Statistische Kennwerte (Lage- und Streumasse)

Weiterführend:

• Vorwissen: Häufigkeiten & Tabellen
• Daten visualisieren (Diagramme)
• Als Nächstes: Komplexe Analysen & Zusammenhänge
• Statistik kritisch hinterfragen

Darum geht's

Statistik verdichtet viele Zahlen zu wenigen aussagekräftigen Kennwerten. Stell dir vor, deine Klasse hat eine Mathe-Arbeit geschrieben. Vor dir liegen 25 Noten. Niemand möchte alle einzeln vorlesen. Du willst wissen: Wie gut war die Klasse im Schnitt? Wie stark streuen die Leistungen? Genau hier helfen dir Lage- und Streumasse. Lagemasse wie Mittelwert, Median und Modus zeigen das Zentrum der Daten. Streumasse wie Spannweite, Quartilsabstand und Standardabweichung messen die Verteilung. In diesem Artikel lernst du alle wichtigen Kennwerte kennen. Du erfährst, wann welches Mass sinnvoll ist und wie du sie korrekt berechnest.

📋Lehrplan 21Zyklus 2 (3.–6. Klasse), Zyklus 3 (7.–9. Klasse) · 5Kompetenzen

• MA.3.A.1.kGrundanspruchBegriffe absolute und relative Häufigkeit, x-Koordinate, y-Koordinate, x-Achse, y-Achse, Einheitsstrecke, Wahrscheinlichkeit; Masseinheiten Geschwindigkeit (km/h, m/s, kB/s, dpi)
• MA.3.A.1.jBegriffe Koordinatensystem, Währung, arithmetisches Mittel (Erw: indirekte Proportionalität); Masseinheiten Flächenmasse (km², ha, a, m², dm², cm², mm²), Geld (CHF, €, $)
• MA.3.C.1.fDatensätze nach Kriterien auswerten; Mittelwert, Maximum und Minimum bestimmen
• MA.3.C.1.jBeziehungen zwischen Grössen datengestützt herstellen; soziale, wirtschaftliche und ökologische Fragestellungen bearbeiten
• MA.3.C.2.hWertetabellen, Diagramme, Sachtexte, Terme und Graphen einander zuordnen und interpretieren; Sachsituationen nach funktionalen, statistischen und probabilistischen Gesichtspunkten bearbeiten

Quelle: Aargauer Lehrplan Volksschule, Fachbereich Mathematik (August 2022)

Eine kleine Zeitreise

Die Idee, viele Zahlen zu einem einzigen Wert zusammenzufassen, ist alt. Schon im 4. Jahrhundert vor Christus berichtete der griechische Historiker Thukydides vom Mittelwert. Er schrieb, dass Soldaten die Höhe einer Mauer schätzten. Der häufigste Wert wurde als Grundlage für den Mauerbau genutzt. Das war der Modus in der Praxis.

Einen gewaltigen Sprung machte die Statistik im 17. Jahrhundert. John Graunt analysierte 1662 in London die Sterblichkeitsraten. Er legte damit den Grundstein für die moderne Demografie. Wenig später erfand Blaise Pascal zusammen mit Pierre de Fermat die Wahrscheinlichkeitsrechnung. Beide Bereiche gehören heute untrennbar zusammen.

Der wahre Durchbruch kam mit Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Gauss untersuchte Messfehler in der Astronomie. Er entwickelte die Methode der kleinsten Quadrate. Aus dieser entstand später die Formel für die Standardabweichung. Sein Name ist bis heute mit der berühmten Glockenkurve verbunden. Sie steht sogar auf dem alten deutschen 10-DM-Schein.

Adolphe Quetelet (1796-1874) prägte den Begriff des «durchschnittlichen Menschen». Er wandte statistische Methoden auf Körpergrössen, Gewichte und Kriminalitätsraten an. Damit wurde die Statistik zu einer Gesellschaftswissenschaft. Kritiker warfen ihm vor, einzelne Menschen zu Zahlen zu machen.

Im 20. Jahrhundert revolutionierte Ronald Fisher die Statistik weiter. Er entwickelte die Varianzanalyse. John Tukey erfand 1977 den Boxplot. Diese Grafik zeigt Quartile und Ausreisser auf einen Blick. Bis heute ist sie das Standardwerkzeug in der explorativen Datenanalyse.

Heute nutzen wir Kennwerte überall. Streamingdienste werten Nutzerdaten aus. Klimaforscher analysieren Temperaturreihen. Ärzte vergleichen Therapien. Ohne Lage- und Streumasse gäbe es keine moderne Wissenschaft. Auch dein Notendurchschnitt ist direktes Erbe dieser jahrhundertelangen Entwicklung.

Die Grundlagen

Um Daten sinnvoll zusammenzufassen, brauchst du zwei Arten von Kennwerten. Lagemasse beantworten die Frage nach dem Zentrum. Wo liegt die «Mitte» der Daten? Streumasse beantworten die Frage nach der Verteilung. Wie stark weichen die Werte voneinander ab?

Definition

Ein Lagemass beschreibt einen typischen oder zentralen Wert einer Datenreihe. Die wichtigsten Lagemasse sind:

• Arithmetisches Mittel ($\bar{x}$): Summe aller Werte geteilt durch die Anzahl.
• Median ($\tilde{x}$): Der mittlere Wert nach der Sortierung.
• Modus ($x_{\text{mod}}$): Der Wert mit der höchsten Häufigkeit.

Definition

Ein Streumass beschreibt, wie stark die Werte einer Datenreihe voneinander abweichen. Die wichtigsten Streumasse sind:

• Spannweite ($R$): Differenz zwischen grösstem und kleinstem Wert.
• Quartilsabstand ($\text{IQR}$): Differenz zwischen drittem und erstem Quartil.
• Standardabweichung ($s$): Durchschnittliche Abweichung vom Mittelwert.

Ein einzelnes Lagemass reicht oft nicht aus. Zwei Datenreihen können denselben Mittelwert haben, aber völlig unterschiedliche Streuungen. Klasse A schreibt die Noten $4, 4, 4, 4, 4$. Klasse B schreibt $2, 3, 4, 5, 6$. Beide Klassen haben den Mittelwert $4$. Die erste Klasse ist homogen. Die zweite Klasse ist extrem heterogen. Deshalb gibst du bei einer seriösen Analyse immer beides an: ein Lage- und ein Streumass.

Die Kernmethode

Die Berechnung der Kennwerte folgt klaren Formeln. Du lernst sie hier Schritt für Schritt.

Definition

Für $n$ Werte $x_1, x_2, \ldots, x_n$ gilt:

$\bar{x} = \dfrac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} = \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$

Das arithmetische Mittel wird auch Mittelwert oder Durchschnitt genannt.

Definition

Sortiere die Werte aufsteigend: $x_{(1)} \le x_{(2)} \le \ldots \le x_{(n)}$.

• Bei ungeradem $n$: Der Median ist der mittlere Wert: $\tilde{x} = x_{\left(\frac{n+1}{2}\right)}$.
• Bei geradem $n$: Der Median ist das Mittel der beiden mittleren Werte: $\tilde{x} = \dfrac{x_{\left(\frac{n}{2}\right)} + x_{\left(\frac{n}{2}+1\right)}}{2}$.

Der Modus ist der einfachste Kennwert. Du suchst einfach den Wert, der am häufigsten vorkommt. Eine Datenreihe kann auch mehrere Modi haben. Dann nennt man sie bimodal oder multimodal.

Definition

Die Quartile teilen die sortierten Daten in vier gleich grosse Teile.

• $Q_1$ (erstes Quartil): 25 % der Werte liegen darunter.
• $Q_2$ (zweites Quartil): identisch mit dem Median.
• $Q_3$ (drittes Quartil): 75 % der Werte liegen darunter.

Der Quartilsabstand ist $\text{IQR} = Q_3 - Q_1$.

Für die Spannweite brauchst du nur Maximum und Minimum: $R = x_{\max} - x_{\min}$. Die Standardabweichung ist anspruchsvoller. Du lernst sie in der Vertiefung.

Beispiel:

Beispiel 1: Einstieg mit Klassenarbeit

In einer Mathearbeit wurden folgende Noten geschrieben: $3, 5, 4, 6, 2, 4, 5, 4, 3, 4$

Bestimme Mittelwert, Median und Modus.

Lösung:

Die Anzahl ist $n = 10$.

Für den Mittelwert addierst du zuerst alle Werte: $3 + 5 + 4 + 6 + 2 + 4 + 5 + 4 + 3 + 4 = 40$

Dann teilst du durch $10$: $\bar{x} = \dfrac{40}{10} = 4{,}0$

Für den Median sortierst du die Werte: $2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 6$

Bei geradem $n = 10$ bildest du das Mittel aus dem 5. und 6. Wert. Beide sind $4$. Also ist $\tilde{x} = 4$.

Für den Modus zählst du die Häufigkeiten. Die Note $4$ erscheint viermal. Alle anderen weniger. Daher ist $x_{\text{mod}} = 4$.

In diesem Fall stimmen alle drei Lagemasse überein. Das ist ein Zeichen für eine sehr symmetrische Verteilung.

Beispiel:

Beispiel 2: Wenn Lagemasse auseinandergehen

Eine kleine Firma hat sechs Mitarbeiter mit folgenden Monatslöhnen in Franken: $4200, 4500, 4600, 4800, 5000, 18000$

Berechne Mittelwert und Median. Vergleiche die Aussagekraft.

Lösung:

Für den Mittelwert summierst du alle Löhne: $4200 + 4500 + 4600 + 4800 + 5000 + 18000 = 41100$

Der Mittelwert ist: $\bar{x} = \dfrac{41100}{6} = 6850 \text{ CHF}$

Die Löhne sind bereits sortiert. Bei $n = 6$ brauchst du den 3. und 4. Wert: $\tilde{x} = \dfrac{4600 + 4800}{2} = 4700 \text{ CHF}$

Der Mittelwert von $6850$ CHF ist deutlich höher als der Median von $4700$ CHF. Nur eine Person verdient mehr als $6850$ CHF. Der hohe Chefgehalt von $18000$ zieht den Mittelwert stark nach oben. Der Median bleibt davon unbeeinflusst. Er ist robust gegenüber Ausreissern. Bei Einkommensdaten gibt man deshalb fast immer den Median an.

Die häufigsten Stolpersteine

Bei Kennwerten passieren regelmässig dieselben Fehler. Hier sind die wichtigsten Fallen.

Achtung

Median immer zuerst sortieren: Schülerinnen und Schüler nehmen oft einfach den mittleren Wert in der gegebenen Reihenfolge. Das ist falsch. Sortiere die Daten immer zuerst aufsteigend. Erst dann kannst du den Median bestimmen.

Achtung

Modus ist nicht die Häufigkeit: Der Modus ist der Wert, der am häufigsten vorkommt. Nicht die Anzahl, wie oft er auftritt. Bei $2, 3, 3, 3, 5$ ist der Modus $3$, nicht $3$-mal oder die Häufigkeit $3$.

Achtung

Bei geradem $n$ Mittelwert der beiden mittleren Werte: Wenn du bei 10 sortierten Werten einfach den 5. oder 6. Wert nimmst, ist das falsch. Du musst das arithmetische Mittel der beiden bilden. Nur bei ungerader Anzahl gibt es einen eindeutigen mittleren Wert.

Achtung

Mittelwert ist anfällig für Ausreisser: Ein einziger extremer Wert kann den Mittelwert stark verzerren. Prüfe deshalb immer, ob Ausreisser vorhanden sind. Bei schiefen Verteilungen ist der Median meist aussagekräftiger.

Beispiel:

Beispiel 3: Median bei ungerader Anzahl

Sieben Velofahrer haben folgende Zeiten (in Sekunden) für eine 200-Meter-Strecke: $25, 30, 28, 35, 27, 26, 40$

Bestimme Median, Spannweite und arithmetisches Mittel.

Lösung:

Zuerst sortierst du aufsteigend: $25, 26, 27, 28, 30, 35, 40$

Die Anzahl ist $n = 7$, also ungerade. Der Median ist der $\left(\frac{7+1}{2}\right) = 4$. Wert: $\tilde{x} = 28 \text{ s}$

Die Spannweite ergibt sich aus Maximum minus Minimum: $R = 40 - 25 = 15 \text{ s}$

Für den Mittelwert summierst du alle Werte: $25 + 26 + 27 + 28 + 30 + 35 + 40 = 211$

Damit gilt: $\bar{x} = \dfrac{211}{7} \approx 30{,}14 \text{ s}$

Der Mittelwert liegt über dem Median. Das liegt am Ausreisser von 40 Sekunden. Dieser langsame Fahrer zieht den Durchschnitt nach oben.

Beispiel:

Beispiel 4: Quartile bestimmen

In einem Fitnesstest haben 12 Jugendliche folgende Anzahl Liegestütze geschafft: $12, 15, 18, 20, 22, 25, 25, 27, 30, 32, 35, 40$

Bestimme die drei Quartile und den Quartilsabstand.

Lösung:

Die Daten sind bereits sortiert. Die Anzahl ist $n = 12$.

Der Median (= $Q_2$) liegt zwischen dem 6. und 7. Wert: $Q_2 = \dfrac{25 + 25}{2} = 25$

Für $Q_1$ betrachtest du die untere Hälfte: $12, 15, 18, 20, 22, 25$. Der Median dieser sechs Werte liegt zwischen dem 3. und 4. Wert: $Q_1 = \dfrac{18 + 20}{2} = 19$

Für $Q_3$ betrachtest du die obere Hälfte: $25, 27, 30, 32, 35, 40$. Der Median dieser sechs Werte: $Q_3 = \dfrac{30 + 32}{2} = 31$

Der Quartilsabstand ist: $\text{IQR} = Q_3 - Q_1 = 31 - 19 = 12$

Die mittleren 50 Prozent der Jugendlichen schaffen zwischen 19 und 31 Liegestütze.

Vertiefung

Die Standardabweichung ist das wichtigste Streumass. Sie misst die durchschnittliche Abweichung der Daten vom Mittelwert. Ihre Berechnung ist etwas aufwendiger, aber sehr lohnend. In fast jeder Statistik-Auswertung taucht sie auf.

Definition

Die Varianz einer Stichprobe ist:

$s^2 = \dfrac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$

Die Standardabweichung ist die Wurzel der Varianz:

$s = \sqrt{\dfrac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}$

Die Division durch $n-1$ statt $n$ nennt man Bessel-Korrektur. Sie sorgt für eine unverzerrte Schätzung.

Die Berechnung erfolgt in klaren Schritten. Zuerst berechnest du den Mittelwert $\bar{x}$. Dann bildest du für jeden Wert die Abweichung $x_i - \bar{x}$. Diese Abweichungen quadrierst du. Quadrieren ist wichtig, weil sich positive und negative Abweichungen sonst aufheben würden. Schliesslich bildest du den Durchschnitt der quadrierten Abweichungen und ziehst die Wurzel.

Der Boxplot visualisiert viele dieser Kennwerte auf einen Blick. Er zeigt Minimum, $Q_1$, Median, $Q_3$ und Maximum. Die «Box» reicht von $Q_1$ bis $Q_3$ und enthält die mittleren 50 Prozent der Daten. Die «Whisker» (Antennen) reichen bis zu den Extremwerten oder bis zu $1{,}5 \cdot \text{IQR}$ jenseits der Box. Punkte ausserhalb gelten als Ausreisser.

Die Standardabweichung hat dieselbe Einheit wie die Daten. Das macht sie gut interpretierbar. Wenn Körpergrössen in cm angegeben sind, ist auch $s$ in cm. Bei normalverteilten Daten liegen etwa 68 Prozent aller Werte innerhalb von $\bar{x} \pm s$. Diese Regel ist für viele Anwendungen in der Qualitätskontrolle wichtig.

Beispiel:

Beispiel 5: Standardabweichung berechnen

Fünf Messungen einer Länge ergaben: $10{,}2 \text{ cm}, 9{,}8 \text{ cm}, 10{,}0 \text{ cm}, 10{,}4 \text{ cm}, 9{,}6 \text{ cm}$. Berechne die Standardabweichung.

Lösung:

Schritt 1: Mittelwert berechnen. $\bar{x} = \dfrac{10{,}2 + 9{,}8 + 10{,}0 + 10{,}4 + 9{,}6}{5} = \dfrac{50{,}0}{5} = 10{,}0 \text{ cm}$

Schritt 2: Abweichungen und Quadrate.

$x_i$	$x_i - \bar{x}$	$(x_i - \bar{x})^2$
10,2	0,2	0,04
9,8	-0,2	0,04
10,0	0,0	0,00
10,4	0,4	0,16
9,6	-0,4	0,16

Schritt 3: Summe der Quadrate. $\sum (x_i - \bar{x})^2 = 0{,}04 + 0{,}04 + 0{,}00 + 0{,}16 + 0{,}16 = 0{,}40$

Schritt 4: Varianz und Standardabweichung. $s^2 = \dfrac{0{,}40}{5-1} = 0{,}10 \quad \Rightarrow \quad s = \sqrt{0{,}10} \approx 0{,}316 \text{ cm}$

Die Messungen streuen durchschnittlich um etwa $0{,}32$ cm vom Mittelwert.

Übungen

Bearbeite die folgenden zehn Aufgaben. Die Lösungen findest du weiter unten.

Aufgabe 1: Berechne den Mittelwert der Zahlen $7, 9, 4, 6, 3, 8$.

Aufgabe 2: Bestimme den Median der Datenreihe $5, 2, 8, 3, 7, 4, 9$.

Aufgabe 3: Welche Zahl ist der Modus von $2, 5, 5, 3, 5, 7, 8, 2, 5$?

Aufgabe 4: Bestimme die Spannweite von $12, 18, 25, 9, 30, 15, 22$.

Aufgabe 5: Eine Klasse hat die Noten $2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6$. Berechne Mittelwert und Median. Welches Mass beschreibt die Klasse besser?

Aufgabe 6: Berechne die Quartile $Q_1$ und $Q_3$ sowie den Quartilsabstand von $4, 7, 8, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 22$.

Aufgabe 7: Eine Wetterstation hat folgende Höchsttemperaturen (in °C) in einer Woche gemessen: $22, 25, 19, 27, 24, 26, 23$. Berechne Mittelwert, Median und Spannweite.

Aufgabe 8: Berechne die Standardabweichung der Werte $3, 5, 7, 9, 11$.

Aufgabe 9: In einem Betrieb arbeiten zehn Personen. Neun verdienen $5000$ CHF, eine verdient $50000$ CHF. Berechne Mittelwert und Median. Welches Mass ist hier irreführend?

Aufgabe 10: Gegeben sind zwei Datensätze: $A = (4, 5, 6, 5, 5)$ und $B = (1, 8, 5, 9, 2)$. Beide haben denselben Mittelwert $5$. Berechne die Standardabweichung beider Reihen. Welche streut stärker?

Das Wichtigste in Kürze

Statistische Kennwerte verdichten grosse Datenmengen zu wenigen aussagekräftigen Zahlen. Lagemasse beschreiben das Zentrum. Der Mittelwert $\bar{x}$ ist der bekannteste Lagewert, aber anfällig für Ausreisser. Der Median $\tilde{x}$ ist robust und eignet sich besser bei schiefen Verteilungen. Der Modus ist der häufigste Wert. Streumasse zeigen die Verteilung. Die Spannweite misst den Gesamtbereich. Der Quartilsabstand umfasst die mittleren 50 Prozent. Die Standardabweichung $s$ gibt die durchschnittliche Abweichung vom Mittelwert an. Jede seriöse statistische Auswertung kombiniert ein Lage- und ein Streumass. Denke immer daran: Dieselben Mittelwerte können völlig verschiedene Verteilungen beschreiben.

❓ Frage:

Was ist der Median der Zahlen $3, 1, 4, 1, 5, 9, 2$? a) 4 b) 3 c) 1 d) 5

Lösung anzeigen

Antwort: b) 3. Sortiert: $1, 1, 2, 3, 4, 5, 9$. Bei $n=7$ ist der 4. Wert der Median, also $3$.

❓ Frage:

Welches Lagemass ist am robustesten gegenüber Ausreissern? a) Arithmetisches Mittel b) Median c) Modus d) Spannweite

Lösung anzeigen

Antwort: b) Median. Der Median bleibt von extremen Werten unbeeinflusst, weil er nur die Position der Werte berücksichtigt. Der Mittelwert reagiert stark auf Ausreisser.

❓ Frage:

Zwei Klassen haben denselben Notendurchschnitt von $4{,}0$. Klasse A: $4, 4, 4, 4, 4$. Klasse B: $2, 3, 4, 5, 6$. Was gilt? a) Beide Klassen sind identisch. b) Klasse A hat eine grössere Standardabweichung. c) Klasse B hat eine grössere Standardabweichung. d) Die Standardabweichung ist in beiden Klassen gleich.

Lösung anzeigen

Antwort: c) Klasse B hat eine grössere Standardabweichung. Klasse A streut überhaupt nicht ($s = 0$). Klasse B hat deutliche Abweichungen vom Mittel, also eine positive Standardabweichung.

❓ Frage:

Was gibt die Spannweite an? a) Die Differenz zwischen grösstem und kleinstem Wert. b) Die durchschnittliche Abweichung vom Mittelwert. c) Den mittleren Wert der Daten. d) Den am häufigsten vorkommenden Wert.

Lösung anzeigen

Antwort: a) Die Differenz zwischen grösstem und kleinstem Wert. Formel: $R = x_{\max} - x_{\min}$.

❓ Frage:

Für die Datenreihe $10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80$ (8 Werte) gilt: a) Der Median ist 40. b) Der Median ist 45. c) Der Median ist 50. d) Es gibt keinen Median.

Lösung anzeigen

Antwort: b) Der Median ist 45. Bei $n=8$ bildest du das Mittel aus dem 4. und 5. Wert: $\dfrac{40+50}{2} = 45$.

Ausblick

Jetzt kennst du die wichtigsten Lage- und Streumasse. Im nächsten Schritt lernst du, wie du diese Kennwerte grafisch darstellst. Ein Boxplot visualisiert Quartile und Ausreisser auf einen Blick. Ein Histogramm zeigt die gesamte Verteilungsform. In fortgeschrittenen Themen untersuchst du Zusammenhänge zwischen zwei Variablen. Dort triffst du auf Korrelation und Regression. Auch die beurteilende Statistik baut auf Kennwerten auf. Mittelwert und Standardabweichung sind die Grundlage für Konfidenzintervalle und Hypothesentests. Damit wirst du in der Lage sein, wissenschaftliche Studien kritisch zu bewerten.

Lösungen

Lösung 1: $\bar{x} = \dfrac{7+9+4+6+3+8}{6} = \dfrac{37}{6} \approx 6{,}17$

Lösung 2: Sortiert: $2, 3, 4, 5, 7, 8, 9$. Bei $n=7$ ist der 4. Wert der Median. Also $\tilde{x} = 5$.

Lösung 3: Die Zahl $5$ kommt viermal vor. Alle anderen Zahlen kommen seltener vor. Also ist $x_{\text{mod}} = 5$.

Lösung 4: Maximum: $30$. Minimum: $9$. Spannweite: $R = 30 - 9 = 21$.

Lösung 5: Summe: $2+3+3+4+4+4+5+5+6 = 36$. Also $\bar{x} = \dfrac{36}{9} = 4{,}0$. Sortiert sind die Noten bereits. Bei $n=9$ ist der 5. Wert der Median: $\tilde{x} = 4$. In diesem Fall sind Mittelwert und Median identisch. Die Verteilung ist symmetrisch. Beide Masse beschreiben die Klasse gleich gut.

Lösung 6: Die Daten sind sortiert. Bei $n=10$ ist der Median das Mittel aus dem 5. und 6. Wert: $Q_2 = \dfrac{12+14}{2} = 13$. Untere Hälfte: $4, 7, 8, 10, 12$. Median davon: $Q_1 = 8$. Obere Hälfte: $14, 15, 18, 20, 22$. Median davon: $Q_3 = 18$. Quartilsabstand: $\text{IQR} = 18 - 8 = 10$.

Lösung 7: Summe: $22+25+19+27+24+26+23 = 166$. Mittelwert: $\bar{x} = \dfrac{166}{7} \approx 23{,}71$ °C. Sortiert: $19, 22, 23, 24, 25, 26, 27$. Median: $\tilde{x} = 24$ °C. Spannweite: $R = 27 - 19 = 8$ °C.

Lösung 8: Mittelwert: $\bar{x} = \dfrac{3+5+7+9+11}{5} = \dfrac{35}{5} = 7$. Abweichungen: $-4, -2, 0, 2, 4$. Quadrate: $16, 4, 0, 4, 16$. Summe: $40$. Varianz: $s^2 = \dfrac{40}{5-1} = 10$. Standardabweichung: $s = \sqrt{10} \approx 3{,}16$.

Lösung 9: Summe: $9 \cdot 5000 + 50000 = 95000$. Mittelwert: $\bar{x} = \dfrac{95000}{10} = 9500$ CHF. Sortiert sind die Löhne: $5000, 5000, 5000, 5000, 5000, 5000, 5000, 5000, 5000, 50000$. Median (5. und 6. Wert): $\tilde{x} = 5000$ CHF. Der Mittelwert von $9500$ CHF ist hier irreführend. Niemand verdient tatsächlich diesen Betrag. Der Median von $5000$ CHF beschreibt die typische Person viel besser. Dieses Beispiel zeigt, warum bei Einkommensdaten meist der Median angegeben wird.

Lösung 10: Beide Reihen haben Mittelwert $5$.

Datensatz A: Abweichungen $-1, 0, 1, 0, 0$. Quadrate: $1, 0, 1, 0, 0$. Summe: $2$. Varianz: $s_A^2 = \dfrac{2}{4} = 0{,}5$. Standardabweichung: $s_A \approx 0{,}71$.

Datensatz B: Abweichungen $-4, 3, 0, 4, -3$. Quadrate: $16, 9, 0, 16, 9$. Summe: $50$. Varianz: $s_B^2 = \dfrac{50}{4} = 12{,}5$. Standardabweichung: $s_B \approx 3{,}54$.

Datensatz B streut deutlich stärker. Dies zeigt, dass der Mittelwert allein keine vollständige Information über die Daten gibt. Erst die Standardabweichung ergänzt das Bild.

Verwandte Themen

• Daten visualisieren (Diagramme)
• Komplexe Analysen & Zusammenhänge
• Häufigkeiten & Tabellen

Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport