Dezimalzahlen dividieren – So teilst du Kommazahlen sicher auf

Darum geht's

Stell dir vor, du gehst mit zwei Freunden Eis essen. Die Rechnung beträgt am Ende zwölf Franken und fünfzig Rappen. Ihr wollt fair teilen. Jeder soll gleich viel bezahlen.

Du weisst sofort: Wir müssen den Betrag durch drei teilen. Aber wie teilt man eine Zahl mit Komma? Das Komma scheint im Weg zu stehen.

Genau diese Frage lösen wir jetzt. Du wirst sehen: Das Komma ist gar kein Hindernis. Es hat einen festen Platz und wandert einfach mit. Schritt für Schritt wird dir die Division von Dezimalzahlen so selbstverständlich wie das Aufteilen einer Pizza.

Eine kleine Zeitreise

Bevor du rechnest, lohnt sich ein kurzer Blick in die Vergangenheit. Wann haben Menschen überhaupt begonnen, mit Kommazahlen zu rechnen?

Die Anfänge im Orient

Im 9. Jahrhundert rechneten arabische Gelehrte mit Brüchen. Sie schrieben zum Beispiel $\dfrac{1}{2}$ statt $0{,}5$. Das war korrekt, aber umständlich. Wer viele Ziffern hatte, verlor schnell den Überblick.

Simon Stevin und sein grosser Schritt

Der flämische Mathematiker Simon Stevin lebte von 1548 bis 1620. Er stellte sich dieselbe Frage wie du heute: Geht das nicht einfacher? Im Jahr 1585 veröffentlichte er eine Schrift mit dem Titel De Thiende – auf Deutsch: „Der Zehnte”. Darin schlug er vor, Zahlen nach dem Komma in Zehntel, Hundertstel und Tausendstel aufzuteilen. Statt $\dfrac{3}{4}$ schrieb er $0{,}75$. Das war eine Revolution.

Allerdings war Stevins Schreibweise noch etwas ungewöhnlich. Er schrieb die Stellen mit kleinen Kreisen dahinter. Zum Beispiel bedeutete 3①7②5③ dasselbe wie $3{,}75$. Erst nach und nach setzte sich das Komma als Trennzeichen durch.

Das Komma kommt nach Europa

Im deutschsprachigen Raum bürgerte sich das Komma im 17. und 18. Jahrhundert ein. In England und Amerika nahm man stattdessen einen Punkt. Deshalb schreiben Schweizer heute $3{,}75$ und Amerikaner $3.75$ – gemeint ist dasselbe.

Warum ist das heute wichtig?

Diese Geschichte zeigt: Dezimalzahlen sind eine Erfindung der Menschen. Sie entstanden, weil Brüche im Alltag zu umständlich waren. Das Komma ist also ein praktisches Werkzeug. Und ein Werkzeug funktioniert, wenn man es richtig benutzt.

Genau das lernst du jetzt. Du übst, wie Menschen seit 400 Jahren mit Dezimalzahlen dividieren – nur dass du heute viel bessere Erklärungen hast als Stevin damals.

Die Grundlagen

Bevor du mit dem Dividieren beginnst, brauchst du zwei Dinge: die richtigen Fachbegriffe und ein klares Bild davon, was Dezimalzahlen eigentlich sind.

Fachbegriffe der Division

Bei jeder Division gibt es drei Teile:

• Der Dividend ist die Zahl, die aufgeteilt wird. Sie steht vor dem Doppelpunkt.
• Der Divisor ist die Zahl, durch die geteilt wird. Sie steht nach dem Doppelpunkt.
• Der Quotient ist das Ergebnis.

Beispiel: In der Aufgabe $12{,}50 : 3$ ist $12{,}50$ der Dividend, $3$ der Divisor und das gesuchte Ergebnis der Quotient.

Was sind Dezimalzahlen?

Definition

Eine Dezimalzahl ist eine Zahl, die aus einem ganzzahligen Teil und einem gebrochenen Teil besteht. Beide Teile werden durch ein Komma getrennt.

$$\underbrace{12}_{\text{ganzer Teil}}{,}\underbrace{50}_{\text{gebrochener Teil}}$$

Die Stelle direkt nach dem Komma heisst Zehntelstelle. Die zweite Stelle heisst Hundertstelstelle. Die dritte Stelle heisst Tausendstelstelle.

Das ist wichtig für die Division. Wenn du eine Dezimalzahl aufteilst, bleibt ihre Struktur erhalten. Der ganzzahlige Teil wird aufgeteilt. Der gebrochene Teil wird aufgeteilt. Das Komma bleibt immer an derselben Position – relativ zu den Ziffern des Dividenden.

Stellenwerte kurz erklärt

Stell dir $8{,}46$ vor. Die $8$ steht an der Einerstelle. Die $4$ steht an der Zehntelstelle. Die $6$ steht an der Hundertstelstelle. Wenn du durch eine ganze Zahl dividierst, rechnest du Stelle für Stelle. Das Komma ist kein Rechenzeichen. Es ist nur ein Trennzeichen zwischen Einern und Zehnteln.

Die Kernmethode

Jetzt kommen die eigentlichen Rechenregeln. Es gibt zwei Hauptfälle.

Fall 1: Division durch eine ganze Zahl

Definition

Dividiere die Dezimalzahl Stelle für Stelle, genau wie bei ganzen Zahlen. Sobald du im Dividenden das Komma erreichst, setzt du das Komma auch im Ergebnis.

$$8{,}4 : 2 = 4{,}2$$

Das Komma im Ergebnis steht immer an derselben relativen Position wie im Dividenden.

Das Komma wandert einfach mit. Du schreibst es ins Ergebnis, sobald du es im Dividenden passierst. Kein Verschieben, kein Umrechnen – nur mitschreiben.

Fall 2: Division durch eine Dezimalzahl

Definition

Erweitere die Aufgabe so, dass der Divisor eine ganze Zahl wird. Verschiebe das Komma bei beiden Zahlen um gleich viele Stellen nach rechts.

$$a : b = (a \cdot 10^n) : (b \cdot 10^n)$$

Beispiel: $12 : 0{,}5 = 120 : 5 = 24$

Du verschiebst das Komma um eine Stelle, weil der Divisor $0{,}5$ eine Nachkommastelle hat.

Warum darf man das? Weil du Dividend und Divisor mit derselben Zahl multiplizierst. Der Quotient bleibt unverändert. Das ist dieselbe Idee wie beim Kürzen von Brüchen.

Die Faustregel für die Praxis

Zähle, wie viele Nachkommastellen der Divisor hat. Verschiebe bei beiden Zahlen das Komma um genau so viele Stellen nach rechts. Danach rechnest du mit ganzen Zahlen.

Beispiel:

Beispiel 1: Einfache Division einer Dezimalzahl

Berechne $8{,}4 : 2$.

Lösung:

Der Divisor ist $2$ – eine ganze Zahl. Du rechnest Stelle für Stelle.

• Erste Ziffer: $8 : 2 = 4$. Schreibe $4$.
• Jetzt kommt das Komma. Schreibe das Komma ins Ergebnis.
• Nächste Ziffer: $4 : 2 = 2$. Schreibe $2$.

$$8{,}4 : 2 = 4{,}2$$

Probe: $4{,}2 \cdot 2 = 8{,}4$ ✓

Das Komma steht im Ergebnis genau da, wo es im Dividenden stand – zwischen der ersten und zweiten Stelle. Die Probe bestätigt das Ergebnis.

Beispiel:

Beispiel 2: Division mit Rest – Nullen anhängen

Berechne $7 : 4$.

Lösung:

Der Dividend $7$ ist eine ganze Zahl. Trotzdem kann das Ergebnis eine Dezimalzahl sein.

• $7 : 4 = 1$ Rest $3$. Schreibe $1$.
• Es gibt einen Rest. Setze das Komma und hänge eine Null an: $30 : 4 = 7$ Rest $2$. Schreibe $7$.
• Wieder ein Rest. Hänge eine Null an: $20 : 4 = 5$ Rest $0$. Schreibe $5$.

$$7 : 4 = 1{,}75$$

Probe: $1{,}75 \cdot 4 = 7$ ✓

Du hängst Nullen an, weil der Rest sonst liegenbleibt. Jede angehängte Null bedeutet eine weitere Nachkommastelle im Ergebnis. Das Komma setzt du, sobald der ganze Teil des Dividenden verbraucht ist.

Die häufigsten Stolpersteine

Beim Dividieren von Dezimalzahlen passieren immer wieder ähnliche Fehler. Hier sind die vier häufigsten – und wie du sie vermeidest.

Achtung

Stolperstein 1: Das Komma im Ergebnis vergessen

Viele Schülerinnen und Schüler rechnen richtig, vergessen aber das Komma im Endergebnis. Aus $4{,}2$ wird dann $42$ – zehnmal zu gross.

Gewöhn dir an, das Komma sofort zu setzen, sobald du es im Dividenden passierst. Warte nicht bis zum Schluss.

Achtung

Stolperstein 2: Das Komma nur bei einer Zahl verschieben

Bei der Division durch eine Dezimalzahl musst du das Komma bei beiden Zahlen verschieben. Wer nur den Divisor verändert, rechnet eine andere Aufgabe.

Beispiel: $1{,}8 : 0{,}6$ wird zu $18 : 6 = 3$. Falsch wäre $1{,}8 : 6 = 0{,}3$. Der Divisor wurde verschoben, der Dividend nicht – das gibt ein falsches Ergebnis.

Achtung

Stolperstein 3: Zu früh aufhören

Wenn nach einer Teilung ein Rest bleibt, ist die Aufgabe noch nicht fertig. Du hängst eine Null an den Rest an und rechnest weiter. Wer hier abbricht, hat ein unvollständiges Ergebnis.

Ausnahme: Bei periodischen Dezimalzahlen wie $1 : 3 = 0{,}\overline{3}$ hört die Dezimalentwicklung nie auf. Dann schreibst du die Periode mit einem Strich darüber.

Achtung

Stolperstein 4: Nullen in der Mitte übersehen

Bei der Aufgabe $4{,}08 : 4$ rechnen manche $4 : 4 = 1$, dann $8 : 4 = 2$ und kommen auf $1{,}2$ statt $1{,}02$. Die Null nach dem Komma wurde übersprungen.

Geh immer Ziffer für Ziffer vor. Wenn eine Ziffer kleiner als der Divisor ist, schreibst du eine $0$ ins Ergebnis und holst die nächste Ziffer herunter.

Beispiel:

Beispiel 3: Nullen in der Mitte beachten

Berechne $4{,}08 : 4$.

Lösung:

• $4 : 4 = 1$. Schreibe $1$.
• Komma setzen.
• $0 : 4 = 0$ Rest $0$. Schreibe $0$. Diese Null darfst du nicht überspringen!
• $8 : 4 = 2$. Schreibe $2$.

$$4{,}08 : 4 = 1{,}02$$

Probe: $1{,}02 \cdot 4 = 4{,}08$ ✓

Die Null nach dem Komma ist entscheidend. Ohne sie wäre das Ergebnis zehnmal zu gross. Wenn eine Stelle nicht aufgeht, schreibst du eine $0$ – nie einfach weiter.

Beispiel:

Beispiel 4: Textaufgabe – Benzinkosten aufteilen

Drei Freunde fahren zusammen in den Urlaub. Die Benzinkosten betragen 87,60 CHF. Wie viel zahlt jede Person?

Lösung:

Gesucht: Anteil jeder Person.

$$87{,}60 : 3 = \, ?$$

Schritt für Schritt:

• $8 : 3 = 2$ Rest $2$. Schreibe $2$.
• $27 : 3 = 9$ Rest $0$. Schreibe $9$.
• Komma setzen.
• $6 : 3 = 2$ Rest $0$. Schreibe $2$.
• $0 : 3 = 0$. Schreibe $0$.

$$87{,}60 : 3 = 29{,}20$$

Antwort: Jede Person zahlt 29,20 CHF für das Benzin.

Probe: $29{,}20 \cdot 3 = 87{,}60$ ✓

Bei Textaufgaben lohnt es sich immer, am Schluss einen vollständigen Antwortsatz zu schreiben. So siehst du sofort, ob das Ergebnis im Kontext Sinn ergibt.

Vertiefung

Du beherrschst jetzt die Grundfälle. In diesem Abschnitt lernst du zwei weiterführende Aspekte kennen: periodische Dezimalzahlen und den Zusammenhang zwischen Division und Multiplikation.

Periodische Dezimalzahlen

Manche Divisionen hören nie auf. Das Ergebnis wiederholt sich immer wieder.

Definition

Eine periodische Dezimalzahl entsteht, wenn bei der Division ein Rest immer wieder auftaucht. Die sich wiederholende Ziffernfolge heisst Periode. Sie wird durch einen Strich über den Ziffern gekennzeichnet.

$$1 : 3 = 0{,}\overline{3} \quad \text{(gelesen: "0 Komma 3 Periode")}$$$$2 : 7 = 0{,}\overline{285714}$$

Das klingt seltsam, ist aber ganz logisch. Bei $1 : 3$ bekommst du immer den Rest $1$. Der Rest wächst nicht und wird auch nicht kleiner. Er taucht immer wieder auf. Also wiederholt sich das Muster im Ergebnis.

In der Schule musst du periodische Dezimalzahlen meistens auf eine bestimmte Anzahl Stellen runden. Zum Beispiel: $1 : 3 \approx 0{,}33$ (auf zwei Nachkommastellen gerundet).

Zusammenhang mit Multiplikation

Division und Multiplikation sind Umkehroperationen. Das kannst du nutzen, um Ergebnisse zu überprüfen:

$$a : b = c \quad \Leftrightarrow \quad c \cdot b = a$$

Das ist die Probe. Wenn du $12{,}50 : 3 = 4{,}17$ ausrechnest und anschliessend $4{,}17 \cdot 3 = 12{,}51$ erhältst, stimmt etwas nicht. Das Ergebnis wurde gerundet – oder es liegt ein Fehler vor.

Dezimalzahlen dividieren und der Anteil an einer Grösse

In der 6. Klasse begegnest du der Frage: „Wie viele Male passt $0{,}25$ in $1{,}75$?” Das ist dieselbe Aufgabe wie $1{,}75 : 0{,}25$.

$$1{,}75 : 0{,}25 = 175 : 25 = 7$$

Sieben Mal passt $0{,}25$ in $1{,}75$. Diese Art von Aufgabe ist typisch für Themen wie Prozentrechnung und Masseinheiten.

Beispiel:

Beispiel 5: Division durch eine Dezimalzahl

Berechne $5{,}4 : 0{,}06$.

Lösung:

Der Divisor $0{,}06$ hat zwei Nachkommastellen. Verschiebe das Komma bei beiden Zahlen um zwei Stellen nach rechts.

$$5{,}4 : 0{,}06 = 540 : 6$$

Jetzt rechnest du mit ganzen Zahlen:

• $54 : 6 = 9$
• $0 : 6 = 0$

$$540 : 6 = 90$$$$5{,}4 : 0{,}06 = 90$$

Probe: $90 \cdot 0{,}06 = 5{,}40$ ✓

Achtung: Nach dem Verschieben steht beim Dividenden keine Nachkommastelle mehr. Das Ergebnis ist eine ganze Zahl. Das ist völlig korrekt – lass dich nicht irritieren.

Übungen

Hier sind zehn Aufgaben, geordnet von einfach bis anspruchsvoll. Schreibe bei jeder Aufgabe den vollständigen Rechenweg auf. Die Lösungen findest du am Ende des Artikels.

Stufe 1 – Einstieg

1. Berechne $6{,}3 : 3$.
2. Berechne $9{,}6 : 4$.
3. Berechne $15{,}5 : 5$.

Stufe 2 – Mit Rest

4. Berechne $7 : 4$.
5. Berechne $11 : 8$.
6. Berechne $3{,}9 : 6$.

Stufe 3 – Nullen und Kommaposition

7. Berechne $6{,}012 : 3$.
8. Berechne $5{,}4 : 0{,}9$.

Stufe 4 – Textaufgaben

9. Eine Flasche Olivenöl enthält $0{,}75$ Liter. Du teilst den Inhalt gleichmässig auf $5$ kleine Flaschen auf. Wie viel Liter enthält jede kleine Flasche?

10. Ein Seil ist $14{,}4$ Meter lang. Du schneidest es in Stücke zu je $0{,}8$ Metern. Wie viele Stücke bekommst du?

Das Wichtigste in Kürze

Dezimalzahlen dividieren ist kein Hexenwerk. Du brauchst nur zwei Regeln.

Regel 1: Teilst du eine Dezimalzahl durch eine ganze Zahl, rechnest du Stelle für Stelle. Das Komma setzt du im Ergebnis genau dort, wo es im Dividenden steht.

Regel 2: Ist der Divisor eine Dezimalzahl, verschiebst du das Komma bei beiden Zahlen gleich weit nach rechts – bis der Divisor eine ganze Zahl ist. Dann rechnest du normal weiter.

Ausserdem: Wenn ein Rest bleibt, hängst du eine Null an und rechnest weiter. Wenn eine Stelle kleiner als der Divisor ist, schreibst du eine $0$ ins Ergebnis und holst die nächste Ziffer herunter.

Die Probe ist dein bester Freund. Multipliziere das Ergebnis mit dem Divisor. Wenn du den Dividenden bekommst, stimmt alles.

Quiz

❓ Frage: Berechne: $6{,}3 : 3$

Lösung anzeigen

$$6{,}3 : 3 = 2{,}1$$

Rechenweg: $6 : 3 = 2$. Komma setzen. $3 : 3 = 1$. Probe: $2{,}1 \cdot 3 = 6{,}3$ ✓

❓ Frage: Berechne: $15 : 0{,}5$

Lösung anzeigen

$$15 : 0{,}5 = 150 : 5 = 30$$

Rechenweg: Der Divisor $0{,}5$ hat eine Nachkommastelle. Verschiebe das Komma bei beiden Zahlen um eine Stelle nach rechts. Dann teile $150 : 5 = 30$. Probe: $30 \cdot 0{,}5 = 15$ ✓

❓ Frage: Vier Kinder teilen sich 9 CHF Taschengeld gleichmässig auf. Wie viel bekommt jedes Kind?

Lösung anzeigen

$$9 : 4 = 2{,}25 \, \text{CHF}$$

Rechenweg: $9 : 4 = 2$ Rest $1$. Komma setzen, Null anhängen: $10 : 4 = 2$ Rest $2$. Null anhängen: $20 : 4 = 5$ Rest $0$. Jedes Kind bekommt 2,25 CHF.

❓ Frage: Berechne: $4{,}08 : 4$

Lösung anzeigen

$$4{,}08 : 4 = 1{,}02$$

Rechenweg: $4 : 4 = 1$. Komma setzen. $0 : 4 = 0$ – die Null nicht vergessen! $8 : 4 = 2$. Probe: $1{,}02 \cdot 4 = 4{,}08$ ✓

❓ Frage: Berechne: $5{,}4 : 0{,}06$

Lösung anzeigen

$$5{,}4 : 0{,}06 = 540 : 6 = 90$$

Rechenweg: Der Divisor $0{,}06$ hat zwei Nachkommastellen. Verschiebe das Komma bei beiden Zahlen um zwei Stellen nach rechts: $5{,}4$ wird zu $540$ und $0{,}06$ wird zu $6$. Dann teile $540 : 6 = 90$. Probe: $90 \cdot 0{,}06 = 5{,}40$ ✓

Ausblick

Du kannst jetzt Dezimalzahlen sicher dividieren. Das ist eine starke Grundlage für vieles, was noch kommt.

In der 6. Klasse wirst du dieses Wissen bei der Prozentrechnung brauchen. Dort teilst du Werte durch 100 oder durch andere Dezimalzahlen. Auch beim Umrechnen von Masseinheiten – zum Beispiel Kilometer in Meter – spielt die Division von Dezimalzahlen eine wichtige Rolle.

Später in der Sekundarstufe lernst du die Bruchrechnung kennen. Dort wirst du merken: Division durch eine Dezimalzahl ist eigentlich dasselbe wie Multiplizieren mit dem Kehrwert. Was du heute geübt hast, ist der erste Schritt in diese Richtung.

Lösungen

Hier findest du die ausführlichen Lösungswege für alle zehn Übungsaufgaben.

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Aufgabe 1: $6{,}3 : 3$

• $6 : 3 = 2$. Komma setzen. $3 : 3 = 1$.

$$6{,}3 : 3 = 2{,}1$$

Probe: $2{,}1 \cdot 3 = 6{,}3$ ✓

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Aufgabe 2: $9{,}6 : 4$

• $9 : 4 = 2$ Rest $1$. Komma setzen. $16 : 4 = 4$ Rest $0$.

$$9{,}6 : 4 = 2{,}4$$

Probe: $2{,}4 \cdot 4 = 9{,}6$ ✓

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Aufgabe 3: $15{,}5 : 5$

• $1 : 5$ geht nicht. $15 : 5 = 3$ Rest $0$. Komma setzen. $5 : 5 = 1$ Rest $0$.

$$15{,}5 : 5 = 3{,}1$$

Probe: $3{,}1 \cdot 5 = 15{,}5$ ✓

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Aufgabe 4: $7 : 4$

• $7 : 4 = 1$ Rest $3$. Komma setzen, Null anhängen: $30 : 4 = 7$ Rest $2$. Null anhängen: $20 : 4 = 5$ Rest $0$.

$$7 : 4 = 1{,}75$$

Probe: $1{,}75 \cdot 4 = 7$ ✓

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Aufgabe 5: $11 : 8$

• $11 : 8 = 1$ Rest $3$. Komma setzen, Null anhängen: $30 : 8 = 3$ Rest $6$. Null anhängen: $60 : 8 = 7$ Rest $4$. Null anhängen: $40 : 8 = 5$ Rest $0$.

$$11 : 8 = 1{,}375$$

Probe: $1{,}375 \cdot 8 = 11$ ✓

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Aufgabe 6: $3{,}9 : 6$

• $3 : 6$ geht nicht. Schreibe $0$. Komma setzen. $39 : 6 = 6$ Rest $3$. Null anhängen: $30 : 6 = 5$ Rest $0$.

$$3{,}9 : 6 = 0{,}65$$

Probe: $0{,}65 \cdot 6 = 3{,}90$ ✓

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Aufgabe 7: $6{,}012 : 3$

• $6 : 3 = 2$. Komma setzen. $0 : 3 = 0$ – die Null nicht vergessen! $1 : 3$ geht nicht, schreibe $0$. $12 : 3 = 4$.

$$6{,}012 : 3 = 2{,}004$$

Probe: $2{,}004 \cdot 3 = 6{,}012$ ✓

Achtung: Beide Nullen nach dem Komma sind entscheidend. Wer sie überspringt, bekommt $2{,}4$ – das ist falsch.

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Aufgabe 8: $5{,}4 : 0{,}9$

Der Divisor $0{,}9$ hat eine Nachkommastelle. Verschiebe das Komma bei beiden Zahlen um eine Stelle nach rechts:

$$5{,}4 : 0{,}9 = 54 : 9$$

• $54 : 9 = 6$ Rest $0$.

$$5{,}4 : 0{,}9 = 6$$

Probe: $6 \cdot 0{,}9 = 5{,}4$ ✓

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Aufgabe 9: Olivenöl aufteilen

Gegeben: $0{,}75$ Liter auf $5$ kleine Flaschen.

$$0{,}75 : 5 = \, ?$$

• $0 : 5 = 0$. Komma setzen. $7 : 5 = 1$ Rest $2$. $25 : 5 = 5$ Rest $0$.

$$0{,}75 : 5 = 0{,}15$$

Antwort: Jede kleine Flasche enthält 0,15 Liter Olivenöl.

Probe: $0{,}15 \cdot 5 = 0{,}75$ ✓

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Aufgabe 10: Seil aufschneiden

Gegeben: $14{,}4$ Meter Seil, Stücke zu je $0{,}8$ Metern.

$$14{,}4 : 0{,}8 = \, ?$$

Der Divisor $0{,}8$ hat eine Nachkommastelle. Verschiebe das Komma bei beiden Zahlen um eine Stelle nach rechts:

$$14{,}4 : 0{,}8 = 144 : 8$$

• $144 : 8 = 18$ Rest $0$.

$$14{,}4 : 0{,}8 = 18$$

Antwort: Du bekommst 18 Stücke aus dem Seil.

Probe: $18 \cdot 0{,}8 = 14{,}4$ ✓

Verwandte Themen

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• Dezimalzahlen verstehen – Von Brüchen zu Kommazahlen
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Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport