Die Gleichung x² = r einfach erklärt: Dein erster Schritt zu quadratischen Gleichungen

Weiterführend:

• Zur Kapitelübersicht „Quadratische Gleichungen”
• Als Nächstes: Quadratische Gleichungen (x-d)² = r lösen
• Grundlagen: Quadratische Gleichungen einfach erklärt
• Zeichnerisches Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen

Darum geht's

Stell dir ein quadratisches Gartenfeld vor. Die Fläche beträgt 25 Quadratmeter. Du möchtest wissen, wie lang jede Seite ist. Du weisst: Seitenlänge mal Seitenlänge ergibt die Fläche. Aber welche Zahl ergibt mit sich selbst multipliziert 25? Genau diese Frage führt dich zu einer der wichtigsten Gleichungsarten der Mathematik: der quadratischen Gleichung in ihrer einfachsten Form. In diesem Artikel lernst du, wie du Gleichungen vom Typ $x^2 = r$ sicher und systematisch löst. Du lernst das Werkzeug der Quadratwurzel kennen und entdeckst, warum solche Gleichungen manchmal zwei, manchmal eine und manchmal gar keine Lösung haben.

📋Lehrplan 21Zyklus 3 (7.–9. Klasse) · 5Kompetenzen

• MA.1.A.1.iGrundanspruchBegriffe Term, Variable, Unbekannte, hoch, Potenz, Zehnerpotenz, Vorzeichen, positive/negative Zahlen, (Quadrat-)Wurzel (Erw: Basis, Exponent); Symbole √, ≤, ≥; Zahlen bis 1 Milliarde lesen und schreiben
• MA.1.A.3.iGrundanspruchGrundoperationen mit rationalen Zahlen; Wurzeln und Potenzen mit Rechner; Erw: Grundoperationen mit gewöhnlichen Brüchen mit Variablen
• MA.1.A.4.jGrundanspruchErweiterungErw: lineare Gleichungen mit Äquivalenzumformungen lösen; Polynome addieren/subtrahieren; Terme ausmultiplizieren und ausklammern; Gleichungen sprachlich deuten; Terme mit Variablen umformen
• MA.1.A.3.jTerme mit Potenzen und Quadratwurzeln umformen und berechnen; Zahlen in wissenschaftlicher Schreibweise addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren
• MA.1.A.4.lQuadratische Gleichungen durch Faktorzerlegung lösen; binomische Formeln anwenden; Rechenregeln Potenz vor Punkt vor Strich

Quelle: Aargauer Lehrplan Volksschule, Fachbereich Mathematik (August 2022)

Eine kleine Zeitreise

Die Frage nach der Seitenlänge eines Quadrats mit gegebener Fläche beschäftigt die Menschheit seit über 4000 Jahren. Bereits die Babylonier notierten auf Tontafeln Aufgaben wie: „Welches Quadrat hat eine Fläche von 60?” Sie verfügten über erstaunlich genaue Verfahren, um solche Werte zu berechnen. Die berühmte Tontafel YBC 7289, heute an der Yale University aufbewahrt, zeigt den Wert $\sqrt{2}$ mit einer Genauigkeit von sechs Nachkommastellen. Die Babylonier schrieben diesen Wert im Sexagesimalsystem, also in Einheiten von 60.

Auch die alten Ägypter arbeiteten mit Quadratwurzeln. Im Papyrus Rhind, datiert um etwa 1650 v. Chr., finden sich Flächenberechnungen, bei denen Seitenlängen aus Flächen rückwärts bestimmt werden. Die griechischen Mathematiker gingen einen Schritt weiter. Pythagoras und seine Schüler entdeckten, dass nicht jede Quadratwurzel eine einfache Bruchzahl ergibt. Als sie herausfanden, dass $\sqrt{2}$ keine rationale Zahl ist, löste das nach einer Legende eine regelrechte Krise aus.

Das Symbol für die Wurzel, das du heute verwendest, tauchte erst viel später auf. Der deutsche Mathematiker Christoph Rudolff führte 1525 in seinem Buch „Die Coss” das Wurzelzeichen $\sqrt{}$ ein. Man nimmt an, dass es vom lateinischen Buchstaben „r” für „radix” (Wurzel) abgeleitet ist. Der horizontale Strich über dem Radikanden wurde von René Descartes 1637 ergänzt.

Die negative Lösung quadratischer Gleichungen wurde lange ignoriert. Bis weit in die Renaissance hinein galten negative Zahlen als „unsinnig”. Erst mit der Arbeit von Mathematikern wie François Viète und später Leonhard Euler wurde klar, dass quadratische Gleichungen zwei gleichberechtigte Lösungen besitzen können. Heute ist diese Erkenntnis selbstverständlich. Doch dahinter steckt eine lange Geschichte des mathematischen Denkens.

Die Grundlagen

Bevor du quadratische Gleichungen löst, solltest du die wichtigsten Begriffe sicher beherrschen. Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung, in der die Unbekannte $x$ in der zweiten Potenz vorkommt. Die einfachste Form lautet:

$x^2 = r$

Dabei steht $r$ für eine beliebige reelle Zahl. Du kannst $r$ als „rechte Seite” der Gleichung verstehen.

Der Ausdruck $x^2$ bedeutet $x \cdot x$. Man nennt ihn das Quadrat von $x$. Das hat einen geometrischen Ursprung: Wenn du ein Quadrat mit Seitenlänge $x$ zeichnest, ist seine Fläche genau $x \cdot x = x^2$. Deshalb der Name.

Die Umkehrung des Quadrierens heisst Wurzelziehen oder Radizieren. Die Quadratwurzel aus einer nicht-negativen Zahl $r$ ist diejenige nicht-negative Zahl, die mit sich selbst multipliziert $r$ ergibt.

Definition

Die Quadratwurzel $\sqrt{r}$ einer Zahl $r \geq 0$ ist diejenige Zahl $s \geq 0$, für die gilt:

$s^2 = r$

Man nennt $r$ den Radikanden und das Zeichen $\sqrt{}$ das Wurzelzeichen.

Wichtig: Die Quadratwurzel liefert per Definition nur die nicht-negative Lösung. Beispiel: $\sqrt{36} = 6$ und nicht $\pm 6$.

Viele Schüler verwechseln an dieser Stelle zwei Dinge. Das Symbol $\sqrt{r}$ bezeichnet immer eine einzige, nicht-negative Zahl. Wenn du in einer quadratischen Gleichung beide Lösungen meinst, musst du das explizit mit $\pm\sqrt{r}$ ausdrücken. Dieser Unterschied ist subtil, aber zentral.

Die Kernmethode

Um eine Gleichung der Form $x^2 = r$ zu lösen, gehst du stets nach demselben Muster vor. Die Methode funktioniert immer, unabhängig davon, ob $r$ positiv, null oder negativ ist.

Definition

Gegeben ist eine quadratische Gleichung der Form $x^2 = r$.

Schritt 1: Forme die Gleichung so um, dass $x^2$ alleine auf einer Seite steht.

Schritt 2: Prüfe das Vorzeichen von $r$ und unterscheide drei Fälle:

• Ist $r > 0$, gibt es zwei Lösungen: $x_1 = +\sqrt{r}$ und $x_2 = -\sqrt{r}$.
• Ist $r = 0$, gibt es genau eine Lösung: $x = 0$.
• Ist $r < 0$, gibt es keine reelle Lösung.

Schritt 3: Notiere die Lösungsmenge mit $\mathbb{L} = \{x_1; x_2\}$, $\mathbb{L} = \{0\}$ bzw. $\mathbb{L} = \{\}$.

Schritt 4: Mache die Probe, indem du jede Lösung in die ursprüngliche Gleichung einsetzt.

Warum gibt es bei $r < 0$ keine Lösung? Das liegt an der Struktur der reellen Zahlen. Jede reelle Zahl ist entweder positiv, null oder negativ. Das Quadrat einer positiven Zahl ist positiv. Das Quadrat einer negativen Zahl ist ebenfalls positiv, weil „minus mal minus” gleich „plus” ergibt. Null mal null ist null. Es gibt keine reelle Zahl, deren Quadrat negativ ist.

Die Kurzschreibweise $x = \pm\sqrt{r}$ fasst beide Lösungen zusammen. Das Zeichen $\pm$ heisst „plus-minus” und bedeutet: Sowohl die positive als auch die negative Version gilt.

Beispiel:

Beispiel 1: Einfache Gleichung mit ganzzahliger Lösung

Aufgabe: Löse die Gleichung $x^2 = 49$.

Lösung:

Die Gleichung steht bereits in der Form $x^2 = r$ mit $r = 49$.

Da $49 > 0$, existieren zwei Lösungen.

$x_1 = +\sqrt{49} = 7$

$x_2 = -\sqrt{49} = -7$

Probe:

$7^2 = 7 \cdot 7 = 49 \checkmark$

$(-7)^2 = (-7) \cdot (-7) = 49 \checkmark$

Beide Werte erfüllen die Gleichung.

Lösungsmenge: $\mathbb{L} = \{-7;\ 7\}$

Bei Sachaufgaben musst du die Lösungen im Kontext interpretieren. In der reinen Mathematik ohne Anwendungsbezug sind beide Lösungen gleichwertig.

Beispiel:

Beispiel 2: Gleichung mit einer Umformung

Aufgabe: Löse die Gleichung $x^2 - 12 = 52$.

Lösung:

Die Gleichung steht noch nicht in der Form $x^2 = r$. Du musst $x^2$ zuerst isolieren.

Addiere auf beiden Seiten 12:

$x^2 - 12 + 12 = 52 + 12$

$x^2 = 64$

Nun hat die Gleichung die gewünschte Form mit $r = 64$. Da $64 > 0$, gibt es zwei Lösungen.

$x_1 = +\sqrt{64} = 8$

$x_2 = -\sqrt{64} = -8$

Probe:

Setze $x_1 = 8$ ein:

$8^2 - 12 = 64 - 12 = 52 \checkmark$

Setze $x_2 = -8$ ein:

$(-8)^2 - 12 = 64 - 12 = 52 \checkmark$

Lösungsmenge: $\mathbb{L} = \{-8;\ 8\}$

Merke dir: Bei jeder Gleichung, die noch nicht in der Standardform steht, musst du zuerst umformen. Dabei gelten die üblichen Regeln der Äquivalenzumformung.

Die häufigsten Stolpersteine

Beim Lösen quadratischer Gleichungen passieren immer wieder dieselben Fehler. Wenn du sie kennst, kannst du sie gezielt vermeiden.

Achtung

Stolperstein 1: Die negative Lösung vergessen.

Bei $x^2 = 16$ schreiben viele nur $x = 4$. Das ist unvollständig. Die korrekte Antwort lautet $x = 4$ oder $x = -4$. Denke daran: Bei $r > 0$ gibt es immer zwei Lösungen.

Achtung

Stolperstein 2: Wurzel aus negativen Zahlen ziehen.

Bei $x^2 = -4$ schreiben manche $x = \pm 2$. Das ist falsch. Die Gleichung hat keine reelle Lösung, weil kein Quadrat negativ werden kann. Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L} = \{\}$.

Achtung

Stolperstein 3: Verwechslung von $\sqrt{r}$ und $\pm\sqrt{r}$.

Das Symbol $\sqrt{r}$ bezeichnet nur die positive Wurzel. Wenn du beide Lösungen meinst, schreibe $\pm\sqrt{r}$. Der Unterschied ist klein, aber entscheidend für klare mathematische Notation.

Achtung

Stolperstein 4: Falsches Umformen.

Bei $x^2 + 5 = 14$ darfst du nicht sofort die Wurzel ziehen. Du musst zuerst $x^2$ isolieren: $x^2 = 9$. Erst dann ist der Schritt zur Wurzel zulässig. Wer zu früh zieht, rechnet mit der falschen rechten Seite.

Beispiel:

Beispiel 3: Gleichung mit nicht-ganzzahliger Lösung

Aufgabe: Löse die Gleichung $3x^2 - 7 = 53$.

Lösung:

Die Gleichung muss in die Form $x^2 = r$ gebracht werden. Dafür sind zwei Schritte nötig.

Schritt 1: Addiere 7 auf beiden Seiten:

$3x^2 - 7 + 7 = 53 + 7$

$3x^2 = 60$

Schritt 2: Teile beide Seiten durch 3:

$\dfrac{3x^2}{3} = \dfrac{60}{3}$

$x^2 = 20$

Nun hat die Gleichung die Standardform. Da $20 > 0$, existieren zwei Lösungen.

$x_1 = +\sqrt{20}$

$x_2 = -\sqrt{20}$

Der Wert $\sqrt{20}$ lässt sich vereinfachen. Schreibe 20 als Produkt $4 \cdot 5$:

$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$

Als Dezimalzahl gerundet: $\sqrt{20} \approx 4{,}47$.

Lösungsmenge: $\mathbb{L} = \{-2\sqrt{5};\ 2\sqrt{5}\}$

Solche Wurzelvereinfachungen helfen dir, Ergebnisse in exakter Form anzugeben. Dezimalnäherungen sind zwar anschaulich, aber meist nicht exakt.

Beispiel:

Beispiel 4: Gleichung ohne Lösung

Aufgabe: Löse die Gleichung $x^2 + 20 = 4$.

Lösung:

Forme die Gleichung zuerst in die Standardform um. Subtrahiere 20 auf beiden Seiten:

$x^2 + 20 - 20 = 4 - 20$

$x^2 = -16$

Die rechte Seite ist negativ. Du prüfst nun, ob eine reelle Zahl existiert, deren Quadrat $-16$ ergibt.

Überlegung: Für jede reelle Zahl $a$ gilt $a^2 \geq 0$. Das Quadrat ist also niemals negativ. Für $x^2 = -16$ gibt es folglich keine Lösung in den reellen Zahlen.

Lösungsmenge: $\mathbb{L} = \{\}$

Dieser Fall tritt häufig in Sachaufgaben auf, wenn die Situation mathematisch unmöglich ist. Zum Beispiel: „Eine Zahl, deren Quadrat kleiner ist als das Doppelte der Zahl minus zehn”. Wenn das Aufstellen der Gleichung auf $x^2 = -16$ führt, ist die Aufgabe nicht lösbar.

Hinweis für später: In der erweiterten Mathematik gibt es sogenannte komplexe Zahlen. Dort hat $x^2 = -16$ tatsächlich Lösungen. Das lernst du aber erst in der Oberstufe oder im Studium. Im Rahmen der reellen Zahlen bleibt die Lösungsmenge leer.

Vertiefung

Nachdem du die Grundform beherrschst, lohnt sich ein Blick auf den geometrischen Hintergrund und verwandte Konzepte. Die Gleichung $x^2 = r$ beschreibt den Zusammenhang zwischen der Fläche eines Quadrats und seiner Seitenlänge. Wenn du den Graphen der Funktion $y = x^2$ zeichnest, erhältst du eine Parabel. Die Parabel ist symmetrisch zur y-Achse. Das erklärt geometrisch, warum es zwei Lösungen gibt: Die Parabel schneidet jede waagerechte Linie $y = r$ (mit $r > 0$) in genau zwei Punkten, einem links und einem rechts der y-Achse.

Liegt $r$ auf der x-Achse, also $r = 0$, berührt die Linie die Parabel nur im Ursprung. Daher gibt es genau eine Lösung $x = 0$. Liegt $r$ unterhalb der x-Achse, also $r < 0$, schneidet die Linie die Parabel gar nicht. Daher existiert keine reelle Lösung.

Eng verwandt ist die Gleichung der Form $(x-d)^2 = r$. Hier wurde der Mittelpunkt der Parabel verschoben. Solche Gleichungen löst du ebenfalls durch Wurzelziehen, allerdings in zwei Schritten.

Definition

Von der Grundform $x^2 = r$ lassen sich weitere quadratische Gleichungen ableiten:

• Verschoben: $(x-d)^2 = r$ mit Lösung $x = d \pm \sqrt{r}$ (falls $r \geq 0$).
• Skaliert: $a \cdot x^2 = r$ mit Lösung $x = \pm\sqrt{\dfrac{r}{a}}$ (falls $\dfrac{r}{a} \geq 0$).
• Allgemeine Form: $ax^2 + bx + c = 0$ mit komplexerer Lösung (Mitternachtsformel).

Die Grundform $x^2 = r$ ist der einfachste Fall und bildet die Basis für alle weiteren Lösungsverfahren.

Ein nützlicher Kniff bei Wurzeln: Du kannst Wurzeln oft vereinfachen, indem du den Radikanden in Primfaktoren zerlegst und quadratische Anteile vor die Wurzel ziehst. Beispiel: $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$. Dieser Trick erscheint oft in Prüfungen, wenn exakte Lösungen gefragt sind.

Beispiel:

Beispiel 5: Anwendungsaufgabe mit Vertiefung

Aufgabe: Ein quadratisches Grundstück hat eine Fläche von 196 Quadratmetern. Ein zweites, kleineres Quadrat soll darauf gebaut werden. Seine Fläche beträgt die Hälfte des ersten. Wie lang sind die Seiten der beiden Quadrate?

Lösung:

Erstes Quadrat:

Sei $x_1$ die Seitenlänge in Metern. Die Fläche beträgt $x_1^2 = 196$.

$x_1^2 = 196$

$x_1 = \pm\sqrt{196} = \pm 14$

Da eine Länge positiv sein muss, ist $x_1 = 14 \text{ m}$.

Zweites Quadrat:

Die Fläche beträgt die Hälfte, also $\dfrac{196}{2} = 98 \text{ m}^2$.

$x_2^2 = 98$

$x_2 = \pm\sqrt{98}$

Vereinfache: $\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}$.

Da die Länge positiv ist, gilt $x_2 = 7\sqrt{2} \text{ m} \approx 9{,}90 \text{ m}$.

Antwort: Das erste Quadrat hat eine Seitenlänge von 14 m, das zweite von $7\sqrt{2}$ m (etwa 9,90 m).

Beobachtung: Das Verhältnis der Seitenlängen ist $\dfrac{14}{7\sqrt{2}} = \dfrac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$. Wenn die Fläche halbiert wird, schrumpft die Seitenlänge also um den Faktor $\sqrt{2}$.

Übungen

Jetzt bist du dran. Bearbeite die folgenden zehn Aufgaben in der angegebenen Reihenfolge. Sie steigern sich in ihrer Schwierigkeit. Die ausführlichen Lösungen findest du weiter unten.

Aufgabe 1: Löse $x^2 = 36$.

Aufgabe 2: Löse $x^2 = 100$.

Aufgabe 3: Löse $x^2 - 25 = 0$.

Aufgabe 4: Löse $x^2 + 9 = 9$.

Aufgabe 5: Löse $x^2 = -4$.

Aufgabe 6: Löse $2x^2 = 72$.

Aufgabe 7: Löse $x^2 - 8 = 17$.

Aufgabe 8: Löse $3x^2 + 4 = 79$. Gib die Lösungen in vereinfachter Wurzelform an.

Aufgabe 9: Ein quadratisches Zimmer hat eine Grundfläche von 18 m². Wie lang sind die Seiten? Gib das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen gerundet an.

Aufgabe 10: Für welche Werte von $k$ hat die Gleichung $x^2 = k - 5$ genau zwei Lösungen? Für welche Werte genau eine? Für welche keine?

Das Wichtigste in Kürze

• Die Gleichung $x^2 = r$ ist eine quadratische Gleichung in ihrer einfachsten Form.
• Bei $r > 0$ gibt es zwei Lösungen: $x = +\sqrt{r}$ und $x = -\sqrt{r}$.
• Bei $r = 0$ gibt es genau eine Lösung: $x = 0$.
• Bei $r < 0$ gibt es keine reelle Lösung, weil kein Quadrat negativ ist.
• Das Symbol $\sqrt{r}$ steht immer nur für die nicht-negative Wurzel.
• Bei komplexeren Gleichungen musst du zuerst $x^2$ isolieren, dann die Wurzel ziehen.
• Wurzeln lassen sich oft vereinfachen, indem du quadratische Faktoren vor die Wurzel ziehst.
• In Sachaufgaben musst du prüfen, welche Lösung im Kontext sinnvoll ist. Oft scheidet die negative Lösung aus.
• Die Probe bestätigt deine Lösungen und schützt vor Rechenfehlern.

Dein Wissen im Test

❓ Frage:

Wie viele Lösungen hat die Gleichung $x^2 = 81$?

Lösung anzeigen

Die Gleichung hat zwei Lösungen: $x_1 = 9$ und $x_2 = -9$. Da $81 > 0$, existiert je eine positive und eine negative Wurzel. Die Lösungsmenge lautet $\mathbb{L} = \{-9;\ 9\}$.

❓ Frage:

Löse die Gleichung $x^2 + 7 = 7$. Gib die Lösungsmenge an.

Lösung anzeigen

Zuerst umformen: $x^2 = 0$. Da $r = 0$, gibt es genau eine Lösung. Lösungsmenge: $\mathbb{L} = \{0\}$

❓ Frage:

Warum hat die Gleichung $x^2 = -25$ keine Lösung in den reellen Zahlen?

Lösung anzeigen

Eine reelle Zahl multipliziert mit sich selbst ergibt immer ein nicht-negatives Resultat.

• Positiv mal positiv = positiv
• Negativ mal negativ = positiv
• Null mal null = null Es gibt keine reelle Zahl, deren Quadrat negativ ist. Deshalb hat $x^2 = -25$ keine Lösung in den reellen Zahlen.

❓ Frage:

Vereinfache $\sqrt{50}$ soweit wie möglich.

Lösung anzeigen

Zerlege 50 in Faktoren, die ein Quadrat enthalten: $50 = 25 \cdot 2$. $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$ Die vereinfachte Form lautet also $5\sqrt{2}$.

❓ Frage:

Löse $4x^2 = 64$. Gib beide Lösungen an.

Lösung anzeigen

Teile beide Seiten durch 4: $x^2 = 16$ Da $16 > 0$, gibt es zwei Lösungen. $x_1 = +\sqrt{16} = 4$ $x_2 = -\sqrt{16} = -4$ Lösungsmenge: $\mathbb{L} = \{-4;\ 4\}$

Ausblick

Du hast die einfachste Form quadratischer Gleichungen gemeistert. Doch was passiert, wenn die Gleichung komplizierter aussieht? Zum Beispiel $(x-3)^2 = 16$ oder $x^2 - 5x + 6 = 0$? Im nächsten Schritt lernst du weitere Lösungsverfahren kennen: die Gleichung $(x-d)^2 = r$ mit verschobenem Mittelpunkt, die quadratische Ergänzung und schliesslich die berühmte a-b-c-Formel. Diese Werkzeuge ermöglichen es dir, auch komplexe quadratische Gleichungen systematisch zu knacken. Das Prinzip, das du heute gelernt hast, bleibt dabei immer gleich.

Lösungen

Aufgabe 1: $x^2 = 36$.

Da $36 > 0$, gibt es zwei Lösungen.

$x_1 = +\sqrt{36} = 6 \quad x_2 = -\sqrt{36} = -6$

Probe: $6^2 = 36 \checkmark$ und $(-6)^2 = 36 \checkmark$.

Lösungsmenge: $\mathbb{L} = \{-6;\ 6\}$

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Aufgabe 2: $x^2 = 100$.

$x_1 = +\sqrt{100} = 10 \quad x_2 = -\sqrt{100} = -10$

Probe: $10^2 = 100 \checkmark$ und $(-10)^2 = 100 \checkmark$.

Lösungsmenge: $\mathbb{L} = \{-10;\ 10\}$

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Aufgabe 3: $x^2 - 25 = 0$.

Addiere 25 auf beiden Seiten:

$x^2 = 25$

$x_1 = +\sqrt{25} = 5 \quad x_2 = -\sqrt{25} = -5$

Probe: $5^2 - 25 = 0 \checkmark$ und $(-5)^2 - 25 = 0 \checkmark$.

Lösungsmenge: $\mathbb{L} = \{-5;\ 5\}$

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Aufgabe 4: $x^2 + 9 = 9$.

Subtrahiere 9 auf beiden Seiten:

$x^2 = 0$

Da $r = 0$, gibt es genau eine Lösung.

$x = 0$

Probe: $0^2 + 9 = 9 \checkmark$.

Lösungsmenge: $\mathbb{L} = \{0\}$

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Aufgabe 5: $x^2 = -4$.

Da $-4 < 0$, existiert keine reelle Zahl, deren Quadrat $-4$ ergibt.

Lösungsmenge: $\mathbb{L} = \{\}$

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Aufgabe 6: $2x^2 = 72$.

Teile beide Seiten durch 2:

$x^2 = 36$

$x_1 = +\sqrt{36} = 6 \quad x_2 = -\sqrt{36} = -6$

Probe: $2 \cdot 6^2 = 2 \cdot 36 = 72 \checkmark$ und $2 \cdot (-6)^2 = 72 \checkmark$.

Lösungsmenge: $\mathbb{L} = \{-6;\ 6\}$

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Aufgabe 7: $x^2 - 8 = 17$.

Addiere 8 auf beiden Seiten:

$x^2 = 25$

$x_1 = +\sqrt{25} = 5 \quad x_2 = -\sqrt{25} = -5$

Probe: $5^2 - 8 = 25 - 8 = 17 \checkmark$ und $(-5)^2 - 8 = 17 \checkmark$.

Lösungsmenge: $\mathbb{L} = \{-5;\ 5\}$

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Aufgabe 8: $3x^2 + 4 = 79$.

Subtrahiere 4 auf beiden Seiten:

$3x^2 = 75$

Teile durch 3:

$x^2 = 25$

$x_1 = +\sqrt{25} = 5 \quad x_2 = -\sqrt{25} = -5$

In diesem Fall ergibt sich eine ganzzahlige Lösung. Wäre zum Beispiel $3x^2 + 4 = 28$ gegeben, so käme $x^2 = 8$ und damit $x = \pm\sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}$ heraus.

Probe für unsere Aufgabe: $3 \cdot 5^2 + 4 = 75 + 4 = 79 \checkmark$.

Lösungsmenge: $\mathbb{L} = \{-5;\ 5\}$

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Aufgabe 9: Ein quadratisches Zimmer hat eine Grundfläche von 18 m². Gesucht ist die Seitenlänge.

Sei $x$ die Seitenlänge in Metern. Dann gilt:

$x^2 = 18$

$x_1 = +\sqrt{18} \quad x_2 = -\sqrt{18}$

Vereinfachen: $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$.

Als Dezimalzahl: $3\sqrt{2} \approx 3 \cdot 1{,}4142 \approx 4{,}24$.

Da eine Seitenlänge positiv sein muss, scheidet die negative Lösung aus.

Antwort: Das Zimmer hat eine Seitenlänge von etwa 4,24 m (exakt: $3\sqrt{2}$ m).

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Aufgabe 10: Für welche Werte von $k$ hat $x^2 = k - 5$ zwei, eine bzw. keine Lösung?

Die Anzahl der Lösungen hängt vom Vorzeichen der rechten Seite ab. Hier ist die rechte Seite $r = k - 5$.

Fall 1: Zwei Lösungen. Dies gilt genau dann, wenn $k - 5 > 0$, also $k > 5$.

Fall 2: Eine Lösung. Dies gilt genau dann, wenn $k - 5 = 0$, also $k = 5$. In diesem Fall ist $x = 0$.

Fall 3: Keine Lösung. Dies gilt genau dann, wenn $k - 5 < 0$, also $k < 5$.

Antwort: Bei $k > 5$ gibt es zwei Lösungen. Bei $k = 5$ gibt es genau eine Lösung, nämlich $x = 0$. Bei $k < 5$ gibt es keine reelle Lösung.

Beispiel zur Kontrolle: Setze $k = 9$. Dann lautet die Gleichung $x^2 = 4$ mit den Lösungen $x = \pm 2$. Das bestätigt Fall 1. Setze $k = 2$. Dann lautet die Gleichung $x^2 = -3$ ohne Lösung, passend zu Fall 3.

Verwandte Themen

• Binomische Formeln einfach erklärt: Dein Schlüssel zu quadratischen Gleichungen
• Quadratische Gleichungen (x-d)² = r lösen: Schritt für Schritt erklärt
• Quadratische Gleichungen zeichnerisch lösen: So findest du die Lösungen grafisch

Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport