Der Satz des Thales – Rechte Winkel im Halbkreis

Weiterführend:

• Zur Kapitelübersicht „Geometrie”
• Vorwissen: Besondere Dreiecke erkennen und verstehen
• Vorwissen: Die Mittelsenkrechte verstehen und konstruieren
• Verwandt: Zusammenhänge im Dreieck

Darum geht's

Stell dir vor, du stehst am Rand eines runden Schwimmbeckens. Zwei Freunde stehen genau gegenüber am anderen Rand – sie bilden die Enden eines Durchmessers. Du schaust von deinem Standort zu beiden Freunden.

Egal wo du dich am Beckenrand bewegst (solange du auf deiner Halbkreisseite bleibst): Der Winkel, in dem du deine Freunde siehst, bleibt immer derselbe. Noch erstaunlicher: Dieser Winkel ist immer exakt ein rechter Winkel. Das ist kein Zufall. Dahinter steckt ein über zweitausend Jahre altes mathematisches Gesetz – der Satz des Thales.

📋Lehrplan 21Zyklus 3 (7.–9. Klasse) · 6Kompetenzen

• MA.3.A.3.kGrundanspruchZu linearen Funktionen den Funktionsgraphen zeichnen; Steigung, y-Achsenabschnitt und Nullstelle bestimmen
• MA.3.B.1.jGrundanspruchFunktionale und statistische Zusammenhänge erforschen; statistische Rohdaten zu sozialen/wirtschaftlichen/ökologischen Fragestellungen erforschen
• MA.3.C.3.hGrundanspruch
• MA.3.A.3.l
• MA.3.B.1.k
• MA.3.C.3.i

Quelle: Aargauer Lehrplan Volksschule, Fachbereich Mathematik (August 2022)

Eine kleine Zeitreise

Thales von Milet lebte um 624 bis 546 vor unserer Zeitrechnung. Er gilt als einer der ersten griechischen Philosophen und Mathematiker. Milet war damals eine reiche Hafenstadt an der Westküste Kleinasiens, im Gebiet der heutigen Türkei. Über Handelsrouten kamen Wissen und Techniken aus Ägypten und Babylonien nach Milet.

Thales reiste selbst nach Ägypten. Dort lernte er von den Priestern die praktische Geometrie kennen. Ägyptische Landvermesser nutzten geometrische Verfahren, um nach den jährlichen Nilüberschwemmungen Felder neu zu vermessen. Diese Verfahren waren rezeptartig. Sie funktionierten, aber niemand fragte nach dem Warum.

Thales brachte eine entscheidende Neuerung: Er begann, geometrische Aussagen zu beweisen. Er fragte nicht nur „Wie geht das?”, sondern „Warum gilt das?”. Diese Denkweise gilt als Geburt der Mathematik im modernen Sinn.

Eine Anekdote erzählt, wie Thales die Höhe der ägyptischen Pyramiden bestimmte. Er stellte einen Stab senkrecht in den Sand. Sobald der Schatten des Stabes genauso lang war wie der Stab selbst, mass er den Schatten der Pyramide. Diese Länge plus die halbe Grundseite entsprach der Pyramidenhöhe. Eine elegante Anwendung von Strahlensätzen, lange bevor sie systematisch formuliert wurden.

Den Satz, den wir heute „Satz des Thales” nennen, hat Thales wahrscheinlich nicht als Erster entdeckt. Babylonische Tontafeln zeigen, dass das Wissen um den rechten Winkel im Halbkreis schon früher existierte. Doch Thales war nach Überlieferung der Erste, der diesen Zusammenhang allgemein bewies. Er soll aus Dankbarkeit für diese Erkenntnis einen Stier geopfert haben.

Bis heute lernen Schülerinnen und Schüler weltweit diesen Satz unter Thales’ Namen. Er ist eines der ältesten benannten mathematischen Theoreme der Geschichte.

Die Grundlagen

Bevor du den Satz des Thales verstehen kannst, brauchst du einige Grundbegriffe rund um den Kreis. Ein Kreis ist die Menge aller Punkte, die von einem festen Mittelpunkt $M$ denselben Abstand haben. Dieser Abstand heisst Radius $r$.

Eine Sehne ist eine Strecke, deren Endpunkte beide auf dem Kreis liegen. Die längste mögliche Sehne ist der Durchmesser $d$. Er verläuft durch den Mittelpunkt und ist genau doppelt so lang wie der Radius:

$$d = 2 \cdot r$$

Ein Durchmesser teilt den Kreis in zwei gleiche Hälften. Jede Hälfte ist ein Halbkreis.

Definition

Ein Halbkreis über einer Strecke $\overline{AB}$ ist die Hälfte eines Kreises, dessen Durchmesser genau diese Strecke ist. Der Mittelpunkt des Kreises liegt in der Mitte von $\overline{AB}$.

Ein Thaleskreis ist genau ein solcher Halbkreis. Der Name unterscheidet ihn von beliebigen Halbkreisen, die in anderen Konstruktionen vorkommen können.

Für jeden Punkt $P$ auf dem Thaleskreis gilt:

$$|MP| = |MA| = |MB| = r = \dfrac{|AB|}{2}$$

Die Verbindungsstrecken vom Mittelpunkt zu den Punkten auf dem Kreis sind alle Radien. Sie sind alle gleich lang. Genau diese Eigenschaft ist der Schlüssel zum Beweis des Satzes von Thales.

Die Kernmethode

Die Situation am Beckenrand lässt sich in Geometrie übersetzen. Der Beckendurchmesser wird zur Strecke $\overline{AB}$. Dein Standort am Rand wird zum Punkt $C$. Der Winkel, in dem du deine Freunde siehst, ist der Winkel bei $C$.

Definition

Satz des Thales:

Liegt ein Punkt $C$ auf einem Halbkreis über dem Durchmesser $\overline{AB}$, so ist das Dreieck $ABC$ rechtwinklig.

Der rechte Winkel liegt dabei immer bei $C$:

$$\angle ACB = 90°$$

Umkehrung des Satzes:

Ist ein Dreieck $ABC$ rechtwinklig mit dem rechten Winkel bei $C$, dann liegt $C$ auf dem Halbkreis über der Hypotenuse $\overline{AB}$.

Der Punkt $C$ kann irgendwo auf dem Halbkreis liegen. Solange er nicht mit $A$ oder $B$ zusammenfällt, entsteht ein rechtwinkliges Dreieck. Die Seite $\overline{AB}$ – also der Durchmesser – ist automatisch die Hypotenuse.

Die Beweisidee: Verbinde $C$ mit dem Mittelpunkt $M$. Die Strecken $\overline{MA}$, $\overline{MB}$ und $\overline{MC}$ sind alle gleich lang (alles Radien). Das Dreieck $AMC$ ist gleichschenklig, ebenso das Dreieck $BMC$. In gleichschenkligen Dreiecken sind die Basiswinkel gleich gross. Nenne die Basiswinkel im Dreieck $AMC$ jeweils $\alpha$ und im Dreieck $BMC$ jeweils $\beta$. Die Winkelsumme im Gesamtdreieck $ABC$ ist:

$$\alpha + \beta + (\alpha + \beta) = 180°$$

Daraus folgt $2\alpha + 2\beta = 180°$ und somit $\alpha + \beta = 90°$. Der Winkel bei $C$ ist genau $\alpha + \beta$ und damit immer $90°$.

Beispiel:

Beispiel 1: Rechten Winkel erkennen

Ein Kreis hat den Mittelpunkt $M$ und den Durchmesser $\overline{AB}$. Der Punkt $C$ liegt auf dem Kreis, aber nicht auf der Strecke $\overline{AB}$.

Aufgabe: Wie gross ist der Winkel $\angle ACB$?

Lösung:

Du prüfst zuerst die Voraussetzungen für den Satz des Thales:

1. Liegt $C$ auf dem Kreis? Ja.
2. Ist $\overline{AB}$ ein Durchmesser? Ja.
3. Liegt $C$ getrennt von $A$ und $B$? Ja.

Alle Bedingungen sind erfüllt. Nach dem Satz des Thales gilt:

$$\angle ACB = 90°$$

Das Dreieck $ABC$ ist rechtwinklig mit dem rechten Winkel bei $C$. Die Seite $\overline{AB}$ ist die Hypotenuse. Die Seiten $\overline{AC}$ und $\overline{BC}$ sind die Katheten.

Beispiel:

Beispiel 2: Fehlenden Winkel berechnen

Im Dreieck $ABC$ ist $\overline{AB}$ der Durchmesser eines Kreises. Der Punkt $C$ liegt auf dem Kreis. Der Winkel $\angle CAB$ beträgt $35°$.

Aufgabe: Berechne den Winkel $\angle CBA$.

Lösung:

Schritt 1 – Satz des Thales anwenden. Da $C$ auf dem Halbkreis über dem Durchmesser $\overline{AB}$ liegt, ist:

$$\angle ACB = 90°$$

Schritt 2 – Winkelsumme im Dreieck nutzen. Die Summe aller Innenwinkel eines Dreiecks beträgt $180°$:

$$\angle CAB + \angle ACB + \angle CBA = 180°$$

Schritt 3 – Bekannte Werte einsetzen:

$$35° + 90° + \angle CBA = 180°$$

Schritt 4 – Nach $\angle CBA$ auflösen:

$$\angle CBA = 180° - 35° - 90° = 55°$$

Der Winkel $\angle CBA$ beträgt $55°$. Die spitzen Winkel im rechtwinkligen Dreieck ergänzen sich immer zu $90°$.

Die häufigsten Stolpersteine

Beim Arbeiten mit dem Satz des Thales schleichen sich typische Fehler ein. Wenn du diese kennst, kannst du sie vermeiden.

Achtung

Stolperstein 1 – Sehne statt Durchmesser: Der Satz des Thales gilt nur, wenn $\overline{AB}$ wirklich ein Durchmesser ist. Die Strecke muss durch den Kreismittelpunkt verlaufen. Bei einer beliebigen Sehne (die nicht durch $M$ geht) entsteht KEIN rechter Winkel bei $C$. Prüfe immer zuerst: Liegt der Mittelpunkt auf der Strecke?

Achtung

Stolperstein 2 – Punkt nicht auf dem Kreis: Der Satz funktioniert nur, wenn $C$ exakt auf dem Halbkreis liegt. Liegt $C$ innerhalb des Kreises, ist der Winkel grösser als $90°$ (stumpfwinklig). Liegt $C$ ausserhalb, ist der Winkel kleiner als $90°$ (spitzwinklig). Nur direkt auf dem Kreis ergibt sich exakt $90°$.

Achtung

Stolperstein 3 – Rechter Winkel an der falschen Ecke: Der rechte Winkel liegt immer beim Punkt $C$, also dem Punkt auf dem Halbkreis. Niemals bei $A$ oder $B$. Wer den rechten Winkel an einer der Durchmesser-Ecken vermutet, hat den Satz nicht verstanden. Merke: Hypotenuse = Durchmesser, rechter Winkel = Punkt auf dem Kreis.

Achtung

Stolperstein 4 – Umkehrung übersehen: Viele kennen nur die eine Richtung. Doch die Umkehrung ist ebenso wichtig: Hat ein Dreieck einen rechten Winkel bei $C$, dann liegt $C$ zwingend auf einem Kreis mit Durchmesser $\overline{AB}$. Der Mittelpunkt ist die Mitte der Hypotenuse. Diese Tatsache liefert dir den Mittelpunkt eines Umkreises bei rechtwinkligen Dreiecken geschenkt.

Beispiel:

Beispiel 3: Anwendung der Umkehrung

Ein Dreieck $ABC$ hat die Seiten $a = 6 \, \text{cm}$, $b = 8 \, \text{cm}$ und $c = 10 \, \text{cm}$. Der Winkel bei $C$ beträgt $90°$.

Aufgabe: Bestimme den Radius des Thaleskreises über der Hypotenuse.

Lösung:

Schritt 1 – Hypotenuse identifizieren. Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber. Der rechte Winkel ist bei $C$, die gegenüberliegende Seite ist $c = \overline{AB}$. Also:

$$\overline{AB} = c = 10 \, \text{cm}$$

Schritt 2 – Umkehrung anwenden. Nach der Umkehrung des Satzes von Thales liegt $C$ auf dem Thaleskreis über $\overline{AB}$. Der Durchmesser dieses Kreises ist die Hypotenuse:

$$d = c = 10 \, \text{cm}$$

Schritt 3 – Radius berechnen. Der Radius ist die Hälfte des Durchmessers:

$$r = \dfrac{d}{2} = \dfrac{10 \, \text{cm}}{2} = 5 \, \text{cm}$$

Der Thaleskreis hat den Radius $5 \, \text{cm}$. Der Mittelpunkt liegt genau in der Mitte der Hypotenuse.

Beispiel:

Beispiel 4: Tangente an einen Kreis

Ein Kreis hat den Mittelpunkt $M$ und den Radius $r = 4 \, \text{cm}$. Von einem Punkt $P$ ausserhalb des Kreises soll eine Tangente an den Kreis gelegt werden. Der Abstand $|MP|$ beträgt $10 \, \text{cm}$.

Aufgabe: Konstruiere den Berührpunkt $T$ der Tangente.

Lösung:

Eine Tangente steht im Berührpunkt senkrecht auf dem Radius. Es gilt also $\angle MTP = 90°$. Hier hilft der Satz des Thales.

Schritt 1 – Mittelpunkt der Strecke $\overline{MP}$ bestimmen. Konstruiere die Mittelsenkrechte von $\overline{MP}$. Sie schneidet $\overline{MP}$ im Mittelpunkt $Z$.

Schritt 2 – Thaleskreis zeichnen. Zeichne einen Kreis um $Z$ mit Radius $|ZM| = |ZP| = 5 \, \text{cm}$. Dies ist der Thaleskreis über $\overline{MP}$.

Schritt 3 – Schnittpunkte bestimmen. Der Thaleskreis schneidet den ursprünglichen Kreis (um $M$ mit Radius $4 \, \text{cm}$) in zwei Punkten. Beide sind mögliche Berührpunkte $T$ und $T'$.

Schritt 4 – Begründung. Da $T$ auf dem Thaleskreis über $\overline{MP}$ liegt, ist $\angle MTP = 90°$. Genau das brauchen wir für eine Tangente. Die Gerade durch $P$ und $T$ ist die gesuchte Tangente.

Vertiefung

Der Satz des Thales ist ein Spezialfall eines allgemeineren Satzes – des Peripheriewinkelsatzes oder Umfangswinkelsatzes. Dieser Satz beschreibt, wie sich Winkel über einer festen Sehne verhalten.

Definition

Alle Punkte auf einem Kreisbogen über derselben Sehne sehen diese Sehne unter dem gleichen Winkel. Dieser Winkel heisst Peripheriewinkel.

Der zugehörige Mittelpunktswinkel (Zentriwinkel) ist genau doppelt so gross wie der Peripheriewinkel:

$$\angle_{\text{Zentrum}} = 2 \cdot \angle_{\text{Peripherie}}$$

Im Satz des Thales ist die Sehne der Durchmesser. Der zugehörige Mittelpunktswinkel ist der gestreckte Winkel von $180°$. Nach dem Peripheriewinkelsatz ist der Peripheriewinkel halb so gross:

$$\angle ACB = \dfrac{180°}{2} = 90°$$

So ergibt sich der Satz des Thales als direkte Folge.

Eine weitere wichtige Anwendung ist der Umkreis rechtwinkliger Dreiecke. Jedes Dreieck hat einen Umkreis – einen Kreis, auf dem alle drei Eckpunkte liegen. Bei rechtwinkligen Dreiecken liegt der Mittelpunkt dieses Umkreises immer in der Mitte der Hypotenuse. Der Radius ist die halbe Hypotenuse. Diese Erkenntnis spart Konstruktionsschritte.

Auch im Alltag taucht der Satz auf. Architekten nutzen ihn, um rechte Winkel ohne Messgerät zu erzeugen. Mit einer Schnur, drei Pflöcken und einem Kreis lässt sich ein exakt rechter Winkel im Garten abstecken.

Beispiel:

Beispiel 5: Höhe eines Berges schätzen

Du stehst auf einem Schiff im See. In der Ferne siehst du zwei Punkte am Ufer: links den Bahnhof ($A$) und rechts den Aussichtsturm ($B$). Du weisst, dass die Verbindungsstrecke $\overline{AB}$ am Ufer genau $1{,}2 \, \text{km}$ lang ist und durch ein altes Vermessungszentrum verläuft.

Du misst mit einem Sextanten den Winkel zwischen Bahnhof und Turm und erhältst exakt $90°$.

Aufgabe: Wo befindest du dich relativ zur Strecke $\overline{AB}$?

Lösung:

Schritt 1 – Voraussetzung erkennen. Du hast einen rechten Winkel bei deinem Standort $C$. Es gilt $\angle ACB = 90°$.

Schritt 2 – Umkehrung des Satzes von Thales. Da das Dreieck $ABC$ einen rechten Winkel bei $C$ hat, liegt $C$ auf dem Thaleskreis über $\overline{AB}$.

Schritt 3 – Standort lokalisieren. Du befindest dich also irgendwo auf einem Halbkreis über der Strecke vom Bahnhof zum Aussichtsturm. Der Mittelpunkt dieses Halbkreises liegt mittig zwischen Bahnhof und Turm.

Der Radius des Halbkreises beträgt:

$$r = \dfrac{1{,}2 \, \text{km}}{2} = 0{,}6 \, \text{km} = 600 \, \text{m}$$

Dein Schiff ist also genau $600 \, \text{m}$ vom Mittelpunkt zwischen Bahnhof und Turm entfernt – aber die genaue Position auf dem Halbkreis musst du anders bestimmen (etwa mit einer zweiten Peilung).

Übungen

Bearbeite die folgenden Aufgaben in der angegebenen Reihenfolge. Sie werden schrittweise schwieriger. Die Lösungen findest du am Ende des Artikels.

Aufgabe 1: Der Punkt $C$ liegt auf einem Halbkreis über dem Durchmesser $\overline{AB}$. Wie gross ist $\angle ACB$?

Aufgabe 2: Der Durchmesser eines Kreises beträgt $16 \, \text{cm}$. Wie gross ist der Radius des Thaleskreises?

Aufgabe 3: Im Dreieck $ABC$ liegt $C$ auf dem Thaleskreis über $\overline{AB}$. Der Winkel bei $A$ beträgt $42°$. Wie gross sind die anderen beiden Winkel?

Aufgabe 4: Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Hypotenuse $c = 18 \, \text{cm}$. Wo liegt der Mittelpunkt des Umkreises und wie gross ist sein Radius?

Aufgabe 5: Der Punkt $C$ liegt im Inneren eines Kreises mit Durchmesser $\overline{AB}$. Ist der Winkel $\angle ACB$ grösser oder kleiner als $90°$?

Aufgabe 6: Konstruiere mit Zirkel und Lineal über einer Strecke $\overline{AB} = 8 \, \text{cm}$ einen Punkt $C$ auf dem Halbkreis, sodass $\angle CAB = 30°$. Beschreibe deine Konstruktion.

Aufgabe 7: Im Dreieck $ABC$ ist $\overline{AB} = 12 \, \text{cm}$, $\overline{AC} = 5 \, \text{cm}$ und $\overline{BC} = ?$. Der Punkt $C$ liegt auf dem Thaleskreis über $\overline{AB}$. Berechne $\overline{BC}$ mit Hilfe des Satzes von Pythagoras.

Aufgabe 8: Ein Punkt $P$ liegt $13 \, \text{cm}$ vom Mittelpunkt $M$ eines Kreises mit Radius $5 \, \text{cm}$ entfernt. Wie lang ist die Tangentenstrecke von $P$ zum Berührpunkt $T$? (Tipp: Nutze Thales und Pythagoras.)

Aufgabe 9: Ein Halbkreis hat den Radius $r = 7 \, \text{cm}$. Der Punkt $C$ liegt auf dem Halbkreis und teilt den zugehörigen rechten Winkel so, dass $\angle CAB = 60°$ ist. Berechne die Längen $\overline{AC}$ und $\overline{BC}$.

Aufgabe 10: Drei Punkte $A$, $B$, $C$ liegen so, dass $\overline{AB} = 10 \, \text{cm}$, $\overline{AC} = 6 \, \text{cm}$ und $\overline{BC} = 8 \, \text{cm}$. Liegt $C$ auf dem Thaleskreis über $\overline{AB}$? Begründe deine Antwort.

Das Wichtigste in Kürze

Der Satz des Thales beschreibt eine elegante Beziehung zwischen Kreis und rechtem Winkel. Jeder Punkt auf einem Halbkreis bildet mit den Endpunkten des Durchmessers ein rechtwinkliges Dreieck. Der rechte Winkel liegt immer beim Punkt auf dem Halbkreis. Die Hypotenuse ist immer der Durchmesser.

Die Umkehrung ermöglicht praktische Konstruktionen: Zu jedem rechtwinkligen Dreieck existiert ein Thaleskreis über der Hypotenuse. Der Scheitel des rechten Winkels liegt auf diesem Kreis.

Der Satz ist ein Spezialfall des Peripheriewinkelsatzes. Er ist seit über 2500 Jahren bekannt und gehört zu den ältesten benannten Sätzen der Mathematik.

❓ Frage:

Der Durchmesser $\overline{AB}$ eines Kreises ist $12 \, \text{cm}$ lang. Ein Punkt $C$ liegt auf dem Kreis. Wie gross ist der Winkel $\angle ACB$?

Lösung anzeigen

Nach dem Satz des Thales ist $\angle ACB = 90°$. Das gilt für jeden Punkt $C$ auf dem Halbkreis über dem Durchmesser, unabhängig von dessen Länge.

❓ Frage:

Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Hypotenuse $c = 14 \, \text{cm}$. Wie gross ist der Radius des Thaleskreises über der Hypotenuse?

Lösung anzeigen

Der Radius ist die Hälfte der Hypotenuse: $r = \dfrac{14 \, \text{cm}}{2} = 7 \, \text{cm}$. Der Mittelpunkt liegt genau in der Mitte der Hypotenuse.

❓ Frage:

Im Dreieck $ABC$ liegt $C$ auf dem Thaleskreis über $\overline{AB}$. Der Winkel $\angle BAC = 48°$. Wie gross ist $\angle ABC$?

Lösung anzeigen

Nach Thales ist $\angle ACB = 90°$. Mit der Winkelsumme: $\angle ABC = 180° - 90° - 48° = 42°$. Die spitzen Winkel im rechtwinkligen Dreieck ergänzen sich zu $90°$.

❓ Frage:

Wo liegt der rechte Winkel im Satz des Thales? a) Bei A, b) Bei B, c) Bei C, d) Beim Mittelpunkt M

Lösung anzeigen

Antwort c) Bei C – also beim Punkt auf dem Halbkreis. Niemals bei den Endpunkten des Durchmessers oder beim Mittelpunkt.

❓ Frage:

Welche Voraussetzung muss zwingend erfüllt sein, damit der Satz des Thales gilt? a) Die Strecke ist eine beliebige Sehne, b) Die Strecke ist ein Durchmesser, c) Der Kreis hat einen bestimmten Radius, d) Das Dreieck ist gleichseitig

Lösung anzeigen

Antwort b) Die Strecke muss ein Durchmesser sein, also durch den Kreismittelpunkt verlaufen. Bei beliebigen Sehnen gilt der Satz nicht.

Ausblick

Der Satz des Thales öffnet die Tür zu vielen weiteren geometrischen Erkenntnissen. Im nächsten Schritt lernst du den Satz des Pythagoras kennen, der für jedes rechtwinklige Dreieck gilt – also auch für jedes Thales-Dreieck. Auch der allgemeinere Peripheriewinkelsatz baut direkt auf Thales auf. Später triffst du den Satz wieder bei der Konstruktion von Tangenten an Kreise und in der Trigonometrie. Wer Thales verstanden hat, hat ein mächtiges Werkzeug für die gesamte Kreisgeometrie in der Hand.

Lösungen

Lösung 1: Nach dem Satz des Thales ist $\angle ACB = 90°$. Voraussetzung: $\overline{AB}$ ist Durchmesser und $C$ liegt auf dem Halbkreis.

Lösung 2: Der Thaleskreis hat denselben Radius wie der ursprüngliche Kreis. Der Radius ist die Hälfte des Durchmessers: $r = \dfrac{16 \, \text{cm}}{2} = 8 \, \text{cm}$.

Lösung 3: Nach Thales ist $\angle ACB = 90°$. Die Winkelsumme im Dreieck ergibt: $\angle ABC = 180° - 90° - 42° = 48°$. Die drei Winkel sind also $42°$, $48°$ und $90°$.

Lösung 4: Nach der Umkehrung des Satzes von Thales liegt der Mittelpunkt des Umkreises genau in der Mitte der Hypotenuse. Der Radius ist die Hälfte der Hypotenuse:

$$r = \dfrac{18 \, \text{cm}}{2} = 9 \, \text{cm}$$

Lösung 5: Liegt $C$ im Inneren des Kreises, ist der Winkel $\angle ACB$ grösser als $90°$ – also stumpfwinklig. Nur direkt auf dem Kreis ergibt sich exakt $90°$. Ausserhalb des Kreises wäre der Winkel kleiner als $90°$.

Lösung 6: Konstruktion in Schritten:

1. Zeichne die Strecke $\overline{AB} = 8 \, \text{cm}$.
2. Konstruiere den Mittelpunkt $M$ von $\overline{AB}$ (Mittelsenkrechte).
3. Zeichne den Halbkreis über $\overline{AB}$ mit Mittelpunkt $M$ und Radius $4 \, \text{cm}$.
4. Trage am Punkt $A$ den Winkel $30°$ gegen $\overline{AB}$ ab.
5. Der freie Schenkel des Winkels schneidet den Halbkreis im gesuchten Punkt $C$.

Da $C$ auf dem Thaleskreis liegt, ist automatisch $\angle ACB = 90°$. Der dritte Winkel ist $\angle ABC = 60°$.

Lösung 7: Da $C$ auf dem Thaleskreis liegt, ist das Dreieck rechtwinklig bei $C$. Die Hypotenuse ist $\overline{AB} = 12 \, \text{cm}$. Mit dem Satz des Pythagoras:

$$\overline{AC}^2 + \overline{BC}^2 = \overline{AB}^2$$ $$5^2 + \overline{BC}^2 = 12^2$$ $$\overline{BC}^2 = 144 - 25 = 119$$ $$\overline{BC} = \sqrt{119} \approx 10{,}91 \, \text{cm}$$

Lösung 8: Im Berührpunkt steht die Tangente senkrecht auf dem Radius. Also ist $\angle MTP = 90°$. Das Dreieck $MTP$ ist rechtwinklig mit der Hypotenuse $\overline{MP}$. Mit Pythagoras:

$$\overline{MT}^2 + \overline{TP}^2 = \overline{MP}^2$$ $$5^2 + \overline{TP}^2 = 13^2$$ $$\overline{TP}^2 = 169 - 25 = 144$$ $$\overline{TP} = 12 \, \text{cm}$$

Die Tangentenstrecke ist $12 \, \text{cm}$ lang.

Lösung 9: Der Durchmesser ist $\overline{AB} = 2r = 14 \, \text{cm}$. Nach Thales ist $\angle ACB = 90°$. Mit Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck:

$$\overline{AC} = \overline{AB} \cdot \cos(60°) = 14 \, \text{cm} \cdot 0{,}5 = 7 \, \text{cm}$$ $$\overline{BC} = \overline{AB} \cdot \sin(60°) = 14 \, \text{cm} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 12{,}12 \, \text{cm}$$

Lösung 10: Prüfe mit der Umkehrung des Satzes von Pythagoras, ob das Dreieck rechtwinklig ist. Die längste Seite ist $\overline{AB} = 10 \, \text{cm}$. Berechne:

$$\overline{AC}^2 + \overline{BC}^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2 = \overline{AB}^2$$

Die Gleichung stimmt. Das Dreieck ist rechtwinklig bei $C$. Nach der Umkehrung des Satzes von Thales liegt $C$ also auf dem Thaleskreis über $\overline{AB}$. Antwort: Ja, $C$ liegt auf dem Thaleskreis.

Verwandte Themen

• Umkreis und Inkreis eines Dreiecks verstehen
• Die Winkelhalbierende verstehen und konstruieren
• Senkrechte zu einer Geraden konstruieren

Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport