Gebrochene und reelle Exponenten: Wurzeln als Potenzen

Darum geht's

Du backst einen Kuchen. Das Rezept verlangt, dass du die Teigmenge verdoppelst. Zweimal verdoppeln bedeutet vervierfachen, dreimal verdoppeln bedeutet verachtfachen. Das kennst du bereits als Potenzen: $2^1$, $2^2$, $2^3$ und so weiter.

Aber was bedeutet es, etwas nur “halb zu verdoppeln”? Was steckt hinter $2^{0{,}5}$? Genau hier kommen gebrochene Exponenten ins Spiel. Sie verbinden zwei Welten, die du bisher getrennt gelernt hast: Potenzen und Wurzeln. Am Ende dieses Kapitels wirst du verstehen, warum $\sqrt{9}$ und $9^{\frac{1}{2}}$ exakt dasselbe sind – und wie du sicher damit rechnest. Zum Schluss gehst du noch einen Schritt weiter: Auch eine Potenz wie $2^{\sqrt{2}}$ mit einem irrationalen Exponenten hat einen genauen Wert.

Gebrochene Exponenten: die Idee

Bevor du mit gebrochenen Exponenten rechnest, musst du die Verbindung zwischen Potenzen und Wurzeln klar verstehen. Der Schlüssel liegt in den Potenzgesetzen.

Starte mit einer einfachen Beobachtung. Du weisst, dass $3^2 = 9$ gilt. Jetzt suchst du eine Zahl $x$ mit der Eigenschaft:

$$x \cdot x = 9$$

Diese Zahl ist $x = 3$, also $\sqrt{9} = 3$. Soweit klar. Jetzt kommt der clevere Gedanke.

Angenommen, du schreibst $x = 9^{\frac{1}{2}}$. Dann gilt:

$$9^{\frac{1}{2}} \cdot 9^{\frac{1}{2}} = 9^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = 9^1 = 9$$

Das Potenzgesetz für die Multiplikation erzwingt diese Schreibweise. Eine Zahl, die mit sich selbst multipliziert 9 ergibt, ist per Definition $\sqrt{9}$. Also:

$$9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3$$

Dasselbe Argument funktioniert für jede Wurzel.

Definition

Für jede Zahl $a \geq 0$ und jede natürliche Zahl $n \geq 2$ gilt:

$$a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$$

Der Nenner des Bruchs gibt die Wurzel an. Der Ausdruck $a^{\frac{1}{n}}$ bedeutet: Ziehe die $n$-te Wurzel aus $a$.

Für einen allgemeinen Bruchexponenten $\dfrac{m}{n}$ mit natürlichen Zahlen $m \geq 1$ und $n \geq 2$ gilt:

$$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m$$

Der Zähler $m$ steht für die Potenz, der Nenner $n$ steht für die Wurzel. Die Basis darf dabei nicht negativ sein: Potenzen mit gebrochenen Exponenten sind nur für $a \geq 0$ definiert. Warum das so ist, zeigt der Stolperstein 2 weiter unten.

Die folgende Tabelle zeigt, wie vertraut Ausdrücke mit Bruchexponenten zusammenhängen:

Potenzschreibweise	Wurzelschreibweise	Ergebnis
$8^{\frac{1}{3}}$	$\sqrt[3]{8}$	$2$
$16^{\frac{1}{4}}$	$\sqrt[4]{16}$	$2$
$27^{\frac{2}{3}}$	$\left(\sqrt[3]{27}\right)^2$	$9$
$32^{\frac{3}{5}}$	$\left(\sqrt[5]{32}\right)^3$	$8$

Gebrochene Exponenten: der Rechenweg

Du kennst die Definition. Jetzt lernst du, wie du systematisch mit gebrochenen Exponenten rechnest.

Der wichtigste Tipp zuerst: Ziehe die Wurzel vor dem Potenzieren. Das hält die Zahlen klein und vermeidet unübersichtliche Zwischenergebnisse.

Schritt-für-Schritt-Anleitung:

1. Schreibe den Bruchexponenten als $\dfrac{m}{n}$ auf.
2. Ziehe zuerst die $n$-te Wurzel aus der Basis.
3. Potenziere das Ergebnis mit $m$.

Bei komplexeren Ausdrücken nutze die Potenzgesetze. Sie gelten unverändert auch für Bruchexponenten.

Definition

Für positive Zahlen $a, b$ und rationale Exponenten $r, s$ gelten folgende Gesetze:

Gesetz	Formel
Multiplikation gleicher Basis	$a^r \cdot a^s = a^{r+s}$
Division gleicher Basis	$\dfrac{a^r}{a^s} = a^{r-s}$
Potenz einer Potenz	$\left(a^r\right)^s = a^{r \cdot s}$
Potenz eines Produkts	$(a \cdot b)^r = a^r \cdot b^r$
Negativer Exponent	$a^{-r} = \dfrac{1}{a^r}$

Diese Regeln gelten für alle rationalen Exponenten – ganze Zahlen, Brüche und negative Werte.

Mit diesen Werkzeugen kannst du jeden Ausdruck mit gebrochenen Exponenten systematisch vereinfachen.

Beispiel:

Einstieg mit einfachem Bruchexponent

Berechne $16^{\frac{3}{4}}$ ohne Taschenrechner.

Lösung:

Identifiziere Zähler und Nenner: Nenner 4 bedeutet vierte Wurzel, Zähler 3 bedeutet Potenz 3.

Ziehe zuerst die Wurzel:

$$16^{\frac{3}{4}} = \left(\sqrt[4]{16}\right)^3$$

Berechne die vierte Wurzel von 16. Überlege: Welche Zahl hoch 4 ergibt 16? Das ist 2, denn $2^4 = 16$.

$$\left(\sqrt[4]{16}\right)^3 = 2^3 = 8$$

Ergebnis: $16^{\frac{3}{4}} = 8$

Kontrolle: Wenn du zuerst potenzierst: $16^3 = 4096$ und $\sqrt[4]{4096} = 8$. Beide Wege führen zum gleichen Ergebnis.

Beispiel:

Potenzgesetze anwenden

Vereinfache den Ausdruck $\dfrac{27^{\frac{2}{3}} \cdot 27^{\frac{1}{3}}}{27^{\frac{1}{2}}}$.

Lösung:

Fasse den Zähler mithilfe des Additionsgesetzes zusammen:

$$27^{\frac{2}{3}} \cdot 27^{\frac{1}{3}} = 27^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} = 27^{\frac{3}{3}} = 27^1 = 27$$

Teile durch den Nenner mit dem Subtraktionsgesetz:

$$\frac{27}{27^{\frac{1}{2}}} = 27^{1 - \frac{1}{2}} = 27^{\frac{1}{2}}$$

Berechne das Ergebnis:

$$27^{\frac{1}{2}} = \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$$

Ergebnis: $\dfrac{27^{\frac{2}{3}} \cdot 27^{\frac{1}{3}}}{27^{\frac{1}{2}}} = 3\sqrt{3}$

Dieses Beispiel zeigt: Die Potenzgesetze machen komplexe Ausdrücke handhabbar.

Typische Fehler bei Gebrochene Exponenten

Achtung

Stolperstein 1: Zähler und Nenner verwechseln

Dies ist der häufigste Fehler überhaupt. Viele Schülerinnen und Schüler denken fälschlicherweise, der Zähler gebe die Wurzel an.

Merke dir: Der Nenner ist die Wurzel, der Zähler ist die Potenz.

Falsch: $8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[2]{8^3} = \sqrt{512}$

Richtig: $8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4$

Ein einfacher Merksatz hilft: “Der Nenner steht unten – die Wurzel gehört nach unten in den Wurzelturm.”

Achtung

Stolperstein 2: Negative Basen

Gerade Wurzeln aus negativen Zahlen gibt es im Bereich der reellen Zahlen nicht: $\sqrt{-4}$ ist nicht definiert, denn jedes Quadrat ist grösser oder gleich $0$. Ungerade Wurzeln aus negativen Zahlen gibt es dagegen: $\sqrt[3]{-8} = -2$, denn $(-2)^3 = -8$.

Trotzdem schreibst du $\sqrt[3]{-8}$ nicht als Potenz $(-8)^{\frac{1}{3}}$. Der Grund: Derselbe Exponent lässt sich als verschiedene Brüche schreiben, zum Beispiel $\dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{6}$. Würdest du die Regel $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$ auch für negative Basen verwenden, bekämst du zwei verschiedene Ergebnisse:

$(-8)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{-8} = -2$, aber $(-8)^{\frac{2}{6}} = \sqrt[6]{(-8)^2} = \sqrt[6]{64} = 2$.

Der Wert einer Potenz darf aber nicht davon abhängen, wie du ihren Exponenten aufschreibst. Deshalb sind Potenzen mit gebrochenen Exponenten nur für Basen $a \geq 0$ definiert. Für die dritte Wurzel aus einer negativen Zahl verwendest du das Wurzelzeichen: $\sqrt[3]{-8} = -2$.

Achtung

Stolperstein 3: Potenzgesetze auf Summen anwenden

Die Potenzgesetze gelten nur für Produkte und Quotienten, niemals für Summen.

Falsch: $4^{\frac{1}{2}} + 9^{\frac{1}{2}} = (4 + 9)^{\frac{1}{2}} = 13^{\frac{1}{2}}$

Richtig: $4^{\frac{1}{2}} + 9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} + \sqrt{9} = 2 + 3 = 5$

Der korrekte Wert ist 5. Der falsche Ausdruck $\sqrt{13} \approx 3{,}6$ weicht stark ab.

Achtung

Stolperstein 4: Bruch im Exponenten nicht kürzen

Kürze Brüche im Exponenten immer zuerst, bevor du rechnest. Das vereinfacht die Rechnung erheblich.

Unnötig kompliziert: $64^{\frac{4}{6}} = \sqrt[6]{64^4} = \sqrt[6]{16\,777\,216}$

Einfacher: $64^{\frac{4}{6}} = 64^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{64}\right)^2 = 4^2 = 16$

Kürze den Bruch $\dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$ zuerst. Danach ist die Rechnung deutlich übersichtlicher.

Gebrochene Exponenten in Aufgaben

Beispiel:

Gleichung mit gebrochenen Exponenten lösen

Löse die Gleichung $x^{\frac{2}{3}} = 4$.

Lösung:

Um $x$ zu isolieren, mache den Exponenten $\dfrac{2}{3}$ rückgängig. Dazu potenziere beide Seiten mit dem Kehrwert $\dfrac{3}{2}$:

$$\left(x^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{3}{2}} = 4^{\frac{3}{2}}$$

Vereinfache die linke Seite mit dem Gesetz “Potenz einer Potenz”:

$$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = x^1 = x$$

Berechne die rechte Seite:

$$4^{\frac{3}{2}} = \left(\sqrt{4}\right)^3 = 2^3 = 8$$

Ergebnis: $x = 8$

Probe: $8^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = 2^2 = 4$ ✓

Die Probe ist unverzichtbar. Beachte auch den Definitionsbereich: $x^{\frac{2}{3}}$ ist nur für $x \geq 0$ definiert. Die Zahl $-8$ erfüllt zwar $\sqrt[3]{(-8)^2} = \sqrt[3]{64} = 4$, ist aber keine Lösung der Gleichung $x^{\frac{2}{3}} = 4$.

Beispiel:

Negativer Bruchexponent

Berechne $81^{-\frac{3}{4}}$.

Lösung:

Ein negativer Exponent bedeutet: Bilde den Kehrwert. Schreibe um:

$$81^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{81^{\frac{3}{4}}}$$

Berechne den Nenner. Nenner 4 bedeutet vierte Wurzel, Zähler 3 bedeutet Potenz 3:

$$81^{\frac{3}{4}} = \left(\sqrt[4]{81}\right)^3$$

Bestimme die vierte Wurzel von 81. Da $3^4 = 81$, gilt $\sqrt[4]{81} = 3$:

$$\left(\sqrt[4]{81}\right)^3 = 3^3 = 27$$

Setze ein:

$$81^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{27}$$

Ergebnis: $81^{-\frac{3}{4}} = \dfrac{1}{27}$

Merke: Negative Bruchexponenten sind keine Sonderregel. Du wendest einfach die Definition des negativen Exponenten und die Bruchexponenten-Regel nacheinander an.

Gebrochene Exponenten genauer betrachtet

Du beherrschst jetzt die Grundfälle. In diesem Abschnitt lernst du wichtige Erweiterungen kennen – bis hin zu irrationalen Exponenten wie in $2^{\sqrt{2}}$.

Bruchexponenten und Dezimalzahlen

Dezimale Exponenten sind oft nur versteckte Brüche. Du kannst sie immer umwandeln:

$$a^{0{,}5} = a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}$$ $$a^{0{,}25} = a^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{a}$$ $$a^{1{,}5} = a^{\frac{3}{2}} = \left(\sqrt{a}\right)^3$$

Schreibe Dezimalexponenten immer als Brüche um, bevor du rechnest. Das vermeidet Fehler.

Bruchexponenten in Formeln der Naturwissenschaften

Gebrochene Exponenten erscheinen in vielen Formeln ausserhalb der Mathematik. Das Keplersche Gesetz beschreibt den Zusammenhang zwischen der Umlaufzeit $T$ eines Planeten und seiner Bahnhalbachse $a$:

$$T \propto a^{\frac{3}{2}}$$

Die Kugelformel für den Radius aus dem Volumen lautet:

$$r = \left(\frac{3V}{4\pi}\right)^{\frac{1}{3}}$$

In der Physik und Chemie begegnest du solchen Ausdrücken regelmässig.

Definition

Die bisherige Definition lässt sich auf alle rationalen Exponenten $q = \dfrac{m}{n}$ mit ganzzahligem Zähler $m \in \mathbb{Z}$ und natürlichem Nenner $n \geq 1$ erweitern:

$$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m \quad \text{für } a > 0$$

Für negative Exponenten (mit $m, n \geq 1$) gilt:

$$a^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{a^{\frac{m}{n}}} \quad \text{für } a > 0$$

Hier muss $a$ echt grösser als $0$ sein, weil du durch $a^{\frac{m}{n}}$ teilst. Alle Potenzgesetze bleiben gültig. Diese Erweiterung bildet die Grundlage für reelle Exponenten (siehe unten) und für den Logarithmus.

Bruchexponenten und Taschenrechner

Auf einem wissenschaftlichen Taschenrechner gibst du $a^{\frac{m}{n}}$ als a ^ (m/n) ein. Die Klammern um den Bruch sind zwingend notwendig. Ohne sie berechnet der Rechner (a^m)/n, was ein völlig anderes Ergebnis liefert.

Beispiel:

Anwendungsaufgabe – Würfel und Kugel

Ein Würfel hat das gleiche Volumen wie eine Kugel mit Radius $r = 3$ cm. Berechne die Kantenlänge des Würfels. Nutze die Formel $V_{\text{Kugel}} = \dfrac{4}{3}\pi r^3$.

Lösung:

Berechne zuerst das Kugelvolumen:

$$V = \frac{4}{3}\pi \cdot 3^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 27 = 36\pi \approx 113{,}1 \, \text{cm}^3$$

Das Volumen des Würfels ist $V = a^3$. Löse nach $a$ auf:

$$a^3 = 36\pi \implies a = (36\pi)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{36\pi}$$

Berechne numerisch:

$$a = \sqrt[3]{36\pi} \approx \sqrt[3]{113{,}1} \approx 4{,}84 \, \text{cm}$$

Ergebnis: Die Kantenlänge des Würfels beträgt ungefähr $4{,}84$ cm.

Dieses Beispiel zeigt: Der Bruchexponent $\dfrac{1}{3}$ erscheint natürlich, wenn du aus einem Volumen eine Länge berechnest.

Irrationale Exponenten: Was bedeutet $2^{\sqrt{2}}$?

Bisher war der Exponent immer ein Bruch. Irrationale Zahlen wie $\sqrt{2} \approx 1{,}41421\ldots$ oder $\pi \approx 3{,}14159\ldots$ lassen sich aber nicht als Bruch schreiben: Ihre Dezimaldarstellung ist unendlich lang und nicht periodisch. Wie kannst du trotzdem $2^{\sqrt{2}}$ berechnen?

Die Idee: Du schachtelst $\sqrt{2}$ zwischen immer genauere Dezimalzahlen ein. Jede dieser Näherungen ist ein Bruch, zum Beispiel $1{,}41 = \dfrac{141}{100}$. Für sie ist die Potenz schon definiert: $2^{1{,}41} = \sqrt[100]{2^{141}}$. Weil $2^q$ mit wachsendem $q$ grösser wird, liegt $2^{\sqrt{2}}$ immer zwischen den beiden Potenzen einer Zeile:

untere Näherung $q$	$2^q$	obere Näherung $q$	$2^q$
$1{,}4$	$2{,}6390$	$1{,}5$	$2{,}8284$
$1{,}41$	$2{,}6574$	$1{,}42$	$2{,}6759$
$1{,}414$	$2{,}6647$	$1{,}415$	$2{,}6666$
$1{,}4142$	$2{,}6651$	$1{,}4143$	$2{,}6653$

Die Werte sind auf vier Dezimalstellen gerundet. Die Intervalle werden immer enger und ziehen sich auf eine einzige Zahl zusammen. Diese Zahl ist $2^{\sqrt{2}} \approx 2{,}6651$.

Definition

Es seien $a > 0$ und $x$ eine irrationale Zahl. Wähle rationale Zahlen $q_1, q_2, q_3, \ldots$, die sich $x$ immer mehr nähern, zum Beispiel die Dezimalnäherungen von $x$. Dann ist

$$a^x = \lim_{k \to \infty} a^{q_k}$$

der Wert, dem sich die Potenzen $a^{q_1}, a^{q_2}, a^{q_3}, \ldots$ nähern. Dieser Grenzwert existiert, und er hängt nicht davon ab, welche rationalen Näherungen du wählst.

Damit ist $a^x$ für jede reelle Zahl $x$ definiert. Alle Potenzgesetze gelten auch für reelle Exponenten, und es gilt immer $a^x > 0$.

In der Praxis: Taschenrechner

Potenzen mit irrationalen Exponenten berechnest du mit dem Taschenrechner, zum Beispiel 2 ^ √(2) $\approx 2{,}6651$. Die Idee mit den Näherungen ist trotzdem wichtig: Sie erklärt, warum das Ergebnis eindeutig ist und warum die Potenzgesetze auch hier gelten.

Anwendung: Wachstum zu jedem Zeitpunkt

Mit reellen Exponenten beschreibst du Wachstum zu jedem beliebigen Zeitpunkt, nicht nur nach ganzen Jahren. Die Zinseszinsformel $K = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^t$ liefert dann auch für $t = 2{,}5$ Jahre oder $t = \sqrt{3} \approx 1{,}732$ Jahre einen Wert. Bei $1\,000$ CHF und $3\,\%$ Zins sind es nach $\sqrt{3}$ Jahren $1\,000 \cdot 1{,}03^{\sqrt{3}} \approx 1\,052{,}53$ CHF.

Beispiel:

Zinseszins nach 2,5 Jahren

Ein Kapital von $1\,000$ CHF wächst mit $3\,\%$ pro Jahr (Zinseszins). Wir nehmen an, dass es gleichmässig wächst: In gleich langen Zeitabschnitten wird es immer mit demselben Faktor multipliziert. Wie viel ist es nach $2{,}5$ Jahren wert?

Lösung:

Setze $K_0 = 1\,000$ CHF, $p = 3$ und $t = 2{,}5$ in die Formel $K = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^t$ ein:

$$K = 1\,000 \cdot 1{,}03^{2{,}5}$$

Mit dem Taschenrechner:

$$1{,}03^{2{,}5} \approx 1{,}07670$$$$K \approx 1\,000 \cdot 1{,}07670 = 1\,076{,}70 \text{ CHF}$$

Ergebnis: Nach $2{,}5$ Jahren beträgt das Kapital etwa $1\,076{,}70$ CHF.

Vergleich: Nach $2$ Jahren sind es $1\,000 \cdot 1{,}03^2 = 1\,060{,}90$ CHF, nach $3$ Jahren $1\,000 \cdot 1{,}03^3 = 1\,092{,}727 \approx 1\,092{,}73$ CHF. Genau in der Mitte läge $\dfrac{1\,060{,}90 + 1\,092{,}727}{2} \approx 1\,076{,}81$ CHF. Der Wert nach $2{,}5$ Jahren liegt also rund $12$ Rappen darunter.

Der Grund: Wachstum mit festem Faktor ist nicht linear. Wegen $1{,}03^{2{,}5} = 1{,}03^2 \cdot 1{,}03^{0{,}5}$ wird das Kapital in jedem halben Jahr mit demselben Faktor $\sqrt{1{,}03} \approx 1{,}01489$ multipliziert:

$$1\,060{,}90 \cdot 1{,}01489 \approx 1\,076{,}70 \qquad 1\,076{,}70 \cdot 1{,}01489 \approx 1\,092{,}73$$

Der Wert nach $2{,}5$ Jahren ist deshalb das geometrische Mittel der beiden Nachbarwerte: $\sqrt{1\,060{,}90 \cdot 1\,092{,}727} \approx 1\,076{,}70$ CHF.

Hinweis: Banken rechnen für ein angebrochenes Jahr meist mit einfachem Zins (Marchzins): $1\,060{,}90 \cdot (1 + 0{,}03 \cdot 0{,}5) \approx 1\,076{,}81$ CHF. Die Formel mit $t = 2{,}5$ beschreibt dagegen das Modell mit gleichmässigem Wachstum.

Übungen

Die folgenden Aufgaben sind nach Schwierigkeit geordnet. Löse die Aufgaben 1 bis 13 ohne Taschenrechner. Für Aufgabe 14 brauchst du ihn.

Stufe 1 – Grundlagen

1. Schreibe um als Wurzelausdruck: $25^{\frac{1}{2}}$, $64^{\frac{1}{3}}$, $81^{\frac{1}{4}}$

2. Schreibe um als Potenz mit Bruchexponent: $\sqrt[3]{125}$, $\sqrt[5]{32}$, $\sqrt[4]{256}$

3. Berechne: $4^{\frac{3}{2}}$

4. Berechne: $27^{\frac{2}{3}}$

Stufe 2 – Potenzgesetze

5. Vereinfache: $x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{2}{3}}$

6. Berechne: $\dfrac{32^{\frac{4}{5}}}{32^{\frac{1}{5}}}$

7. Berechne: $\left(9^{\frac{1}{2}}\right)^4$

Stufe 3 – Anspruchsvoll

8. Berechne: $125^{-\frac{2}{3}}$

9. Löse die Gleichung: $x^{\frac{3}{2}} = 27$

10. Vereinfache vollständig: $\dfrac{a^{\frac{3}{4}} \cdot a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{4}}}$

11. Schreibe als Potenz mit Bruchexponent (für $b > 0$, $c > 0$): a) $\dfrac{1}{\sqrt[4]{b^3}}$ $\quad$ b) $\sqrt{\sqrt[3]{c}}$

12. Vereinfache für $a > 0$, $b > 0$: $\dfrac{\left(a^2 b\right)^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{3}{2}}}{a^2 \cdot b^{\frac{1}{2}}}$

13. Beweise, dass für $a > 0$ gilt: $\sqrt[3]{\sqrt{a}} = \sqrt{\sqrt[3]{a}}$. Schreibe dazu beide Seiten als Potenz mit Bruchexponent.

Stufe 4 – Anwendung (mit Taschenrechner)

14. Ein radioaktiver Stoff hat eine Halbwertszeit von $30$ Jahren. Nach $t$ Jahren ist noch der Anteil $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{t}{30}}$ der ursprünglichen Menge vorhanden. Berechne den verbleibenden Anteil nach a) $15$ Jahren, b) $45$ Jahren, c) $20$ Jahren. Runde auf vier Dezimalstellen.

Das Wichtigste in Kürze

• Gebrochener Exponent = Wurzel in Verkleidung. Der Nenner gibt die Wurzel an. Der Zähler gibt die Potenz an.

• Grundformel: $a^{\frac{m}{n}} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m$

• Alle Potenzgesetze gelten weiterhin. Du kannst Exponenten addieren, subtrahieren und multiplizieren – wie gewohnt.

• Rechenstrategie: Ziehe zuerst die Wurzel, dann potenziere. Das hält Zwischenergebnisse klein.

• Kürze immer zuerst. Vereinfache den Bruchexponenten, bevor du rechnest.

• Keine negativen Basen. Potenzen mit gebrochenen Exponenten sind nur für $a \geq 0$ definiert, bei negativem Exponenten nur für $a > 0$. Für die Wurzel aus einer negativen Zahl schreibst du das Wurzelzeichen: $\sqrt[3]{-8} = -2$.

• Dezimalexponenten umschreiben. Wandle $0{,}5$, $1{,}5$ usw. in Brüche um, bevor du rechnest.

• Irrationale Exponenten wie in $2^{\sqrt{2}}$ sind Grenzwerte von Potenzen mit rationalen Näherungen des Exponenten. Für $a > 0$ ist $a^x$ so für jede reelle Zahl $x$ definiert, die Potenzgesetze gelten weiter, und du rechnest mit dem Taschenrechner.

Dein Wissen im Test

❓ Frage:Welcher Ausdruck ist äquivalent zu $\sqrt[5]{x^3}$?

Lösung anzeigen

Die Antwort ist $x^{\frac{3}{5}}$. Die fünfte Wurzel entspricht dem Exponenten $\frac{1}{5}$. Die dritte Potenz im Inneren multipliziert diesen Exponenten: $\left(x^3\right)^{\frac{1}{5}} = x^{3 \cdot \frac{1}{5}} = x^{\frac{3}{5}}$. Denke an die Grundregel: Zähler = Potenz, Nenner = Wurzel.

❓ Frage:Berechne $64^{\frac{2}{3}}$ ohne Taschenrechner.

Lösung anzeigen

Die Antwort ist $16$. Schritt 1: Den Nenner 3 erkennen – dritte Wurzel ziehen. $\sqrt[3]{64} = 4$, denn $4^3 = 64$. Schritt 2: Mit dem Zähler 2 potenzieren. $4^2 = 16$. Also gilt: $64^{\frac{2}{3}} = 16$.

❓ Frage:Warum ist der Ausdruck $(-9)^{\frac{1}{2}}$ im Bereich der reellen Zahlen nicht definiert?

Lösung anzeigen

Der Ausdruck $(-9)^{\frac{1}{2}}$ bedeutet $\sqrt{-9}$. Es gibt keine reelle Zahl, die mit sich selbst multipliziert eine negative Zahl ergibt. Denn positiv mal positiv ist positiv, und negativ mal negativ ist ebenfalls positiv. Quadratwurzeln – und allgemein gerade Wurzeln – aus negativen Zahlen führen zu imaginären Zahlen. Diese lernst du später kennen.

❓ Frage:Ein Schüler schreibt: $4^{\frac{1}{2}} + 9^{\frac{1}{2}} = 13^{\frac{1}{2}}$. Was ist falsch daran?

Lösung anzeigen

Der Schüler wendet ein Potenzgesetz auf eine Addition an. Das ist falsch. Potenzgesetze gelten nur für Multiplikation und Division, niemals für Addition. Richtig gerechnet: $4^{\frac{1}{2}} + 9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} + \sqrt{9} = 2 + 3 = 5$. Der falsche Ausdruck ergibt $\sqrt{13} \approx 3{,}6$ – ein deutlich anderer Wert.

❓ Frage:Löse die Gleichung $x^{\frac{1}{3}} = 5$.

Lösung anzeigen

Potenziere beide Seiten mit dem Kehrwert des Exponenten, also mit 3: $\left(x^{\frac{1}{3}}\right)^3 = 5^3$ $x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^1 = x = 125$ Probe: $125^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{125} = 5$ ✓ Die Antwort ist $x = 125$.

Ausblick

Du hast jetzt verstanden, dass Wurzeln und Potenzen zwei Seiten derselben Medaille sind. Die Frage “Welche Potenz von 2 ergibt 8?” beantwortest du mit 3, denn $2^3 = 8$.

Aber was ist, wenn die Antwort kein ganzer Wert ist? Welche Potenz von 2 ergibt 10? Die Antwort liegt irgendwo zwischen 3 und 4. Wie findest du sie exakt?

Genau dafür gibt es den Logarithmus. Er beantwortet die Frage: “Mit welchem Exponenten muss ich die Basis potenzieren, um eine bestimmte Zahl zu erhalten?” Im nächsten Kapitel lernst du, wie du mit Logarithmen rechnest und warum sie in Wissenschaft, Technik und sogar Musik unverzichtbar sind.

Lösungen

Aufgabe 1: Schreibe um als Wurzelausdruck.

$$25^{\frac{1}{2}} = \sqrt{25} = 5$$ $$64^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{64} = 4 \quad \text{(denn } 4^3 = 64\text{)}$$ $$81^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{81} = 3 \quad \text{(denn } 3^4 = 81\text{)}$$

---

Aufgabe 2: Schreibe um als Potenz mit Bruchexponent.

$$\sqrt[3]{125} = 125^{\frac{1}{3}}$$ $$\sqrt[5]{32} = 32^{\frac{1}{5}}$$ $$\sqrt[4]{256} = 256^{\frac{1}{4}}$$

---

Aufgabe 3: Berechne $4^{\frac{3}{2}}$.

Nenner 2 bedeutet Quadratwurzel, Zähler 3 bedeutet Potenz 3:

$$4^{\frac{3}{2}} = \left(\sqrt{4}\right)^3 = 2^3 = 8$$

---

Aufgabe 4: Berechne $27^{\frac{2}{3}}$.

Nenner 3 bedeutet dritte Wurzel, Zähler 2 bedeutet Quadrieren:

$$27^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{27}\right)^2 = 3^2 = 9$$

---

Aufgabe 5: Vereinfache $x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{2}{3}}$.

Addiere die Exponenten (gleiche Basis):

$$x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{2}{3}} = x^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} = x^{\frac{3}{3}} = x^1 = x$$

---

Aufgabe 6: Berechne $\dfrac{32^{\frac{4}{5}}}{32^{\frac{1}{5}}}$.

Subtrahiere die Exponenten:

$$\frac{32^{\frac{4}{5}}}{32^{\frac{1}{5}}} = 32^{\frac{4}{5} - \frac{1}{5}} = 32^{\frac{3}{5}} = \left(\sqrt[5]{32}\right)^3 = 2^3 = 8$$

Da $\sqrt[5]{32} = 2$, denn $2^5 = 32$.

---

Aufgabe 7: Berechne $\left(9^{\frac{1}{2}}\right)^4$.

Wende das Gesetz “Potenz einer Potenz” an:

$$\left(9^{\frac{1}{2}}\right)^4 = 9^{\frac{1}{2} \cdot 4} = 9^2 = 81$$

---

Aufgabe 8: Berechne $125^{-\frac{2}{3}}$.

Der negative Exponent bedeutet Kehrwert:

$$125^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{125^{\frac{2}{3}}}$$

Berechne den Nenner:

$$125^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{125}\right)^2 = 5^2 = 25$$

Also:

$$125^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{25}$$

---

Aufgabe 9: Löse $x^{\frac{3}{2}} = 27$.

Potenziere beide Seiten mit dem Kehrwert $\dfrac{2}{3}$:

$$\left(x^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{2}{3}} = 27^{\frac{2}{3}}$$

Vereinfache die linke Seite:

$$x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = x^1 = x$$

Berechne die rechte Seite:

$$27^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{27}\right)^2 = 3^2 = 9$$

Ergebnis: $x = 9$

Probe: $9^{\frac{3}{2}} = \left(\sqrt{9}\right)^3 = 3^3 = 27$ ✓

---

Aufgabe 10: Vereinfache $\dfrac{a^{\frac{3}{4}} \cdot a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{4}}}$.

Fasse den Zähler zusammen. Dazu Brüche auf gleichen Nenner bringen: $\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4}$.

$$a^{\frac{3}{4}} \cdot a^{\frac{2}{4}} = a^{\frac{3}{4} + \frac{2}{4}} = a^{\frac{5}{4}}$$

Teile durch $a^{\frac{1}{4}}$:

$$\frac{a^{\frac{5}{4}}}{a^{\frac{1}{4}}} = a^{\frac{5}{4} - \frac{1}{4}} = a^{\frac{4}{4}} = a^1 = a$$

Ergebnis: Der Ausdruck vereinfacht sich zu $a$.

---

Aufgabe 11: Schreibe als Potenz mit Bruchexponent.

a) Die vierte Wurzel aus $b^3$ ist $b^{\frac{3}{4}}$. Der Kehrwert ergibt einen negativen Exponenten:

$$\frac{1}{\sqrt[4]{b^3}} = \frac{1}{b^{\frac{3}{4}}} = b^{-\frac{3}{4}}$$

b) Schreibe zuerst die innere Wurzel als Potenz und wende dann das Gesetz “Potenz einer Potenz” an:

$$\sqrt{\sqrt[3]{c}} = \left(c^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{2}} = c^{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}} = c^{\frac{1}{6}}$$

---

Aufgabe 12: Vereinfache $\dfrac{\left(a^2 b\right)^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{3}{2}}}{a^2 \cdot b^{\frac{1}{2}}}$.

Löse zuerst die Klammer auf (Potenz eines Produkts):

$$\left(a^2 b\right)^{\frac{1}{2}} = a^{2 \cdot \frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{1}{2}} = a \cdot b^{\frac{1}{2}}$$

Fasse den Zähler zusammen:

$$a \cdot b^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{3}{2}} = a^{1 + \frac{3}{2}} \cdot b^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{5}{2}} \cdot b^{\frac{1}{2}}$$

Teile durch den Nenner:

$$\frac{a^{\frac{5}{2}} \cdot b^{\frac{1}{2}}}{a^2 \cdot b^{\frac{1}{2}}} = a^{\frac{5}{2} - 2} \cdot b^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}} \cdot b^0 = \sqrt{a}$$

Ergebnis: Der Ausdruck vereinfacht sich zu $\sqrt{a}$.

---

Aufgabe 13: Beweise $\sqrt[3]{\sqrt{a}} = \sqrt{\sqrt[3]{a}}$ für $a > 0$.

Linke Seite:

$$\sqrt[3]{\sqrt{a}} = \left(a^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{6}}$$

Rechte Seite:

$$\sqrt{\sqrt[3]{a}} = \left(a^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{6}}$$

Beide Seiten ergeben $a^{\frac{1}{6}} = \sqrt[6]{a}$. Damit ist die Gleichheit bewiesen. Die Reihenfolge zweier Wurzeln spielt also keine Rolle, weil die Multiplikation der Exponenten kommutativ ist.

---

Aufgabe 14: Radioaktiver Zerfall mit Halbwertszeit $30$ Jahre.

Schreibe den Anteil als Potenz von $2$:

$$\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{30}} = 2^{-\frac{t}{30}}$$

a) $t = 15$: $\quad 2^{-\frac{15}{30}} = 2^{-\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}7071$. Es sind noch etwa $70{,}71\,\%$ vorhanden.

b) $t = 45$: $\quad 2^{-\frac{45}{30}} = 2^{-\frac{3}{2}} = \dfrac{1}{2\sqrt{2}} \approx 0{,}3536$. Es sind noch etwa $35{,}36\,\%$ vorhanden.

c) $t = 20$: $\quad 2^{-\frac{20}{30}} = 2^{-\frac{2}{3}} = \dfrac{1}{\sqrt[3]{4}} \approx 0{,}6300$. Es sind noch etwa $63{,}00\,\%$ vorhanden.

Kontrolle: Nach $15$ Jahren (halbe Halbwertszeit) ist mehr als die Hälfte übrig, nach $45$ Jahren weniger als die Hälfte. Die Werte passen.

Verwandte Themen

• Negative Exponenten einfach erklärt: Potenzen mit negativen Hochzahlen verstehen
• Potenzgleichungen lösen: Dein Leitfaden für Gleichungen mit Unbekannten im Exponenten
• Potenzgesetze einfach erklärt: So rechnest du sicher mit Potenzen

Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport