Was sind natürliche Zahlen? Einfach erklärt + Beispiele

Darum geht's

Stell dir vor, du sammelst Murmeln. Du hast eine Schachtel und legst nach und nach Murmeln hinein: erst eine, dann zwei, dann drei … Du könntest ewig so weitermachen – es gibt keine Grenze, wie viele Murmeln du theoretisch sammeln könntest.

Genau so funktionieren die natürlichen Zahlen! Sie sind wie eine unendlich lange Reihe von Murmeln, die bei 1 beginnt und niemals aufhört. Diese Zahlen begleiten dich schon dein ganzes Leben: beim Zählen deiner Spielsachen, beim Abzählen in der Schlange oder wenn du die Stufen einer Treppe hochsteigst.

Eine kleine Zeitreise

Die natürlichen Zahlen sind fast so alt wie die Menschheit selbst. Menschen haben schon vor Zehntausenden von Jahren gezählt – lange bevor es Schulen, Bücher oder Taschenrechner gab.

Kerben im Knochen

Archäologen haben in Afrika einen Knochen gefunden, der über 40’000 Jahre alt ist: den sogenannten Lebombo-Knochen. Darauf sind 29 Kerben eingeritzt. Wahrscheinlich hat ein Mensch damit Tage gezählt – vielleicht die Tage eines Monats. Das war eine der ersten bekannten Formen des Zählens.

Ähnliche Funde gibt es aus der ganzen Welt. Menschen zählten Tiere in ihrer Herde, Früchte im Vorrat oder Mitglieder ihres Stammes. Das Bedürfnis zu zählen ist also tief in uns verwurzelt.

Von Zeichen zu Symbolen

Frühe Kulturen entwickelten verschiedene Systeme, um Zahlen aufzuschreiben. Die alten Ägypter benutzten Hieroglyphen für Zahlen. Die Römer erfanden die römischen Zahlen, die du vielleicht noch von Uhren oder Filmtiteln kennst: I, II, III, IV, V …

Einen riesigen Fortschritt brachten die indischen Mathematiker. Zwischen dem 5. und 7. Jahrhundert nach Christus entwickelten sie ein Stellenwertsystem mit den Ziffern 1 bis 9 – das Vorläufersystem unserer heutigen Zahlen. Arabische Gelehrte übernahmen dieses System und brachten es nach Europa. Deshalb heissen unsere Ziffern heute arabische Ziffern, obwohl sie ursprünglich aus Indien stammen.

Ein Name für die Zählzahlen

Der Begriff “natürliche Zahlen” ist vergleichsweise jung. Der deutsche Mathematiker Leopold Kronecker sagte im Jahr 1886 einen berühmten Satz: “Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk.” Er meinte damit, dass Zählzahlen etwas Grundlegendes und Natürliches sind – sie entstehen ganz von selbst, wenn man zählt.

Heute ist $\mathbb{N}$ das international anerkannte Symbol für diese Zahlenmenge. Die doppelt gestrichene Schreibweise des N wurde im 20. Jahrhundert eingeführt, um die Menge klar von anderen Zahlenmengen zu unterscheiden.

Die Grundlagen

Zurück zu deiner Murmelsammlung: Wenn du jemandem erzählen willst, wie viele Murmeln du hast, benutzt du Zahlen. Du sagst nicht “viele” oder “ein Haufen”, sondern ganz genau: “Ich habe 17 Murmeln.”

Diese Zahlen, mit denen wir zählen, haben in der Mathematik einen besonderen Namen. Mathematiker haben sich überlegt: Wenn wir alle diese Zählzahlen in eine grosse “Schublade” packen, wie nennen wir diese Schublade dann?

Die Antwort lautet: die Menge der natürlichen Zahlen.

Was ist überhaupt eine “Menge”?

Eine Menge ist einfach eine Sammlung von Dingen, die zusammengehören. Denk an eine Obstkiste: In der Kiste liegen Äpfel, Birnen und Orangen – das ist eine Menge von Früchten. In der Mathematik sammeln wir Zahlen in solchen “Kisten”.

Definition

Die Menge der natürlichen Zahlen enthält alle positiven ganzen Zahlen, mit denen wir zählen können.

$\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, \ldots\}$

Das besondere Symbol $\mathbb{N}$ (ein doppelt gestrichenes N) steht für “Natürliche Zahlen”.

Die geschweiften Klammern $\{ \}$ zeigen an, dass es sich um eine Menge handelt.

Die drei Punkte $\ldots$ bedeuten: “und so weiter, ohne Ende”.

Stell dir die natürlichen Zahlen wie eine unendlich lange Perlenkette vor. Jede Perle ist eine Zahl, und sie sind der Reihe nach aufgefädelt: erst die 1, dann die 2, dann die 3 … Die Kette hat zwar einen Anfang (die 1), aber kein Ende – du könntest ewig neue Perlen auffädeln.

Oder denk an eine Treppe, die in den Himmel führt: Du startest auf Stufe 1, gehst zu Stufe 2, dann zu Stufe 3 … Egal wie hoch du steigst, es gibt immer noch eine weitere Stufe.

Die Kernmethode

Die Mengenschreibweise und das Elementsymbol

Wenn Mathematiker aufschreiben wollen, dass eine Zahl zu den natürlichen Zahlen gehört, benutzen sie das Zeichen $\in$ (sprich: “ist Element von” oder “gehört zu”):

• $5 \in \mathbb{N}$ bedeutet: “5 gehört zu den natürlichen Zahlen” ✓
• $100 \in \mathbb{N}$ bedeutet: “100 gehört zu den natürlichen Zahlen” ✓

Wenn eine Zahl nicht dazugehört, schreibt man $\notin$:

• $-3 \notin \mathbb{N}$ bedeutet: “Minus 3 gehört nicht zu den natürlichen Zahlen”
• $2{,}5 \notin \mathbb{N}$ bedeutet: “2,5 gehört nicht zu den natürlichen Zahlen”

Definition

Prüfe jede Zahl mit diesen drei Fragen:

1. Ist die Zahl positiv? (grösser als Null) – Wenn nein: keine natürliche Zahl.
2. Ist die Zahl eine ganze Zahl? (ohne Komma oder Bruch) – Wenn nein: keine natürliche Zahl.
3. Ist die Zahl ungleich Null? – Bei $\mathbb{N}$ ohne Null: Wenn die Zahl 0 ist, gehört sie nicht dazu.

Wenn du alle drei Fragen mit “Ja” beantwortest, ist es eine natürliche Zahl!

Dazu gehören: Alle positiven ganzen Zahlen wie $1, 2, 3, \ldots$ sowie riesige Zahlen wie $1\,000\,000$ oder $999\,999\,999$.

Nicht dazu gehören: Negative Zahlen wie $-5$ (du kannst nicht “minus drei Murmeln” haben), Kommazahlen wie $3{,}5$ oder $0{,}7$, und Brüche wie $\dfrac{1}{2}$ oder $\dfrac{3}{4}$.

Beispiel:

Beispiel 1: Einfache Zuordnung

Welche dieser Zahlen sind natürliche Zahlen?

$7, \quad -2, \quad 15, \quad 3{,}5, \quad 1$

Lösung:

Du wendest den Drei-Fragen-Test auf jede Zahl an:

• $7$: positiv? Ja. Ganze Zahl? Ja. Ungleich Null? Ja. → $7 \in \mathbb{N}$ ✓
• $-2$: positiv? Nein. → $-2 \notin \mathbb{N}$ ✗
• $15$: positiv? Ja. Ganze Zahl? Ja. Ungleich Null? Ja. → $15 \in \mathbb{N}$ ✓
• $3{,}5$: Ganze Zahl? Nein, es ist eine Kommazahl. → $3{,}5 \notin \mathbb{N}$ ✗
• $1$: positiv? Ja. Ganze Zahl? Ja. Ungleich Null? Ja. → $1 \in \mathbb{N}$ ✓

Antwort: Die natürlichen Zahlen in dieser Liste sind $1$, $7$ und $15$.

Beispiel:

Beispiel 2: Mit der Null und grösseren Zahlen

Entscheide für jede Zahl: Gehört sie zu $\mathbb{N}$ oder zu $\mathbb{N}_0$?

$0, \quad 42, \quad -10, \quad 1\,000\,000, \quad \frac{3}{4}$

Lösung:

Erinnerung: $\mathbb{N}_0 = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}$ enthält zusätzlich die Null.

• $0$: nicht positiv → nicht in $\mathbb{N}$; aber $\mathbb{N}_0$ schliesst die Null ausdrücklich ein → $0 \in \mathbb{N}_0$ ✓
• $42$: positiv, ganz, ungleich Null → $42 \in \mathbb{N}$ und $42 \in \mathbb{N}_0$ ✓
• $-10$: negativ → weder in $\mathbb{N}$ noch in $\mathbb{N}_0$ ✗
• $1\,000\,000$: positiv, ganz, ungleich Null → $1\,000\,000 \in \mathbb{N}$ und $1\,000\,000 \in \mathbb{N}_0$ ✓
• $\dfrac{3}{4}$: kein Bruch erlaubt → weder in $\mathbb{N}$ noch in $\mathbb{N}_0$ ✗

Antwort: $42$ und $1\,000\,000$ gehören zu beiden Mengen. Die $0$ gehört nur zu $\mathbb{N}_0$. Die $-10$ und $\dfrac{3}{4}$ gehören zu keiner der beiden.

Die häufigsten Stolpersteine

Achtung

Achtung – Die Sache mit der Null!

Hier gibt es eine Besonderheit, die oft Verwirrung stiftet: Manche Mathematiker zählen die $0$ zu den natürlichen Zahlen dazu, manche nicht.

• $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, \ldots\}$ – ohne Null (so wird es häufig in der Schule verwendet)
• $\mathbb{N}_0 = \{0, 1, 2, 3, 4, \ldots\}$ – mit Null

Wenn die Null dabei sein soll, schreibt man oft $\mathbb{N}_0$ (sprich: “N-Null”). Achte in Aufgaben immer darauf, welche Version gemeint ist! Frag im Zweifel deine Lehrerin oder deinen Lehrer.

Achtung

Achtung – Grosse Zahlen sind trotzdem natürlich!

Viele Schülerinnen und Schüler denken, dass nur “kleine” Zahlen natürlich sind. Das stimmt nicht. Die Zahl $1\,000\,000\,000$ (eine Milliarde) ist genauso eine natürliche Zahl wie die $1$. Die Menge $\mathbb{N}$ hat kein Ende – egal wie gross eine positive ganze Zahl ist, sie gehört immer dazu.

Achtung

Achtung – Brüche sehen manchmal aus wie ganze Zahlen!

Der Bruch $\dfrac{6}{3}$ ergibt $2$, also eine natürliche Zahl. Aber $\dfrac{7}{3}$ ergibt $2{,}\overline{3}$ – das ist keine natürliche Zahl. Vereinfache immer zuerst den Bruch und prüfe dann, ob das Ergebnis eine positive ganze Zahl ist.

Achtung

Achtung – Das Zeichen $\in$ richtig lesen!

Das Zeichen $\in$ bedeutet “ist Element von” – also “gehört zu”. Es ist kein Gleichheitszeichen! Schreibe niemals $5 = \mathbb{N}$, das wäre falsch. Richtig ist: $5 \in \mathbb{N}$. Das kleine $\in$ zeigt die Zugehörigkeit einer Zahl zu einer Menge an.

Beispiel:

Beispiel 3: Textaufgabe mit Prüfung

Lisa sagt: “Ich denke mir eine Zahl aus $\mathbb{N}$. Wenn ich 5 dazuzähle, erhalte ich 8.”

Welche Zahl hat Lisa sich gedacht? Prüfe, ob das Ergebnis wirklich eine natürliche Zahl ist.

Lösung:

Du löst die Aufgabe durch Rückwärtsrechnen. Lisa hat eine Zahl, addiert 5 und erhält 8. Also:

$8 - 5 = 3$

Lisa hat sich die Zahl $3$ gedacht.

Jetzt prüfst du mit dem Drei-Fragen-Test:

• Ist $3$ positiv? Ja ✓
• Ist $3$ eine ganze Zahl? Ja ✓
• Ist $3$ ungleich Null? Ja ✓

Antwort: Lisa hat sich die Zahl $3$ gedacht, und $3 \in \mathbb{N}$ ist korrekt.

Beispiel:

Beispiel 4: Transfer in den Alltag

Tim zählt die Autos auf einem Parkplatz. Er sieht zuerst $a$ Autos. Dann fahren 3 Autos weg. Danach sind noch 11 Autos da.

Bestimme $a$ und entscheide, ob $a \in \mathbb{N}$ gilt.

Lösung:

Du weisst: Nach dem Wegfahren sind 11 Autos da. Vorher waren es $a$ Autos, 3 sind weggefahren.

$a - 3 = 11$

$a = 11 + 3 = 14$

Prüfung für $a = 14$:

• Positiv? Ja ✓
• Ganze Zahl? Ja ✓
• Ungleich Null? Ja ✓

Antwort: Es waren $a = 14$ Autos auf dem Parkplatz. Da $14 \in \mathbb{N}$, macht die Aufgabe Sinn – man kann keine halben oder negativen Autos zählen.

Dieser Punkt ist wichtig: Natürliche Zahlen sind ideal für Zählaufgaben im Alltag, denn gezählte Dinge sind immer positiv und ganz.

Vertiefung

Natürliche Zahlen und andere Zahlenmengen

In der Mathematik gibt es nicht nur die natürlichen Zahlen. Mit der Zeit wirst du weitere Zahlenmengen kennenlernen. Die natürlichen Zahlen sind dabei der Ausgangspunkt – sie stecken in allen anderen Mengen drin.

Definition

Die wichtigsten Zahlenmengen bauen aufeinander auf:

$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$

• $\mathbb{N}$: Natürliche Zahlen $\{1, 2, 3, \ldots\}$
• $\mathbb{Z}$: Ganze Zahlen $\{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}$
• $\mathbb{Q}$: Rationale Zahlen (alle Brüche wie $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{3}{4}$)
• $\mathbb{R}$: Reelle Zahlen (alle Zahlen auf dem Zahlenstrahl)

Das Symbol $\subset$ bedeutet “ist enthalten in”. Jede natürliche Zahl ist also auch eine ganze Zahl, eine rationale Zahl und eine reelle Zahl.

Unendlichkeit der natürlichen Zahlen

Die Menge $\mathbb{N}$ ist unendlich. Das klingt selbstverständlich, ist aber mathematisch faszinierend. Der Mathematiker Georg Cantor untersuchte im 19. Jahrhundert verschiedene Arten von Unendlichkeit.

Eine praktische Konsequenz: Es gibt keine “grösste natürliche Zahl”. Egal welche Zahl du nennst, du kannst immer noch 1 dazuzählen. Du bekommst immer eine neue, noch grössere natürliche Zahl.

Natürliche Zahlen am Zahlenstrahl

Den Zahlenstrahl kennst du wahrscheinlich schon aus dem Unterricht. Die natürlichen Zahlen liegen alle auf der rechten Seite, gleichmässig verteilt:

$0 \quad 1 \quad 2 \quad 3 \quad 4 \quad 5 \quad 6 \quad \cdots$

Zwischen zwei benachbarten natürlichen Zahlen – zum Beispiel zwischen $3$ und $4$ – liegt keine weitere natürliche Zahl. Das unterscheidet sie von Kommazahlen, die überall zwischen anderen Zahlen liegen können.

Rechenoperationen mit natürlichen Zahlen

Bei natürlichen Zahlen funktionieren Addition und Multiplikation immer problemlos: Das Ergebnis ist wieder eine natürliche Zahl. Bei der Subtraktion und Division kann es aber sein, dass das Ergebnis kein Element von $\mathbb{N}$ ist.

Zum Beispiel: $3 - 5 = -2$ und $-2 \notin \mathbb{N}$.

Beispiel:

Beispiel 5: Zahlenmengen vergleichen

Bestimme für jede Zahl, zu welchen Mengen sie gehört. Wähle aus: $\mathbb{N}$, $\mathbb{N}_0$, $\mathbb{Z}$ (ganze Zahlen).

$-4, \quad 0, \quad 7, \quad \frac{1}{2}, \quad 100$

Lösung:

Zahl	$\in \mathbb{N}$?	$\in \mathbb{N}_0$?	$\in \mathbb{Z}$?
$-4$	Nein	Nein	Ja
$0$	Nein	Ja	Ja
$7$	Ja	Ja	Ja
$\dfrac{1}{2}$	Nein	Nein	Nein
$100$	Ja	Ja	Ja

Erklärung: Ganze Zahlen $\mathbb{Z}$ umfassen alle positiven und negativen ganzen Zahlen sowie die Null. Deshalb gehört $-4$ zu $\mathbb{Z}$, aber nicht zu $\mathbb{N}$ oder $\mathbb{N}_0$. Der Bruch $\dfrac{1}{2}$ gehört zu keiner dieser drei Mengen, weil er keine ganze Zahl ist.

Übungen

Löse die folgenden Aufgaben. Die Schwierigkeit steigt von Aufgabe zu Aufgabe an. Alle Lösungen findest du weiter unten.

Aufgabe 1 (Grundwissen): Nenne die ersten fünf natürlichen Zahlen.

Aufgabe 2 (Grundwissen): Entscheide: Welche dieser Zahlen gehören zu $\mathbb{N}$? $12, \quad -3, \quad 0, \quad 7{,}5, \quad 99, \quad \frac{5}{5}$

Aufgabe 3 (Grundwissen): Schreibe mit dem richtigen Symbol ($\in$ oder $\notin$): a) $6 \,\square\, \mathbb{N}$ b) $-1 \,\square\, \mathbb{N}$ c) $1000 \,\square\, \mathbb{N}$

Aufgabe 4 (Verstehen): Erkläre in einem Satz, warum $-5 \notin \mathbb{N}$ gilt.

Aufgabe 5 (Verstehen): Nenne zwei Zahlen, die zu $\mathbb{N}_0$ gehören, aber nicht zu $\mathbb{N}$.

Aufgabe 6 (Anwenden): Jonas denkt sich eine Zahl aus $\mathbb{N}$. Er addiert 7 dazu und erhält 19. Welche Zahl hat Jonas gedacht? Überprüfe dein Ergebnis.

Aufgabe 7 (Anwenden): In einem Schulhaus gibt es $n$ Schülerinnen und Schüler. Von jedem Stockwerk kommen 30 Personen hinzu. Das Schulhaus hat 4 Stockwerke. Insgesamt sind es 120 Personen. Bestimme $n$ und entscheide: $n \in \mathbb{N}$?

Aufgabe 8 (Knobeln): Welche der folgenden Ausdrücke ergibt eine natürliche Zahl? a) $10 - 3$ b) $3 - 10$ c) $\dfrac{8}{4}$ d) $\dfrac{7}{4}$

Aufgabe 9 (Knobeln): Max sagt: “Die grösste natürliche Zahl ist 1’000’000.” Hat Max recht? Begründe.

Aufgabe 10 (Transfer): Eine Bäckerin backt täglich eine natürliche Anzahl Brote. Am Montag backt sie 25 Brote, am Dienstag 18 und am Mittwoch $x$ Brote. Insgesamt hat sie 70 Brote gebacken. Berechne $x$ und prüfe, ob $x \in \mathbb{N}$.

Das Wichtigste in Kürze

Die natürlichen Zahlen $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, \ldots\}$ sind die Zahlen, mit denen du zählst. Sie sind positiv, ganz und unendlich viele. Das doppelt gestrichene $\mathbb{N}$ ist ihr Symbol. Mit $\in$ schreibst du, dass eine Zahl dazugehört, mit $\notin$ dass sie nicht dazugehört.

Drei Merkmale einer natürlichen Zahl: Sie ist positiv, sie ist ganz (kein Komma, kein Bruch), und sie ist von Anfang an da – von der kleinsten natürlichen Zahl $1$ bis ins Unendliche.

Die Null ist ein Sonderfall: Sie gehört zu $\mathbb{N}_0$, aber nicht zu $\mathbb{N}$. Achte immer auf die genaue Aufgabenstellung!

❓ Frage: Welches Symbol steht für die Menge der natürlichen Zahlen?

Lösung anzeigen

Das Symbol ist $\mathbb{N}$ (ein doppelt gestrichenes N). Es steht für “Natürliche Zahlen”.

❓ Frage: Ist die Zahl $-7$ eine natürliche Zahl? Begründe kurz.

Lösung anzeigen

Nein, $-7 \notin \mathbb{N}$. Natürliche Zahlen sind immer positiv. Negative Zahlen gehören nicht zur Menge $\mathbb{N}$.

❓ Frage: Nenne die kleinste natürliche Zahl (wenn $\mathbb{N}$ ohne Null definiert ist).

Lösung anzeigen

Die kleinste natürliche Zahl ist $1$. Die Menge $\mathbb{N}$ beginnt bei 1 und geht ins Unendliche.

❓ Frage: Was bedeutet das Zeichen $\in$ in der Aussage $5 \in \mathbb{N}$?

Lösung anzeigen

Das Zeichen $\in$ bedeutet “ist Element von” oder “gehört zu”. Die Aussage $5 \in \mathbb{N}$ bedeutet also: “Die Zahl 5 gehört zur Menge der natürlichen Zahlen.”

❓ Frage: Gehört die Zahl $\frac{6}{2}$ zu $\mathbb{N}$? Begründe.

Lösung anzeigen

Ja! Denn $\dfrac{6}{2} = 3$, und $3$ ist eine positive ganze Zahl. Also gilt $3 \in \mathbb{N}$. Du musst immer zuerst vereinfachen und dann prüfen.

Ausblick

Du hast jetzt die natürlichen Zahlen kennengelernt – den ersten Baustein der Mathematik. Als nächstes wirst du die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ entdecken, die auch negative Zahlen einschliessen. Damit kannst du zum Beispiel Temperaturen unter Null beschreiben.

Später lernst du die rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ kennen – alle Brüche und Kommazahlen. Jede neue Zahlenmenge erweitert deine mathematischen Möglichkeiten. Die natürlichen Zahlen sind dabei immer dein Startpunkt: Alle anderen Mengen bauen auf ihnen auf.

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 1:

Die ersten fünf natürlichen Zahlen sind: $1, 2, 3, 4, 5$.

Sie beginnen bei $1$ und folgen der Reihe nach. Merke: Es gibt keine natürliche Zahl “kleiner als 1” in $\mathbb{N}$.

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Lösung zu Aufgabe 2:

Du prüfst jede Zahl mit dem Drei-Fragen-Test:

• $12$: positiv, ganz, ungleich Null → $12 \in \mathbb{N}$ ✓
• $-3$: negativ → $-3 \notin \mathbb{N}$ ✗
• $0$: gleich Null → $0 \notin \mathbb{N}$ ✗ (aber $0 \in \mathbb{N}_0$)
• $7{,}5$: Kommazahl → $7{,}5 \notin \mathbb{N}$ ✗
• $99$: positiv, ganz, ungleich Null → $99 \in \mathbb{N}$ ✓
• $\dfrac{5}{5} = 1$: Vereinfacht ergibt sich $1$ → $1 \in \mathbb{N}$ ✓

Natürliche Zahlen in der Liste: $12$, $99$ und $\dfrac{5}{5}$ (also $1$).

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Lösung zu Aufgabe 3:

a) $6 \in \mathbb{N}$ – denn $6$ ist positiv, ganz und ungleich Null.

b) $-1 \notin \mathbb{N}$ – denn $-1$ ist negativ.

c) $1000 \in \mathbb{N}$ – denn $1000$ ist positiv, ganz und ungleich Null. Grosse Zahlen sind trotzdem natürlich!

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Lösung zu Aufgabe 4:

$-5 \notin \mathbb{N}$, weil natürliche Zahlen immer grösser als Null sein müssen – negative Zahlen sind nicht positiv und gehören deshalb nicht zur Menge der natürlichen Zahlen.

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Lösung zu Aufgabe 5:

Die einzige Zahl, die zu $\mathbb{N}_0$ gehört, aber nicht zu $\mathbb{N}$, ist die $\mathbf{0}$.

Es gibt nur eine solche Zahl: Die $0$ ist das einzige Element, das $\mathbb{N}_0$ im Vergleich zu $\mathbb{N}$ zusätzlich enthält. Die Aufgabe fragt nach zwei Zahlen – das ist eine Fangfrage! Es gibt nur eine solche Zahl, nämlich die $0$.

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Lösung zu Aufgabe 6:

Jonas denkt sich eine Zahl $x$ aus. Er addiert 7 und erhält 19:

$x + 7 = 19$

$x = 19 - 7 = 12$

Prüfung: Ist $12 \in \mathbb{N}$?

• Positiv? Ja ✓
• Ganze Zahl? Ja ✓
• Ungleich Null? Ja ✓

Jonas hat sich die Zahl $12$ gedacht. Die Antwort $x = 12 \in \mathbb{N}$ stimmt.

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Lösung zu Aufgabe 7:

Das Schulhaus hat 4 Stockwerke, von jedem kommen 30 Personen. Das sind $4 \cdot 30 = 120$ Personen. Zusätzlich gibt es noch $n$ Schülerinnen und Schüler. Insgesamt sind es 120 Personen.

$n + 120 = 120$

$n = 120 - 120 = 0$

Prüfung: Ist $0 \in \mathbb{N}$? Nein! $0 \notin \mathbb{N}$, aber $0 \in \mathbb{N}_0$.

Das bedeutet: Wenn alle 120 Personen aus den 4 Stockwerken kommen und keine weiteren Personen da sind, ist das Ergebnis $n = 0$. Das ist zwar keine natürliche Zahl im Sinne von $\mathbb{N}$, aber eine sinnvolle Antwort im Kontext von $\mathbb{N}_0$.

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Lösung zu Aufgabe 8:

a) $10 - 3 = 7$ → $7 \in \mathbb{N}$ ✓ – das Ergebnis ist eine natürliche Zahl.

b) $3 - 10 = -7$ → $-7 \notin \mathbb{N}$ ✗ – das Ergebnis ist negativ.

c) $\dfrac{8}{4} = 2$ → $2 \in \mathbb{N}$ ✓ – nach dem Kürzen ergibt sich eine natürliche Zahl.

d) $\dfrac{7}{4} = 1{,}75$ → $1{,}75 \notin \mathbb{N}$ ✗ – das Ergebnis ist eine Kommazahl.

Merke: Bei Subtraktion und Division kann das Ergebnis die Menge $\mathbb{N}$ verlassen. Bei Addition und Multiplikation zweier natürlicher Zahlen bleibt das Ergebnis immer in $\mathbb{N}$.

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Lösung zu Aufgabe 9:

Max hat nicht recht. Es gibt keine grösste natürliche Zahl. Die Menge $\mathbb{N}$ ist unendlich.

Zu jeder natürlichen Zahl, auch zur $1\,000\,000$, kann man immer noch $1$ addieren:

$1\,000\,000 + 1 = 1\,000\,001$

Und $1\,000\,001 \in \mathbb{N}$. Dieser Prozess hört niemals auf. Die drei Punkte in $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}$ zeigen genau das an: Die Menge geht immer weiter.

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Lösung zu Aufgabe 10:

Die Bäckerin backt insgesamt 70 Brote. Montag: 25, Dienstag: 18, Mittwoch: $x$.

$25 + 18 + x = 70$

$43 + x = 70$

$x = 70 - 43 = 27$

Prüfung: Ist $27 \in \mathbb{N}$?

• Positiv? Ja ✓
• Ganze Zahl? Ja ✓
• Ungleich Null? Ja ✓

Die Bäckerin hat am Mittwoch $27$ Brote gebacken. Da $27 \in \mathbb{N}$, ergibt die Aufgabe vollständig Sinn – man kann keine halben oder negativen Brote backen.

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Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport