Baumdiagramme und Pfadregeln: mehrstufige Zufallsexperimente

Darum geht's

Am Schulfest steht ein Glücksrad mit vier gleich grossen Feldern: zwei gelbe, ein rotes und ein blaues. Du darfst zweimal drehen und gewinnst einen Preis, wenn mindestens einmal Rot kommt. Wie gross ist deine Gewinnchance? Vielleicht rechnest du spontan: $\frac{1}{4}$ für die erste Drehung plus $\frac{1}{4}$ für die zweite, also $\frac{1}{2}$. Das klingt logisch, ist aber zu viel. Sobald ein Zufallsexperiment aus mehreren Schritten besteht, brauchst du ein Werkzeug, das alle Möglichkeiten sauber ordnet: das Baumdiagramm. Zusammen mit zwei einfachen Regeln, den Pfadregeln, berechnest du damit solche Wahrscheinlichkeiten sicher. Die richtige Gewinnchance am Schulfest findest du weiter unten in den Beispielen.

Vom Zufallsexperiment zum Baumdiagramm

Viele Zufallsexperimente laufen in mehreren Schritten ab: Du würfelst zweimal, wirfst dreimal eine Münze oder ziehst nacheinander zwei Kugeln aus einer Schachtel. Jeder einzelne Schritt ist selbst ein Zufallsexperiment. Zusammen bilden sie ein mehrstufiges Zufallsexperiment. Jeder Schritt heisst Stufe: Beim zweimaligen Würfeln hast du zwei Stufen, beim dreimaligen Münzwurf drei.

Nimm ein einfaches Beispiel: Du wirfst zuerst eine Münze und drehst danach ein Glücksrad mit drei gleich grossen Feldern (Rot, Gelb, Blau). Das Baumdiagramm beginnt mit einem Startpunkt. Von dort gehen zwei Äste ab, einer für Kopf und einer für Zahl. Von jedem dieser beiden Punkte gehen drei Äste ab, je einer für jede Farbe. Jeder Weg vom Start bis ganz nach rechts ist ein Pfad und beschreibt ein vollständiges Ergebnis:

• Start → Kopf → Rot
• Start → Kopf → Gelb
• Start → Kopf → Blau
• Start → Zahl → Rot
• Start → Zahl → Gelb
• Start → Zahl → Blau

Es gibt also 6 Pfade. Weil hier auf der zweiten Stufe an jedem Punkt gleich viele Äste abgehen, kannst du auch rechnen: $2 \cdot 3 = 6$.

Achtung

Achtung beim Abzählen: Das Multiplizieren der Anzahlen klappt nur, wenn auf jeder Stufe an allen Punkten gleich viele Äste abgehen. Ein Gegenbeispiel: Du wirfst eine Münze. Nur wenn Kopf kommt, darfst du ein zweites Mal werfen. Dann gibt es die Pfade “Zahl” (danach ist Schluss), “Kopf → Kopf” und “Kopf → Zahl”. Das sind 3 Pfade und nicht $2 \cdot 2 = 4$. Am sichersten zählst du die Pfade direkt im Baumdiagramm.

Definition

Ein mehrstufiges Zufallsexperiment besteht aus mehreren nacheinander ausgeführten Zufallsexperimenten. Jedes davon heisst Stufe. Ein Pfad im Baumdiagramm führt vom Startpunkt bis zu einem Endpunkt und beschreibt eine vollständige Abfolge von Ergebnissen.

Was ist ein Baumdiagramm?

Ein Baumdiagramm ist eine grafische Darstellung aller möglichen Ergebnisse eines mehrstufigen Zufallsexperiments. Es sieht aus wie ein Baum, der auf der Seite liegt, und verzweigt sich von links nach rechts. Es besteht aus diesen Elementen:

Knoten: Die Verzweigungspunkte. Der erste Knoten ist der Startpunkt.

Äste: Die Verbindungslinien zwischen den Knoten. An jedem Ast steht die Wahrscheinlichkeit für dieses Teilergebnis.

Pfade: Ein Pfad ist ein ganzer Weg vom Startpunkt bis zu einem Endpunkt, also mehrere Äste hintereinander.

Endpunkte: Die Enden der Pfade. Hier steht das vollständige Ergebnis der Versuchsreihe.

Definition

Ein Baumdiagramm stellt alle möglichen Ausgänge eines mehrstufigen Zufallsexperiments übersichtlich dar. Jeder Ast entspricht einem Teilergebnis mit seiner Wahrscheinlichkeit. Ein vollständiger Pfad vom Startpunkt bis zu einem Endpunkt beschreibt ein Gesamtergebnis.

Die zwei Pfadregeln

Um Wahrscheinlichkeiten aus einem Baumdiagramm zu berechnen, brauchst du nur zwei Regeln: die 1. Pfadregel und die 2. Pfadregel. Sie sind das Herzstück der Arbeit mit Baumdiagrammen.

Die 1. Pfadregel (Multiplikationsregel)

Wenn du die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Gesamtergebnis wissen willst, gehst du den entsprechenden Pfad entlang. Du multiplizierst alle Wahrscheinlichkeiten der Äste auf diesem Pfad miteinander.

$$P(\text{Pfad}) = P(\text{1. Ast}) \cdot P(\text{2. Ast}) \cdot P(\text{3. Ast}) \cdot \ldots$$

Warum wird multipliziert? Eine Schachtel enthält 2 rote und 3 blaue Kugeln. Du ziehst nacheinander zwei Kugeln, ohne die erste zurückzulegen, und wiederholst das 100-mal. Die erste Kugel ist in ungefähr $\frac{2}{5}$ der Durchgänge rot, also in ungefähr 40 Durchgängen. Nachdem eine rote Kugel gezogen wurde, liegen noch 1 rote und 3 blaue Kugeln in der Schachtel. Darum ist nur in ungefähr einem Viertel dieser 40 Durchgänge auch die zweite Kugel rot, also in ungefähr 10 Durchgängen. 10 von 100 Durchgängen sind $\frac{1}{10}$, und genau das liefert die 1. Pfadregel:

$$\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$$

Du nimmst also einen Anteil von einem Anteil. Entscheidend ist, welche Zahl an einem Ast der zweiten Stufe steht: Es ist die Wahrscheinlichkeit, die gilt, nachdem das Ergebnis der ersten Stufe eingetreten ist, hier “nachdem eine rote Kugel gezogen wurde”. Deshalb funktioniert die 1. Pfadregel mit und ohne Zurücklegen:

• Mit Zurücklegen (und bei Münze, Würfel oder Glücksrad) hängt die zweite Stufe nicht von der ersten ab. An den Ästen stehen auf jeder Stufe dieselben Wahrscheinlichkeiten.
• Ohne Zurücklegen verändert der erste Zug den Inhalt der Schachtel. An den Ästen der zweiten Stufe stehen dann die neuen Wahrscheinlichkeiten, je nachdem, was vorher gezogen wurde.

Die 2. Pfadregel (Additionsregel)

Manchmal interessiert dich nicht ein einzelnes Ergebnis, sondern mehrere. Zum Beispiel: “Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens einmal Kopf zu werfen?” In diesem Fall addierst du die Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die zu diesem Ereignis gehören.

$$P(\text{Ereignis}) = P(\text{Pfad 1}) + P(\text{Pfad 2}) + P(\text{Pfad 3}) + \ldots$$

Das Addieren ist erlaubt, weil sich verschiedene Pfade gegenseitig ausschliessen: Bei jedem Durchgang läufst du genau einen Pfad entlang. Die 2. Pfadregel ist also ein Spezialfall der Summenregel für unvereinbare Ereignisse. Damit die beiden nicht verwechselt werden, sprechen wir beim Baumdiagramm von der 2. Pfadregel.

Definition

1. Pfadregel (Multiplikation): Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ist das Produkt aller Astwahrscheinlichkeiten entlang dieses Pfades. An jedem Ast steht die Wahrscheinlichkeit, die nach den Ergebnissen der vorherigen Stufen gilt.

2. Pfadregel (Addition): Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die zu diesem Ereignis führen.

So zeichnest du ein Baumdiagramm: Schritt für Schritt

Hier ist dein Kochrezept für perfekte Baumdiagramme:

1. Identifiziere die Stufen: Wie viele Zufallsexperimente finden nacheinander statt? Jedes Experiment bildet eine Stufe.

2. Bestimme die Ausgänge pro Stufe: Welche Ergebnisse sind bei jedem Experiment möglich?

3. Zeichne den Baum: Beginne links mit einem Startpunkt. Zeichne für jeden möglichen Ausgang der ersten Stufe einen Ast nach rechts. Wiederhole das für jede weitere Stufe.

4. Beschrifte die Äste: Schreibe an jeden Ast die zugehörige Wahrscheinlichkeit. Ab der zweiten Stufe ist das die Wahrscheinlichkeit, die nach dem vorherigen Ergebnis gilt.

5. Kontrolliere jede Verzweigung: Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten an einer Verzweigung muss immer $1$ ergeben.

6. Berechne die Pfadwahrscheinlichkeiten: Multipliziere die Wahrscheinlichkeiten entlang jedes Pfades (1. Pfadregel).

7. Fasse Pfade zusammen: Gehören mehrere Pfade zum gesuchten Ereignis, addierst du ihre Wahrscheinlichkeiten (2. Pfadregel).

8. Finale Kontrolle: Die Summe aller Pfadwahrscheinlichkeiten muss $1$ ergeben.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Achtung

Fehler 1: Addition statt Multiplikation auf dem Pfad

Viele Schüler addieren die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades. Das ist falsch! Entlang eines Pfades wird immer multipliziert. Die Addition verwendest du nur, wenn du mehrere Pfade zusammenfasst.

Fehler 2: Wahrscheinlichkeiten summieren sich nicht zu 1

An jeder Verzweigung müssen alle abgehenden Äste zusammen die Wahrscheinlichkeit $1$ ergeben. Prüfe das bei jeder Verzweigung. Auch die Summe aller Endwahrscheinlichkeiten muss $1$ sein.

Fehler 3: Vergessene Pfade

Bei der Frage “Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens ein…” werden oft Pfade vergessen. Markiere alle relevanten Pfade im Diagramm, bevor du rechnest.

Fehler 4: Abhängige Ereignisse ignorieren

Beim Ziehen ohne Zurücklegen ändern sich die Wahrscheinlichkeiten von Stufe zu Stufe. Die Gesamtzahl der Objekte wird kleiner, und je nachdem, was gezogen wurde, auch die Anzahl einer Sorte. Die 1. Pfadregel gilt trotzdem: Du schreibst einfach die neuen Wahrscheinlichkeiten an die Äste der nächsten Stufe.

Beispiele

Beispiel 1: Zweimal Münze werfen

Du wirfst eine faire Münze zweimal. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, zweimal Kopf zu erhalten?

Schritt 1: Baumdiagramm aufstellen

Stufe 1 (1. Wurf): Kopf (K) oder Zahl (Z), jeweils mit $P = \frac{1}{2}$

Stufe 2 (2. Wurf): Wieder K oder Z, jeweils mit $P = \frac{1}{2}$

Die vier möglichen Pfade sind:

• K → K
• K → Z
• Z → K
• Z → Z

Schritt 2: Pfadwahrscheinlichkeit berechnen (1. Pfadregel)

Wir suchen den Pfad K → K.

$$P(\text{K, K}) = P(\text{K}) \cdot P(\text{K}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, zweimal Kopf zu werfen, beträgt $\frac{1}{4}$ oder $25\%$.

Beispiel 2: Mindestens einmal Kopf

Gleiche Situation: Du wirfst eine faire Münze zweimal. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens einmal Kopf zu erhalten?

Schritt 1: Relevante Pfade identifizieren

“Mindestens einmal Kopf” bedeutet: ein- oder zweimal Kopf. Das sind die Pfade:

• K → K (zweimal Kopf)
• K → Z (einmal Kopf)
• Z → K (einmal Kopf)

Der einzige Pfad, der nicht dazugehört, ist Z → Z.

Schritt 2: Pfadwahrscheinlichkeiten berechnen

$$P(\text{K, K}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$$$P(\text{K, Z}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$$$P(\text{Z, K}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$

Schritt 3: 2. Pfadregel anwenden

$$P(\text{mindestens einmal K}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit beträgt $\frac{3}{4}$ oder $75\%$.

Alternativ: Du kannst auch das Gegenereignis nutzen.

$$P(\text{mindestens einmal K}) = 1 - P(\text{kein K}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$

Beispiel 3: Glücksrad am Schulfest

Ein Glücksrad hat vier gleich grosse Felder: 2 gelbe, 1 rotes und 1 blaues Feld. Du darfst zweimal drehen und gewinnst einen Preis, wenn du mindestens einmal Rot triffst. Wie gross ist deine Gewinnchance?

Schritt 1: Wahrscheinlichkeiten festlegen

Für die Frage zählt nur, ob Rot kommt oder nicht. Deshalb genügen pro Stufe zwei Äste:

$$P(\text{Rot}) = \frac{1}{4}$$$$P(\text{nicht Rot}) = \frac{3}{4}$$

Das Rad “erinnert” sich nicht an die erste Drehung. Auf der zweiten Stufe stehen deshalb dieselben Wahrscheinlichkeiten.

Schritt 2: Gewinnpfade finden

“Mindestens einmal Rot” umfasst drei Pfade: Rot → Rot, Rot → nicht Rot und nicht Rot → Rot.

Schritt 3: Pfadwahrscheinlichkeiten berechnen (1. Pfadregel)

$$P(\text{Rot, Rot}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$$$$P(\text{Rot, nicht Rot}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{16}$$$$P(\text{nicht Rot, Rot}) = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{16}$$

Schritt 4: 2. Pfadregel anwenden

$$P(\text{Gewinn}) = \frac{1}{16} + \frac{3}{16} + \frac{3}{16} = \frac{7}{16}$$

Kürzer mit dem Gegenereignis: Das Gegenereignis zu “mindestens einmal Rot” ist “kein einziges Mal Rot”. Dazu gehört nur der Pfad nicht Rot → nicht Rot.

$$P(\text{kein Rot}) = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{16}$$$$P(\text{Gewinn}) = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$$

Antwort: Die Gewinnchance beträgt $\frac{7}{16} = 43{,}75\%$.

Warum nicht $\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$? In der Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{4}$ für “Rot bei der ersten Drehung” steckt der Pfad Rot → Rot schon drin, und in $\frac{1}{4}$ für “Rot bei der zweiten Drehung” noch einmal. Wer einfach addiert, zählt diesen Pfad doppelt: $\frac{8}{16} - \frac{1}{16} = \frac{7}{16}$.

Beispiel 4: Ziehen ohne Zurücklegen

In einer Schachtel liegen 3 rote und 2 blaue Kugeln. Du ziehst nacheinander zwei Kugeln, ohne die erste zurückzulegen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, zwei rote Kugeln zu ziehen?

Schritt 1: Wahrscheinlichkeiten für die erste Stufe

Insgesamt 5 Kugeln, davon 3 rote und 2 blaue.

$$P(\text{rot}_1) = \frac{3}{5}$$$$P(\text{blau}_1) = \frac{2}{5}$$

Schritt 2: Wahrscheinlichkeiten für die zweite Stufe

Hier wird es interessant! Die Wahrscheinlichkeiten hängen davon ab, was zuerst gezogen wurde. Die Schreibweise $P(\text{rot}_2 \mid \text{rot}_1)$ liest du so: Wahrscheinlichkeit, dass die 2. Kugel rot ist, nachdem die 1. Kugel rot war.

Falls die erste Kugel rot war:

• Es bleiben 4 Kugeln übrig, davon 2 rote und 2 blaue.

$$P(\text{rot}_2 \mid \text{rot}_1) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$$$P(\text{blau}_2 \mid \text{rot}_1) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

Falls die erste Kugel blau war:

• Es bleiben 4 Kugeln übrig, davon 3 rote und 1 blaue.

$$P(\text{rot}_2 \mid \text{blau}_1) = \frac{3}{4}$$$$P(\text{blau}_2 \mid \text{blau}_1) = \frac{1}{4}$$

Schritt 3: Pfadwahrscheinlichkeit berechnen (1. Pfadregel)

Wir suchen den Pfad rot → rot.

$$P(\text{rot, rot}) = P(\text{rot}_1) \cdot P(\text{rot}_2 \mid \text{rot}_1) = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{10}$$

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, zwei rote Kugeln zu ziehen, beträgt $\frac{3}{10}$ oder $30\%$.

Beispiel 5: Produktqualitätskontrolle

Eine Fabrik produziert Smartphones. Erfahrungsgemäss sind $5\%$ aller Geräte defekt. Ein Prüfer testet zwei zufällig ausgewählte Geräte. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau eines der beiden Geräte defekt ist?

Schritt 1: Wahrscheinlichkeiten festlegen

$$P(\text{defekt}) = 0{,}05$$$$P(\text{funktioniert}) = 0{,}95$$

Da die Produktion sehr gross ist, betrachten wir die Ziehungen als unabhängig.

Schritt 2: Relevante Pfade identifizieren

“Genau ein defektes Gerät” bedeutet:

• Pfad 1: defekt → funktioniert
• Pfad 2: funktioniert → defekt

Schritt 3: Pfadwahrscheinlichkeiten berechnen

$$P(\text{defekt, funktioniert}) = 0{,}05 \cdot 0{,}95 = 0{,}0475$$$$P(\text{funktioniert, defekt}) = 0{,}95 \cdot 0{,}05 = 0{,}0475$$

Schritt 4: 2. Pfadregel anwenden

$$P(\text{genau ein defektes}) = 0{,}0475 + 0{,}0475 = 0{,}095$$

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit beträgt $0{,}095$ oder $9{,}5\%$.

Beispiel 6: Dreistufiges Experiment

Ein Glücksrad hat drei gleich grosse Felder: Rot, Gelb und Blau. Du drehst das Rad dreimal. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass du genau zweimal Rot erhältst?

Schritt 1: Wahrscheinlichkeiten festlegen

$$P(\text{Rot}) = \frac{1}{3}$$$$P(\text{nicht Rot}) = \frac{2}{3}$$

Schritt 2: Relevante Pfade identifizieren

“Genau zweimal Rot” kann auf drei Arten eintreten:

• R → R → nicht R
• R → nicht R → R
• nicht R → R → R

Schritt 3: Pfadwahrscheinlichkeiten berechnen

$$P(\text{R, R, nicht R}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{27}$$$$P(\text{R, nicht R, R}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{27}$$$$P(\text{nicht R, R, R}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{27}$$

Schritt 4: 2. Pfadregel anwenden

$$P(\text{genau zweimal Rot}) = \frac{2}{27} + \frac{2}{27} + \frac{2}{27} = \frac{6}{27} = \frac{2}{9}$$

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit beträgt $\frac{2}{9}$ oder etwa $22{,}2\%$.

Das Wichtigste in Kürze

• Ein mehrstufiges Zufallsexperiment besteht aus mehreren nacheinander ausgeführten Zufallsexperimenten, den Stufen.

• Ein Baumdiagramm visualisiert alle möglichen Ergebnisse übersichtlich. Jeder Pfad vom Start bis zu einem Endpunkt ist ein vollständiges Ergebnis.

• Die 1. Pfadregel besagt: Multipliziere alle Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades, um die Wahrscheinlichkeit dieses Gesamtergebnisses zu erhalten.

• Die 2. Pfadregel besagt: Addiere die Pfadwahrscheinlichkeiten, wenn ein Ereignis durch mehrere Pfade erreicht werden kann.

• Kontrolle: An jeder Verzweigung summieren sich die Wahrscheinlichkeiten zu $1$. Auch die Summe aller Endwahrscheinlichkeiten muss $1$ sein.

• Bei Ziehen ohne Zurücklegen ändern sich die Wahrscheinlichkeiten von Stufe zu Stufe. An die Äste schreibst du die Wahrscheinlichkeiten, die nach dem vorherigen Zug gelten, und multiplizierst wie gewohnt.

Dein Wissen im Test

❓ Frage:Du wirfst einen fairen Würfel zweimal. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, zweimal eine 6 zu würfeln?

Lösung anzeigen

Die Wahrscheinlichkeit für eine 6 ist $\frac{1}{6}$. Nach der 1. Pfadregel gilt:

$$P(\text{6, 6}) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$$

Die Wahrscheinlichkeit beträgt $\frac{1}{36}$ oder etwa $2{,}78\%$.

❓ Frage:In einer Urne liegen 4 weisse und 6 schwarze Kugeln. Du ziehst zweimal ohne Zurücklegen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln weiss sind.

Lösung anzeigen

Erste Ziehung: $P(\text{weiss}_1) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

Nachdem eine weisse Kugel gezogen wurde, bleiben 3 weisse von 9 Kugeln.

Zweite Ziehung: $P(\text{weiss}_2 \mid \text{weiss}_1) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

$$P(\text{weiss, weiss}) = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{15}$$

Die Wahrscheinlichkeit beträgt $\frac{2}{15}$ oder etwa $13{,}3\%$.

❓ Frage:Gleiche Urne wie in der vorherigen Aufgabe (4 weisse und 6 schwarze Kugeln), aber diesmal ziehst du zweimal mit Zurücklegen. Wie gross ist jetzt die Wahrscheinlichkeit für zwei weisse Kugeln? Vergleiche mit dem Ergebnis ohne Zurücklegen.

Lösung anzeigen

Mit Zurücklegen liegen vor jedem Zug wieder alle 10 Kugeln in der Urne. Die Wahrscheinlichkeiten bleiben auf beiden Stufen gleich:

$$P(\text{weiss}) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$$$$P(\text{weiss, weiss}) = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{4}{25} = 16\%$$

Ohne Zurücklegen waren es nur $\frac{2}{15} \approx 13{,}3\%$. Der Grund: Wird die erste weisse Kugel nicht zurückgelegt, sind nur noch 3 von 9 Kugeln weiss. Eine zweite weisse Kugel wird dadurch unwahrscheinlicher.

❓ Frage:Bei einem Gewinnspiel beträgt die Gewinnchance pro Versuch $20\%$. Du spielst zweimal. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnst du mindestens einmal?

Lösung anzeigen

Am einfachsten über das Gegenereignis:

$P(\text{Gewinn}) = 0{,}2$ und $P(\text{kein Gewinn}) = 0{,}8$

$P(\text{zweimal kein Gewinn}) = 0{,}8 \cdot 0{,}8 = 0{,}64$

$$P(\text{mindestens ein Gewinn}) = 1 - 0{,}64 = 0{,}36$$

Die Wahrscheinlichkeit, mindestens einmal zu gewinnen, beträgt $36\%$.

Alternativ direkt: $P(\text{G, G}) + P(\text{G, kein G}) + P(\text{kein G, G}) = 0{,}04 + 0{,}16 + 0{,}16 = 0{,}36$

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du hast jetzt das Baumdiagramm als mächtiges Werkzeug kennengelernt. In den kommenden Themen wirst du auf dieses Wissen aufbauen. Bei den bedingten Wahrscheinlichkeiten geht es um Fragen wie $P(\text{rot}_2 \mid \text{rot}_1)$ aus dem Beispiel ohne Zurücklegen: Wie wahrscheinlich ist ein Ereignis, wenn du schon weisst, dass ein anderes eingetreten ist? Ein weiteres grosses Thema ist die Binomialverteilung. Sie beschreibt Situationen, in denen du ein Zufallsexperiment sehr oft wiederholst. Wirfst du eine Münze nicht zweimal, sondern hundertmal, wäre ein Baumdiagramm unpraktisch. Die Binomialverteilung liefert dir eine elegante Formel für genau solche Fälle. Die Grundidee bleibt aber dieselbe: Du nutzt die 1. und die 2. Pfadregel – nur in einer kompakteren Form.

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Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport