Strecken und Geraden – Die Bausteine der Geometrie

Darum geht's

Stell dir vor, du stehst am Bahnhof und schaust auf die Gleise. Die Schienen verlaufen schnurgerade in beide Richtungen – so weit du sehen kannst. Du könntest stundenlang laufen, und die Schienen würden einfach weitergehen.

Jetzt stell dir ein Stück Schnur vor, das du zwischen zwei Nägeln spannst. Die Schnur hat einen klaren Anfang und ein klares Ende.

Diese zwei Bilder zeigen dir bereits den wichtigsten Unterschied der Geometrie: Manche Linien gehen endlos weiter, andere haben feste Grenzen. Heute lernst du alle drei grundlegenden Linientypen kennen – und du wirst sie nie mehr verwechseln.

Eine kleine Zeitreise

Menschen haben sich seit Jahrtausenden mit geraden Linien beschäftigt. Lange bevor es Schulhefte und Lineale gab, brauchten Menschen klare Linien für ganz praktische Aufgaben.

Im alten Ägypten – Geometrie aus der Not

Jedes Jahr überschwemmte der Nil die Felder. Das fruchtbare Wasser war ein Segen. Doch es verwischte alle Feldgrenzen. Nach der Flut mussten die Ägypter die Felder neu vermessen. Darum wurden sie zu Meistern der Geometrie. Das griechische Wort Geometrie bedeutet übrigens genau das: “Erdmessung” – geo für Erde und metron für Mass.

Die ägyptischen Vermesser zogen gespannte Seile zwischen Pflöcken. Das ist im Grunde eine Strecke: ein Anfang, ein Ende, der kürzeste Weg dazwischen.

Die alten Griechen – Geometrie als Wissenschaft

Der griechische Mathematiker Euklid brachte um 300 v. Chr. Ordnung in die Geometrie. In seinem berühmten Werk Die Elemente definierte er erstmals genau, was eine Linie ist. Für ihn war eine gerade Linie “eine Linie, die gleichmässig zwischen ihren Punkten liegt”. Das klingt etwas seltsam, aber der Kern stimmt: Eine Gerade weicht nirgendwo ab.

Euklid erkannte auch, dass man durch zwei Punkte immer genau eine Gerade legen kann. Diese Erkenntnis klingt heute selbstverständlich. Damals war sie ein wichtiger Grundstein der Mathematik.

Von der Praxis zur Abstraktion

Die Römer bauten ihre Strassen schnurgerade durch ganz Europa. Noch heute verlaufen manche Strassen in England oder Deutschland entlang ehemaliger Römerstrassen. Diese Strassen sind gute Modelle für Geraden. Sie gehen so weit wie möglich in eine Richtung.

Im Mittelalter nutzten Baumeister gespannte Fäden, um Mauern gerade auszurichten. Jeder gespannte Faden ist eine Strecke.

Geometrie heute

Heute begegnet dir Geometrie überall. Im Computerspiel, in der Architektur, im Stadtplan. GPS-Systeme berechnen den kürzesten Weg zwischen zwei Punkten – das ist nichts anderes als eine Strecke. Laserstrahlen in Vermessungsgeräten sind das perfekte Bild für einen Strahl.

Die Begriffe, die du heute lernst, sind über 2000 Jahre alt. Und sie sind immer noch die Grundlage der modernen Mathematik.

Die Grundlagen

In der Geometrie arbeiten wir mit drei Arten von geraden Linien. Alle drei sind vollkommen gerade – ohne Kurven oder Knicke. Der Unterschied liegt darin, wo sie beginnen und enden.

Die Gerade

Eine Gerade geht in beide Richtungen unendlich weiter. Sie hat keinen Anfang und kein Ende. In Zeichnungen erkennst du sie an den Pfeilen an beiden Enden. Diese Pfeile bedeuten: “Hier geht es noch weiter.”

Definition

Eine Gerade ist eine unendlich lange, gerade Linie ohne Anfangs- und Endpunkt.

Schreibweise: $g$ oder $\overleftrightarrow{AB}$

Die Doppelpfeile zeigen: Die Linie geht in beide Richtungen unendlich weiter.

Geraden benennen wir mit kleinen Buchstaben: $g$, $h$, $k$. Alternativ nehmen wir zwei Punkte auf der Geraden und schreiben $\overleftrightarrow{AB}$.

Die Strecke

Eine Strecke hat einen klaren Startpunkt und einen klaren Endpunkt. Sie verbindet diese zwei Punkte auf dem kürzesten Weg.

Definition

Eine Strecke ist der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten $A$ und $B$.

Schreibweise: $\overline{AB}$ oder $[AB]$

Länge der Strecke: $|\overline{AB}|$ oder kurz $\overline{AB} = 5\,\text{cm}$

Beide Endpunkte gehören zur Strecke dazu.

Der Strahl

Ein Strahl hat einen festen Startpunkt. Von dort geht er in eine Richtung unendlich weiter. In Zeichnungen erkennst du ihn am Punkt auf einer Seite und am Pfeil auf der anderen.

Definition

Ein Strahl hat einen Anfangspunkt und verläuft von dort unendlich in eine Richtung.

Schreibweise: $\overrightarrow{AB}$

Der erste Buchstabe ist immer der Startpunkt. Der Pfeil zeigt die Richtung.

Die Kernmethode

Wie erkennst du sicher, welcher Linientyp vor dir liegt? Stelle dir drei einfache Fragen.

Schritt 1: Zähle die Endpunkte

Ein Endpunkt ist ein Punkt, an dem die Linie aufhört. Zähle, wie viele du siehst.

• Zwei Endpunkte → Strecke
• Ein Endpunkt → Strahl
• Kein Endpunkt → Gerade

Schritt 2: Schau auf die Pfeile

Pfeile in Zeichnungen bedeuten immer “geht weiter ins Unendliche”.

• Pfeile an beiden Enden → Gerade
• Ein Pfeil, ein Punkt → Strahl
• Keine Pfeile, nur Punkte → Strecke

Schritt 3: Frage nach der Länge

• Kannst du die Länge messen und als Zahl angeben? → Strecke
• Geht die Linie ins Unendliche? → Gerade oder Strahl

Definition

Merkmal	Gerade	Strahl	Strecke
Endpunkte	0	1	2
Pfeile	2	1	0
Länge messbar	nein	nein	ja
Schreibweise	$\overleftrightarrow{AB}$	$\overrightarrow{AB}$	$\overline{AB}$

Ein Trick hilft beim Merken: Schau auf die Schreibweise. Doppelpfeil $\overleftrightarrow{}$ = Gerade. Einfacher Pfeil $\overrightarrow{}$ = Strahl. Überstrich ohne Pfeil $\overline{}$ = Strecke.

Beispiel:

Beispiel 1: Linientypen erkennen

Benenne die geometrischen Objekte mit dem richtigen Begriff:

a) Die Kante eines Lineals b) Ein Laserstrahl, der von einer Quelle ausgeht c) Eine perfekt gerade Strasse, die sich bis zum Horizont erstreckt d) Das Symbol $\overrightarrow{PQ}$

Lösung:

a) Die Kante eines Lineals ist eine Strecke. Sie beginnt an einer Ecke und endet an der anderen Ecke. Du kannst ihre Länge messen.

b) Ein Laserstrahl ist ein Strahl. Er startet an der Quelle. Dort ist der Endpunkt. Dann geht er theoretisch unendlich weiter in eine Richtung.

c) Die Strasse ist ein Modell für eine Gerade. Auch wenn sie irgendwo endet, stellen wir uns vor, dass sie in beide Richtungen unendlich weitergeht.

d) $\overrightarrow{PQ}$ ist ein Strahl. Der Startpunkt ist $P$. Der Strahl geht durch $Q$ hindurch und dann unendlich weiter.

Beispiel:

Beispiel 2: Mit Punkten und Schreibweise arbeiten

Gegeben sind die Punkte $A$, $B$ und $C$. Sie liegen alle auf einer Geraden. Beschreibe die folgenden Objekte in Worten:

a) $\overline{AC}$ b) $\overleftrightarrow{BC}$ c) $\overrightarrow{BA}$ d) $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{BA}$ – was ist der Unterschied?

Lösung:

a) $\overline{AC}$ ist die Strecke von Punkt $A$ zu Punkt $C$. Sie enthält alle Punkte zwischen $A$ und $C$. Auch $A$ und $C$ selbst gehören dazu.

b) $\overleftrightarrow{BC}$ ist die Gerade durch die Punkte $B$ und $C$. Sie geht über beide Punkte hinaus in beide Richtungen ins Unendliche.

c) $\overrightarrow{BA}$ ist der Strahl, der bei $B$ beginnt. Er geht durch $A$ hindurch und dann unendlich weiter.

d) $\overrightarrow{AB}$ startet bei $A$ und zeigt durch $B$. $\overrightarrow{BA}$ startet bei $B$ und zeigt durch $A$. Sie starten an verschiedenen Punkten und zeigen in entgegengesetzte Richtungen. Das sind zwei völlig verschiedene Objekte.

Die häufigsten Stolpersteine

Beim Lernen dieser Begriffe passieren immer wieder dieselben Fehler. Hier sind die wichtigsten.

Achtung

Stolperstein 1: Strecke und Gerade verwechseln

Viele schreiben $\overline{AB}$ und meinen damit die ganze Gerade. Das ist falsch. $\overline{AB}$ ist nur der Teil zwischen $A$ und $B$. Nichts ausserhalb dieser zwei Punkte.

Die Gerade durch $A$ und $B$ schreibst du als $\overleftrightarrow{AB}$. Achte auf den Unterschied bei den Symbolen.

Achtung

Stolperstein 2: Die Reihenfolge beim Strahl

Bei einem Strahl ist die Reihenfolge der Buchstaben wichtig. $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{BA}$ sind nicht dasselbe.

$\overrightarrow{AB}$: Startpunkt ist $A$, Richtung geht durch $B$. $\overrightarrow{BA}$: Startpunkt ist $B$, Richtung geht durch $A$.

Der erste Buchstabe ist immer der Startpunkt. Das ist eine Regel ohne Ausnahme.

Achtung

Stolperstein 3: Längen falsch addieren

Wenn drei Punkte auf einer Geraden liegen, kannst du ihre Abstände addieren. Aber nur, wenn du weisst, welcher Punkt in der Mitte liegt.

Liegt $B$ zwischen $A$ und $C$, gilt: $\overline{AC} = \overline{AB} + \overline{BC}$.

Weisst du die Reihenfolge nicht, zeichne zuerst eine Skizze. Ohne Skizze passieren hier fast immer Fehler.

Achtung

Stolperstein 4: Unendlich ist keine Zahl

Eine Gerade hat keine Länge, die du aufschreiben kannst. “Unendlich” ist kein Messwert. Du kannst nicht sagen: “Die Gerade ist unendlich cm lang.”

Geraden und Strahlen messen wir nicht. Nur Strecken haben eine Länge in Zentimetern, Metern oder anderen Einheiten.

Beispiel:

Beispiel 3: Streckenlängen berechnen

Auf einer Geraden $g$ liegen die Punkte $A$, $B$ und $C$ in dieser Reihenfolge. Es gilt: $\overline{AB} = 4\,\text{cm}$ und $\overline{BC} = 7\,\text{cm}$. Berechne die Länge von $\overline{AC}$.

Lösung:

Da die Punkte in der Reihenfolge $A$, $B$, $C$ liegen, liegt $B$ zwischen $A$ und $C$.

Die Strecke $\overline{AC}$ setzt sich aus $\overline{AB}$ und $\overline{BC}$ zusammen:

$$\overline{AC} = \overline{AB} + \overline{BC}$$$$\overline{AC} = 4\,\text{cm} + 7\,\text{cm} = 11\,\text{cm}$$

Probe: $\overline{AB} + \overline{BC} = 4 + 7 = 11 = \overline{AC}$ ✓

Die Strecke $\overline{AC}$ ist $11\,\text{cm}$ lang.

Tipp: Zeichne immer eine kurze Skizze mit den Punkten in der richtigen Reihenfolge. Das verhindert Fehler.

Beispiel:

Beispiel 4: Fehlende Streckenlänge berechnen

Die Punkte $P$, $Q$ und $R$ liegen auf einer Geraden, wobei $Q$ zwischen $P$ und $R$ liegt. Es gilt: $\overline{PR} = 15\,\text{cm}$ und $\overline{PQ} = 6\,\text{cm}$. Wie lang ist $\overline{QR}$?

Lösung:

Skizze: $P$ – – – $Q$ – – – – – – $R$

Da $Q$ zwischen $P$ und $R$ liegt, gilt:

$$\overline{PR} = \overline{PQ} + \overline{QR}$$

Umgestellt nach $\overline{QR}$:

$$\overline{QR} = \overline{PR} - \overline{PQ}$$$$\overline{QR} = 15\,\text{cm} - 6\,\text{cm} = 9\,\text{cm}$$

Probe: $\overline{PQ} + \overline{QR} = 6 + 9 = 15 = \overline{PR}$ ✓

Die Strecke $\overline{QR}$ ist $9\,\text{cm}$ lang.

Vertiefung

Du kennst jetzt die drei Grundbegriffe. Jetzt gehen wir einen Schritt weiter.

Mittelpunkt einer Strecke

Eine wichtige Anwendung ist der Mittelpunkt. Der Mittelpunkt $M$ einer Strecke $\overline{AB}$ teilt diese in zwei gleich lange Teile.

Definition

Der Mittelpunkt $M$ einer Strecke $\overline{AB}$ liegt genau in der Mitte.

Es gilt: $\overline{AM} = \overline{MB} = \dfrac{\overline{AB}}{2}$

Der Mittelpunkt teilt die Strecke in zwei gleich lange Teilstrecken.

Den Mittelpunkt kannst du zeichnerisch mit einem Zirkel konstruieren. Oder du berechnest ihn: Halbiere die Gesamtlänge.

Punkte auf einer Geraden

Durch jeden einzelnen Punkt gibt es unendlich viele Geraden. Durch zwei verschiedene Punkte gibt es genau eine Gerade. Das ist ein wichtiges Grundprinzip der Geometrie.

Definition

Durch zwei verschiedene Punkte lässt sich immer genau eine Gerade legen.

Durch einen Punkt lassen sich unendlich viele Geraden legen.

Kollineare Punkte

Wenn mehrere Punkte auf einer gemeinsamen Geraden liegen, nennt man sie kollinear. Das Wort kommt vom lateinischen collineare, was “auf einer Linie ausrichten” bedeutet.

Drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, nennt man nicht kollinear. Diese drei Punkte bestimmen dann ein Dreieck.

Verbindung zu anderen Themen

Strecken und Geraden sind die Grundlage für viele weitere Themen. Winkel entstehen, wenn zwei Strahlen denselben Anfangspunkt haben. Dreiecke bestehen aus drei Strecken. Vierecke aus vier Strecken.

Wenn du später Koordinatensysteme kennenlernst, wirst du Geraden durch Gleichungen beschreiben. Zum Beispiel: $y = 2x + 1$. Das ist dieselbe Gerade – nur in einer anderen Sprache.

Beispiel:

Beispiel 5: Mittelpunkt berechnen und Kollinearität

a) Die Strecke $\overline{AB}$ hat eine Länge von $\overline{AB} = 14\,\text{cm}$. Der Mittelpunkt heisst $M$. Berechne $\overline{AM}$ und $\overline{MB}$.

b) Die Punkte $D$, $E$ und $F$ liegen auf einer Geraden in dieser Reihenfolge. Es gilt $\overline{DE} = 5\,\text{cm}$ und $\overline{EF} = 5\,\text{cm}$. Ist $E$ der Mittelpunkt von $\overline{DF}$?

Lösung:

a) Der Mittelpunkt halbiert die Strecke:

$$\overline{AM} = \overline{MB} = \dfrac{\overline{AB}}{2} = \dfrac{14\,\text{cm}}{2} = 7\,\text{cm}$$

Beide Teilstrecken sind je $7\,\text{cm}$ lang.

b) Berechne zuerst die Gesamtlänge:

$$\overline{DF} = \overline{DE} + \overline{EF} = 5\,\text{cm} + 5\,\text{cm} = 10\,\text{cm}$$

Der Mittelpunkt von $\overline{DF}$ teilt sie bei $\dfrac{10}{2} = 5\,\text{cm}$.

Da $\overline{DE} = 5\,\text{cm}$, liegt $E$ genau bei $5\,\text{cm}$. Ja, $E$ ist der Mittelpunkt von $\overline{DF}$.

Übungen

Die folgenden Aufgaben sind nach Schwierigkeit geordnet. Beginne mit Aufgabe 1 und arbeite dich vor.

Aufgabe 1 (Grundwissen) Benenne das geometrische Objekt: Eine Linie hat Pfeile an beiden Enden. Wie heisst sie?

Aufgabe 2 (Grundwissen) Was zeigt das Symbol $\overline{PQ}$ an? Was zeigt $\overrightarrow{PQ}$ an? Erkläre den Unterschied.

Aufgabe 3 (Erkennen) Beschreibe je ein Beispiel aus dem Alltag für eine Gerade, eine Strecke und einen Strahl.

Aufgabe 4 (Schreibweise) Schreibe die Schreibweise für folgende Objekte auf: a) Die Gerade durch die Punkte $C$ und $D$ b) Die Strecke von $E$ nach $F$ c) Den Strahl, der bei $G$ startet und durch $H$ geht

Aufgabe 5 (Rechnen – leicht) Die Punkte $A$, $B$ und $C$ liegen in dieser Reihenfolge auf einer Geraden. Es gilt $\overline{AB} = 8\,\text{cm}$ und $\overline{BC} = 5\,\text{cm}$. Berechne $\overline{AC}$.

Aufgabe 6 (Rechnen – leicht) Auf einer Geraden liegen $X$, $Y$, $Z$ in dieser Reihenfolge. Es gilt $\overline{XZ} = 20\,\text{cm}$ und $\overline{XY} = 12\,\text{cm}$. Berechne $\overline{YZ}$.

Aufgabe 7 (Mittelpunkt) Die Strecke $\overline{PQ}$ ist $18\,\text{cm}$ lang. $M$ ist der Mittelpunkt. Berechne $\overline{PM}$ und $\overline{MQ}$.

Aufgabe 8 (Mittelpunkt bestimmen) Die Punkte $A$, $M$ und $B$ liegen in dieser Reihenfolge auf einer Geraden. Es gilt $\overline{AB} = 24\,\text{cm}$ und $\overline{AM} = 12\,\text{cm}$. Ist $M$ der Mittelpunkt von $\overline{AB}$? Begründe deine Antwort.

Aufgabe 9 (Knobeln) Auf einer Geraden liegen vier Punkte $A$, $B$, $C$, $D$ in dieser Reihenfolge. Es gilt $\overline{AB} = 3\,\text{cm}$, $\overline{BC} = 4\,\text{cm}$ und $\overline{CD} = 5\,\text{cm}$. Berechne: a) $\overline{AC}$, b) $\overline{BD}$, c) $\overline{AD}$.

Aufgabe 10 (Knobeln) Der Mittelpunkt $M$ der Strecke $\overline{AB}$ liegt so, dass $\overline{AM} = 7\,\text{cm}$. Wie lang ist $\overline{AB}$? Der Punkt $C$ liegt auf der Strecke $\overline{MB}$ und teilt diese in $\overline{MC} = 2\,\text{cm}$ und $\overline{CB} = 5\,\text{cm}$. Überprüfe, ob $C$ der Mittelpunkt von $\overline{MB}$ ist.

Das Wichtigste in Kürze

In der Geometrie gibt es drei grundlegende Linientypen.

Die Gerade geht in beide Richtungen unendlich weiter. Sie hat keinen Anfangs- und keinen Endpunkt. Du erkennst sie an den Pfeilen an beiden Enden. Schreibweise: $\overleftrightarrow{AB}$.

Die Strecke verbindet zwei Punkte auf dem kürzesten Weg. Sie hat zwei Endpunkte. Ihre Länge kannst du messen. Schreibweise: $\overline{AB}$.

Der Strahl startet an einem festen Punkt und geht in eine Richtung unendlich weiter. Er hat einen Anfangspunkt, aber kein Ende. Schreibweise: $\overrightarrow{AB}$.

Der Mittelpunkt einer Strecke halbiert diese in zwei gleich lange Teile.

Durch zwei verschiedene Punkte gibt es immer genau eine Gerade.

❓ Frage: Welches geometrische Objekt hat genau einen Anfangspunkt, aber kein Ende?

Lösung anzeigen

Ein Strahl (auch Halbgerade genannt) hat genau einen Anfangspunkt. Von dort verläuft er unendlich in eine Richtung. Du erkennst ihn in Zeichnungen an einem Punkt auf einer Seite und einem Pfeil auf der anderen Seite.

❓ Frage: Die Punkte $P$, $Q$ und $R$ liegen auf einer Geraden, wobei $Q$ zwischen $P$ und $R$ liegt. Es gilt: $\overline{PQ} = 3\,\text{cm}$ und $\overline{PR} = 10\,\text{cm}$. Wie lang ist $\overline{QR}$?

Lösung anzeigen

Da $Q$ zwischen $P$ und $R$ liegt, gilt: $\overline{PR} = \overline{PQ} + \overline{QR}$ Umgestellt: $\overline{QR} = \overline{PR} - \overline{PQ} = 10\,\text{cm} - 3\,\text{cm} = 7\,\text{cm}$ Die Strecke $\overline{QR}$ ist $7\,\text{cm}$ lang.

❓ Frage: Was ist der Unterschied zwischen $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{BA}$?

Lösung anzeigen

$\overrightarrow{AB}$ ist ein Strahl, der bei Punkt $A$ beginnt und durch $B$ ins Unendliche geht. $\overrightarrow{BA}$ ist ein Strahl, der bei Punkt $B$ beginnt und durch $A$ ins Unendliche geht. Sie haben verschiedene Startpunkte und zeigen in entgegengesetzte Richtungen. Das sind zwei völlig verschiedene Objekte.

❓ Frage: Die Strecke $\overline{AB}$ ist $26\,\text{cm}$ lang. $M$ ist der Mittelpunkt. Wie lang ist $\overline{AM}$?

Lösung anzeigen

Der Mittelpunkt halbiert die Strecke. $\overline{AM} = \dfrac{\overline{AB}}{2} = \dfrac{26\,\text{cm}}{2} = 13\,\text{cm}$ Die Teilstrecke $\overline{AM}$ ist $13\,\text{cm}$ lang. Ebenso ist $\overline{MB} = 13\,\text{cm}$.

❓ Frage: Wie viele Geraden kann man durch genau zwei verschiedene Punkte legen?

Lösung anzeigen

Durch zwei verschiedene Punkte lässt sich immer genau eine Gerade legen. Das ist ein Grundprinzip der Geometrie. Egal wie du die zwei Punkte wählst – es gibt immer genau eine Gerade, die durch beide verläuft.

Ausblick

Du hast jetzt das Fundament der Geometrie gelegt. Mit Strecken, Geraden und Strahlen kannst du bereits viele geometrische Figuren beschreiben.

Als nächstes lernst du Winkel kennen. Ein Winkel entsteht immer dann, wenn zwei Strahlen denselben Startpunkt haben. Danach kommen Dreiecke – sie bestehen aus genau drei Strecken. Später lernst du im Koordinatensystem, wie man Geraden durch Gleichungen beschreibt.

Alle diese Themen bauen auf dem auf, was du heute gelernt hast. Strecken und Geraden begleiten dich durch deine gesamte Schulzeit – und weit darüber hinaus.

Lösungen

Aufgabe 1 Eine Linie mit Pfeilen an beiden Enden ist eine Gerade. Die Pfeile zeigen, dass sie in beide Richtungen unendlich weitergeht.

---

Aufgabe 2 $\overline{PQ}$ ist eine Strecke. Sie beginnt bei $P$ und endet bei $Q$. Man kann ihre Länge messen.

$\overrightarrow{PQ}$ ist ein Strahl. Er beginnt bei $P$ und geht durch $Q$ hindurch unendlich weiter. Der erste Buchstabe ist immer der Startpunkt.

---

Aufgabe 3 Mögliche Antworten:

Gerade: Eine Strasse, die sich bis zum Horizont erstreckt. Bahnschienen, die in beide Richtungen weiterführen.

Strecke: Die Kante eines Tisches. Der Abstand zwischen zwei Stationen auf einem Stadtplan. Ein Lineal.

Strahl: Ein Laserstrahl, der von einer Quelle ausgeht. Das Licht einer Taschenlampe.

---

Aufgabe 4

a) Die Gerade durch $C$ und $D$: $\overleftrightarrow{CD}$

b) Die Strecke von $E$ nach $F$: $\overline{EF}$

c) Der Strahl, der bei $G$ startet und durch $H$ geht: $\overrightarrow{GH}$

---

Aufgabe 5 Skizze: $A$ – – – $B$ – – – $C$

Da $B$ zwischen $A$ und $C$ liegt:

$$\overline{AC} = \overline{AB} + \overline{BC} = 8\,\text{cm} + 5\,\text{cm} = 13\,\text{cm}$$

Probe: $8 + 5 = 13$ ✓

---

Aufgabe 6 Skizze: $X$ – – – – – – $Y$ – – – – $Z$

Da $Y$ zwischen $X$ und $Z$ liegt:

$$\overline{XZ} = \overline{XY} + \overline{YZ}$$ $$\overline{YZ} = \overline{XZ} - \overline{XY} = 20\,\text{cm} - 12\,\text{cm} = 8\,\text{cm}$$

Probe: $12 + 8 = 20$ ✓

---

Aufgabe 7 Der Mittelpunkt halbiert die Strecke:

$$\overline{PM} = \overline{MQ} = \dfrac{\overline{PQ}}{2} = \dfrac{18\,\text{cm}}{2} = 9\,\text{cm}$$

Beide Teilstrecken sind je $9\,\text{cm}$ lang.

---

Aufgabe 8 Der Mittelpunkt von $\overline{AB}$ liegt bei:

$$\dfrac{\overline{AB}}{2} = \dfrac{24\,\text{cm}}{2} = 12\,\text{cm}$$

Da $\overline{AM} = 12\,\text{cm}$, liegt $M$ genau bei $12\,\text{cm}$ von $A$ aus.

Ja, $M$ ist der Mittelpunkt von $\overline{AB}$. Zur Kontrolle: $\overline{MB} = 24 - 12 = 12\,\text{cm} = \overline{AM}$ ✓

---

Aufgabe 9 Skizze: $A$ – – $B$ – – – $C$ – – – – $D$

a) $\overline{AC} = \overline{AB} + \overline{BC} = 3\,\text{cm} + 4\,\text{cm} = 7\,\text{cm}$

b) $\overline{BD} = \overline{BC} + \overline{CD} = 4\,\text{cm} + 5\,\text{cm} = 9\,\text{cm}$

c) $\overline{AD} = \overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CD} = 3\,\text{cm} + 4\,\text{cm} + 5\,\text{cm} = 12\,\text{cm}$

Probe für c): $\overline{AC} + \overline{CD} = 7 + 5 = 12$ ✓ oder $\overline{AB} + \overline{BD} = 3 + 9 = 12$ ✓

---

Aufgabe 10 Da $M$ der Mittelpunkt von $\overline{AB}$ ist und $\overline{AM} = 7\,\text{cm}$:

$$\overline{AB} = 2 \cdot \overline{AM} = 2 \cdot 7\,\text{cm} = 14\,\text{cm}$$

Also ist $\overline{MB} = 7\,\text{cm}$.

Jetzt überprüfen, ob $C$ der Mittelpunkt von $\overline{MB}$ ist:

Der Mittelpunkt von $\overline{MB}$ läge bei $\dfrac{7\,\text{cm}}{2} = 3{,}5\,\text{cm}$.

Gegeben: $\overline{MC} = 2\,\text{cm}$ und $\overline{CB} = 5\,\text{cm}$.

Da $2\,\text{cm} \neq 3{,}5\,\text{cm}$, ist $C$ nicht der Mittelpunkt von $\overline{MB}$.

Zur Kontrolle: $\overline{MC} + \overline{CB} = 2 + 5 = 7 = \overline{MB}$ ✓ (die Längen stimmen, aber $C$ liegt nicht in der Mitte)

Verwandte Themen

• Punkte in der Geometrie – Der Startpunkt für alles
• Lage von Geraden – Wie Linien sich treffen (oder nicht)
• Achsensymmetrie verstehen – Spiegelungen in der Geometrie

Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport