist ein regelmässiges Sechseck (Davidstern-Situation ohne Spitzen). Die beiden Dreiecke bilden zusammen einen Davidstern. Der überlappende Teil ist ein regelmässiges Sechseck im Zentrum. Seine Seitenlänge beträgt ein Drittel der Dreiecksseitenlänge, also $\dfrac{4}{3} \, \text{cm}$.

Aufgabe 9: Sei $ABCD$ ein Quadrat mit Mittelpunkt $M$ und Diagonalen $\overline{AC}$ und $\overline{BD}$. Betrachte die Dreiecke $ABM$ und $CDM$. Es gilt:

• $\overline{AM} = \overline{CM}$ (Diagonalen halbieren sich)
• $\overline{BM} = \overline{DM}$ (Diagonalen halbieren sich)
• $\angle AMB = \angle CMD$ (Scheitelwinkel)

Nach dem SWS-Satz folgt: $\triangle ABM \cong \triangle CDM$. Analog sind auch $\triangle BCM$ und $\triangle DAM$ kongruent zueinander.

Aufgabe 10: Bei der Vesica Piscis mit Radius $r = 4 \, \text{cm}$ beträgt der Zentriwinkel jedes Kreissegments $\alpha = \dfrac{2\pi}{3}$ (das entspricht $120°$). Der Flächeninhalt eines Segments ist:

$A_{\text{Segment}} = \dfrac{r^2}{2} \cdot (\alpha - \sin\alpha) = \dfrac{16}{2} \cdot \left(\dfrac{2\pi}{3} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) \, \text{cm}^2$

$A_{\text{Segment}} = 8 \cdot \left(\dfrac{2\pi}{3} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) \, \text{cm}^2$

Die Vesica Piscis besteht aus zwei solchen Segmenten:

$A = 2 \cdot A_{\text{Segment}} = 16 \cdot \left(\dfrac{2\pi}{3} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) \, \text{cm}^2$

$A \approx 16 \cdot (2{,}094 - 0{,}866) \, \text{cm}^2 \approx 16 \cdot 1{,}228 \, \text{cm}^2 \approx 19{,}65 \, \text{cm}^2$

Die Schnittfigur hat also einen Flächeninhalt von rund $19{,}65 \, \text{cm}^2$.

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Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport