Brüche multiplizieren einfach erklärt – Schritt für Schritt zur Lösung

Weiterführend:

• Zur Kapitelübersicht „Bruchzahlen”
• Vorwissen: Erweitern und Kürzen
• Vorwissen: Brüche addieren und subtrahieren
• Als Nächstes: Brüche dividieren

Darum geht's

Stell dir vor, du backst Kuchen für ein Fest. Das Rezept ergibt einen halben Blechkuchen, doch du möchtest nur zwei Drittel davon zubereiten. Wie viel vom ganzen Blech backst du dann? Solche Fragen begegnen dir täglich: beim Kochen, beim Einkaufen oder beim Teilen einer Pizza mit Freunden. Immer geht es darum, einen Teil von einem Teil zu bestimmen. Genau das leistet die Multiplikation von Brüchen. Sie ist überraschend unkompliziert – einfacher als die Addition, weil du keinen gemeinsamen Nenner suchen musst. In diesem Artikel lernst du die Regel, das anschauliche Rechteckmodell und die besten Tricks, mit denen du schnell und sicher rechnest.

📋Lehrplan 21Zyklus 2 (3.–6. Klasse), Zyklus 3 (7.–9. Klasse) · 3Kompetenzen

• MA.1.A.3.iGrundanspruchGrundoperationen mit rationalen Zahlen; Wurzeln und Potenzen mit Rechner; Erw: Grundoperationen mit gewöhnlichen Brüchen mit Variablen
• MA.1.A.3.gDezimalzahlen multiplizieren; Brüche am Rechteckmodell multiplizieren; Brüche als Dezimalzahlen schreiben; Stammbrüche in ganzen Zahlen bestimmen
• MA.1.C.1.gSummen, Differenzen und Produkte von Brüchen und Dezimalzahlen mit Modellen darstellen (Rechteckmodell, Kreismodell)

Quelle: Aargauer Lehrplan Volksschule, Fachbereich Mathematik (August 2022)

Eine kleine Zeitreise

Die Geschichte der Bruchmultiplikation reicht über 4000 Jahre zurück. Bereits die alten Ägypter rechneten mit Brüchen. Sie verwendeten fast ausschliesslich Stammbrüche – Brüche mit dem Zähler 1. Der berühmte Papyrus Rhind aus der Zeit um 1650 vor Christus zeigt, wie ägyptische Schreiber Brüche addierten und multiplizierten. Ihre Methoden waren umständlich, aber sie funktionierten.

Die Babylonier entwickelten etwa zur gleichen Zeit ein ausgeklügeltes Sexagesimalsystem. Sie teilten alles in 60 Teile und nutzten es für astronomische Berechnungen. Die Multiplikation von Brüchen war für sie ein wichtiges Werkzeug. Ihr System steckt heute noch in unseren Zeitangaben und Winkelmassen.

Im antiken Griechenland betrachteten Mathematiker Brüche eher geometrisch. Euklid beschrieb um 300 vor Christus in seinen “Elementen” Verhältnisse und Proportionen. Er multiplizierte Brüche indirekt durch geometrische Konstruktionen – ganz ähnlich dem Rechteckmodell, das du in diesem Artikel kennenlernst.

Einen entscheidenden Durchbruch brachten indische Mathematiker. Brahmagupta formulierte im 7. Jahrhundert nach Christus klare Regeln für die Bruchrechnung. Arabische Gelehrte wie Al-Chwarizmi übernahmen dieses Wissen im 9. Jahrhundert und erweiterten es systematisch. Ihre Bücher wurden später ins Lateinische übersetzt und beeinflussten die europäische Mathematik massgeblich.

Gefahr

Mathe-Fact: Der indische Mathematiker Brahmagupta schrieb schon vor über 1300 Jahren: “Multipliziere Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner.” Genau diese Regel verwendest du heute noch – sie hat sich seit dem 7. Jahrhundert nicht verändert.

Im mittelalterlichen Europa verbreitete sich das Wissen langsam. Leonardo von Pisa, bekannt als Fibonacci, brachte 1202 das arabische Zahlensystem nach Europa. Sein Buch “Liber Abaci” enthielt ausführliche Kapitel zur Bruchrechnung mit praktischen Anwendungen für Händler und Kaufleute. Die moderne Schreibweise mit waagrechtem Bruchstrich setzte sich erst im 16. Jahrhundert durch, als Mathematiker wie Michael Stifel und Simon Stevin die Notation vereinheitlichten.

Heute ist die Multiplikation von Brüchen ein fundamentales Konzept. Du begegnest ihr in der Wahrscheinlichkeitsrechnung, der Physik und der Informatik. Sie ist die Grundlage für Prozente, Verhältnisse und Proportionen.

Die Grundlagen

Bevor du rechnest, lohnt sich ein Blick auf die Frage: Was bedeutet es überhaupt, zwei Brüche zu multiplizieren? Bei natürlichen Zahlen heisst $3 \cdot 4$: Nimm die 4 dreimal. Bei Brüchen funktioniert diese Vorstellung nicht mehr direkt. Wie soll man etwas “einen halben Mal” nehmen?

Die Antwort steckt im Wort “von”. Die Hälfte von einem Drittel, zwei Drittel von einem halben Kuchen – immer dann, wenn du einen Anteil von einem anderen Anteil bestimmst, multiplizierst du.

Definition

Ein Bruchteil von einer Grösse berechnest du durch Multiplikation. Der Ausdruck ”$\dfrac{1}{2}$ von $\dfrac{1}{3}$” bedeutet $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3}$. Das gilt auch für ganze Zahlen: ”$\dfrac{3}{4}$ von 8” bedeutet $\dfrac{3}{4} \cdot 8$.

Am besten verstehst du die Multiplikation am Rechteckmodell. Stell dir ein quadratisches Blech Kuchen vor. Du teilst es mit senkrechten Schnitten in 3 gleich breite Streifen und nimmst einen davon: Das ist $\dfrac{1}{3}$. Nun teilst du das Blech zusätzlich mit waagrechten Schnitten in 2 gleich hohe Streifen und nimmst von deinem Drittel nur die untere Hälfte. Das ganze Blech besteht jetzt aus $2 \cdot 3 = 6$ gleich grossen Feldern. Dein Stück ist genau eines davon:

$$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$$

Das Modell erklärt, warum die Nenner multipliziert werden: Jeder neue Schnitt macht die Felder kleiner. Und es erklärt die Zähler: Du zählst, wie viele der kleinen Felder doppelt markiert sind. Das Rechteckmodell funktioniert für beliebige Brüche, nicht nur für Stammbrüche.

Noch zwei Begriffe, die du brauchst: Der Zähler steht über dem Bruchstrich und gibt an, wie viele Teile du hast. Der Nenner steht unter dem Bruchstrich und zeigt, in wie viele Teile das Ganze geteilt wurde. Beim Multiplizieren entsteht der neue Zähler aus dem Produkt der beiden alten Zähler. Genauso entsteht der neue Nenner aus dem Produkt der beiden alten Nenner.

Probiere das Rechteckmodell mit einem zweiten Beispiel: $\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{4}$. Du teilst das Rechteck in 4 Spalten und färbst 3 davon. Dann teilst du es in 3 Zeilen und nimmst 2 davon. Von den $3 \cdot 4 = 12$ Feldern sind $2 \cdot 3 = 6$ doppelt markiert – also $\dfrac{6}{12}$, gekürzt $\dfrac{1}{2}$. Das Modell liefert nicht nur das Ergebnis, sondern auch das Verständnis dahinter.

Die Kernmethode

Die Multiplikation von Brüchen folgt einer einzigen Regel. Sie gilt ausnahmslos für alle Brüche, und du brauchst – anders als bei der Addition – keinen gemeinsamen Nenner.

Definition

Du multiplizierst zwei Brüche, indem du Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner rechnest:

$$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$$

Dabei dürfen die Nenner $b$ und $d$ nicht null sein. Eine natürliche Zahl schreibst du als Bruch mit Nenner 1: $\;5 = \dfrac{5}{1}$.

So gehst du Schritt für Schritt vor:

1. Gemischte Zahlen umwandeln: Aus $2\frac{1}{3}$ wird $\dfrac{7}{3}$, denn $2 \cdot 3 + 1 = 7$.
2. Natürliche Zahlen als Brüche schreiben: Aus 5 wird $\dfrac{5}{1}$.
3. Vor dem Multiplizieren kürzen: Suche gemeinsame Teiler zwischen einem Zähler und einem Nenner. Kürzen vor dem Rechnen hält die Zahlen klein.
4. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner.
5. Ergebnis vollständig kürzen und, wenn sinnvoll, als gemischte Zahl schreiben.

Schritt 3 ist der wichtigste Trick dieses Artikels. Weil bei der Multiplikation alle Zähler oben und alle Nenner unten in einem einzigen Bruch landen, darfst du jeden Zähler mit jedem Nenner kürzen – auch über Kreuz zwischen den beiden Brüchen. Wer erst multipliziert und dann kürzt, kämpft oft mit grossen Zahlen.

Ein kurzes Beispiel zur Methode: $\dfrac{4}{7} \cdot \dfrac{7}{8}$. Die 7 oben und die 7 unten kürzen sich weg, die 4 oben und die 8 unten haben den Teiler 4. Übrig bleibt $\dfrac{1}{1} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$ – ganz ohne grosse Produkte. Halte dich an die Reihenfolge der fünf Schritte, dann hast du auch bei längeren Aufgaben immer den Überblick.

Beispiel:

Beispiel 1: Einstieg – Die geteilte Schokolade

Anna hat noch $\dfrac{1}{2}$ einer Tafel Schokolade. Davon gibt sie ihrer Freundin $\dfrac{2}{3}$ ab. Welchen Anteil der ganzen Tafel erhält die Freundin?

Gegeben:

• Annas Rest: $\dfrac{1}{2}$ der Tafel
• Anteil für die Freundin: $\dfrac{2}{3}$ davon

Gesucht: Anteil der Freundin an der ganzen Tafel

Lösung:

“Zwei Drittel von der Hälfte” bedeutet multiplizieren:

$$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}$$

Vor dem Rechnen kürzt du: Der Zähler 2 und der Nenner 2 haben den gemeinsamen Teiler 2.

$$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1} = \frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 1} = \frac{1}{3}$$

Antwort: Die Freundin erhält $\dfrac{1}{3}$ der ganzen Tafel.

Kontrolle: Ohne Kürzen: $\dfrac{2 \cdot 1}{3 \cdot 2} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$. ✓

Beispiel:

Beispiel 2: Rechteckmodell – Die Milch im Rezept

Ein Rezept benötigt $\dfrac{3}{4}$ Liter Milch. Du möchtest nur $\dfrac{2}{5}$ der Rezeptmenge zubereiten. Wie viel Milch brauchst du?

Gegeben:

• Rezeptmenge: $\dfrac{3}{4}$ Liter Milch
• Gewünschter Anteil: $\dfrac{2}{5}$ der Rezeptmenge

Gesucht: Benötigte Milchmenge in Litern

Lösung:

Am Rechteckmodell: Teile ein Rechteck senkrecht in 4 Spalten und färbe 3 davon – das ist $\dfrac{3}{4}$. Teile dasselbe Rechteck waagrecht in 5 Zeilen und nimm 2 davon. Das Rechteck besteht nun aus $4 \cdot 5 = 20$ Feldern. Doppelt markiert sind $3 \cdot 2 = 6$ Felder.

$$\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 4} = \frac{6}{20} = \frac{6 : 2}{20 : 2} = \frac{3}{10}$$

Antwort: Du brauchst $\dfrac{3}{10}$ Liter Milch, also 3 Deziliter.

Kontrolle: Als Dezimalzahlen: $0{,}4 \cdot 0{,}75 = 0{,}3$ und $\dfrac{3}{10} = 0{,}3$. ✓

Die häufigsten Stolpersteine

Beim Multiplizieren von Brüchen passieren bestimmte Fehler immer wieder. Wenn du sie kennst, vermeidest du sie leichter.

Achtung

Stolperstein 1: Die Additionsregel anwenden

Bei der Addition brauchst du einen gemeinsamen Nenner – bei der Multiplikation nicht. Ein typischer Fehler: $\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{7}$, weil $3 + 4 = 7$ gerechnet wurde. Richtig ist: $\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{2 \cdot 1}{3 \cdot 4} = \dfrac{2}{12} = \dfrac{1}{6}$. Merke dir: Multiplizieren heisst Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner – ohne gemeinsamen Nenner.

Achtung

Stolperstein 2: Natürliche Zahl mit dem Nenner verrechnen

Bei “Bruch mal natürliche Zahl” wird nur der Zähler multipliziert. Falsch ist: $3 \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{6}{15}$. Hier wurde die 3 fälschlich auch in den Nenner multipliziert. Richtig: $3 \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{1} \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{6}{5}$. Schreibe die natürliche Zahl als Bruch mit Nenner 1, dann passiert dieser Fehler nicht.

Achtung

Stolperstein 3: Gemischte Zahlen nicht umwandeln

Du darfst bei $2\frac{1}{3} \cdot 1\frac{1}{2}$ nicht die ganzen Zahlen und die Brüche getrennt multiplizieren. Das ergäbe $2\frac{1}{6}$ – deutlich zu wenig. Richtig: Erst umwandeln, $2\frac{1}{3} = \dfrac{7}{3}$ und $1\frac{1}{2} = \dfrac{3}{2}$, dann multiplizieren: $\dfrac{7}{3} \cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{21}{6} = \dfrac{7}{2} = 3\frac{1}{2}$.

Achtung

Stolperstein 4: Falsch kürzen

Vor dem Multiplizieren darfst du nur einen Zähler mit einem Nenner kürzen – nie zwei Zähler oder zwei Nenner miteinander. Bei $\dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{2}{3}$ darfst du die 4 und die 2 nicht durch 2 teilen, denn beide stehen oben. Hier ist gar kein Kürzen möglich; das Ergebnis ist $\dfrac{8}{15}$. Stelle dir Kürzen als diagonales Streichen vor: immer eine Zahl oben und eine unten.

Beispiel:

Beispiel 3: Gemischte Zahl – Schritt für Schritt

Berechne $1\frac{2}{3} \cdot \dfrac{9}{10}$.

Gegeben: Das Produkt $1\frac{2}{3} \cdot \dfrac{9}{10}$

Gesucht: Das Ergebnis als vollständig gekürzter Bruch

Lösung:

Zuerst wandelst du die gemischte Zahl um. Bei $1\frac{2}{3}$ rechnest du $1 \cdot 3 + 2 = 5$:

$$1\frac{2}{3} = \frac{5}{3}$$

Nun kürzt du vor dem Multiplizieren. Die 5 oben und die 10 unten haben den Teiler 5, die 9 oben und die 3 unten haben den Teiler 3:

$$\frac{5}{3} \cdot \frac{9}{10} = \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{2}$$

Jetzt multiplizierst du Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner:

$$\frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$$

Antwort: Das Ergebnis ist $\dfrac{3}{2}$, als gemischte Zahl $1\frac{1}{2}$.

Kontrolle: Überschlag: $1\frac{2}{3}$ ist etwas mehr als $1{,}5$; davon $\dfrac{9}{10}$ (etwas weniger als das Ganze) sollte knapp unter $1{,}7$ liegen. $1{,}5$ passt zur Grössenordnung. ✓

Beispiel:

Beispiel 4: Transfer – Bruch mal natürliche Zahl

Für ein Klassenlager füllst du 8 Trinkflaschen. Jede Flasche fasst $\dfrac{3}{4}$ Liter. Wie viele Liter Wasser brauchst du insgesamt?

Gegeben:

• Anzahl Flaschen: 8
• Inhalt pro Flasche: $\dfrac{3}{4}$ Liter

Gesucht: Gesamtmenge in Litern

Lösung:

Du schreibst die natürliche Zahl als Bruch mit Nenner 1 und kürzt vor dem Multiplizieren. Die 8 oben und die 4 unten haben den Teiler 4:

$$\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{1} = \frac{3}{1} \cdot \frac{2}{1} = \frac{3 \cdot 2}{1 \cdot 1} = \frac{6}{1} = 6$$

Antwort: Du brauchst 6 Liter Wasser.

Kontrolle: Als Dezimalzahl ist $\dfrac{3}{4} = 0{,}75$ und $8 \cdot 0{,}75 = 6$. ✓ Auch anschaulich stimmt es: 4 Flaschen ergeben 3 Liter, also ergeben 8 Flaschen 6 Liter.

Vertiefung

Bisher hast du zwei Faktoren multipliziert. Die Regel gilt aber für beliebig viele Brüche: Alle Zähler kommen oben in einen einzigen Bruch, alle Nenner unten. Genau hier zeigt das Kürzen vor dem Multiplizieren seine volle Kraft.

Definition

Vor dem Multiplizieren darfst du jeden Zähler mit jedem Nenner kürzen – auch über Kreuz zwischen verschiedenen Faktoren:

$$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$$

Weil alle Zähler im selben Produkt oben und alle Nenner im selben Produkt unten stehen, ändert das Kürzen den Wert nicht. Es macht nur die Zahlen kleiner.

Ein Vergleich zeigt den Unterschied. Bei $\dfrac{12}{25} \cdot \dfrac{15}{16}$ kannst du die 12 und die 16 durch 4 kürzen sowie die 15 und die 25 durch 5. Übrig bleibt $\dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{20}$. Ohne Kürzen müsstest du erst $\dfrac{180}{400}$ ausrechnen und diesen Bruch dann mühsam auf $\dfrac{9}{20}$ kürzen.

Zwei weitere Beobachtungen lohnen sich. Erstens: Multiplizierst du eine Zahl mit einem echten Bruch (Zähler kleiner als Nenner), wird das Ergebnis kleiner als die Ausgangszahl. “Mal nehmen” heisst bei Brüchen also nicht automatisch “vergrössern” – das Rechteckmodell zeigt warum: Du nimmst nur einen Teil. Zweitens: Du kannst jedes Ergebnis als Dezimalzahl kontrollieren. Schreibe beide Faktoren als Dezimalzahlen, multipliziere, und vergleiche: $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{4}$ ist $0{,}5 \cdot 0{,}75 = 0{,}375 = \dfrac{3}{8}$. Diese Probe entlarvt Rechenfehler zuverlässig.

In Zyklus 3 wirst du die Regel unverändert auf negative Brüche anwenden – dann kommen nur noch die Vorzeichenregeln dazu, die du von den ganzen Zahlen kennst.

Beispiel:

Beispiel 5: Vertiefung – Drei Faktoren geschickt kürzen

Berechne $\dfrac{5}{6} \cdot 2\frac{2}{5} \cdot \dfrac{9}{10}$.

Gegeben: Ein Produkt aus drei Faktoren, davon eine gemischte Zahl

Gesucht: Das Ergebnis als vollständig gekürzter Bruch

Lösung:

Zuerst wandelst du die gemischte Zahl um: $2\frac{2}{5} = \dfrac{2 \cdot 5 + 2}{5} = \dfrac{12}{5}$.

$$\frac{5}{6} \cdot \frac{12}{5} \cdot \frac{9}{10}$$

Jetzt kürzt du über Kreuz: Die 5 oben und die 5 unten kürzen sich weg. Die 12 oben und die 6 unten haben den Teiler 6:

$$\frac{1}{1} \cdot \frac{2}{1} \cdot \frac{9}{10}$$

Die 2 oben und die 10 unten haben den Teiler 2:

$$\frac{1}{1} \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{9}{5} = \frac{9}{5} = 1\frac{4}{5}$$

Antwort: Das Ergebnis ist $\dfrac{9}{5}$, als gemischte Zahl $1\frac{4}{5}$.

Kontrolle: Ohne Kürzen ergäbe sich $\dfrac{5 \cdot 12 \cdot 9}{6 \cdot 5 \cdot 10} = \dfrac{540}{300} = \dfrac{9}{5}$. ✓ Das Kürzen vorab erspart dir diese grossen Zahlen.

Übungen

Die folgenden Aufgaben sind nach Schwierigkeit geordnet. Kürze jedes Ergebnis vollständig. Die Lösungen mit allen Rechenwegen findest du am Ende des Artikels.

Aufgabe 1: Berechne $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{4}$.

Aufgabe 2: Multipliziere $\dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{7}$.

Aufgabe 3: Berechne und kürze vollständig: $\dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{3}{8}$.

Aufgabe 4: Berechne $6 \cdot \dfrac{2}{3}$.

Aufgabe 5: Multipliziere $1\frac{1}{3} \cdot \dfrac{3}{4}$.

Aufgabe 6: Ein Bäcker verwendet $\dfrac{2}{3}$ seines Mehls für Brot. Davon nimmt er $\dfrac{3}{4}$ für Vollkornbrot. Welcher Anteil des gesamten Mehls wird für Vollkornbrot verwendet?

Aufgabe 7: Berechne $\dfrac{5}{6} \cdot 2\frac{2}{5}$.

Aufgabe 8: Multipliziere drei Brüche: $\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{9}{10} \cdot \dfrac{5}{6}$.

Aufgabe 9: Ein rechteckiges Grundstück ist $2\frac{1}{2}$ Kilometer lang und $1\frac{3}{5}$ Kilometer breit. Berechne die Fläche in Quadratkilometern.

Aufgabe 10: Vereinfache durch Kürzen vor dem Multiplizieren und berechne: $\dfrac{15}{28} \cdot \dfrac{14}{25} \cdot \dfrac{10}{21}$.

Das Wichtigste in Kürze

• Die Grundregel: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner: $\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \cdot c}{b \cdot d}$. Ein gemeinsamer Nenner ist nicht nötig.
• «von» bedeutet «mal»: Ein Bruchteil von einem Anteil oder einer Menge wird durch Multiplikation berechnet.
• Rechteckmodell: Senkrechte und waagrechte Schnitte zeigen, warum die Nenner multipliziert werden – die Felder werden kleiner.
• Natürliche Zahlen schreibst du als Bruch mit Nenner 1: $\;6 = \dfrac{6}{1}$.
• Gemischte Zahlen wandelst du vor dem Multiplizieren in unechte Brüche um.
• Kürzen vor dem Multiplizieren: Jeder Zähler darf mit jedem Nenner gekürzt werden – das hält die Zahlen klein.
• Kontrolle: Rechne zur Probe mit Dezimalzahlen oder kürze erst nach dem Multiplizieren – beides muss dasselbe Ergebnis liefern.

Dein Wissen im Test

❓ Frage:

Berechne $\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{4}$ und kürze das Ergebnis vollständig.

Lösung anzeigen

Kürze vor dem Multiplizieren: Die 3 oben und die 3 unten kürzen sich weg, die 2 oben und die 4 unten haben den Teiler 2.

$$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$

Kontrolle: Ohne Kürzen: $\dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}$. ✓

❓ Frage:

Lea behauptet: “Wenn ich zwei echte Brüche multipliziere, ist das Ergebnis immer kleiner als beide Faktoren.” Stimmt das? Begründe mit dem Rechteckmodell.

Lösung anzeigen

Ja, das stimmt. Ein echter Bruch ist kleiner als 1. Im Rechteckmodell färbst du zuerst einen Teil des Rechtecks (erster Faktor). Vom gefärbten Teil nimmst du dann wieder nur einen Teil (zweiter Faktor). Das Ergebnis ist also ein Teil von einem Teil – es kann nicht grösser sein als einer der beiden Anteile. Beispiel: $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}$, und $\dfrac{1}{6}$ ist kleiner als $\dfrac{1}{2}$ und kleiner als $\dfrac{1}{3}$.

❓ Frage:

Berechne $5 \cdot \dfrac{3}{10}$ und gib das Ergebnis vollständig gekürzt an.

Lösung anzeigen

Schreibe die 5 als Bruch mit Nenner 1 und kürze die 5 mit der 10 (Teiler 5):

$$\frac{5}{1} \cdot \frac{3}{10} = \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$$

Achtung: Nur der Zähler wird mit 5 multipliziert – nicht der Nenner.

❓ Frage:

Berechne $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}$ und schreibe das Ergebnis auch als Dezimalzahl.

Lösung anzeigen

$$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}$$

Als Dezimalzahl: $\dfrac{1}{4} = 0{,}25$.

Kontrolle: $0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25$. ✓ Die Hälfte von der Hälfte ist ein Viertel.

❓ Frage:

Berechne $\dfrac{12}{25} \cdot \dfrac{15}{16}$ möglichst geschickt. Welche Kürzungen helfen dir?

Lösung anzeigen

Kürze vor dem Multiplizieren: Die 12 oben und die 16 unten haben den Teiler 4, die 15 oben und die 25 unten haben den Teiler 5.

$$\frac{12}{25} \cdot \frac{15}{16} = \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{20}$$

Ohne Kürzen müsstest du $\dfrac{180}{400}$ ausrechnen und dann kürzen – derselbe Wert, aber viel mehr Arbeit.

Ausblick

Nach der Multiplikation folgt die Division von Brüchen. Sie baut direkt auf deinem heutigen Wissen auf: Du drehst den zweiten Bruch um und multiplizierst dann – das nennt man “mit dem Kehrwert multiplizieren”. Ohne sichere Bruchmultiplikation funktioniert die Division also nicht. Auch die Prozentrechnung in der 7. Klasse beruht auf der Idee “Anteil von etwas nehmen”: 25 % von 80 ist nichts anderes als $\dfrac{1}{4} \cdot 80$. Festige darum die Regel “Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner” – sie begleitet dich durch die gesamte Oberstufe.

Lösungen

Lösung 1: Du multiplizierst Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner:

$$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 4} = \frac{1}{8}$$

Das Ergebnis $\dfrac{1}{8}$ ist bereits vollständig gekürzt.

Lösung 2: Hier gibt es keine gemeinsamen Teiler zwischen Zählern und Nennern. Du multiplizierst direkt:

$$\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{7} = \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 7} = \frac{6}{35}$$

Die Zahlen 6 und 35 haben keinen gemeinsamen Teiler ausser 1 – das Ergebnis ist fertig gekürzt.

Lösung 3: Kürze vor dem Multiplizieren. Die 4 oben und die 8 unten haben den Teiler 4, die 3 oben und die 9 unten haben den Teiler 3:

$$\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$$

Kontrolle: Ohne Kürzen: $\dfrac{12}{72} = \dfrac{1}{6}$. ✓

Lösung 4: Schreibe die 6 als Bruch mit Nenner 1 und kürze die 6 mit der 3 (Teiler 3):

$$6 \cdot \frac{2}{3} = \frac{6}{1} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{1} = \frac{4}{1} = 4$$

Anschaulich: Sechsmal zwei Drittel sind zwölf Drittel, und $\dfrac{12}{3} = 4$.

Lösung 5: Wandle die gemischte Zahl um: $1\frac{1}{3} = \dfrac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \dfrac{4}{3}$. Dann kürzt du über Kreuz – die 4 mit der 4 und die 3 mit der 3:

$$\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{1} = 1$$

Die beiden Brüche sind Kehrwerte voneinander; ihr Produkt ist immer 1.

Lösung 6: Du berechnest $\dfrac{3}{4}$ von $\dfrac{2}{3}$ – also multiplizierst du. Kürze die 3 oben mit der 3 unten und die 2 oben mit der 4 unten:

$$\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1} = \frac{1}{2}$$

Der Bäcker verwendet $\dfrac{1}{2}$ seines gesamten Mehls für Vollkornbrot.

Kontrolle: Ohne Kürzen: $\dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}$. ✓

Lösung 7: Wandle die gemischte Zahl um: $2\frac{2}{5} = \dfrac{2 \cdot 5 + 2}{5} = \dfrac{12}{5}$. Kürze die 5 mit der 5 und die 12 mit der 6 (Teiler 6):

$$\frac{5}{6} \cdot \frac{12}{5} = \frac{1}{1} \cdot \frac{2}{1} = 2$$

Kontrolle: Ohne Kürzen: $\dfrac{60}{30} = 2$. ✓

Lösung 8: Alle Zähler kommen oben, alle Nenner unten in einen Bruch. Kürze über Kreuz: Die 9 mit der 3 (Teiler 3), die 2 mit der 10 (Teiler 2), danach die 5 mit der verbleibenden 5:

$$\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{10} \cdot \frac{5}{6} = \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{1} \cdot \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$

Kontrolle: Ohne Kürzen: $\dfrac{2 \cdot 9 \cdot 5}{3 \cdot 10 \cdot 6} = \dfrac{90}{180} = \dfrac{1}{2}$. ✓

Lösung 9: Die Fläche eines Rechtecks ist Länge mal Breite. Wandle beide gemischten Zahlen um:

$$2\frac{1}{2} = \frac{5}{2} \qquad \text{und} \qquad 1\frac{3}{5} = \frac{8}{5}$$

Kürze die 5 mit der 5 und die 8 mit der 2 (Teiler 2):

$$\frac{5}{2} \cdot \frac{8}{5} = \frac{1}{1} \cdot \frac{4}{1} = 4$$

Die Fläche des Grundstücks beträgt 4 Quadratkilometer.

Kontrolle: Als Dezimalzahlen: $2{,}5 \cdot 1{,}6 = 4$. ✓

Lösung 10: Schreibe alle Zähler und Nenner in einen Bruch und kürze schrittweise. Die 15 oben und die 25 unten haben den Teiler 5. Die 14 oben und die 28 unten haben den Teiler 14. Die 10 oben und die verbleibende 5 unten haben den Teiler 5:

$$\frac{15}{28} \cdot \frac{14}{25} \cdot \frac{10}{21} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{10}{21} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{2}{21}$$

Nun kürzt du die 2 mit der 2 und die 3 mit der 21 (Teiler 3):

$$\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{21} = \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{7} = \frac{1}{7}$$

Das Ergebnis ist $\dfrac{1}{7}$. Diese Aufgabe zeigt, wie mächtig das Kürzen vor dem Multiplizieren ist: Ohne Kürzen müsstest du $\dfrac{15 \cdot 14 \cdot 10}{28 \cdot 25 \cdot 21} = \dfrac{2100}{14\,700}$ berechnen und diesen Bruch anschliessend auf $\dfrac{1}{7}$ kürzen – mit Kürzen vorab bleiben alle Zwischenzahlen klein.

Verwandte Themen

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• Brüche addieren und subtrahieren – Einfach erklärt mit Beispielen

Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport