Der Dreisatz – Rechnen mit Verhältnissen

Weiterführend:

• Zur Kapitelübersicht „Zuordnungen und Dreisatz”
• Der Dreisatz – Dein Werkzeug für cleveres Rechnen
• Proportionale Zuordnungen und der Dreisatz – So löst du jede Aufgabe
• Antiproportionale Zuordnungen verstehen – Der umgekehrte Dreisatz

Darum geht's

Stell dir vor, du backst einen Kuchen für 4 Personen. Das Rezept verlangt 200 Gramm Mehl. Jetzt kommen aber 6 Freunde zur Party. Wie viel Mehl brauchst du nun?

Du weisst intuitiv: Mehr Leute bedeutet mehr Kuchen. Also brauchst du auch mehr Mehl. Aber wie viel genau? Diese Art von Problem begegnet dir ständig im Alltag. Beim Einkaufen, beim Kochen, beim Tanken.

Es gibt eine klare Methode, solche Aufgaben zu lösen. Sie heisst Dreisatz. In diesem Artikel lernst du, wie der Dreisatz funktioniert. Du siehst viele Beispiele. Du übst mit zehn Aufgaben und einem Quiz.

📋Lehrplan 21Zyklus 3 (7.–9. Klasse) · 7Kompetenzen

• MA.3.A.2.iGrundanspruchFlächeninhalte und Volumen (m³) schätzen, umwandeln; Grössen absolut und relativ vergleichen; Distanzen und Zeitdauern für Geschwindigkeitsberechnungen messen
• MA.3.A.3.hGrundanspruchZu einer Funktionsgleichung Wertepaare bestimmen und in einem Koordinatensystem einzeichnen
• MA.3.C.2.gGrundanspruchAbhängigkeit zweier Grössen mit Funktionsgraph darstellen; Graphenverläufe interpretieren (Erw: geeignete Skalierung wählen; lineare funktionale Zusammenhänge mit Term beschreiben)
• MA.3.A.2.kBerechnungen mit zusammengesetzten Masszahlen; Geschwindigkeiten umwandeln (z.B. 200m/10s → 72 km/h)
• MA.3.A.3.gFunktionswerte aufgrund von Funktionsgraphen bestimmen; indirekt proportionale Beziehungen berechnen; Prozentangaben als proportionale Zuordnungen verstehen
• MA.3.A.3.iFunktionswert zu einer gegebenen Zahl aus Wertetabelle, Graph und Funktionsgleichung bestimmen (z.B. y = 2x + 1, x = 7 → y = 15); Rechner/Software für Funktionswerte nutzen; Sachaufgaben mit Prozentangaben lösen (Steigung, Zins)
• MA.3.C.2.fProportionale und lineare Zusammenhänge in Sachsituationen erkennen (Erw: indirekt proportionale); Wertepaare und Funktionsgraphen im Koordinatensystem darstellen; Alltagssituationen in mathematische Sprache übersetzen

Quelle: Aargauer Lehrplan Volksschule, Fachbereich Mathematik (August 2022)

Eine kleine Zeitreise

Der Dreisatz ist uralt. Schon vor über 3000 Jahren rechneten Menschen mit Verhältnissen. Die Ägypter notierten Aufgaben auf Papyrus. Das berühmte Papyrus Rhind aus dem Jahr 1650 v. Chr. enthält zahlreiche Dreisatzprobleme. Dort geht es um Brotverteilung, Viehzucht und Arbeitszeiten.

Auch die Babylonier kannten die Methode. Sie rechneten auf Tontafeln mit Keilschrift. Viele dieser Tafeln zeigen Proportionsaufgaben für den Handel. Wie viel Silber kostet eine bestimmte Menge Getreide? Das war eine typische Frage.

Im antiken Indien brachten Mathematiker den Dreisatz auf ein neues Niveau. Im 5. Jahrhundert schrieb der Mathematiker Aryabhata über die “Regel der drei Grössen”. Er nannte sie Trairashika. Das bedeutet wörtlich “drei Dinge”. Daher kommt auch unser heutiger Name Dreisatz.

Von Indien gelangte die Methode über arabische Gelehrte nach Europa. Der persische Mathematiker al-Chwarizmi beschrieb sie im 9. Jahrhundert. Sein Name steckt übrigens im Wort Algorithmus. Über Spanien kam der Dreisatz dann im Mittelalter nach Italien.

Der italienische Rechenmeister Leonardo Fibonacci schrieb 1202 sein berühmtes Buch Liber Abaci. Darin erklärte er den Dreisatz für Kaufleute. Händler brauchten die Methode täglich. Sie rechneten Preise um, wechselten Währungen und berechneten Zinsen.

Im englischen Sprachraum heisst der Dreisatz bis heute “Rule of Three”. Im Mittelalter war diese Regel so wichtig, dass sie “Die goldene Regel” genannt wurde. Jeder Kaufmann musste sie beherrschen. Wer sie nicht kannte, konnte kein Geschäft führen.

Heute steckt der Dreisatz überall. In Rezepten, in Fahrplänen und in Preisetiketten. Er ist eines der ältesten und nützlichsten Werkzeuge der Mathematik.

Die Grundlagen

Bevor du den Dreisatz anwendest, musst du zwei Arten von Zuordnungen unterscheiden. Beide beschreiben, wie zwei Grössen zusammenhängen.

Eine proportionale Zuordnung bedeutet: Mehr von A bringt mehr von B. Kaufst du doppelt so viele Äpfel, zahlst du doppelt so viel. Das Verhältnis bleibt konstant.

Eine antiproportionale Zuordnung bedeutet: Mehr von A bringt weniger von B. Arbeiten doppelt so viele Leute, dauert die Arbeit nur halb so lang. Das Produkt bleibt konstant.

Definition

Proportional: Zwei Grössen $a$ und $b$ sind proportional, wenn ihr Quotient konstant ist:

$$\dfrac{b}{a} = k \quad \text{(Proportionalitätsfaktor)}$$

Antiproportional: Zwei Grössen $a$ und $b$ sind antiproportional, wenn ihr Produkt konstant ist:

$$a \cdot b = k \quad \text{(Konstante)}$$

Die Konstante $k$ nennt man auch Proportionalitätsfaktor oder Gesamtwert.

Um zu prüfen, welche Art vorliegt, stelle dir die Verdopplungsfrage. Wenn du A verdoppelst – verdoppelt sich B auch? Dann ist es proportional. Halbiert sich B? Dann ist es antiproportional.

Der Dreisatz funktioniert in beiden Fällen. Du musst aber unterschiedlich rechnen. Bei proportionalen Zuordnungen teilst du zuerst. Bei antiproportionalen Zuordnungen multiplizierst du zuerst.

Die Kernmethode

Der Dreisatz ist eine Rechenmethode in drei Schritten. Der Name kommt von diesen drei Schritten. Im Englischen heisst die Methode “Rule of Three”.

Du startest mit einem bekannten Verhältnis. Dann rechnest du auf eine Einheit um. Zum Schluss multiplizierst oder dividierst du auf die gesuchte Menge.

Definition

Bei proportionalen Zuordnungen:

$$b_2 = \dfrac{b_1}{a_1} \cdot a_2$$

Wenn $a_1$ zu $b_1$ gehört, dann gehört $a_2$ zu $b_2$.

Bei antiproportionalen Zuordnungen:

$$b_2 = \dfrac{b_1 \cdot a_1}{a_2}$$

Das Produkt $a_1 \cdot b_1$ bleibt konstant.

Schritt 1 – Ausgangssituation aufschreiben: Notiere, was du weisst. Zum Beispiel: 4 Personen → 200 g Mehl.

Schritt 2 – Auf die Einheit rechnen: Teile durch die bekannte Anzahl (proportional) oder multipliziere (antiproportional). Du erhältst den Wert für eine Einheit oder das konstante Produkt.

Schritt 3 – Auf den Zielwert hochrechnen: Multipliziere mit der gesuchten Anzahl (proportional) oder teile durch sie (antiproportional).

Denke an einen Wasserhahn. Bei gleichem Druck fliesst immer gleich viel Wasser pro Sekunde. Das ist der Einheitswert. Willst du wissen, wie viel Wasser in 10 Sekunden fliesst? Multipliziere den Einheitswert mit 10. Der Einheitswert ist dein Schlüssel zu jedem Zielwert.

Beispiel:

Beispiel 1: Äpfel kaufen

5 Äpfel kosten 3 CHF. Wie viel kosten 8 Äpfel?

Lösung:

Schritt 1: Gegeben: 5 Äpfel → 3 CHF. Mehr Äpfel bedeuten mehr Kosten. Die Zuordnung ist proportional.

Schritt 2: Preis pro Apfel berechnen:

$$\dfrac{3 \, \text{CHF}}{5} = 0{,}60 \, \text{CHF}$$

Schritt 3: Preis für 8 Äpfel berechnen:

$$0{,}60 \, \text{CHF} \cdot 8 = 4{,}80 \, \text{CHF}$$

Antwort: 8 Äpfel kosten 4,80 CHF.

Plausibilitätscheck: 8 Äpfel sind mehr als 5. Also sollte der Preis höher sein. 4,80 CHF > 3 CHF. Das passt.

Beispiel:

Beispiel 2: Rezept umrechnen

Ein Rezept für 6 Portionen Risotto benötigt 450 g Reis und 1,2 Liter Brühe. Du kochst nur für 4 Personen. Wie viel Reis und Brühe brauchst du?

Lösung:

Die Zuordnung ist proportional. Weniger Portionen bedeuten weniger Zutaten.

Reis berechnen:

Schritt 1 – Gegeben: 6 Portionen → 450 g Reis.

Schritt 2 – Reis pro Portion:

$$\dfrac{450 \, \text{g}}{6} = 75 \, \text{g}$$

Schritt 3 – Reis für 4 Portionen:

$$75 \, \text{g} \cdot 4 = 300 \, \text{g}$$

Brühe berechnen:

Schritt 1 – Gegeben: 6 Portionen → 1,2 L = 1200 mL.

Schritt 2 – Brühe pro Portion:

$$\dfrac{1200 \, \text{mL}}{6} = 200 \, \text{mL}$$

Schritt 3 – Brühe für 4 Portionen:

$$200 \, \text{mL} \cdot 4 = 800 \, \text{mL} = 0{,}8 \, \text{L}$$

Antwort: Du brauchst 300 g Reis und 0,8 Liter Brühe.

Die häufigsten Stolpersteine

Der Dreisatz ist eine klare Methode. Trotzdem gibt es typische Fehler. Wenn du diese kennst, vermeidest du sie leichter.

Achtung

Stolperstein 1 – Art der Zuordnung falsch erkannt: Prüfe immer zuerst, ob die Zuordnung proportional oder antiproportional ist. Stelle dir die Verdopplungsfrage: Wenn sich A verdoppelt, verdoppelt sich dann B (proportional) oder halbiert sich B (antiproportional)? Wer hier falsch einsortiert, bekommt ein völlig falsches Ergebnis.

Achtung

Stolperstein 2 – Rechenrichtung vertauscht: Bei proportionalen Zuordnungen gilt: Erst teilen, dann multiplizieren. Bei antiproportionalen Zuordnungen ist es umgekehrt: Erst multiplizieren, dann teilen. Merke dir: Beim proportionalen Dreisatz gehst du immer über den Einheitswert. Beim antiproportionalen Dreisatz gehst du über das konstante Produkt.

Achtung

Stolperstein 3 – Einheiten ignorieren: Schreibe immer die Einheiten dazu. Also kg, CHF, Stunden oder Liter. So erkennst du Rechenfehler sofort. Wenn du am Ende CHF² oder m/s² bekommst, obwohl du einen Preis oder eine Zeit suchst, stimmt etwas nicht. Einheiten wandeln auch mit. Manchmal musst du umrechnen, z.B. Minuten in Stunden.

Achtung

Stolperstein 4 – Ergebnis nicht geprüft: Frage dich am Ende immer: Ergibt das Sinn? 8 Äpfel sollten mehr kosten als 5. 6 Arbeiter sollten schneller fertig sein als 4. Wenn dein Ergebnis das Gegenteil zeigt, hast du dich vermutlich verrechnet. Der Plausibilitätscheck rettet dich vor Flüchtigkeitsfehlern.

Beispiel:

Beispiel 3: Antiproportional – Bauarbeiter

Für den Bau eines Spielplatzes brauchen 4 Arbeiter 15 Tage. Die Gemeinde setzt 6 Arbeiter ein. Wie lange dauert der Bau jetzt?

Lösung:

Analyse: Mehr Arbeiter bedeuten weniger Tage. Die Zuordnung ist antiproportional.

Schritt 1: Gegeben: 4 Arbeiter → 15 Tage.

Schritt 2: Gesamtarbeit berechnen (konstantes Produkt):

$$4 \cdot 15 = 60 \, \text{Arbeitertage}$$

Das bedeutet: Für diesen Spielplatz sind insgesamt 60 Arbeitertage nötig.

Schritt 3: Zeit für 6 Arbeiter:

$$\dfrac{60 \, \text{Arbeitertage}}{6 \, \text{Arbeiter}} = 10 \, \text{Tage}$$

Antwort: Mit 6 Arbeitern dauert der Bau 10 Tage.

Plausibilitätscheck: Mehr Arbeiter, weniger Zeit. 10 < 15. Das passt.

Beispiel:

Beispiel 4: Transfer – Geschwindigkeit

Ein Zug fährt mit konstanter Geschwindigkeit. In 2 Stunden und 30 Minuten legt er 225 km zurück. Wie weit kommt er in 4 Stunden? Und wie lange braucht er für 540 km?

Lösung:

Die Zuordnung ist proportional: Mehr Zeit bedeutet mehr Strecke.

Einheiten angleichen: 2 h 30 min = 2,5 h.

Teil 1 – Strecke in 4 Stunden:

Geschwindigkeit: $\dfrac{225 \, \text{km}}{2{,}5 \, \text{h}} = 90 \, \text{km/h}$.

In 4 Stunden: $90 \, \text{km/h} \cdot 4 \, \text{h} = 360 \, \text{km}$.

Teil 2 – Zeit für 540 km:

$$\dfrac{540 \, \text{km}}{90 \, \text{km/h}} = 6 \, \text{h}$$

Antwort: In 4 Stunden fährt der Zug 360 km. Für 540 km braucht er 6 Stunden.

Vertiefung

Manchmal reichen zwei Grössen nicht aus. Dann brauchst du den zusammengesetzten Dreisatz. Er verknüpft drei oder mehr Grössen miteinander.

Ein Beispiel: 3 Arbeiter schaffen in 4 Tagen einen Zaun von 60 Metern. Wie viele Meter schaffen 5 Arbeiter in 6 Tagen?

Hier hängen drei Grössen zusammen: Anzahl Arbeiter, Anzahl Tage und Länge des Zauns. Du löst solche Aufgaben in Etappen. Verändere immer nur eine Grösse, die anderen bleiben gleich.

Definition

Beim zusammengesetzten Dreisatz hängen mehr als zwei Grössen zusammen. Du löst das Problem in Schritten:

1. Finde den Einheitswert für eine Grösse (z.B. pro Arbeiter pro Tag).
2. Rechne auf die neue Anzahl der ersten Grösse hoch.
3. Rechne auf die neue Anzahl der zweiten Grösse hoch.

Formel für den obigen Fall:

$$\text{Leistung pro Arbeiter pro Tag} = \dfrac{\text{Gesamtleistung}}{\text{Arbeiter} \cdot \text{Tage}}$$

Auch Prozentrechnung ist Dreisatz. 15% von 80 CHF bedeutet: 100% entsprechen 80 CHF. Du rechnest auf 1% um ($80 \div 100 = 0{,}80$ CHF) und dann auf 15% hoch ($0{,}80 \cdot 15 = 12$ CHF). Das ist reiner Dreisatz. Mehr dazu lernst du später in der Prozentrechnung.

Der Dreisatz ist auch die Basis für lineare Funktionen. Eine Funktion $y = k \cdot x$ beschreibt eine proportionale Zuordnung. Der Faktor $k$ ist der Einheitswert. Der Graph ist eine Gerade durch den Nullpunkt.

Beispiel:

Beispiel 5: Zusammengesetzter Dreisatz

3 Maschinen produzieren in 4 Stunden 720 Flaschen. Wie viele Flaschen produzieren 5 Maschinen in 7 Stunden?

Lösung:

Schritt 1 – Einheitswert berechnen: Produktion pro Maschine pro Stunde.

$$\dfrac{720 \, \text{Flaschen}}{3 \, \text{Maschinen} \cdot 4 \, \text{Stunden}} = \dfrac{720}{12} = 60 \, \text{Flaschen/(Maschine} \cdot \text{Stunde)}$$

Schritt 2 – Auf 5 Maschinen hochrechnen: In einer Stunde produzieren 5 Maschinen:

$$60 \cdot 5 = 300 \, \text{Flaschen/Stunde}$$

Schritt 3 – Auf 7 Stunden hochrechnen:

$$300 \cdot 7 = 2100 \, \text{Flaschen}$$

Antwort: 5 Maschinen produzieren in 7 Stunden 2100 Flaschen.

Plausibilitätscheck: Mehr Maschinen, mehr Zeit, mehr Flaschen. 2100 > 720. Das passt.

Übungen

Löse die folgenden Aufgaben. Die Schwierigkeit steigt von Aufgabe 1 bis 10. Die Lösungen findest du am Ende des Artikels.

Aufgabe 1: 6 Brötchen kosten 4,80 CHF. Wie viel kosten 10 Brötchen?

Aufgabe 2: Ein Auto verbraucht auf 100 km 6,5 Liter Benzin. Wie viel Benzin braucht es auf 250 km?

Aufgabe 3: Ein Rezept für 8 Personen benötigt 320 g Butter. Wie viel Butter brauchst du für 5 Personen?

Aufgabe 4: 4 Pferde fressen in einer Woche 120 kg Heu. Wie viel Heu fressen 7 Pferde in einer Woche?

Aufgabe 5: Ein Läufer braucht für 12 km genau 54 Minuten. Wie lange braucht er für einen Halbmarathon (21,1 km)?

Aufgabe 6: 5 Bauarbeiter bauen eine Mauer in 12 Tagen. Wie lange brauchen 8 Bauarbeiter für die gleiche Mauer?

Aufgabe 7: Ein Wassertank wird von 3 Pumpen in 8 Stunden geleert. Wie lange brauchen 4 Pumpen?

Aufgabe 8: Ein Zug legt in 45 Minuten 90 km zurück. Wie viele Kilometer schafft er in 2 Stunden und 15 Minuten bei gleicher Geschwindigkeit?

Aufgabe 9: Eine Bäckerei backt mit 6 Öfen in 3 Stunden 540 Brote. Wie viele Brote schafft die Bäckerei mit 8 Öfen in 5 Stunden?

Aufgabe 10: Auf einer Baustelle arbeiten 12 Arbeiter 8 Stunden täglich und werden in 20 Tagen fertig. Nun sollen 15 Arbeiter nur 6 Stunden täglich arbeiten. Wie viele Tage brauchen sie?

Das Wichtigste in Kürze

Der Dreisatz hilft dir, Verhältnisse umzurechnen. Er ist eine Methode in drei Schritten.

Prüfe zuerst die Art der Zuordnung. Proportional bedeutet: mehr A → mehr B. Antiproportional bedeutet: mehr A → weniger B.

Beim proportionalen Dreisatz teilst du zuerst (Einheitswert), dann multiplizierst du. Die Formel lautet: $b_2 = \dfrac{b_1}{a_1} \cdot a_2$.

Beim antiproportionalen Dreisatz multiplizierst du zuerst (konstantes Produkt), dann teilst du. Die Formel lautet: $b_2 = \dfrac{b_1 \cdot a_1}{a_2}$.

Schreibe immer die Einheiten dazu. Prüfe am Ende, ob dein Ergebnis plausibel ist. Der Dreisatz steckt in Rezepten, Preisen, Fahrplänen und in der Prozentrechnung. Er ist eines der nützlichsten Werkzeuge der Mathematik.

Quiz

❓ Frage:

Ein Auto fährt mit konstanter Geschwindigkeit. In 3 Stunden legt es 210 km zurück. Wie weit kommt es in 5 Stunden?

Lösung anzeigen

Lösung: Proportionale Zuordnung. Geschwindigkeit: $\dfrac{210 \, \text{km}}{3 \, \text{h}} = 70 \, \text{km/h}$. In 5 Stunden: $70 \, \text{km/h} \cdot 5 \, \text{h} = 350 \, \text{km}$. Antwort: 350 km.

❓ Frage:

8 Packungen Müsli kosten 19,20 CHF. Wie viel kosten 5 Packungen?

Lösung anzeigen

Lösung: Preis pro Packung: $\dfrac{19{,}20 \, \text{CHF}}{8} = 2{,}40 \, \text{CHF}$. 5 Packungen: $2{,}40 \, \text{CHF} \cdot 5 = 12{,}00 \, \text{CHF}$. Antwort: 12 CHF.

❓ Frage:

5 Pumpen leeren einen Pool in 4 Stunden. Wie lange brauchen 8 Pumpen?

Lösung anzeigen

Lösung: Antiproportional: mehr Pumpen, weniger Zeit. Gesamtarbeit: $5 \cdot 4 = 20$ Pumpenstunden. Mit 8 Pumpen: $\dfrac{20}{8} = 2{,}5$ Stunden. Antwort: 2,5 Stunden (2 Stunden 30 Minuten).

❓ Frage:

Welche Aussage stimmt? a) Beim antiproportionalen Dreisatz teilst du zuerst. b) Beim proportionalen Dreisatz multiplizierst du zuerst. c) Beim antiproportionalen Dreisatz bleibt das Produkt konstant. d) Beim proportionalen Dreisatz bleibt das Produkt konstant.

Lösung anzeigen

Lösung: Richtig ist c). Beim proportionalen Dreisatz bleibt der Quotient konstant ($b/a = k$). Du teilst zuerst (Einheitswert), dann multiplizierst du. Beim antiproportionalen Dreisatz bleibt das Produkt konstant ($a \cdot b = k$). Du multiplizierst zuerst, dann teilst du.

❓ Frage:

2 Maschinen produzieren in 5 Stunden 400 Schrauben. Wie viele Schrauben produzieren 3 Maschinen in 8 Stunden?

Lösung anzeigen

Lösung: Zusammengesetzter Dreisatz. Schrauben pro Maschine pro Stunde: $\dfrac{400}{2 \cdot 5} = 40$. Mit 3 Maschinen pro Stunde: $40 \cdot 3 = 120$. In 8 Stunden: $120 \cdot 8 = 960$. Antwort: 960 Schrauben.

Ausblick

Der Dreisatz ist die Grundlage für viele weitere Themen. In der Prozentrechnung nutzt du ihn, um Rabatte, Zinsen und Steuern zu berechnen. Bei Massstabsaufgaben auf Landkarten rechnest du mit ihm Entfernungen um.

Später lernst du lineare Funktionen kennen. Eine proportionale Zuordnung ist nichts anderes als eine lineare Funktion der Form $y = k \cdot x$. Der Graph ist eine Gerade durch den Nullpunkt.

Auch in der Physik ist der Dreisatz überall: Geschwindigkeit, Dichte und Kraft folgen oft proportionalen Gesetzen. Wer den Dreisatz beherrscht, hat ein Werkzeug für das ganze Leben.

Lösungen

Lösung Aufgabe 1: Proportional. Preis pro Brötchen: $\dfrac{4{,}80 \, \text{CHF}}{6} = 0{,}80 \, \text{CHF}$. 10 Brötchen: $0{,}80 \cdot 10 = 8{,}00 \, \text{CHF}$. Antwort: 8 CHF.

Lösung Aufgabe 2: Proportional. Verbrauch pro km: $\dfrac{6{,}5 \, \text{L}}{100 \, \text{km}} = 0{,}065 \, \text{L/km}$. Für 250 km: $0{,}065 \cdot 250 = 16{,}25 \, \text{L}$. Antwort: 16,25 Liter.

Lösung Aufgabe 3: Proportional. Butter pro Person: $\dfrac{320 \, \text{g}}{8} = 40 \, \text{g}$. Für 5 Personen: $40 \cdot 5 = 200 \, \text{g}$. Antwort: 200 g Butter.

Lösung Aufgabe 4: Proportional (bei gleicher Zeit). Heu pro Pferd: $\dfrac{120 \, \text{kg}}{4} = 30 \, \text{kg}$. Für 7 Pferde: $30 \cdot 7 = 210 \, \text{kg}$. Antwort: 210 kg Heu.

Lösung Aufgabe 5: Proportional. Zeit pro km: $\dfrac{54 \, \text{min}}{12 \, \text{km}} = 4{,}5 \, \text{min/km}$. Für 21,1 km: $4{,}5 \cdot 21{,}1 = 94{,}95 \, \text{min}$. Das sind etwa 1 Stunde 35 Minuten. Antwort: ca. 95 Minuten (1 h 35 min).

Lösung Aufgabe 6: Antiproportional: mehr Arbeiter, weniger Zeit. Gesamtarbeit: $5 \cdot 12 = 60$ Arbeitertage. Mit 8 Arbeitern: $\dfrac{60}{8} = 7{,}5$ Tage. Antwort: 7,5 Tage.

Lösung Aufgabe 7: Antiproportional: mehr Pumpen, weniger Zeit. Gesamtarbeit: $3 \cdot 8 = 24$ Pumpenstunden. Mit 4 Pumpen: $\dfrac{24}{4} = 6$ Stunden. Antwort: 6 Stunden.

Lösung Aufgabe 8: Proportional. Umrechnen: 45 min = 0,75 h; 2 h 15 min = 2,25 h. Geschwindigkeit: $\dfrac{90 \, \text{km}}{0{,}75 \, \text{h}} = 120 \, \text{km/h}$. In 2,25 h: $120 \cdot 2{,}25 = 270 \, \text{km}$. Antwort: 270 km.

Lösung Aufgabe 9: Zusammengesetzter Dreisatz. Brote pro Ofen pro Stunde: $\dfrac{540}{6 \cdot 3} = \dfrac{540}{18} = 30$. Mit 8 Öfen pro Stunde: $30 \cdot 8 = 240$. In 5 Stunden: $240 \cdot 5 = 1200$. Antwort: 1200 Brote.

Lösung Aufgabe 10: Zusammengesetzter Dreisatz mit drei Grössen (Arbeiter, Stunden pro Tag, Tage). Gesamtstunden der Arbeit: $12 \, \text{Arbeiter} \cdot 8 \, \text{h/Tag} \cdot 20 \, \text{Tage} = 1920$ Arbeiterstunden. Neue Situation: 15 Arbeiter arbeiten 6 h pro Tag, also $15 \cdot 6 = 90$ Arbeiterstunden pro Tag. Benötigte Tage: $\dfrac{1920}{90} \approx 21{,}33$ Tage. Gerundet: Antwort: ca. 22 Tage (genau: $21\tfrac{1}{3}$ Tage).

Verwandte Themen

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Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport