Parabeln überall – Wie quadratische Funktionen unseren Alltag formen

Weiterführend:

• Zur Kapitelübersicht „Potenz- und quadratische Funktionen”
• Die Normalparabel verstehen: Dein Weg zur quadratischen Funktion
• Normalparabel verschieben: So transformierst du quadratische Funktionen
• Quadratische Funktionen einfach erklärt: Von der Parabel zum Scheitelpunkt

Darum geht's

Stell dir vor, du wirfst einen Basketball in Richtung Korb. Der Ball steigt, erreicht seinen höchsten Punkt und fällt dann wieder. Diese geschwungene Flugbahn siehst du überall: beim Wasserstrahl eines Springbrunnens, bei einem Sprung ins Schwimmbecken oder beim Feuerwerk am Nachthimmel.

Auch Architekten nutzen diese Form seit Jahrhunderten. Brückenbögen, Tunneleingänge und sogar Satellitenschüsseln folgen demselben Prinzip. Die Natur und die Technik haben diese Kurve nicht zufällig gewählt. Sie hat besondere Eigenschaften, die sie stabil und effizient machen.

Diese elegante U-Form hat einen Namen: Parabel. Dahinter steckt eine mathematische Funktion, die du bald selbst beherrschen wirst.

📋Lehrplan 21Zyklus 3 (7.–9. Klasse) · 12Kompetenzen

• MA.1.C.2.iGrundanspruchErweiterungZusammenhänge zwischen Termen und Figuren beschreiben; Terme zu Streckenlängen, Flächen und Volumen; arithmetische/algebraische Terme veranschaulichen; Gesetzmässigkeiten mit Buchstabentermen verallgemeinern (Erw: algebraisch formulieren)
• MA.3.A.3.hGrundanspruchZu einer Funktionsgleichung Wertepaare bestimmen und in einem Koordinatensystem einzeichnen
• MA.3.B.1.iGrundanspruchErgebnisse zu funktionalen Zusammenhängen überprüfen, insbesondere durch Interpretation von Tabellen, Graphen und Diagrammen
• MA.3.C.2.gGrundanspruchAbhängigkeit zweier Grössen mit Funktionsgraph darstellen; Graphenverläufe interpretieren (Erw: geeignete Skalierung wählen; lineare funktionale Zusammenhänge mit Term beschreiben)
• MA.1.C.2.jTerme geometrisch interpretieren (z.B. a²·b als Quader); lineare Figurenfolgen in einen Term übertragen (z.B. Hölzchen bei n Dreiecken: 2n + 1)
• MA.1.C.2.kAussagen zu Zahlenfolgen und Termen numerisch belegen; lineares, quadratisches und exponentielles Wachstum in Termen, Zahlenfolgen und Graphen erkennen
• MA.3.A.3.iFunktionswert zu einer gegebenen Zahl aus Wertetabelle, Graph und Funktionsgleichung bestimmen (z.B. y = 2x + 1, x = 7 → y = 15); Rechner/Software für Funktionswerte nutzen; Sachaufgaben mit Prozentangaben lösen (Steigung, Zins)
• MA.3.A.3.jSchnittpunkt zweier Geraden algebraisch und graphisch bestimmen
• MA.3.A.3.kZu linearen Funktionen den Funktionsgraphen zeichnen; Steigung, y-Achsenabschnitt und Nullstelle bestimmen
• MA.3.B.1.hErweiterungErw: Parameter in Gleichungen verändern und Auswirkungen mit elektronischen Hilfsmitteln untersuchen
• MA.3.C.2.fProportionale und lineare Zusammenhänge in Sachsituationen erkennen (Erw: indirekt proportionale); Wertepaare und Funktionsgraphen im Koordinatensystem darstellen; Alltagssituationen in mathematische Sprache übersetzen
• MA.3.C.2.hWertetabellen, Diagramme, Sachtexte, Terme und Graphen einander zuordnen und interpretieren; Sachsituationen nach funktionalen, statistischen und probabilistischen Gesichtspunkten bearbeiten

Quelle: Aargauer Lehrplan Volksschule, Fachbereich Mathematik (August 2022)

Eine kleine Zeitreise

Die Geschichte der Parabel beginnt im antiken Griechenland. Vor rund 2400 Jahren untersuchte Menaichmos (ca. 380–320 v. Chr.) als erster systematisch eine besondere Kurve. Er schnitt einen Kegel mit einer Ebene durch. Je nach Winkel entstand dabei eine andere Figur: ein Kreis, eine Ellipse, eine Hyperbel oder eben eine Parabel.

Der Name “Parabel” geht auf den Mathematiker Apollonios von Perge zurück. Um 200 v. Chr. schrieb er das berühmte Werk “Konika” über Kegelschnitte. Das griechische Wort “parabolē” bedeutet “Nebeneinanderstellung” oder “Vergleich”. Apollonios verwendete es, weil bei der Parabel eine bestimmte Fläche exakt gleich gross ist wie ein bestimmtes Rechteck.

Fast 2000 Jahre blieb die Parabel eine rein geometrische Kurve. Dann kam Galileo Galilei (1564–1642). Er untersuchte Wurfbewegungen. Galilei liess Kugeln schiefe Ebenen hinunterrollen und mass ihre Bahnen. Sein Durchbruch: Er erkannte, dass jeder geworfene Körper in der Schwerkraft einer Parabel folgt.

Isaac Newton (1643–1727) lieferte später die physikalische Erklärung. Seine Gravitationstheorie zeigte, warum Wurfbahnen genau diese Form haben müssen. Damit wurde die Parabel von einer abstrakten Kurve zu einem Naturgesetz.

Im 17. Jahrhundert entdeckten René Descartes und Pierre de Fermat, wie man Kurven mit Gleichungen beschreiben kann. Descartes erfand das Koordinatensystem, das wir heute noch nutzen. Plötzlich liess sich die Parabel nicht nur zeichnen, sondern auch berechnen.

Heute nutzen Ingenieure diese Erkenntnisse täglich. Satellitenantennen, Autoscheinwerfer und Solarthermiekraftwerke bündeln Wellen oder Licht mithilfe parabolischer Formen. Ohne das Wissen der alten Griechen und die Experimente Galileis gäbe es weder GPS noch moderne Funkkommunikation.

Die Grundlagen

Bleiben wir beim Basketball. Wenn du den Ball wirfst, bestimmen zwei Dinge seine Bahn: wie schnell und in welchem Winkel er startet. Danach übernimmt die Schwerkraft. Sie zieht den Ball gleichmässig nach unten.

Das Besondere: Die horizontale Bewegung bleibt konstant. Aber die vertikale ändert sich ständig. Der Ball wird erst langsamer beim Steigen. Dann wird er schneller beim Fallen. Diese Kombination erzeugt die typische Parabelform.

Mathematiker haben einen Weg gefunden, diese Kurve exakt zu beschreiben. Sie verwenden dafür eine Gleichung, in der die Variable $x$ quadriert wird. Daher kommt der Name “quadratische Funktion”.

Definition

Die allgemeine Form einer quadratischen Funktion lautet:

$f(x) = a \cdot x^2 + b \cdot x + c$

Dabei gilt:

• $a$ bestimmt, wie schmal oder breit die Parabel ist und ob sie nach oben oder unten geöffnet ist. Es muss gelten: $a \neq 0$.
• $b$ beeinflusst die horizontale Lage des Scheitelpunkts.
• $c$ gibt den Schnittpunkt mit der $y$-Achse an, also den Funktionswert bei $x = 0$.

Der Graph einer quadratischen Funktion heisst Parabel.

Der entscheidende Baustein ist $x^2$. Wenn du für $x$ nacheinander die Werte $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$ einsetzt, erhältst du für $x^2$ die Werte $4$, $1$, $0$, $1$, $4$. Siehst du das Muster? Die Werte sind symmetrisch um die Null herum. Genau diese Symmetrie macht die Parabel so besonders.

Die einfachste aller Parabeln heisst Normalparabel. Sie hat die Gleichung $f(x) = x^2$. Ihr Scheitelpunkt liegt im Ursprung. Alle anderen Parabeln entstehen durch Verschieben, Strecken oder Spiegeln der Normalparabel.

Die Kernmethode

Stell dir die Normalparabel vor: $f(x) = x^2$. Sie sieht aus wie eine Schüssel, die nach oben geöffnet ist. Ihr tiefster Punkt liegt genau im Ursprung bei $(0|0)$.

Jetzt kommt der Faktor $a$ ins Spiel. Ist $a$ grösser als $1$, wird die Parabel schmaler. Sie wirkt dann wie eine schlanke Vase. Ist $a$ zwischen $0$ und $1$, wird sie breiter und flacher. Und wenn $a$ negativ ist? Dann dreht sich die ganze Parabel um. Sie öffnet sich nach unten wie ein Regenschirm.

Der Wert $c$ verschiebt die Parabel nach oben oder unten. Bei $f(x) = x^2 + 3$ liegt der tiefste Punkt nicht mehr bei $y = 0$, sondern bei $y = 3$.

Definition

So gehst du vor, wenn du eine Parabel skizzieren sollst:

1. Bestimme den Wert von $a$. Positiv bedeutet: nach oben geöffnet. Negativ bedeutet: nach unten geöffnet.
2. Finde den Scheitelpunkt. Bei der Form $f(x) = a \cdot x^2 + c$ liegt er bei $(0|c)$.
3. Erstelle eine Wertetabelle mit mindestens fünf $x$-Werten, zum Beispiel $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$.
4. Berechne die zugehörigen $y$-Werte durch Einsetzen in die Funktionsgleichung.
5. Zeichne die Punkte in ein Koordinatensystem. Verbinde sie zu einer glatten Kurve.

Achte auf die Symmetrie: Die Parabel ist immer spiegelsymmetrisch zu einer senkrechten Achse durch den Scheitelpunkt.

Der Scheitelpunkt ist der höchste oder tiefste Punkt der Parabel. Bei nach oben geöffneten Parabeln ist er ein Minimum. Bei nach unten geöffneten Parabeln ist er ein Maximum. Im Alltag ist der Scheitelpunkt oft der spannendste Wert. Beim Basketballwurf markiert er die maximale Höhe des Balls.

Beispiel:

Beispiel 1: Eine einfache Parabel zeichnen

Aufgabe: Zeichne die Parabel $f(x) = x^2 - 2$ und bestimme den Scheitelpunkt.

Lösung:

Schritt 1: Der Faktor vor $x^2$ ist $1$. Da er positiv ist, öffnet sich die Parabel nach oben.

Schritt 2: Der Wert $c = -2$ verschiebt die Parabel um $2$ Einheiten nach unten. Der Scheitelpunkt liegt bei $S(0|-2)$.

Schritt 3: Wertetabelle erstellen:

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$f(x)$	$2$	$-1$	$-2$	$-1$	$2$

Beispielrechnung für $x = -2$:

$f(-2) = (-2)^2 - 2 = 4 - 2 = 2$

Die Parabel schneidet die $y$-Achse bei $(0|-2)$. Sie ist symmetrisch zur $y$-Achse. Die Nullstellen findest du dort, wo $f(x) = 0$ gilt, also bei $x = -\sqrt{2}$ und $x = \sqrt{2}$.

Beispiel:

Beispiel 2: Parabel mit negativem Leitkoeffizienten

Aufgabe: Untersuche die Funktion $f(x) = -2x^2 + 8$ und gib den Scheitelpunkt an.

Lösung:

Schritt 1: Der Faktor $a = -2$ ist negativ. Die Parabel öffnet sich nach unten.

Schritt 2: Da $|a| = 2 > 1$, ist die Parabel schmaler als die Normalparabel.

Schritt 3: Der Scheitelpunkt liegt bei $S(0|8)$. Dies ist gleichzeitig der Maximalwert der Funktion.

Wertetabelle:

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$f(x)$	$0$	$6$	$8$	$6$	$0$

Beispielrechnung für $x = 1$:

$f(1) = -2 \cdot 1^2 + 8 = -2 + 8 = 6$

Die Parabel hat ihr Maximum bei $y = 8$. Sie schneidet die $x$-Achse bei $x = -2$ und $x = 2$. Diese Schnittpunkte sind die Nullstellen der Funktion. Du kannst sie auch berechnen, indem du $-2x^2 + 8 = 0$ löst.

Die häufigsten Stolpersteine

Beim Arbeiten mit Parabeln passieren immer wieder typische Fehler. Wenn du diese kennst, kannst du sie gezielt vermeiden.

Achtung

Stolperstein 1: Quadrieren negativer Zahlen

Viele Lernende rechnen $(-3)^2 = -9$. Das ist falsch. Richtig ist: $(-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = +9$.

Minus mal Minus ergibt Plus. Das Quadrat einer reellen Zahl ist immer positiv oder null. Achte besonders darauf, wenn du Wertetabellen erstellst oder Funktionswerte berechnest.

Achtung

Stolperstein 2: Vorzeichen bei $-x^2$ und $(-x)^2$

Der Ausdruck $-x^2$ ist etwas völlig anderes als $(-x)^2$. Bei $-x^2$ wird zuerst quadriert, dann negiert. Bei $(-x)^2$ wird zuerst negiert, dann quadriert.

Beispiel mit $x = 4$: $-x^2 = -16$, aber $(-x)^2 = 16$. Ohne Klammern gilt immer: Potenz vor Vorzeichen.

Achtung

Stolperstein 3: Öffnung der Parabel verwechseln

Manche Schüler denken, eine Parabel öffnet sich immer nach oben. Das stimmt nicht. Entscheidend ist das Vorzeichen von $a$. Bei $f(x) = -x^2 + 5$ öffnet sich die Parabel nach unten, weil $a = -1$ negativ ist.

Merksatz: Positives $a$ bedeutet fröhliches Lächeln. Negatives $a$ bedeutet trauriger Mund.

Achtung

Stolperstein 4: Parabel mit Kettenlinie verwechseln

Ein hängendes Kabel oder eine Kette bildet keine Parabel, sondern eine Kettenlinie. Sie sieht ähnlich aus, folgt aber einer anderen Formel. Auch Kreisbögen sind keine Parabeln. Achte auf die genaue Form und prüfe im Zweifel mit einer Gleichung.

Beispiel:

Beispiel 3: Textaufgabe – Der Springbrunnen

Aufgabe: Ein Springbrunnen spritzt Wasser in die Luft. Die Höhe $h$ des Wasserstrahls in Metern in Abhängigkeit von der horizontalen Entfernung $x$ in Metern vom Ausgangspunkt wird beschrieben durch:

$h(x) = -0{,}5 \cdot x^2 + 2 \cdot x$

Welche maximale Höhe erreicht der Wasserstrahl? Wie weit fliegt das Wasser insgesamt?

Lösung:

Diese Funktion hat die Form $f(x) = ax^2 + bx$ mit $a = -0{,}5$ und $b = 2$.

Der Scheitelpunkt einer solchen Parabel liegt bei $x_S = -\dfrac{b}{2a}$:

$x_S = -\frac{2}{2 \cdot (-0{,}5)} = -\frac{2}{-1} = 2$

Einsetzen in die Höhenfunktion:

$$\begin{align*} h(2) &= -0{,}5 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 \\ &= -0{,}5 \cdot 4 + 4 \\ &= -2 + 4 \\ &= 2 \end{align*}$$

Die maximale Höhe beträgt $2 \, \text{m}$. Um die Gesamtflugweite zu finden, setzen wir $h(x) = 0$:

$-0{,}5x^2 + 2x = 0 \quad \Rightarrow \quad x \cdot (-0{,}5x + 2) = 0$

Die Lösungen sind $x = 0$ und $x = 4$. Der Wasserstrahl fliegt also $4 \, \text{m}$ weit.

Beispiel:

Beispiel 4: Transfer – Der Brückenbogen

Aufgabe: Ein Brückenbogen über einem Fluss hat die Form einer nach unten geöffneten Parabel. Der höchste Punkt des Bogens liegt $6 \, \text{m}$ über dem Wasser. Die Brücke ist $12 \, \text{m}$ breit. Stelle die Funktionsgleichung auf.

Lösung:

Wir legen das Koordinatensystem so, dass der Scheitelpunkt auf der $y$-Achse liegt. Der Scheitelpunkt ist dann $S(0|6)$.

Die Funktion hat die Form $f(x) = a \cdot x^2 + 6$.

Die Brücke ist $12 \, \text{m}$ breit. Der Bogen beginnt also bei $x = -6$ und endet bei $x = 6$. An diesen Stellen ist die Höhe null: $f(6) = 0$.

Einsetzen ergibt:

$$\begin{align*} a \cdot 6^2 + 6 &= 0 \\ 36a + 6 &= 0 \\ 36a &= -6 \\ a &= -\frac{1}{6} \end{align*}$$

Die Funktionsgleichung lautet:

$f(x) = -\frac{1}{6} x^2 + 6$

Prüfen: $f(0) = 6$ (Scheitelpunkt stimmt). Und $f(6) = -\frac{36}{6} + 6 = -6 + 6 = 0$ (Rand stimmt).

Vertiefung

Nicht nur quadratische Funktionen erzeugen spannende Kurven. Allgemeiner sind die Potenzfunktionen. Sie haben die Form $f(x) = a \cdot x^n$ mit natürlicher Zahl $n$. Für $n = 2$ erhältst du die bekannte Parabel. Aber was passiert bei höheren Exponenten?

Definition

Eine Potenzfunktion ist eine Funktion der Form:

$f(x) = a \cdot x^n$

Dabei sind $a$ eine reelle Zahl ungleich null und $n$ eine natürliche Zahl.

• Ist $n$ gerade, ist der Graph symmetrisch zur $y$-Achse.
• Ist $n$ ungerade, ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung.

Bei $f(x) = x^4$ sieht der Graph wie eine sehr flache Parabel aus. In der Nähe der $y$-Achse verläuft die Kurve fast waagrecht. Dann steigt sie aber viel steiler an als eine normale Parabel.

Interessant wird es bei ungeraden Exponenten. Die Funktion $f(x) = x^3$ beschreibt eine S-förmige Kurve. Sie geht durch den Ursprung und verläuft von links unten nach rechts oben. Solche Kurven spielen eine wichtige Rolle in der Physik und der Wirtschaft.

Quadratische Funktionen bilden auch die Grundlage für Optimierungsprobleme. Wenn du den grössten Flächeninhalt bei gegebenem Umfang finden willst, landest du oft bei einer Parabel. Die Lösung ist dann der Scheitelpunkt. Ähnliches gilt für Wirtschaftsaufgaben: Bei welchem Preis wird der Gewinn maximal?

Die Parabel hat eine weitere schöne Eigenschaft: Alle Parallelstrahlen, die senkrecht auf eine Parabel treffen, werden in einem einzigen Punkt gebündelt. Dieser Punkt heisst Brennpunkt. Genau deshalb sind Satellitenschüsseln parabelförmig. Sie sammeln schwache Signale aus dem All und konzentrieren sie auf einen Empfänger.

Beispiel:

Beispiel 5: Vertiefung – Maximaler Flächeninhalt

Aufgabe: Ein Rechteck hat einen Umfang von $20 \, \text{m}$. Welche Seitenlängen muss es haben, damit seine Fläche maximal wird?

Lösung:

Seien $x$ und $y$ die Seitenlängen. Der Umfang ist $2x + 2y = 20$, also $y = 10 - x$.

Die Fläche ist $A = x \cdot y$. Einsetzen ergibt:

$A(x) = x \cdot (10 - x) = 10x - x^2 = -x^2 + 10x$

Dies ist eine nach unten geöffnete Parabel mit $a = -1$ und $b = 10$. Der Scheitelpunkt liegt bei:

$x_S = -\frac{b}{2a} = -\frac{10}{2 \cdot (-1)} = 5$

Die maximale Fläche erreichen wir bei $x = 5$. Dann ist $y = 10 - 5 = 5$.

$A(5) = 5 \cdot 5 = 25 \, \text{m}^2$

Das optimale Rechteck ist also ein Quadrat mit der Seitenlänge $5 \, \text{m}$ und einer Fläche von $25 \, \text{m}^2$. Dies ist ein wichtiges Ergebnis: Unter allen Rechtecken mit festem Umfang hat das Quadrat die grösste Fläche.

Übungen

Bearbeite die folgenden Aufgaben in der angegebenen Reihenfolge. Die Schwierigkeit steigt von Aufgabe 1 bis Aufgabe 10 an. Die ausführlichen Lösungen findest du am Ende des Artikels.

Aufgabe 1: Berechne $f(-4)$ für die Funktion $f(x) = x^2 - 3$.

Aufgabe 2: In welche Richtung öffnet sich die Parabel $f(x) = -0{,}25 x^2 + 1$? Begründe deine Antwort.

Aufgabe 3: Gib den Scheitelpunkt der Parabel $f(x) = 3x^2 - 5$ an.

Aufgabe 4: Erstelle eine Wertetabelle für $f(x) = 0{,}5 x^2$ mit den Werten $x \in \{-4, -2, 0, 2, 4\}$.

Aufgabe 5: Die Parabel $f(x) = x^2 + c$ geht durch den Punkt $P(3|11)$. Bestimme $c$.

Aufgabe 6: Berechne die Nullstellen der Funktion $f(x) = x^2 - 9$.

Aufgabe 7: Ein Ball wird senkrecht nach oben geworfen. Seine Höhe in Metern nach $t$ Sekunden beschreibt die Funktion $h(t) = -5t^2 + 20t$. Welche maximale Höhe erreicht der Ball?

Aufgabe 8: Eine Parabel ist nach unten geöffnet. Ihr Scheitelpunkt liegt bei $S(0|4)$. Sie geht durch den Punkt $P(2|0)$. Bestimme die Funktionsgleichung der Form $f(x) = a x^2 + c$.

Aufgabe 9: Ein Tor hat die Form einer nach unten geöffneten Parabel. Es ist $4 \, \text{m}$ breit und im höchsten Punkt $3 \, \text{m}$ hoch. Wie hoch ist das Tor an einer Stelle $1 \, \text{m}$ vom Rand entfernt?

Aufgabe 10: Eine Firma verkauft ein Produkt. Der Gewinn in Franken bei $x$ verkauften Einheiten ist $G(x) = -0{,}1 x^2 + 20 x - 500$. Bei welcher Stückzahl ist der Gewinn maximal? Wie hoch ist dieser maximale Gewinn?

Das Wichtigste in Kürze

Eine quadratische Funktion hat die Form $f(x) = ax^2 + bx + c$ mit $a \neq 0$. Ihr Graph heisst Parabel. Der Faktor $a$ bestimmt die Form: Ist $a > 0$, öffnet sich die Parabel nach oben. Ist $a < 0$, öffnet sie sich nach unten. Je grösser der Betrag von $a$, desto schmaler die Parabel.

Der Scheitelpunkt ist der tiefste oder höchste Punkt. Bei $f(x) = ax^2 + c$ liegt er bei $S(0|c)$. Bei $f(x) = ax^2 + bx$ findest du ihn mit der Formel $x_S = -\dfrac{b}{2a}$.

Parabeln erscheinen überall im Alltag: Wurfbahnen, Brückenbögen, Satellitenschüsseln. Sie helfen dir auch beim Lösen von Optimierungsproblemen.

Quiz

❓ Frage:

Wie öffnet sich die Parabel $f(x) = -3x^2 + 5$?

Lösung anzeigen

Die Parabel öffnet sich nach unten, weil der Faktor vor $x^2$ negativ ist ($a = -3 < 0$). Der Scheitelpunkt liegt bei $S(0|5)$.

❓ Frage:

Berechne $f(3)$ für die Funktion $f(x) = 2x^2 - 4$.

Lösung anzeigen

$f(3) = 2 \cdot 3^2 - 4 = 2 \cdot 9 - 4 = 18 - 4 = 14$

❓ Frage:

Eine Parabel hat den Scheitelpunkt $S(0|7)$ und öffnet sich nach oben. Der Faktor vor $x^2$ ist $1$. Wie lautet die Funktionsgleichung?

Lösung anzeigen

Die Funktionsgleichung lautet $f(x) = x^2 + 7$. Der Scheitelpunkt bei $(0|7)$ bedeutet, dass $c = 7$ ist. Da die Parabel nach oben geöffnet ist und $a = 1$, ergibt sich diese Gleichung.

❓ Frage:

Welcher der folgenden Graphen ist eine Parabel? a) Ein Kreis mit Radius 5 b) Die Flugbahn eines Basketballs ohne Luftwiderstand c) Eine gerade Linie durch den Ursprung

Lösung anzeigen

Antwort b) ist richtig. Die Flugbahn eines Basketballs im freien Fall folgt einer Parabel. Ein Kreis hat eine andere Formel ($x^2 + y^2 = r^2$). Eine gerade Linie ist eine lineare, keine quadratische Funktion.

❓ Frage:

Berechne die Nullstellen der Funktion $f(x) = x^2 - 16$.

Lösung anzeigen

Wir setzen $f(x) = 0$: $x^2 - 16 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 16 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 4$ Die Nullstellen sind $x_1 = -4$ und $x_2 = 4$.

Ausblick

Du kennst jetzt die Grundlagen quadratischer Funktionen. Als Nächstes lernst du, wie sich Parabeln strecken, spiegeln und verschieben lassen. Besonders spannend wird die Scheitelpunktform. Mit ihr kannst du den Scheitelpunkt direkt aus der Gleichung ablesen.

Später geht es um das Lösen quadratischer Gleichungen mit der Mitternachtsformel. Damit findest du Nullstellen auch bei komplexeren Parabeln. In der Oberstufe erweiterst du dein Wissen auf Polynome höheren Grades und Exponentialfunktionen.

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 1:

Wir setzen $x = -4$ in die Funktion ein:

$f(-4) = (-4)^2 - 3 = 16 - 3 = 13$

Beachte: Das Quadrat einer negativen Zahl ist positiv. Also $f(-4) = 13$.

Lösung zu Aufgabe 2:

Der Faktor vor $x^2$ ist $a = -0{,}25$. Da $a$ negativ ist, öffnet sich die Parabel nach unten. Der Scheitelpunkt $S(0|1)$ ist das Maximum.

Lösung zu Aufgabe 3:

Die Funktion hat die Form $f(x) = a x^2 + c$ mit $a = 3$ und $c = -5$. Bei dieser Form liegt der Scheitelpunkt immer bei $S(0|c)$. Also ist der Scheitelpunkt $S(0|-5)$. Da $a = 3 > 0$, handelt es sich um ein Minimum.

Lösung zu Aufgabe 4:

Wir berechnen die Funktionswerte für jede Stelle:

• $f(-4) = 0{,}5 \cdot (-4)^2 = 0{,}5 \cdot 16 = 8$
• $f(-2) = 0{,}5 \cdot (-2)^2 = 0{,}5 \cdot 4 = 2$
• $f(0) = 0{,}5 \cdot 0^2 = 0$
• $f(2) = 0{,}5 \cdot 2^2 = 2$
• $f(4) = 0{,}5 \cdot 4^2 = 8$

Wertetabelle:

$x$	$-4$	$-2$	$0$	$2$	$4$
$f(x)$	$8$	$2$	$0$	$2$	$8$

Die Symmetrie zur $y$-Achse wird deutlich.

Lösung zu Aufgabe 5:

Wir setzen den Punkt $P(3|11)$ in die Gleichung $f(x) = x^2 + c$ ein:

$$\begin{align*} 11 &= 3^2 + c \\ 11 &= 9 + c \\ c &= 2 \end{align*}$$

Die Funktion lautet $f(x) = x^2 + 2$.

Lösung zu Aufgabe 6:

Wir setzen $f(x) = 0$:

$$\begin{align*} x^2 - 9 &= 0 \\ x^2 &= 9 \\ x &= \pm 3 \end{align*}$$

Die Nullstellen sind $x_1 = -3$ und $x_2 = 3$.

Lösung zu Aufgabe 7:

Die Funktion hat die Form $h(t) = at^2 + bt$ mit $a = -5$ und $b = 20$. Den Zeitpunkt der maximalen Höhe finden wir mit der Scheitelpunktformel:

$t_S = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{2 \cdot (-5)} = -\frac{20}{-10} = 2$

Die maximale Höhe berechnen wir durch Einsetzen:

$$\begin{align*} h(2) &= -5 \cdot 2^2 + 20 \cdot 2 \\ &= -5 \cdot 4 + 40 \\ &= -20 + 40 \\ &= 20 \end{align*}$$

Der Ball erreicht nach $2 \, \text{s}$ seine maximale Höhe von $20 \, \text{m}$.

Lösung zu Aufgabe 8:

Da der Scheitelpunkt bei $S(0|4)$ liegt, gilt $c = 4$. Die Funktion hat die Form $f(x) = a x^2 + 4$.

Der Punkt $P(2|0)$ liefert eine Gleichung für $a$:

$$\begin{align*} 0 &= a \cdot 2^2 + 4 \\ 0 &= 4a + 4 \\ -4 &= 4a \\ a &= -1 \end{align*}$$

Die Funktionsgleichung lautet $f(x) = -x^2 + 4$. Prüfung: $f(0) = 4$ stimmt. Und $f(2) = -4 + 4 = 0$ stimmt ebenfalls.

Lösung zu Aufgabe 9:

Wir legen das Koordinatensystem so, dass der Scheitelpunkt auf der $y$-Achse liegt. Der Scheitelpunkt ist dann $S(0|3)$. Das Tor ist $4 \, \text{m}$ breit, also reicht es von $x = -2$ bis $x = 2$. An diesen Stellen ist die Höhe null.

Die Funktion hat die Form $f(x) = a x^2 + 3$. Einsetzen von $f(2) = 0$:

$$\begin{align*} 0 &= a \cdot 4 + 3 \\ -3 &= 4a \\ a &= -\frac{3}{4} \end{align*}$$

Die Funktion lautet $f(x) = -\dfrac{3}{4} x^2 + 3$.

Eine Stelle $1 \, \text{m}$ vom Rand entfernt liegt bei $x = 2 - 1 = 1$ (oder $x = -1$ aus Symmetrie):

$f(1) = -\frac{3}{4} \cdot 1 + 3 = -0{,}75 + 3 = 2{,}25$

An dieser Stelle ist das Tor $2{,}25 \, \text{m}$ hoch.

Lösung zu Aufgabe 10:

Die Gewinnfunktion lautet $G(x) = -0{,}1 x^2 + 20 x - 500$. Dies ist eine nach unten geöffnete Parabel mit $a = -0{,}1$ und $b = 20$.

Die gewinnmaximale Stückzahl finden wir mit der Scheitelpunktformel:

$x_S = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{2 \cdot (-0{,}1)} = -\frac{20}{-0{,}2} = 100$

Einsetzen in die Gewinnfunktion:

$$\begin{align*} G(100) &= -0{,}1 \cdot 100^2 + 20 \cdot 100 - 500 \\ &= -0{,}1 \cdot 10\,000 + 2000 - 500 \\ &= -1000 + 2000 - 500 \\ &= 500 \end{align*}$$

Bei $100$ verkauften Einheiten wird der maximale Gewinn von $500 \, \text{CHF}$ erzielt. Dies ist ein typisches Beispiel für die Anwendung quadratischer Funktionen in der Wirtschaft.

Verwandte Themen

• Quadratwurzelfunktion einfach erklärt: Graphen, Eigenschaften und Beispiele
• Potenzfunktionen einfach erklärt: So erkennst und zeichnest du sie
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Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport