Erwartungswert berechnen: So findest du den Durchschnitt bei Zufallsexperimenten

Weiterführend:

• Zur Kapitelübersicht „Wahrscheinlichkeit und Stochastik”
• Vorwissen: Zufallsgrösse und Wahrscheinlichkeitsverteilung
• Als Nächstes: Modellieren mit dem Erwartungswert
• Pfadregeln für mehrstufige Experimente

Darum geht's

Stell dir vor, du stehst auf dem Jahrmarkt vor einem Glücksrad. Der Betreiber ruft: „Im Durchschnitt gewinnst du 5 CHF pro Spiel!” Aber stimmt das wirklich? Oder ist es nur ein Trick, damit du deinen Einsatz setzt?

Genau hier kommt der Erwartungswert ins Spiel. Er ist wie ein mathematischer Lügendetektor für Glücksspiele und Zufallsexperimente. Mit ihm findest du heraus, was du „auf lange Sicht” erwarten kannst – bei Glücksrädern, Würfelspielen, Lotterien oder Versicherungen. Am Ende dieser Seite kannst du selbst berechnen, ob sich ein Spiel lohnt. Und du weisst, warum Casinos immer gewinnen.

📋Lehrplan 21Zyklus 3 (7.–9. Klasse) · 5Kompetenzen

• MA.3.A.1.kGrundanspruchBegriffe absolute und relative Häufigkeit, x-Koordinate, y-Koordinate, x-Achse, y-Achse, Einheitsstrecke, Wahrscheinlichkeit; Masseinheiten Geschwindigkeit (km/h, m/s, kB/s, dpi)
• MA.3.B.2.eGrundanspruchHäufigkeiten experimentell bestimmen und Vermutungen zu Wahrscheinlichkeiten formulieren; unbekannte Fragestellungen zu Kombinatorik/Wahrscheinlichkeit bearbeiten
• MA.3.A.1.mBegriffe (lineare) Funktion, sichere/mögliche/unmögliche Ereignisse, Flussdiagramm, Bit, Byte; Vorsätze Mikro, Nano; Masseinheiten Dichte (kg/dm³, g/cm³)
• MA.3.B.2.fWahrscheinlichkeiten und statistische Angaben überprüfen und begründen
• MA.3.C.2.hWertetabellen, Diagramme, Sachtexte, Terme und Graphen einander zuordnen und interpretieren; Sachsituationen nach funktionalen, statistischen und probabilistischen Gesichtspunkten bearbeiten

Quelle: Aargauer Lehrplan Volksschule, Fachbereich Mathematik (August 2022)

Eine kleine Zeitreise

Der Erwartungswert hat seinen Ursprung in einem eher unromantischen Kontext: beim Glücksspiel im Paris des 17. Jahrhunderts. Im Jahr 1654 stellte der französische Adlige Chevalier de Méré dem Mathematiker Blaise Pascal eine Frage, die als „Problem des Spielabbruchs” berühmt wurde. Zwei Spieler wetten um einen Einsatz. Der erste, der vier Runden gewinnt, erhält den ganzen Betrag. Doch das Spiel wird vorzeitig abgebrochen. Wie soll man den Einsatz fair aufteilen?

Pascal begann einen Briefwechsel mit einem anderen Mathematiker: Pierre de Fermat. Die beiden entwickelten in diesen Briefen die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Sie erkannten, dass die faire Aufteilung nicht vom bisherigen Spielverlauf abhängt, sondern von den Chancen, die jeder Spieler noch hat, das Spiel zu gewinnen.

Drei Jahre später, im Jahr 1657, veröffentlichte der niederländische Mathematiker Christiaan Huygens ein kleines Buch mit dem Titel „De ratiociniis in ludo aleae” – „Über die Berechnungen im Glücksspiel”. In diesem Werk formulierte er als Erster systematisch, was wir heute als Erwartungswert bezeichnen. Huygens nannte ihn „expectatio” – die Erwartung.

Jakob Bernoulli, ein Schweizer Mathematiker aus Basel, baute diese Ideen weiter aus. In seinem Werk „Ars conjectandi” (1713) bewies er das Gesetz der grossen Zahlen. Dieses Gesetz besagt: Je öfter du ein Zufallsexperiment wiederholst, desto näher kommt der tatsächliche Durchschnitt deiner Ergebnisse dem Erwartungswert.

Heute steckt der Erwartungswert in unzähligen Anwendungen. Versicherungen berechnen damit ihre Prämien. Banken kalkulieren Risiken bei Krediten. Investoren bewerten Aktien. Sogar die künstliche Intelligenz nutzt Erwartungswerte, um Entscheidungen zu treffen. Aus einer Frage über Würfelspiele wurde ein Konzept, das unsere moderne Welt prägt.

Die Grundlagen

Bevor du den Erwartungswert berechnen kannst, musst du verstehen, was eine Zufallsgrösse ist. Eine Zufallsgrösse ordnet jedem möglichen Ergebnis eines Zufallsexperiments eine Zahl zu. Beim Würfeln ist die Zufallsgrösse die geworfene Augenzahl. Beim Glücksrad ist sie der Geldbetrag, den du gewinnst oder verlierst.

Zu jeder Zufallsgrösse gehört eine Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie listet auf, welche Werte die Zufallsgrösse annehmen kann und mit welcher Wahrscheinlichkeit. Stell dir die Wahrscheinlichkeitsverteilung wie ein Rezept vor: Sie sagt dir, welche „Zutaten” (Werte) mit welcher „Menge” (Wahrscheinlichkeit) in den Erwartungswert einfliessen.

Definition

Eine Zufallsgrösse $X$ ist eine Funktion, die jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zuordnet.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung gibt für jeden möglichen Wert $x_i$ der Zufallsgrösse die Wahrscheinlichkeit $P(X = x_i)$ an. Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten muss $1$ ergeben:

$\sum_{i=1}^{n} P(X = x_i) = 1$

Die Summe 1 bedeutet: Mit Sicherheit tritt eines der aufgelisteten Ergebnisse ein. Fehlt ein Ergebnis in deiner Tabelle oder stimmen die Wahrscheinlichkeiten nicht zu 1, hast du die Verteilung nicht korrekt erfasst.

Zurück zum Glücksrad mit vier gleich grossen Feldern: Gewinne von 10, 2, 0 und $-4$ CHF, jeweils mit Wahrscheinlichkeit $\dfrac{1}{4}$. Die Zufallsgrösse $X$ nimmt also vier Werte an, und die Wahrscheinlichkeiten summieren sich zu $\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} = 1$. Alles ist bereit für die Berechnung des Erwartungswerts.

Die Kernmethode

Der Erwartungswert ist der gewichtete Durchschnitt aller möglichen Werte einer Zufallsgrösse. Gewichtet bedeutet: Wahrscheinlichere Werte zählen stärker als unwahrscheinliche. Die Grundidee ist so einfach wie elegant.

Stell dir vor, du spielst das Glücksrad $100$-mal. Bei vier gleich grossen Feldern erwartest du etwa:

• $25$-mal Gewinn von $10$ CHF
• $25$-mal Gewinn von $2$ CHF
• $25$-mal Gewinn von $0$ CHF
• $25$-mal Verlust von $4$ CHF

Dein Gesamtgewinn wäre etwa $25 \cdot 10 + 25 \cdot 2 + 25 \cdot 0 + 25 \cdot (-4) = 200$ CHF. Pro Spiel sind das $\dfrac{200}{100} = 2$ CHF. Genau das ist der Erwartungswert.

Definition

Der Erwartungswert $E(X)$ (auch $\mu$ genannt) einer Zufallsgrösse $X$ ist der gewichtete Durchschnitt aller möglichen Werte. Die Formel lautet:

$E(X) = x_1 \cdot P(X = x_1) + x_2 \cdot P(X = x_2) + \ldots + x_n \cdot P(X = x_n)$

Kurz geschrieben:

$E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X = x_i)$

Dabei ist $x_i$ der $i$-te mögliche Wert und $P(X = x_i)$ die Wahrscheinlichkeit, dass genau dieser Wert eintritt.

So gehst du Schritt für Schritt vor:

1. Werte auflisten: Schreibe alle möglichen Werte $x_1, x_2, \ldots, x_n$ der Zufallsgrösse auf.
2. Wahrscheinlichkeiten bestimmen: Ermittle für jeden Wert die zugehörige Wahrscheinlichkeit $P(X = x_i)$.
3. Kontrolle: Prüfe, ob die Summe der Wahrscheinlichkeiten $1$ ergibt.
4. Multiplizieren: Berechne jedes Produkt $x_i \cdot P(X = x_i)$.
5. Summieren: Addiere alle Produkte. Das Ergebnis ist $E(X)$.

Der Erwartungswert muss selbst kein mögliches Ergebnis sein. Beim Würfel ist $E(X) = 3{,}5$, obwohl du nie $3{,}5$ würfeln kannst.

Beispiel:

Beispiel 1: Das Glücksrad vom Jahrmarkt

Wir berechnen den Erwartungswert für das Glücksrad mit vier gleich grossen Feldern: $10$ CHF, $2$ CHF, $0$ CHF und $-4$ CHF.

Schritt 1: Wahrscheinlichkeitsverteilung aufstellen

Wert $x_i$	$10$ CHF	$2$ CHF	$0$ CHF	$-4$ CHF
$P(X = x_i)$	$\dfrac{1}{4}$	$\dfrac{1}{4}$	$\dfrac{1}{4}$	$\dfrac{1}{4}$

Schritt 2: Kontrolle

$\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} = 1$ ✓

Schritt 3: Jeden Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit multiplizieren

$10 \cdot \dfrac{1}{4} = 2{,}5 \qquad 2 \cdot \dfrac{1}{4} = 0{,}5$

$0 \cdot \dfrac{1}{4} = 0 \qquad (-4) \cdot \dfrac{1}{4} = -1$

Schritt 4: Produkte addieren

$E(X) = 2{,}5 + 0{,}5 + 0 + (-1) = 2 \, \text{CHF}$

Interpretation: Im Durchschnitt gewinnst du $2$ CHF pro Spiel. Wenn der Einsatz mehr als $2$ CHF beträgt, lohnt sich das Spiel auf lange Sicht nicht.

Beispiel:

Beispiel 2: Das manipulierte Glücksrad

Jetzt ist das Rad manipuliert. Das Feld mit $0$ CHF ist doppelt so gross wie die anderen. Insgesamt hat das Rad also fünf Flächeneinheiten, und die Wahrscheinlichkeiten verteilen sich so:

Wert $x_i$	$10$ CHF	$2$ CHF	$0$ CHF	$-4$ CHF
$P(X = x_i)$	$\dfrac{1}{5}$	$\dfrac{1}{5}$	$\dfrac{2}{5}$	$\dfrac{1}{5}$

Kontrolle: $\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{5} + \dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{5} = \dfrac{5}{5} = 1$ ✓

Berechnung:

$E(X) = 10 \cdot \dfrac{1}{5} + 2 \cdot \dfrac{1}{5} + 0 \cdot \dfrac{2}{5} + (-4) \cdot \dfrac{1}{5}$

$E(X) = 2 + 0{,}4 + 0 + (-0{,}8) = 1{,}6 \, \text{CHF}$

Interpretation: Durch das grössere „Nieten-Feld” sinkt der Erwartungswert von $2$ CHF auf $1{,}6$ CHF. Das Spiel ist für dich weniger vorteilhaft geworden. Der Betreiber hat durch eine kleine Änderung seinen Gewinn um $0{,}4$ CHF pro Spiel gesteigert. Auf $1\,000$ Spiele wirft das für ihn $400$ CHF zusätzlich ab.

Die häufigsten Stolpersteine

Bei der Berechnung von Erwartungswerten schleichen sich typische Fehler ein. Wenn du diese kennst, umgehst du sie von Anfang an.

Achtung

Einfacher Durchschnitt statt gewichteter Durchschnitt: Viele berechnen $\dfrac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}$ und ignorieren die Wahrscheinlichkeiten. Das funktioniert nur, wenn alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind. Bei unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten musst du gewichten. Ein einfacher Durchschnitt ignoriert, dass manche Ereignisse häufiger auftreten als andere.

Achtung

Wahrscheinlichkeiten addieren sich nicht zu 1: Bevor du den Erwartungswert berechnest, prüfe: Ergeben alle Wahrscheinlichkeiten zusammen genau $1$ (oder $100\,\%$)? Falls nicht, hast du entweder einen möglichen Wert vergessen oder dich verrechnet. Eine Summe von $0{,}95$ zeigt, dass ein Ergebnis mit Wahrscheinlichkeit $0{,}05$ in der Tabelle fehlt.

Achtung

Vorzeichen vergessen: Bei Verlusten oder negativen Auszahlungen musst du mit negativen Zahlen rechnen. Ein Verlust von $5$ CHF ist $x = -5$, nicht $x = 5$. Vergisst du das Minuszeichen, verwandelt sich ein Verlustspiel plötzlich in ein Gewinnspiel. Gerade bei Versicherungs- und Glücksspielaufgaben ist dieser Fehler häufig.

Achtung

Einsatz doppelt abziehen oder vergessen: Manche Aufgaben fragen nach dem Nettogewinn (Auszahlung minus Einsatz), andere nur nach der Auszahlung. Lies die Aufgabe genau und kläre, was die Zufallsgrösse $X$ modelliert. Ziehst du den Einsatz zweimal ab, liegt das Ergebnis zu tief. Vergisst du ihn, überschätzt du den Gewinn.

Beispiel:

Beispiel 3: Der faire Würfel

Ein Standardwürfel zeigt die Zahlen $1$ bis $6$. Jede Zahl erscheint mit Wahrscheinlichkeit $\dfrac{1}{6}$.

Wahrscheinlichkeitsverteilung:

Augenzahl $x_i$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$P(X = x_i)$	$\dfrac{1}{6}$	$\dfrac{1}{6}$	$\dfrac{1}{6}$	$\dfrac{1}{6}$	$\dfrac{1}{6}$	$\dfrac{1}{6}$

Berechnung:

$E(X) = 1 \cdot \dfrac{1}{6} + 2 \cdot \dfrac{1}{6} + 3 \cdot \dfrac{1}{6} + 4 \cdot \dfrac{1}{6} + 5 \cdot \dfrac{1}{6} + 6 \cdot \dfrac{1}{6}$

$E(X) = \dfrac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \dfrac{21}{6} = 3{,}5$

Interpretation: Im Durchschnitt würfelst du eine $3{,}5$. Du kannst nie genau $3{,}5$ würfeln – der Erwartungswert ist ein theoretischer Mittelwert. Er stellt sich nach sehr vielen Würfen als Durchschnitt ein. Würfelst du $1\,000$-mal, wirst du ungefähr $167$-mal jede Zahl werfen. Die Summe aller Würfe geteilt durch $1\,000$ nähert sich dann $3{,}5$ an. Dies ist das Gesetz der grossen Zahlen in Aktion.

Beispiel:

Beispiel 4: Lohnt sich die Handyversicherung?

Eine Handyversicherung kostet $60$ CHF pro Jahr. Dein Handy ist $800$ CHF wert. Du schätzt die Wahrscheinlichkeiten so ein:

• Totalschaden: $5\,\%$
• Reparatur (Kosten $200$ CHF): $10\,\%$
• Kein Schaden: $85\,\%$

Ohne Versicherung – erwarteter Schaden pro Jahr:

Schaden $x_i$	$800$ CHF	$200$ CHF	$0$ CHF
$P(X = x_i)$	$0{,}05$	$0{,}10$	$0{,}85$

$E(X) = 800 \cdot 0{,}05 + 200 \cdot 0{,}10 + 0 \cdot 0{,}85$

$E(X) = 40 + 20 + 0 = 60 \, \text{CHF}$

Analyse: Dein erwarteter Schaden beträgt $60$ CHF – genau so viel wie die Versicherungsprämie. Rein mathematisch ist es egal, ob du versichert bist oder nicht.

In der Praxis zählen aber weitere Faktoren: Könntest du einen Verlust von $800$ CHF auf einmal verkraften? Falls nicht, kann die Versicherung trotzdem sinnvoll sein. Sie wandelt ein unsicheres Risiko in einen sicheren, kleinen Beitrag um. Genau davon leben Versicherungsgesellschaften.

Vertiefung: Faire Spiele, das Gesetz der grossen Zahlen und Linearität

Der Erwartungswert hat mehrere interessante Eigenschaften, die ihn besonders mächtig machen. Die erste Eigenschaft ist die Linearität. Sie besagt, dass der Erwartungswert einer Summe von Zufallsgrössen gleich der Summe der Erwartungswerte ist. In Kurzform:

$E(X + Y) = E(X) + E(Y)$

Würfelst du mit zwei Würfeln und betrachtest die Summe der Augenzahlen, musst du nicht die ganze Verteilung aufstellen. Es reicht, den Erwartungswert eines einzelnen Würfels zu verdoppeln: $E(X + Y) = 3{,}5 + 3{,}5 = 7$.

Eng damit verbunden ist der Begriff des fairen Spiels. Ein Spiel heisst fair, wenn der Erwartungswert des Nettogewinns gleich null ist. Du gewinnst auf lange Sicht nichts, verlierst aber auch nichts.

Definition

Ein Spiel mit Einsatz $e$ und zufälliger Auszahlung $A$ heisst fair, wenn gilt:

$E(A) = e$

Das bedeutet: Der Erwartungswert der Auszahlung ist genau gleich dem Einsatz, oder der erwartete Nettogewinn $E(A - e) = 0$.

Ist $E(A) > e$, so ist das Spiel für den Spieler vorteilhaft. Ist $E(A) < e$, ist es nachteilig.

In der Realität sind fast alle Glücksspiele für den Spieler nachteilig. Bei Roulette zum Beispiel liegt der Erwartungswert pro eingesetztem Franken bei etwa $0{,}973$ CHF – der Rest bleibt im Casino. Auf eine Million Einsätze macht die Spielbank so zuverlässig Gewinn.

Das Gesetz der grossen Zahlen liefert die theoretische Grundlage dafür. Es garantiert, dass sich der durchschnittliche Gewinn eines Spielers bei sehr vielen Wiederholungen immer mehr dem Erwartungswert annähert. Bei einer einzelnen Runde kannst du Glück haben. Bei tausend Runden greift die Mathematik.

Beispiel:

Beispiel 5: Das Lotto-Spiel

Beim vereinfachten Lotto kostet ein Los $2$ CHF. Die Gewinne sind verteilt wie folgt: Hauptgewinn von $1\,000$ CHF mit Wahrscheinlichkeit $\dfrac{1}{5\,000}$, Trostpreis von $10$ CHF mit Wahrscheinlichkeit $\dfrac{1}{100}$, sonst kein Gewinn.

Wahrscheinlichkeitsverteilung der Auszahlung $A$:

Wert $x_i$	$1\,000$ CHF	$10$ CHF	$0$ CHF
$P(A = x_i)$	$0{,}0002$	$0{,}01$	$0{,}9898$

Kontrolle: $0{,}0002 + 0{,}01 + 0{,}9898 = 1$ ✓

Erwartete Auszahlung:

$E(A) = 1\,000 \cdot 0{,}0002 + 10 \cdot 0{,}01 + 0 \cdot 0{,}9898$

$E(A) = 0{,}20 + 0{,}10 + 0 = 0{,}30 \, \text{CHF}$

Nettogewinn pro Los: $E(A) - 2 = 0{,}30 - 2 = -1{,}70$ CHF.

Pro gekauftem Los verlierst du im Durchschnitt $1{,}70$ CHF. Das Spiel ist deutlich nachteilig für dich. Der Lottoanbieter kassiert von jedem Franken Einsatz etwa $85\,\%$ als Gewinn.

Übungen

Bearbeite die folgenden zehn Aufgaben in dieser Reihenfolge. Die Schwierigkeit steigt kontinuierlich.

Aufgabe 1: Du wirfst eine faire Münze. Gewinn: $3$ CHF bei Kopf, $-1$ CHF bei Zahl. Berechne den Erwartungswert.

Aufgabe 2: Eine Zufallsgrösse $X$ hat die Werte $2$, $4$ und $6$ mit Wahrscheinlichkeiten $0{,}3$, $0{,}5$ und $0{,}2$. Berechne $E(X)$.

Aufgabe 3: Ein Glücksrad hat drei Felder: $10$ CHF ($\dfrac{1}{6}$), $2$ CHF ($\dfrac{1}{3}$) und $-2$ CHF ($\dfrac{1}{2}$). Prüfe, ob das Spiel fair ist, wenn der Einsatz $1$ CHF beträgt.

Aufgabe 4: Du wirfst zwei Münzen. Die Zufallsgrösse $X$ zählt die Anzahl Köpfe. Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung und berechne $E(X)$.

Aufgabe 5: In einer Urne sind $3$ rote und $2$ blaue Kugeln. Du ziehst eine Kugel und erhältst $5$ CHF für Rot, $-2$ CHF für Blau. Berechne den Erwartungswert.

Aufgabe 6: Ein Würfel ist manipuliert. Die $6$ erscheint mit Wahrscheinlichkeit $\dfrac{1}{3}$, alle anderen Zahlen gleich wahrscheinlich. Berechne $E(X)$.

Aufgabe 7: Eine Feuerversicherung für ein Haus kostet $800$ CHF pro Jahr. Die Wahrscheinlichkeit eines Brandschadens beträgt $0{,}5\,\%$, der durchschnittliche Schaden $120\,000$ CHF. Ist die Prämie für die Versicherung profitabel? Begründe.

Aufgabe 8: Du spielst ein Spiel mit Einsatz $5$ CHF. Auszahlungen: $20$ CHF ($10\,\%$), $10$ CHF ($20\,\%$), $0$ CHF ($70\,\%$). Berechne den erwarteten Nettogewinn.

Aufgabe 9: Beim zweimaligen Würfeln ist $X$ die Augensumme. Nutze die Linearität des Erwartungswerts, um $E(X)$ zu bestimmen.

Aufgabe 10: Ein Lotto hat einen Jackpot von $1\,000\,000$ CHF mit Wahrscheinlichkeit $\dfrac{1}{14\,000\,000}$. Kleinere Gewinne summieren sich zu einem Erwartungswert von $0{,}40$ CHF. Das Los kostet $2{,}50$ CHF. Wie gross müsste der Jackpot sein, damit das Spiel fair wird?

Das Wichtigste in Kürze

• Der Erwartungswert $E(X)$ ist der gewichtete Durchschnitt aller möglichen Werte einer Zufallsgrösse $X$.
• Die Formel lautet $E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X = x_i)$ – jeder Wert wird mit seiner Wahrscheinlichkeit multipliziert und dann addiert.
• Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten muss $1$ ergeben. Prüfe das vor jeder Berechnung.
• Der Erwartungswert muss kein tatsächlich mögliches Ergebnis sein (z. B. $3{,}5$ beim Würfel).
• Ein Spiel ist fair, wenn $E(\text{Auszahlung}) = \text{Einsatz}$, also der erwartete Nettogewinn null ist.
• Der Erwartungswert ist linear: $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$.
• Das Gesetz der grossen Zahlen garantiert, dass der tatsächliche Durchschnitt bei vielen Wiederholungen gegen den Erwartungswert strebt.

Dein Wissen im Test

❓ Frage:

Ein Glücksspiel hat folgende Auszahlungen: $20$ CHF mit Wahrscheinlichkeit $0{,}1$ und $0$ CHF mit Wahrscheinlichkeit $0{,}9$. Wie hoch ist der Erwartungswert?

Lösung anzeigen

$E(X) = 20 \cdot 0{,}1 + 0 \cdot 0{,}9 = 2 + 0 = 2 \, \text{CHF}$ Der Erwartungswert beträgt $2$ CHF. Wenn der Einsatz höher als $2$ CHF ist, wäre das Spiel auf lange Sicht ein Verlustgeschäft.

❓ Frage:

Warum ist der Erwartungswert eines fairen Würfels gleich $3{,}5$, obwohl man nie $3{,}5$ würfeln kann?

Lösung anzeigen

Der Erwartungswert ist ein theoretischer Durchschnittswert, kein mögliches Einzelergebnis. Er beschreibt, welchen Mittelwert du erhältst, wenn du den Würfel sehr oft wirfst und die Summe aller Ergebnisse durch die Anzahl der Würfe teilst. Würfest du $1\,000$-mal, wirst du ungefähr $167$-mal jede Zahl werfen. Die Summe aller Würfe geteilt durch $1\,000$ nähert sich dann $3{,}5$ an. Diese Konvergenz folgt aus dem Gesetz der grossen Zahlen.

❓ Frage:

Bei einem Spiel gewinnst du $50$ CHF mit Wahrscheinlichkeit $\dfrac{1}{10}$, verlierst $10$ CHF mit Wahrscheinlichkeit $\dfrac{3}{10}$ und gewinnst nichts mit Wahrscheinlichkeit $\dfrac{6}{10}$. Berechne den Erwartungswert und entscheide: Lohnt sich das Spiel bei einem Einsatz von $2$ CHF?

Lösung anzeigen

Berechnung: $E(X) = 50 \cdot \dfrac{1}{10} + (-10) \cdot \dfrac{3}{10} + 0 \cdot \dfrac{6}{10}$ $E(X) = 5 - 3 + 0 = 2 \, \text{CHF}$ Entscheidung: Der Erwartungswert beträgt $2$ CHF. Bei einem Einsatz von $2$ CHF ist das Spiel fair – du gewinnst und verlierst auf lange Sicht nichts. Kostet der Einsatz mehr als $2$ CHF, lohnt sich das Spiel nicht. Kostet er weniger, ist es vorteilhaft für dich.

❓ Frage:

Eine Zufallsgrösse $X$ hat nur zwei Werte: $x_1 = 10$ mit $P(X = 10) = 0{,}4$ und einen zweiten Wert $x_2$ mit Wahrscheinlichkeit $0{,}6$. Der Erwartungswert beträgt $E(X) = 7$. Wie gross ist $x_2$?

Lösung anzeigen

Aus der Formel folgt: $E(X) = 10 \cdot 0{,}4 + x_2 \cdot 0{,}6 = 7$ $4 + 0{,}6 \cdot x_2 = 7$ $0{,}6 \cdot x_2 = 3$ $x_2 = 5$ Der zweite Wert ist $x_2 = 5$. Die Kontrolle bestätigt: $10 \cdot 0{,}4 + 5 \cdot 0{,}6 = 4 + 3 = 7$.

❓ Frage:

Du wirfst zwei Würfel gleichzeitig. Was ist der Erwartungswert der Summe der Augenzahlen? Nutze die Linearität des Erwartungswerts.

Lösung anzeigen

Die Summe $S = X + Y$ setzt sich aus zwei einzelnen Würfeln zusammen. Jeder Würfel hat den Erwartungswert $E(X) = E(Y) = 3{,}5$. Wegen der Linearität gilt: $E(S) = E(X + Y) = E(X) + E(Y) = 3{,}5 + 3{,}5 = 7$ Der Erwartungswert der Augensumme ist $7$. Du müsstest nicht die komplette Verteilung von $2$ bis $12$ aufstellen – die Linearität spart dir viel Arbeit.

Ausblick

Du kannst jetzt den Erwartungswert berechnen – den „Durchschnitt” einer Zufallsgrösse. Doch wie stark schwanken die Ergebnisse um diesen Durchschnitt? Beim Würfel weisst du, dass du im Schnitt $3{,}5$ würfelst. Aber wie weit liegen einzelne Würfe typischerweise davon entfernt? Diese Frage beantworten Varianz und Standardabweichung. Sie messen die Streuung der Werte um den Erwartungswert. Zwei Spiele mit gleichem Erwartungswert können völlig unterschiedliche Risiken bergen – und genau das kannst du als Nächstes lernen.

Lösungen

Aufgabe 1: Mit $P(\text{Kopf}) = P(\text{Zahl}) = \dfrac{1}{2}$ ergibt sich

$E(X) = 3 \cdot \dfrac{1}{2} + (-1) \cdot \dfrac{1}{2} = 1{,}5 - 0{,}5 = 1 \, \text{CHF}.$

Im Durchschnitt gewinnst du $1$ CHF pro Wurf.

Aufgabe 2: Kontrolle: $0{,}3 + 0{,}5 + 0{,}2 = 1$ ✓. Berechnung:

$E(X) = 2 \cdot 0{,}3 + 4 \cdot 0{,}5 + 6 \cdot 0{,}2 = 0{,}6 + 2{,}0 + 1{,}2 = 3{,}8.$

Der Erwartungswert ist $3{,}8$.

Aufgabe 3: Kontrolle: $\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{6} + \dfrac{2}{6} + \dfrac{3}{6} = 1$ ✓.

$E(\text{Auszahlung}) = 10 \cdot \dfrac{1}{6} + 2 \cdot \dfrac{1}{3} + (-2) \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{10}{6} + \dfrac{4}{6} - 1 = \dfrac{14}{6} - 1 \approx 1{,}33 \, \text{CHF}.$

Der erwartete Nettogewinn beträgt $1{,}33 - 1 = 0{,}33$ CHF. Das Spiel ist nicht fair, sondern vorteilhaft für den Spieler.

Aufgabe 4: Beim zweimaligen Münzwurf gibt es vier gleichwahrscheinliche Ergebnisse: KK, KZ, ZK, ZZ. Anzahl Köpfe:

$X$	$0$	$1$	$2$
$P(X)$	$\dfrac{1}{4}$	$\dfrac{2}{4}$	$\dfrac{1}{4}$

$E(X) = 0 \cdot \dfrac{1}{4} + 1 \cdot \dfrac{2}{4} + 2 \cdot \dfrac{1}{4} = 0 + 0{,}5 + 0{,}5 = 1.$

Im Durchschnitt erhältst du $1$ Kopf pro Doppelwurf.

Aufgabe 5: Fünf Kugeln insgesamt: $P(\text{Rot}) = \dfrac{3}{5}$, $P(\text{Blau}) = \dfrac{2}{5}$.

$E(X) = 5 \cdot \dfrac{3}{5} + (-2) \cdot \dfrac{2}{5} = 3 - \dfrac{4}{5} = 3 - 0{,}8 = 2{,}2 \, \text{CHF}.$

Im Durchschnitt gewinnst du $2{,}20$ CHF pro Zug.

Aufgabe 6: Die restlichen fünf Zahlen teilen sich die Wahrscheinlichkeit $1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$ gleichmässig auf: je $\dfrac{2}{15}$.

$E(X) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5) \cdot \dfrac{2}{15} + 6 \cdot \dfrac{1}{3} = 15 \cdot \dfrac{2}{15} + 2 = 2 + 2 = 4.$

Der manipulierte Würfel hat Erwartungswert $4$, gegenüber $3{,}5$ beim fairen Würfel.

Aufgabe 7: Erwarteter Schaden pro Jahr:

$E(X) = 120\,000 \cdot 0{,}005 + 0 \cdot 0{,}995 = 600 \, \text{CHF}.$

Die Prämie von $800$ CHF liegt über dem erwarteten Schaden. Differenz: $800 - 600 = 200$ CHF pro Vertrag. Die Versicherung macht also im Mittel $200$ CHF Gewinn pro Vertrag. Für den Kunden ist der Vertrag mathematisch nachteilig, kann sich aber wegen des katastrophalen Einzelrisikos trotzdem lohnen.

Aufgabe 8: Kontrolle: $0{,}1 + 0{,}2 + 0{,}7 = 1$ ✓.

$E(\text{Auszahlung}) = 20 \cdot 0{,}1 + 10 \cdot 0{,}2 + 0 \cdot 0{,}7 = 2 + 2 + 0 = 4 \, \text{CHF}.$

Erwarteter Nettogewinn: $4 - 5 = -1$ CHF. Pro Spiel verlierst du im Durchschnitt $1$ CHF.

Aufgabe 9: Die Summe lässt sich schreiben als $X + Y$, wobei $X$ und $Y$ die Augenzahlen der beiden Würfel sind. Jeder einzelne Würfel hat den Erwartungswert $3{,}5$. Mit der Linearität gilt:

$E(X + Y) = E(X) + E(Y) = 3{,}5 + 3{,}5 = 7.$

Die erwartete Augensumme ist $7$. Das deckt sich mit der Tatsache, dass die $7$ in der Verteilung zweier Würfel die häufigste Summe ist.

Aufgabe 10: Bei einem fairen Spiel muss der Erwartungswert der Auszahlung gleich dem Einsatz sein, also $E(A) = 2{,}50$ CHF. Aus den kleineren Gewinnen stammen bereits $0{,}40$ CHF. Der Jackpot muss also $2{,}50 - 0{,}40 = 2{,}10$ CHF zum Erwartungswert beitragen. Mit $P(\text{Jackpot}) = \dfrac{1}{14\,000\,000}$ folgt:

$J \cdot \dfrac{1}{14\,000\,000} = 2{,}10$

$J = 2{,}10 \cdot 14\,000\,000 = 29\,400\,000 \, \text{CHF}.$

Der Jackpot müsste also bei rund $29{,}4$ Millionen CHF liegen, damit das Spiel mathematisch fair wäre. In der Praxis bleiben Lottospiele selbst bei sehr hohen Jackpots meist nachteilig, weil Steuern und Verwaltungskosten zusätzlich anfallen.

Verwandte Themen

• Zufallsgrösse und Wahrscheinlichkeitsverteilung einfach erklärt: Dein Leitfaden für die Stochastik
• Erwartungswert berechnen und anwenden: So modellierst du Zufallsexperimente
• Vereinfachte Baumdiagramme: So berechnest du Wahrscheinlichkeiten schnell und sicher

Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport