Umkreis und Inkreis eines Dreiecks verstehen

Weiterführend:

• Zur Kapitelübersicht „Geometrie”
• Vorwissen: Die Mittelsenkrechte verstehen und konstruieren
• Zusammenhänge im Dreieck – Seiten, Winkel und besondere Linien
• Besondere Dreiecke erkennen und verstehen

Darum geht's

Die Geometrie deiner Gartenplanung: Inkreis und Umkreis

Stell dir vor, du planst ein dreieckiges Blumenbeet und möchtest einen runden Springbrunnen integrieren. Zwei Möglichkeiten bieten sich an. Entweder soll der Brunnen so gross wie möglich innerhalb des Beetes liegen. Oder das Beet soll vom Brunnen vollständig umschlossen werden.

Im ersten Fall brauchst du den Inkreis, den grössten Kreis, der in ein Dreieck passt. Im zweiten Fall den Umkreis, der durch alle drei Ecken verläuft. Beide Kreise existieren für jedes Dreieck. Ihre Mittelpunkte entstehen als Schnittpunkte besonderer Linien: Winkelhalbierende beim Inkreis, Mittelsenkrechte beim Umkreis.

In diesem Artikel lernst du beide Kreise zu konstruieren, ihre Radien zu berechnen und die typischen Fallen zu umgehen.

📋Lehrplan 21Zyklus 3 (7.–9. Klasse) · 7Kompetenzen

• MA.3.A.3.jGrundanspruchSchnittpunkt zweier Geraden algebraisch und graphisch bestimmen
• MA.3.B.1.iGrundanspruchErgebnisse zu funktionalen Zusammenhängen überprüfen, insbesondere durch Interpretation von Tabellen, Graphen und Diagrammen
• MA.3.C.3.gGrundanspruch
• MA.3.A.3.iFunktionswert zu einer gegebenen Zahl aus Wertetabelle, Graph und Funktionsgleichung bestimmen (z.B. y = 2x + 1, x = 7 → y = 15); Rechner/Software für Funktionswerte nutzen; Sachaufgaben mit Prozentangaben lösen (Steigung, Zins)
• MA.3.A.3.kZu linearen Funktionen den Funktionsgraphen zeichnen; Steigung, y-Achsenabschnitt und Nullstelle bestimmen
• MA.3.B.1.hErw: Parameter in Gleichungen verändern und Auswirkungen mit elektronischen Hilfsmitteln untersuchen
• MA.3.C.3.h

Quelle: Aargauer Lehrplan Volksschule, Fachbereich Mathematik (August 2022)

Eine kleine Zeitreise

Die Idee, besondere Kreise in Dreiecken zu finden, ist über 2300 Jahre alt. Schon die griechischen Mathematiker der Antike beschäftigten sich intensiv damit. Euklid (um 300 v. Chr.) widmete in seinem berühmten Werk Die Elemente der Konstruktion von Um- und Inkreis mehrere Kapitel.

Im vierten Buch der Elemente beschreibt Euklid, wie man zu jedem Dreieck den Umkreis und den Inkreis konstruiert. Er benutzte dabei ausschliesslich Zirkel und Lineal. Seine Beweise gelten bis heute als Musterbeispiele mathematischer Strenge. Die Tatsache, dass sich die drei Mittelsenkrechten in einem einzigen Punkt schneiden, bewies Euklid mit logischen Schlüssen aus wenigen Grundannahmen.

Heron von Alexandria (etwa 1. Jahrhundert n. Chr.) entdeckte eine wichtige Formel. Er verknüpfte den Inkreisradius mit Fläche und Umfang eines Dreiecks: $r_I = \dfrac{A}{s}$. Diese Formel wird heute noch in jedem Geometrieunterricht gelehrt.

Im arabischen Mittelalter entwickelten Mathematiker wie al-Khwarizmi und al-Kashi die Theorie weiter. Sie fanden Beziehungen zwischen Umkreis, Inkreis und den Seitenlängen des Dreiecks. Der berühmte Satz des Ptolemäus über Sehnenvierecke nutzt den Umkreis direkt.

In der Renaissance stellten Künstler wie Albrecht Dürer und Leonardo da Vinci fest, dass Um- und Inkreis auch für ästhetische Proportionen wichtig sind. Dürer beschrieb in seinem Werk Underweysung der Messung (1525) detailliert, wie Handwerker diese Konstruktionen ausführen sollten.

Der Schweizer Mathematiker Leonhard Euler entdeckte im 18. Jahrhundert eine wunderschöne Beziehung: Der Abstand zwischen Umkreismittelpunkt $U$ und Inkreismittelpunkt $I$ erfüllt die Formel $|UI|^2 = r_U^2 - 2 r_U \cdot r_I$. Dieser Satz von Euler zeigt, dass beide Kreise über ihre Radien eng verbunden sind.

Heute nutzen Architekten, Ingenieure und Designer diese Konzepte täglich. Ob bei Satellitenantennen, Strassenkreuzungen oder Logo-Entwürfen – Um- und Inkreis sind geometrische Grundbausteine.

Die Grundlagen

Jedes Dreieck besitzt genau einen Umkreis und genau einen Inkreis. Beide Kreise haben unterschiedliche Eigenschaften und entstehen durch verschiedene Konstruktionen.

Der Umkreis geht durch die drei Eckpunkte $A$, $B$ und $C$. Er umfasst das Dreieck von aussen. Sein Mittelpunkt $U$ ist von allen drei Ecken gleich weit entfernt. Dieser Abstand ist der Umkreisradius $r_U$.

Der Inkreis berührt die drei Seiten des Dreiecks von innen. Sein Mittelpunkt $I$ ist von allen drei Seiten gleich weit entfernt. Dieser Abstand ist der Inkreisradius $r_I$.

Definition

Der Umkreis eines Dreiecks $ABC$ ist der Kreis, der durch alle drei Eckpunkte verläuft.

Mittelpunkt $U$: Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten.

Radius $r_U$: Abstand von $U$ zu einem beliebigen Eckpunkt.

$$r_U = |UA| = |UB| = |UC|$$

Definition

Der Inkreis eines Dreiecks $ABC$ ist der Kreis, der alle drei Seiten von innen berührt.

Mittelpunkt $I$: Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden.

Radius $r_I$: Senkrechter Abstand von $I$ zu einer beliebigen Seite.

$$r_I = d(I, \overline{AB}) = d(I, \overline{BC}) = d(I, \overline{CA})$$

Die Lage der Mittelpunkte hängt von der Dreiecksform ab. Der Inkreismittelpunkt $I$ liegt immer innerhalb des Dreiecks. Der Umkreismittelpunkt $U$ kann innerhalb, auf einer Seite oder ausserhalb liegen – je nach Dreiecksart.

Die Kernmethode

Die Konstruktion beider Kreise folgt einem klaren Schema. Du musst nur wissen, welche Linien du brauchst.

Für den Umkreis: Da $U$ von allen Ecken gleich weit entfernt sein soll, nutzt du Mittelsenkrechten. Eine Mittelsenkrechte einer Strecke enthält alle Punkte, die von den beiden Endpunkten den gleichen Abstand haben.

Für den Inkreis: Da $I$ von allen Seiten gleich weit entfernt sein soll, nutzt du Winkelhalbierende. Eine Winkelhalbierende enthält alle Punkte, die von den beiden Schenkeln des Winkels den gleichen Abstand haben.

Definition

Umkreismittelpunkt $U$:

1. Konstruiere zwei Mittelsenkrechten (z.B. von $\overline{AB}$ und $\overline{BC}$).
2. Ihr Schnittpunkt ist $U$.
3. Der Radius $r_U$ ist der Abstand $|UA|$.

Inkreismittelpunkt $I$:

1. Konstruiere zwei Winkelhalbierende (z.B. bei $A$ und $B$).
2. Ihr Schnittpunkt ist $I$.
3. Der Radius $r_I$ ist das Lot von $I$ auf eine Seite.

Zwei Linien reichen immer aus. Die dritte läuft automatisch durch denselben Punkt. Das ist ein mathematischer Satz, den Euklid bewiesen hat.

Beispiel:

Beispiel 1: Umkreismittelpunkt konstruieren

Gegeben ist ein Dreieck mit $A(0|0)$, $B(6|0)$ und $C(2|4)$.

Aufgabe: Finde den Umkreismittelpunkt $U$.

Lösung:

Die Mittelsenkrechte von $\overline{AB}$ ist die Vertikale $x = 3$. Sie verläuft durch den Mittelpunkt $M_{AB}(3|0)$.

Die Mittelsenkrechte von $\overline{AC}$ verläuft durch $M_{AC}(1|2)$ und steht senkrecht auf $\overline{AC}$. Die Steigung von $\overline{AC}$ ist $2$, also hat die Mittelsenkrechte die Steigung $-\dfrac{1}{2}$.

Gleichung der Mittelsenkrechten: $y - 2 = -\dfrac{1}{2}(x - 1)$.

Einsetzen von $x = 3$:

$$y = 2 - \dfrac{1}{2} \cdot 2 = 1$$

Der Umkreismittelpunkt ist $U(3|1)$. Der Radius beträgt $r_U = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \approx 3{,}16$.

Beispiel:

Beispiel 2: Inkreis eines gleichschenkligen Dreiecks

Ein gleichschenkliges Dreieck hat die Basis $c = 8 \, \text{cm}$ und die Schenkel $a = b = 5 \, \text{cm}$.

Aufgabe: Berechne den Inkreisradius $r_I$.

Lösung:

Zuerst die Höhe auf der Basis berechnen. Mit Pythagoras:

$$h_c = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3 \, \text{cm}$$

Die Fläche des Dreiecks:

$$A = \dfrac{1}{2} \cdot c \cdot h_c = \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3 = 12 \, \text{cm}^2$$

Der halbe Umfang:

$$s = \dfrac{5 + 5 + 8}{2} = 9 \, \text{cm}$$

Der Inkreisradius nach Heron:

$$r_I = \dfrac{A}{s} = \dfrac{12}{9} = \dfrac{4}{3} \approx 1{,}33 \, \text{cm}$$

Die häufigsten Stolpersteine

Bei Um- und Inkreis passieren immer wieder dieselben Fehler. Wenn du sie kennst, kannst du sie vermeiden.

Achtung

Winkelhalbierende vs. Mittelsenkrechte:

Eine Mittelsenkrechte halbiert eine Strecke und steht senkrecht darauf. Eine Winkelhalbierende teilt einen Winkel in zwei gleich grosse Teile. Beide sehen in einer Skizze ähnlich aus, erfüllen aber unterschiedliche Aufgaben.

Merke: Umkreis → Ecken → Mittelsenkrechte. Inkreis → Seiten → Winkelhalbierende.

Achtung

Umkreismittelpunkt ausserhalb des Dreiecks:

Bei stumpfwinkligen Dreiecken liegt $U$ ausserhalb. Das ist kein Fehler, sondern normal. Viele Schüler glauben, sie hätten falsch konstruiert, und verwerfen ihre Lösung.

Prüfen: Bei welchem Winkel liegt $U$ ausserhalb? Wenn ein Winkel grösser als $90°$ ist, liegt $U$ ausserhalb. Bei einem rechten Winkel liegt $U$ auf der Hypotenuse.

Achtung

Radius nicht verwechseln:

Der Inkreisradius ist das senkrechte Lot von $I$ auf eine Seite. Nicht der Abstand von $I$ zu einer Ecke. Der Umkreisradius dagegen ist der Abstand von $U$ zu einer Ecke.

Tipp: Zeichne immer das Lot ein, bevor du den Inkreis zeichnest. Sonst ist der Kreis zu gross oder zu klein.

Achtung

Konstruktionslinien nicht löschen:

In einer Prüfung müssen alle Hilfslinien sichtbar bleiben. Wer nur den fertigen Kreis zeichnet, bekommt keine Punkte für die Konstruktion. Zeichne die Mittelsenkrechten oder Winkelhalbierenden dünn, aber erkennbar.

Beispiel:

Beispiel 3: Rechtwinkliges Dreieck

Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten $a = 3 \, \text{cm}$ und $b = 4 \, \text{cm}$. Der rechte Winkel liegt bei $C$.

Aufgabe: Berechne Umkreisradius und Inkreisradius.

Lösung:

Die Hypotenuse folgt aus Pythagoras:

$$c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 \, \text{cm}$$

Bei rechtwinkligen Dreiecken gilt: Der Umkreismittelpunkt liegt auf der Mitte der Hypotenuse. Der Umkreisradius ist also die halbe Hypotenuse:

$$r_U = \dfrac{c}{2} = \dfrac{5}{2} = 2{,}5 \, \text{cm}$$

Für den Inkreis berechnen wir Fläche und halben Umfang:

$$A = \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6 \, \text{cm}^2$$$$s = \dfrac{3 + 4 + 5}{2} = 6 \, \text{cm}$$$$r_I = \dfrac{A}{s} = \dfrac{6}{6} = 1 \, \text{cm}$$

Beispiel:

Beispiel 4: Anwendung – Kreisverkehr im Dreiecksplatz

Ein dreieckiger Platz in einer Stadt hat die Seiten $a = 40 \, \text{m}$, $b = 50 \, \text{m}$ und $c = 30 \, \text{m}$. In der Mitte soll ein runder Kreisverkehr entstehen, der möglichst gross ist, aber keine Häuser an den Rändern berührt.

Aufgabe: Welcher Kreis ist das? Wie gross wird sein Radius?

Lösung:

Gesucht ist der grösste Kreis, der vollständig im Dreieck Platz findet. Das ist der Inkreis.

Für die Fläche nutzen wir die Heron-Formel:

$$s = \dfrac{30 + 40 + 50}{2} = 60 \, \text{m}$$$$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{60 \cdot 20 \cdot 10 \cdot 30}$$$$A = \sqrt{360\,000} = 600 \, \text{m}^2$$

Damit:

$$r_I = \dfrac{A}{s} = \dfrac{600}{60} = 10 \, \text{m}$$

Der Kreisverkehr kann einen Radius von $10 \, \text{m}$ erreichen. Sein Durchmesser beträgt dann $20 \, \text{m}$.

Vertiefung

Um- und Inkreis stehen in faszinierenden Beziehungen zu anderen Punkten des Dreiecks. Diese Zusammenhänge sind nicht nur theoretisch interessant, sondern helfen beim schnellen Rechnen.

Ein wichtiger Satz stammt vom Schweizer Mathematiker Leonhard Euler: In jedem Dreieck liegen Umkreismittelpunkt $U$, Schwerpunkt $S$ und Höhenschnittpunkt $H$ auf einer Geraden. Diese Gerade heisst Eulersche Gerade. Es gilt sogar: $|HS| = 2 \cdot |SU|$. Der Schwerpunkt teilt die Strecke $\overline{HU}$ im Verhältnis $2:1$.

Auch der Inkreismittelpunkt hat besondere Eigenschaften. Er ist der Schnittpunkt aller drei Winkelhalbierenden. Zudem teilt die Winkelhalbierende bei $A$ die gegenüberliegende Seite $\overline{BC}$ im Verhältnis $c:b$. Das ist der Winkelhalbierendensatz.

Definition

Für jedes Dreieck mit Seiten $a$, $b$, $c$ und Fläche $A$ gilt:

$$r_U = \dfrac{a \cdot b \cdot c}{4 \cdot A}$$

Diese Formel verknüpft direkt den Umkreisradius mit allen Seitenlängen und der Fläche.

Für gleichseitige Dreiecke mit Seitenlänge $a$ gibt es besonders einfache Formeln. Der Umkreisradius ist $r_U = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$, der Inkreisradius $r_I = \dfrac{a}{2\sqrt{3}}$. Daraus folgt die schöne Beziehung $r_U = 2 \cdot r_I$. Beim gleichseitigen Dreieck ist der Umkreis immer doppelt so gross wie der Inkreis.

Ein weiterer interessanter Kreis ist der Feuerbach-Kreis (oder Neun-Punkte-Kreis). Er verläuft durch neun besondere Punkte des Dreiecks und hat den halben Umkreisradius. Sein Mittelpunkt liegt genau zwischen $U$ und $H$.

Diese Konzepte bilden die Grundlage der Dreiecksgeometrie, eines klassischen Teilgebiets der Mathematik. Selbst heute werden noch neue Sätze über Dreiecke entdeckt.

Beispiel:

Beispiel 5: Umkreisradius mit Formel

Ein Dreieck hat die Seiten $a = 13 \, \text{cm}$, $b = 14 \, \text{cm}$ und $c = 15 \, \text{cm}$.

Aufgabe: Berechne den Umkreisradius mit der Formel $r_U = \dfrac{abc}{4A}$.

Lösung:

Zuerst die Fläche mit der Heron-Formel:

$$s = \dfrac{13 + 14 + 15}{2} = 21 \, \text{cm}$$$$A = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84 \, \text{cm}^2$$

Nun der Umkreisradius:

$$r_U = \dfrac{13 \cdot 14 \cdot 15}{4 \cdot 84} = \dfrac{2730}{336}$$$$r_U = 8{,}125 \, \text{cm}$$

Zum Vergleich der Inkreisradius:

$$r_I = \dfrac{A}{s} = \dfrac{84}{21} = 4 \, \text{cm}$$

Der Umkreis ist also etwa doppelt so gross wie der Inkreis – typisch für ein relativ regelmässiges Dreieck.

Übungen

Arbeite die Aufgaben der Reihe nach. Die Schwierigkeit steigt. Lösungen findest du am Ende des Artikels.

Aufgabe 1: Welche Linien schneiden sich im Umkreismittelpunkt eines Dreiecks?

Aufgabe 2: Ein Dreieck hat die Fläche $A = 30 \, \text{cm}^2$ und den halben Umfang $s = 15 \, \text{cm}$. Berechne den Inkreisradius.

Aufgabe 3: Bei welcher Dreiecksart liegt der Umkreismittelpunkt auf einer Dreiecksseite?

Aufgabe 4: Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten $a = 6 \, \text{cm}$ und $b = 8 \, \text{cm}$. Bestimme die Hypotenuse und den Umkreisradius.

Aufgabe 5: Zeichne ein beliebiges spitzwinkliges Dreieck. Konstruiere Umkreis und Inkreis vollständig. Markiere alle Hilfslinien.

Aufgabe 6: Ein gleichseitiges Dreieck hat die Seitenlänge $a = 6 \, \text{cm}$. Berechne Umkreisradius und Inkreisradius. Zeige, dass $r_U = 2 \cdot r_I$ gilt.

Aufgabe 7: Ein Dreieck hat die Seiten $a = 5 \, \text{cm}$, $b = 12 \, \text{cm}$, $c = 13 \, \text{cm}$. Zeige, dass es rechtwinklig ist. Berechne dann $r_U$ und $r_I$.

Aufgabe 8: Ein stumpfwinkliges Dreieck mit Winkel $\gamma = 120°$ hat die Seiten $a = 3$ und $b = 5$. Wo liegt der Umkreismittelpunkt – innerhalb, aussen oder auf dem Dreieck? Begründe.

Aufgabe 9: Ein Dreieck hat die Seiten $a = 9$, $b = 10$, $c = 17$. Berechne Fläche, Umkreisradius und Inkreisradius.

Aufgabe 10: Ein Künstler plant ein dreieckiges Mosaik mit den Seiten $7 \, \text{m}$, $24 \, \text{m}$ und $25 \, \text{m}$. In jeder Ecke soll ein Kreis berührt werden, und ein weiterer Kreis soll innen liegen und alle Seiten berühren. Berechne beide Radien und prüfe, ob das Mosaik rechtwinklig ist.

Das Wichtigste in Kürze

Jedes Dreieck hat genau einen Umkreis durch alle drei Ecken und genau einen Inkreis, der alle drei Seiten von innen berührt. Der Umkreismittelpunkt $U$ ist der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten. Der Inkreismittelpunkt $I$ ist der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden.

Der Umkreisradius ist der Abstand von $U$ zu einer Ecke: $r_U = |UA|$. Der Inkreisradius ist das Lot von $I$ auf eine Seite: $r_I = \dfrac{A}{s}$ nach Heron, wobei $s$ der halbe Umfang ist.

Bei stumpfwinkligen Dreiecken liegt $U$ ausserhalb. Bei rechtwinkligen Dreiecken liegt $U$ auf der Hypotenuse. Der Inkreismittelpunkt $I$ liegt immer innerhalb des Dreiecks.

❓ Frage:

Welche Linien schneiden sich im Inkreismittelpunkt eines Dreiecks?

Lösung anzeigen

Die drei Winkelhalbierenden des Dreiecks schneiden sich im Inkreismittelpunkt $I$.

❓ Frage:

Ein Dreieck hat die Fläche $A = 36 \, \text{cm}^2$ und den halben Umfang $s = 18 \, \text{cm}$. Wie gross ist der Inkreisradius?

Lösung anzeigen

$r_I = \dfrac{A}{s} = \dfrac{36}{18} = 2 \, \text{cm}$.

❓ Frage:

Wo liegt der Umkreismittelpunkt bei einem rechtwinkligen Dreieck?

Lösung anzeigen

Der Umkreismittelpunkt liegt auf der Mitte der Hypotenuse. Der Umkreisradius ist also die halbe Hypotenuse.

❓ Frage:

Welche Aussage stimmt? a) Der Inkreismittelpunkt kann ausserhalb liegen. b) Der Umkreismittelpunkt liegt immer innerhalb. c) Der Inkreismittelpunkt liegt immer innerhalb.

Lösung anzeigen

Aussage c) ist richtig. Der Inkreismittelpunkt liegt immer innerhalb des Dreiecks. Der Umkreismittelpunkt kann dagegen bei stumpfwinkligen Dreiecken ausserhalb liegen.

❓ Frage:

Ein gleichseitiges Dreieck hat Seitenlänge $a = 12 \, \text{cm}$. Welches Verhältnis haben Umkreisradius und Inkreisradius?

Lösung anzeigen

Beim gleichseitigen Dreieck gilt $r_U = 2 \cdot r_I$. Der Umkreisradius ist also immer doppelt so gross wie der Inkreisradius.

Ausblick

Um- und Inkreis sind der Einstieg in die sogenannte Dreiecksgeometrie. In höheren Klassen lernst du weitere Kreise kennen, etwa den Feuerbach-Kreis durch neun besondere Punkte. Du wirst auch die Eulersche Gerade untersuchen, auf der drei berühmte Mittelpunkte liegen.

In der analytischen Geometrie berechnest du später diese Kreise mit Vektoren und Koordinaten. Auch der Satz des Thales baut auf dem Umkreis eines rechtwinkligen Dreiecks auf. Der nächste Schritt sind Kreise durch mehr als drei Punkte und die Frage, wann das überhaupt möglich ist.

Lösungen

Lösung 1: Die drei Mittelsenkrechten der Dreiecksseiten schneiden sich im Umkreismittelpunkt $U$. Zwei Mittelsenkrechte reichen für die Konstruktion, weil die dritte immer durch denselben Schnittpunkt verläuft.

Lösung 2: Mit der Formel von Heron:

$$r_I = \dfrac{A}{s} = \dfrac{30 \, \text{cm}^2}{15 \, \text{cm}} = 2 \, \text{cm}$$

Lösung 3: Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der Mitte der Hypotenuse. Dies folgt aus dem Satz des Thales: Alle rechtwinkligen Dreiecke über einer Strecke haben ihren Scheitel auf dem Thaleskreis über dieser Strecke.

Lösung 4: Pythagoras:

$$c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10 \, \text{cm}$$

Der Umkreisradius ist die halbe Hypotenuse:

$$r_U = \dfrac{c}{2} = 5 \, \text{cm}$$

Lösung 5: Vorgehensweise: Zeichne zuerst ein spitzwinkliges Dreieck (alle Winkel unter $90°$). Für den Umkreis konstruiere zwei Mittelsenkrechten und markiere den Schnittpunkt $U$. Zeichne den Kreis mit Radius $|UA|$. Für den Inkreis konstruiere zwei Winkelhalbierende und markiere $I$. Fälle das Lot von $I$ auf eine Seite und zeichne den Kreis mit diesem Radius. Beide Kreise müssen die geforderten Eigenschaften haben: Umkreis durch alle Ecken, Inkreis tangential zu allen Seiten.

Lösung 6: Für gleichseitige Dreiecke mit $a = 6 \, \text{cm}$:

$$r_U = \dfrac{a}{\sqrt{3}} = \dfrac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \approx 3{,}46 \, \text{cm}$$ $$r_I = \dfrac{a}{2\sqrt{3}} = \dfrac{6}{2\sqrt{3}} = \sqrt{3} \approx 1{,}73 \, \text{cm}$$

Prüfung: $\dfrac{r_U}{r_I} = \dfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2$, also $r_U = 2 \cdot r_I$.

Lösung 7: Prüfung auf rechten Winkel mit Pythagoras: $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$. Also rechtwinklig mit Hypotenuse $c = 13$.

$$r_U = \dfrac{c}{2} = \dfrac{13}{2} = 6{,}5 \, \text{cm}$$

Fläche: $A = \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30 \, \text{cm}^2$. Halber Umfang: $s = 15 \, \text{cm}$.

$$r_I = \dfrac{A}{s} = \dfrac{30}{15} = 2 \, \text{cm}$$

Lösung 8: Der Umkreismittelpunkt liegt ausserhalb des Dreiecks. Begründung: Bei jedem Winkel grösser als $90°$ liegt $U$ auf der gegenüberliegenden Seite dieses Winkels, also ausserhalb des Dreiecks. Da $\gamma = 120° > 90°$, liegt $U$ ausserhalb, und zwar auf der anderen Seite der Strecke $\overline{AB}$.

Lösung 9: Halber Umfang:

$$s = \dfrac{9 + 10 + 17}{2} = 18$$

Heron-Formel für die Fläche:

$$A = \sqrt{18 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 1} = \sqrt{1296} = 36$$

Inkreisradius:

$$r_I = \dfrac{A}{s} = \dfrac{36}{18} = 2$$

Umkreisradius:

$$r_U = \dfrac{abc}{4A} = \dfrac{9 \cdot 10 \cdot 17}{4 \cdot 36} = \dfrac{1530}{144} \approx 10{,}63$$

Lösung 10: Prüfung auf rechten Winkel: $7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$. Das Mosaik ist rechtwinklig.

Umkreisradius (halbe Hypotenuse):

$$r_U = \dfrac{25}{2} = 12{,}5 \, \text{m}$$

Fläche: $A = \dfrac{1}{2} \cdot 7 \cdot 24 = 84 \, \text{m}^2$. Halber Umfang: $s = \dfrac{7 + 24 + 25}{2} = 28 \, \text{m}$.

$$r_I = \dfrac{A}{s} = \dfrac{84}{28} = 3 \, \text{m}$$

Der Umkreis hat Radius $12{,}5 \, \text{m}$, der Inkreis Radius $3 \, \text{m}$.

Verwandte Themen

• Die Winkelhalbierende verstehen und konstruieren
• Der Satz des Thales – Rechte Winkel im Halbkreis
• Senkrechte zu einer Geraden konstruieren

Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport