Primzahlen verstehen: Teilbarkeit einfach erklärt

Weiterführend:

• Zur Kapitelübersicht „Teilbarkeit”
• Vorwissen: Teiler und Vielfache verstehen
• Als Nächstes: Primfaktorzerlegung
• Anwendung: ggT und kgV

Darum geht's

Stell dir vor, du organisierst eine Party und hast 24 Kekse. Du möchtest sie fair auf Teller verteilen. Mit zwei, drei, vier oder sechs Tellern klappt das wunderbar. Aber was, wenn du 23 Kekse hättest? Egal wie du es versuchst, es bleibt immer ein Rest – ausser du nimmst einen einzigen Teller oder gibst jedem Gast genau einen Keks. Die Zahl 23 ist ein Einzelgänger, eine Primzahl. Primzahlen sind die Bausteine aller Zahlen. Aus ihnen lässt sich jede andere Zahl durch Multiplikation zusammensetzen. Und sie schützen täglich deine Daten: Ohne Primzahlen gäbe es kein sicheres Online-Banking. In diesem Artikel lernst du, was Primzahlen sind, wie du sie zuverlässig erkennst und wozu sie dienen.

📋Lehrplan 21Zyklus 2 (3.–6. Klasse), Zyklus 3 (7.–9. Klasse) · 4Kompetenzen

• MA.1.A.1.gBegriffe Bruch, Prozent, Teiler, Vielfache, Zähler, Nenner, überschlagen, runden; Symbole %, ≈; Dezimalzahlen und Brüche lesen und schreiben
• MA.1.A.1.hBegriffe Gleichung, Klammer, Primzahl; Symbole +, −, /, *, =, x², (), ≠; Brüche (Nenner 2–1'000), Dezimalzahlen und Prozentzahlen je in die beiden anderen Schreibweisen übertragen
• MA.1.A.3.hProzentrechnungen mit Rechner; Erw: natürliche Zahlen in Primfaktoren zerlegen
• MA.1.B.1.gOperative Beziehungen zwischen natürlichen Zahlen erforschen und beschreiben (z.B. Umkehrzahlen)

Quelle: Aargauer Lehrplan Volksschule, Fachbereich Mathematik (August 2022)

Eine kleine Zeitreise

Die Geschichte der Primzahlen beginnt vor über 2300 Jahren im antiken Griechenland. Der Mathematiker Euklid von Alexandria schrieb um 300 vor Christus sein berühmtes Werk «Die Elemente». Darin bewies er einen erstaunlichen Satz: Es gibt unendlich viele Primzahlen. Seine Idee war raffiniert. Angenommen, du kennst bereits eine Liste von Primzahlen. Dann multiplizierst du alle miteinander und addierst 1. Die neue Zahl ist durch keine Primzahl deiner Liste teilbar – die Division lässt immer den Rest 1. Also muss es eine weitere Primzahl geben, die nicht auf der Liste steht. Egal wie viele Primzahlen du kennst: Es gibt immer noch mehr. Dieser Beweis gilt bis heute als einer der elegantesten der Mathematik.

Rund 50 Jahre nach Euklid entwickelte der Gelehrte Eratosthenes von Kyrene eine geniale Suchmethode. Eratosthenes leitete die berühmte Bibliothek von Alexandria und berechnete nebenbei den Erdumfang erstaunlich genau. Sein «Sieb des Eratosthenes» funktioniert wie ein Filter: Du schreibst alle Zahlen auf und streichst systematisch die Vielfachen der gefundenen Primzahlen durch. Was im Sieb hängen bleibt, sind genau die Primzahlen. Diese Methode lernst du in diesem Artikel Schritt für Schritt.

Im 17. Jahrhundert untersuchte der französische Mönch Marin Mersenne Zahlen der Form $2^n - 1$. Manche davon sind prim, zum Beispiel $2^3 - 1 = 7$ oder $2^5 - 1 = 31$. Solche Zahlen heissen heute Mersenne-Primzahlen. Sie sind die Stars der modernen Rekordjagd: Fast alle grössten bekannten Primzahlen haben diese Form, weil es für sie besonders schnelle Tests gibt.

Gefahr

Mathe-Fact: Die grösste bekannte Primzahl ist eine Mersenne-Zahl mit über 41 Millionen Stellen. Gefunden wurde sie 2024 im Projekt GIMPS, bei dem tausende Computer weltweit gemeinsam nach Rekord-Primzahlen suchen. Um die Zahl auszudrucken, bräuchtest du mehr als 12’000 Buchseiten.

Lange galten Primzahlen als schöne Theorie ohne praktischen Nutzen. Das änderte sich 1977 schlagartig: Die Forscher Rivest, Shamir und Adleman erfanden das RSA-Verschlüsselungsverfahren. Es beruht darauf, dass man zwei riesige Primzahlen leicht multiplizieren kann – das Produkt aber kaum wieder in seine Faktoren zerlegen kann. Seither schützen Primzahlen jede sichere Internetverbindung.

Die Grundlagen

Zur Erinnerung: Ein Teiler einer Zahl ist eine Zahl, durch die sie sich ohne Rest teilen lässt. Die Zahl 12 hat die Teiler 1, 2, 3, 4, 6 und 12 – also sechs Stück. Die Zahl 23 hat dagegen nur zwei Teiler: 1 und 23. Genau diese Eigenschaft macht eine Primzahl aus.

Definition

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die grösser als 1 ist und genau zwei verschiedene Teiler hat: die 1 und sich selbst.

Die ersten Primzahlen sind: $2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29,\ 31,\ 37,\ 41,\ 43,\ 47$.

Zahlen mit mehr als zwei Teilern heissen zusammengesetzte Zahlen. Beispiel: $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$.

Die kleinste Primzahl ist die 2. Sie ist zugleich die einzige gerade Primzahl, denn jede andere gerade Zahl hat neben 1 und sich selbst auch den Teiler 2 – also mindestens drei Teiler.

Und die 1? Sie ist keine Primzahl, obwohl sie sich nur durch 1 und sich selbst teilen lässt. Der Grund steckt in der Definition: Eine Primzahl braucht genau zwei verschiedene Teiler. Bei der 1 fallen beide Teiler zusammen. Es gibt noch einen tieferen Grund. Jede zusammengesetzte Zahl lässt sich auf genau eine Art als Produkt von Primzahlen schreiben, etwa $6 = 2 \cdot 3$. Wäre die 1 eine Primzahl, gäbe es plötzlich unendlich viele Zerlegungen: $6 = 2 \cdot 3 = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3$ und so weiter. Die Eindeutigkeit wäre zerstört. Deshalb haben die Mathematiker die 1 bewusst ausgeschlossen. Sie ist weder prim noch zusammengesetzt – eine Sonderrolle.

Primzahlen werden mit zunehmender Grösse seltener. Zwischen 1 und 100 gibt es 25 Primzahlen, zwischen 100 und 200 nur noch 21. Sie verschwinden aber nie ganz – das hat Euklid bewiesen.

Die Kernmethode

Wie findest du heraus, ob eine Zahl prim ist? Du suchst systematisch nach Teilern. Findest du einen, ist die Zahl zusammengesetzt. Findest du keinen, ist sie prim. Der entscheidende Trick: Du musst nur erstaunlich wenige Kandidaten prüfen.

Definition

Eine natürliche Zahl $n > 2$ prüfst du so:

1. Endziffer prüfen: Endet $n$ auf $0, 2, 4, 5, 6$ oder $8$, ist sie durch 2 oder 5 teilbar – also nicht prim.
2. Quersumme prüfen: Ist die Quersumme von $n$ durch 3 teilbar, dann auch $n$ selbst.
3. Weitere Primzahlen testen: Teile $n$ durch $7, 11, 13, \dots$ – aber nur durch Primzahlen $p$ mit $p \cdot p \le n$.

Findest du keinen Teiler, ist $n$ eine Primzahl.

Warum darfst du so früh aufhören? Hätte $n$ einen grossen Teiler, dann gehört dazu immer ein kleiner Partner-Teiler. Beispiel: $91 = 7 \cdot 13$. Den grossen Teiler 13 findest du automatisch über den kleinen Teiler 7. Sobald die Testzahl mit sich selbst multipliziert grösser als $n$ ist, kann kein neues Teilerpaar mehr auftauchen. Für alle Zahlen bis 100 reicht es darum, die Teiler 2, 3, 5 und 7 zu prüfen – denn $11 \cdot 11 = 121 > 100$.

Suchst du nicht eine einzelne Primzahl, sondern gleich alle bis zu einer Grenze, nutzt du das Sieb.

Definition

So findest du alle Primzahlen bis 100:

1. Schreibe die Zahlen von 2 bis 100 auf.
2. Kreise die 2 ein und streiche alle Vielfachen von 2 ($4, 6, 8, \dots$).
3. Kreise die nächste unmarkierte Zahl ein (die 3) und streiche ihre Vielfachen.
4. Wiederhole das mit 5 und 7. Bei Streichzahlen über $10$ darfst du aufhören, denn $10 \cdot 10 = 100$.

Alle eingekreisten und unmarkierten Zahlen sind Primzahlen.

Das Sieb rechnet nicht – es streicht nur. Genau darum ist es so schnell und so fehlersicher. Nach vier Streichrunden bleiben zwischen 1 und 100 genau 25 Primzahlen übrig.

Beispiel:

Beispiel 1: Einstieg – Ist 17 eine Primzahl?

Gegeben: Die Zahl 17

Gesucht: Ist 17 prim oder zusammengesetzt?

Lösung:

Du wendest den Primzahltest an. Zu prüfen sind nur Primzahlen $p$ mit $p \cdot p \le 17$. Wegen $5 \cdot 5 = 25 > 17$ sind das nur 2 und 3.

Test mit 2: 17 endet auf 7, ist also ungerade. Nicht durch 2 teilbar.

Test mit 3: Die Quersumme ist $1 + 7 = 8$. Die 8 ist nicht durch 3 teilbar, also ist auch 17 nicht durch 3 teilbar. Zur Sicherheit die Division:

$$17 : 3 = 5 \text{ Rest } 2$$

Kein Teiler gefunden.

Antwort: Die Zahl 17 ist eine Primzahl.

Kontrolle: Alle Kandidaten bis zur Schranke wurden geprüft: $2 \nmid 17$ und $3 \nmid 17$. Grössere Teilerpaare sind unmöglich, denn $5 \cdot 5 = 25 > 17$. ✓

Beispiel:

Beispiel 2: Aufbauend – Ist 51 eine Primzahl?

Gegeben: Die Zahl 51

Gesucht: Ist 51 prim oder zusammengesetzt? Falls zusammengesetzt: Gib eine Zerlegung an.

Lösung:

Zu prüfen sind die Primzahlen $p$ mit $p \cdot p \le 51$, also 2, 3, 5 und 7 (denn $7 \cdot 7 = 49 \le 51$, aber $11 \cdot 11 = 121 > 51$).

Test mit 2: 51 ist ungerade. Kein Teiler.

Test mit 3: Die Quersumme ist $5 + 1 = 6$, und 6 ist durch 3 teilbar. Also ist auch 51 durch 3 teilbar:

$$51 : 3 = 17$$

Die Division geht ohne Rest auf. Damit ist 51 zusammengesetzt:

$$51 = 3 \cdot 17$$

Antwort: Die Zahl 51 ist keine Primzahl. Sie zerfällt in $3 \cdot 17$.

Kontrolle: Rückmultiplizieren: $3 \cdot 17 = 51$. ✓

Die häufigsten Stolpersteine

Bei Primzahlen passieren vier Fehler immer wieder. Wer sie kennt, tappt nicht hinein.

Achtung

Stolperstein 1: Die 1 als Primzahl behandeln

Die 1 ist nur durch 1 und sich selbst teilbar – trotzdem ist sie keine Primzahl. Die Definition verlangt genau zwei verschiedene Teiler, und bei der 1 gibt es nur einen. Wäre die 1 prim, hätte jede Zahl unendlich viele Primfaktorzerlegungen: $6 = 2 \cdot 3 = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3$. Merke dir: Die kleinste Primzahl ist 2.

Achtung

Stolperstein 2: Die 2 ausschliessen, weil sie gerade ist

Die 2 ist eine Primzahl – die einzige gerade. Ihre Teiler sind genau 1 und 2, mehr nicht. Alle anderen geraden Zahlen ($4, 6, 8, \dots$) haben zusätzlich den Teiler 2 und damit mindestens drei Teiler. Fragt jemand nach einer geraden Primzahl, gibt es nur eine Antwort: 2.

Achtung

Stolperstein 3: «Alle ungeraden Zahlen sind prim»

Das stimmt nicht. Schon die 9 ist ungerade und trotzdem zusammengesetzt: $9 = 3 \cdot 3$. Auch $15 = 3 \cdot 5$, $21 = 3 \cdot 7$ und $25 = 5 \cdot 5$ sind ungerade, aber keine Primzahlen. Richtig ist nur die Umkehrung: Jede Primzahl ausser der 2 ist ungerade. Ungerade zu sein ist also notwendig, aber nicht ausreichend.

Achtung

Stolperstein 4: Zahlen, die prim aussehen

Manche Zahlen wirken prim, sind es aber nicht. Die 91 ist ungerade, nicht durch 3 teilbar (Quersumme 10) und endet nicht auf 0 oder 5. Trotzdem gilt $91 = 7 \cdot 13$. Wer den Test mit der 7 auslässt, fällt herein. Prüfe immer alle Primzahlen bis zur Schranke – nicht nur 2, 3 und 5.

Beispiel:

Beispiel 3: Komplex – Die Trickzahl 91 entlarven

Lina behauptet: «91 ist eine Primzahl. Sie ist ungerade, die Quersumme ist nicht durch 3 teilbar, und sie endet nicht auf 0 oder 5.» Prüfe Linas Vermutung vollständig.

Gegeben: Die Zahl 91 und Linas Tests mit 2, 3 und 5

Gesucht: Ist 91 wirklich eine Primzahl?

Lösung:

Linas Tests stimmen – aber sie sind nicht vollständig. Zu prüfen sind alle Primzahlen $p$ mit $p \cdot p \le 91$. Wegen $9 \cdot 9 = 81 \le 91$ und $10 \cdot 10 = 100 > 91$ gehören dazu: 2, 3, 5 und 7.

Test mit 7:

$$91 : 7 = 13$$

Die Division geht ohne Rest auf. Damit ist 91 zusammengesetzt:

$$91 = 7 \cdot 13$$

Antwort: Linas Vermutung ist falsch. Die Zahl 91 ist keine Primzahl, sondern das Produkt $7 \cdot 13$.

Kontrolle: Rückmultiplizieren: $7 \cdot 13 = 7 \cdot 10 + 7 \cdot 3 = 70 + 21 = 91$. ✓

Beispiel:

Beispiel 4: Transfer – Gruppen am Projekttag

Eine Schule plant einen Projekttag. 47 Schülerinnen und Schüler sollen in gleich grosse Gruppen aufgeteilt werden. Die Lehrerin möchte mehr als eine Gruppe, und jede Gruppe soll mindestens 2 Kinder haben. Ist das möglich?

Gegeben:

• 47 Kinder
• Bedingungen: mehr als eine Gruppe, jede Gruppe gleich gross, mindestens 2 Kinder pro Gruppe

Gesucht: Gibt es eine passende Aufteilung?

Lösung:

Eine Aufteilung in gleich grosse Gruppen entspricht einem Teiler von 47. Gesucht ist also ein Teiler, der grösser als 1 und kleiner als 47 ist. Du prüfst, ob 47 prim ist. Wegen $7 \cdot 7 = 49 > 47$ reichen die Tests mit 2, 3 und 5.

Test mit 2: 47 ist ungerade. Kein Teiler.

Test mit 3: Quersumme $4 + 7 = 11$ – nicht durch 3 teilbar. Kein Teiler.

Test mit 5: 47 endet auf 7, nicht auf 0 oder 5. Kein Teiler.

Kein Teiler gefunden: 47 ist eine Primzahl. Ihre einzigen Teiler sind 1 und 47.

Antwort: Nein, die Aufteilung ist nicht möglich. Es gibt nur die Varianten «1 Gruppe mit 47 Kindern» oder «47 Gruppen mit je 1 Kind» – beide verletzen die Bedingungen. Die Lehrerin braucht ungleiche Gruppen oder eine andere Kinderzahl.

Kontrolle: Alle Primzahlen bis zur Schranke ($2, 3, 5$) wurden geprüft; $7 \cdot 7 = 49 > 47$ schliesst grössere Teilerpaare aus. ✓

Vertiefung

Primzahlen heissen Bausteine der Zahlen, weil sich jede zusammengesetzte Zahl aus ihnen zusammensetzen lässt – und zwar auf genau eine Art.

Definition

Jede natürliche Zahl $n > 1$ lässt sich als Produkt von Primzahlen schreiben:

$$n = p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_k$$

Diese Zerlegung ist eindeutig – abgesehen von der Reihenfolge der Faktoren. Beispiel: $60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$.

Die Zerlegung findest du durch wiederholtes Teilen: Du teilst so lange durch die kleinste passende Primzahl, bis nur noch eine Primzahl übrig bleibt. Die Eindeutigkeit ist dabei der eigentliche Schatz. Sie bedeutet: Die Primfaktoren sind so etwas wie der genetische Fingerabdruck einer Zahl. Zwei verschiedene Zerlegungen derselben Zahl kann es nicht geben – genau deshalb darf die 1 keine Primzahl sein.

Die Primfaktorzerlegung ist auch ein mächtiges Werkzeug. Mit ihr bestimmst du den grössten gemeinsamen Teiler (ggT) und das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zweier Zahlen: Du vergleichst einfach ihre Primfaktoren. Für den ggT nimmst du alle gemeinsamen Faktoren, für das kgV alle Faktoren in ihrer höchsten Anzahl. Wie das genau geht, lernst du im Artikel zu ggT und kgV – eine Kostprobe gibt Übung 10.

Und noch ein Ausblick: Die moderne Kryptographie lebt von einer Asymmetrie. Zwei Primzahlen mit je 300 Stellen zu multiplizieren, schafft ein Computer in einem Augenblick. Das Produkt wieder in seine zwei Faktoren zu zerlegen, würde mit heutigen Methoden dagegen länger dauern, als das Universum alt ist. Das RSA-Verfahren nutzt genau das: Das Produkt darf jeder kennen, die beiden Primfaktoren bleiben geheim. Jedes Mal, wenn du eine sichere Website öffnest, arbeitet diese Idee im Hintergrund.

Beispiel:

Beispiel 5: Vertiefung – Primfaktorzerlegung von 84

Gegeben: Die Zahl 84

Gesucht: Die vollständige Primfaktorzerlegung in Potenzschreibweise

Lösung:

Du teilst schrittweise durch die kleinste passende Primzahl.

Durch 2: 84 ist gerade:

$$84 : 2 = 42$$

Nochmals durch 2: 42 ist gerade:

$$42 : 2 = 21$$

Durch 3: 21 ist ungerade. Die Quersumme $2 + 1 = 3$ ist durch 3 teilbar:

$$21 : 3 = 7$$

Die 7 ist selbst eine Primzahl – fertig. Gesammelt ergibt das:

$$84 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$$

Antwort: Die Primfaktorzerlegung lautet $84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$.

Kontrolle: Rückmultiplizieren der Primfaktoren: $2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 3 \cdot 7 = 12 \cdot 7 = 84$. ✓

Übungen

Die folgenden Aufgaben sind nach Schwierigkeit geordnet. Begründe jede Antwort mit einem vollständigen Test oder einer Zerlegung. Die Lösungen mit allen Rechenwegen findest du am Ende des Artikels.

Aufgabe 1: Sind die folgenden Zahlen Primzahlen? Prüfe: a) 13, b) 9, c) 2

Aufgabe 2: Finde alle Primzahlen zwischen 20 und 40.

Aufgabe 3: Zerlege die Zahl 60 in ihre Primfaktoren.

Aufgabe 4: Zerlege die Zahl 72 vollständig in Primfaktoren und schreibe das Ergebnis in Potenzschreibweise.

Aufgabe 5: Welche Zahl hat die Primfaktorzerlegung $2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$? Berechne den Wert.

Aufgabe 6: Prüfe, ob 97 eine Primzahl ist. Begründe deine Antwort vollständig.

Aufgabe 7: Ein Bauer hat 53 Äpfel und möchte sie gleichmässig auf Körbe verteilen. Er möchte mehr als einen Korb, aber jeden Korb mit gleich vielen Äpfeln füllen. Ist das möglich? Begründe mathematisch.

Aufgabe 8: Zwei Primzahlen, deren Differenz genau 2 beträgt, nennt man Primzahlzwillinge. Beispiel: 11 und 13. Finde alle Primzahlzwillinge zwischen 1 und 50.

Aufgabe 9: Zerlege die Zahl 120 in ihre Primfaktoren und schreibe das Ergebnis in Potenzschreibweise.

Aufgabe 10: Bestimme mit Hilfe der Primfaktorzerlegung den grössten gemeinsamen Teiler von 36 und 90.

Das Wichtigste in Kürze

• Definition: Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl grösser als 1 mit genau zwei verschiedenen Teilern: 1 und sich selbst.
• Die 1 ist keine Primzahl: Sie hat nur einen Teiler – und sie würde die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung zerstören.
• Die 2 ist die einzige gerade Primzahl: Alle anderen geraden Zahlen haben den zusätzlichen Teiler 2.
• Nicht jede ungerade Zahl ist prim: Gegenbeispiele sind $9 = 3 \cdot 3$, $15 = 3 \cdot 5$ und $91 = 7 \cdot 13$.
• Primzahltest: Prüfe nur Primzahlen $p$ mit $p \cdot p \le n$ – für Zahlen bis 100 reichen 2, 3, 5 und 7.
• Sieb des Eratosthenes: Vielfachen streichen statt rechnen – so findest du alle Primzahlen bis zu einer Grenze.
• Hauptsatz der Arithmetik: Jede Zahl grösser als 1 hat genau eine Primfaktorzerlegung; mit ihr berechnest du ggT und kgV.
• Kontrolle: Jede Zerlegung prüfst du durch Rückmultiplizieren der Primfaktoren.

Dein Wissen im Test

❓ Frage:

Warum ist die Zahl 1 keine Primzahl? Nenne beide Gründe.

Lösung anzeigen

Grund 1 – die Definition: Eine Primzahl braucht genau zwei verschiedene Teiler. Die 1 hat nur einen einzigen Teiler, nämlich sich selbst.

Grund 2 – die Eindeutigkeit: Wäre die 1 prim, hätte jede Zahl unendlich viele Primfaktorzerlegungen, etwa $6 = 2 \cdot 3 = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3$. Der Hauptsatz der Arithmetik wäre verletzt. Darum gilt: Die kleinste Primzahl ist 2.

❓ Frage:

Du willst prüfen, ob 121 eine Primzahl ist. Welche Primzahlen musst du als Teiler testen – und was findest du heraus?

Lösung anzeigen

Du testest alle Primzahlen $p$ mit $p \cdot p \le 121$. Wegen $11 \cdot 11 = 121$ gehört die 11 noch dazu: Du prüfst also 2, 3, 5, 7 und 11.

Die Tests mit 2, 3, 5 und 7 schlagen fehl. Aber:

$$121 : 11 = 11$$

Also ist $121 = 11 \cdot 11$ – keine Primzahl. Die Schranke musst du immer einschliessen, sonst übersiehst du Quadratzahlen von Primzahlen.

❓ Frage:

Welche der folgenden Zahlen ist eine Primzahl: 51, 53, 55 oder 57?

Lösung anzeigen

Die richtige Antwort ist 53. Die anderen drei sind zusammengesetzt:

• $51 = 3 \cdot 17$ (Quersumme 6 ist durch 3 teilbar)
• $55 = 5 \cdot 11$ (Endziffer 5)
• $57 = 3 \cdot 19$ (Quersumme 12 ist durch 3 teilbar)

Für 53 testest du die Primzahlen 2, 3, 5 und 7 (denn $7 \cdot 7 = 49 \le 53$, aber $11 \cdot 11 = 121 > 53$). Keiner der Tests findet einen Teiler – 53 ist prim.

❓ Frage:

Zerlege die Zahl 90 in ihre Primfaktoren und schreibe das Ergebnis in Potenzschreibweise.

Lösung anzeigen

Schrittweise durch die kleinste passende Primzahl teilen:

$$90 : 2 = 45, \qquad 45 : 3 = 15, \qquad 15 : 3 = 5$$

Die 5 ist prim – fertig:

$$90 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$$

Kontrolle: $2 \cdot 9 \cdot 5 = 90$. ✓

❓ Frage:

Timo behauptet: «Jede ungerade Zahl ist eine Primzahl.» Widerlege seine Aussage mit einem Gegenbeispiel und formuliere, was stattdessen stimmt.

Lösung anzeigen

Ein einziges Gegenbeispiel genügt: Die 15 ist ungerade, aber zusammengesetzt, denn $15 = 3 \cdot 5$. Auch 9, 21, 25 oder 91 widerlegen die Aussage.

Richtig ist nur die Umkehrung: Jede Primzahl ausser der 2 ist ungerade. Aus «ungerade» folgt also nicht «prim» – aber aus «prim und grösser als 2» folgt «ungerade».

Ausblick

Du kennst jetzt die Bausteine der Zahlen und weisst, wie du sie erkennst. Im nächsten Schritt setzt du sie gezielt ein: Die Primfaktorzerlegung zeigt dir den «Bauplan» jeder Zahl im Detail. Darauf bauen ggT und kgV auf – mit ihnen kürzt du Brüche vollständig und findest gemeinsame Treffpunkte sich wiederholender Ereignisse. Viel später, in der Berufswelt oder im Studium, begegnen dir Primzahlen in der Kryptographie wieder. Dann verstehst du, warum dein Smartphone bei jeder sicheren Verbindung im Hintergrund mit Primzahlen rechnet.

Lösungen

Lösung 1:

a) 13 ist eine Primzahl. Wegen $5 \cdot 5 = 25 > 13$ testest du nur 2 und 3: 13 ist ungerade, und die Quersumme $1 + 3 = 4$ ist nicht durch 3 teilbar. Kein Teiler gefunden.

b) 9 ist keine Primzahl. Die Quersumme 9 ist durch 3 teilbar: $9 : 3 = 3$, also $9 = 3 \cdot 3$.

c) 2 ist eine Primzahl. Ihre einzigen Teiler sind 1 und 2. Sie ist die kleinste und die einzige gerade Primzahl.

Kontrolle zu b): Rückmultiplizieren: $3 \cdot 3 = 9$. ✓

Lösung 2: Du siebst die Zahlen von 20 bis 40:

• Gerade Zahlen streichen: 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40.
• Vielfache von 3 streichen: $21 = 3 \cdot 7$, $27 = 3 \cdot 9$, $33 = 3 \cdot 11$, $39 = 3 \cdot 13$.
• Vielfache von 5 streichen: $25 = 5 \cdot 5$, $35 = 5 \cdot 7$.

Übrig bleiben: 23, 29, 31 und 37. Für jede dieser Zahlen schlagen die Tests mit 2, 3 und 5 fehl, und wegen $7 \cdot 7 = 49 > 40$ ist die Prüfung damit vollständig.

Kontrolle: Stichprobe bei der gestrichenen 39: $3 \cdot 13 = 39$. ✓

Lösung 3: Schrittweise durch die kleinste passende Primzahl teilen:

$$60 : 2 = 30, \qquad 30 : 2 = 15, \qquad 15 : 3 = 5$$

Die 5 ist prim. Die Primfaktorzerlegung lautet:

$$60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$$

Kontrolle: Rückmultiplizieren: $4 \cdot 3 \cdot 5 = 12 \cdot 5 = 60$. ✓

Lösung 4: Du teilst so oft wie möglich durch 2, dann durch 3:

$$72 : 2 = 36, \qquad 36 : 2 = 18, \qquad 18 : 2 = 9, \qquad 9 : 3 = 3$$

Die 3 ist prim. In Potenzschreibweise:

$$72 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3^2$$

Kontrolle: Rückmultiplizieren: $8 \cdot 9 = 72$. ✓

Lösung 5: Du berechnest die Potenzen einzeln und multiplizierst:

$$2^3 = 8, \qquad 3^2 = 9$$ $$8 \cdot 9 \cdot 5 = 72 \cdot 5 = 360$$

Die gesuchte Zahl ist 360.

Kontrolle: Probe-Zerlegung: $360 : 2 = 180$, $180 : 2 = 90$, $90 : 2 = 45$, $45 : 3 = 15$, $15 : 3 = 5$ – das ergibt wieder $2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$. ✓

Lösung 6: Wegen $9 \cdot 9 = 81 \le 97$ und $11 \cdot 11 = 121 > 97$ testest du die Primzahlen 2, 3, 5 und 7:

• 2: 97 ist ungerade. Kein Teiler.
• 3: Quersumme $9 + 7 = 16$ – nicht durch 3 teilbar. Kein Teiler.
• 5: 97 endet auf 7, nicht auf 0 oder 5. Kein Teiler.
• 7: $97 : 7 = 13$ Rest $6$. Kein Teiler.

Kein Teiler gefunden: 97 ist eine Primzahl.

Kontrolle: Die Schranke ist eingehalten – ein Teilerpaar aus zwei Zahlen über 9 ist unmöglich, denn schon $10 \cdot 10 = 100 > 97$. ✓

Lösung 7: Eine gleichmässige Verteilung auf mehrere Körbe entspricht einem Teiler von 53, der grösser als 1 und kleiner als 53 ist. Du prüfst, ob 53 prim ist. Wegen $7 \cdot 7 = 49 \le 53$ testest du 2, 3, 5 und 7:

• 2: 53 ist ungerade.
• 3: Quersumme $5 + 3 = 8$ – nicht durch 3 teilbar.
• 5: Endziffer 3 – nicht durch 5 teilbar.
• 7: $53 : 7 = 7$ Rest $4$ – nicht durch 7 teilbar.

53 ist eine Primzahl. Antwort: Nein, die Verteilung ist nicht möglich. Es gibt nur die unerlaubten Varianten «1 Korb mit 53 Äpfeln» und «53 Körbe mit je 1 Apfel».

Lösung 8: Zuerst alle Primzahlen bis 50 auflisten:

$$2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29,\ 31,\ 37,\ 41,\ 43,\ 47$$

Dann suchst du Paare mit Differenz 2:

$$(3, 5),\quad (5, 7),\quad (11, 13),\quad (17, 19),\quad (29, 31),\quad (41, 43)$$

Das sind alle sechs Primzahlzwillinge zwischen 1 und 50. Die Paare $(23, 25)$ und $(47, 49)$ scheiden aus, denn $25 = 5 \cdot 5$ und $49 = 7 \cdot 7$ sind keine Primzahlen.

Kontrolle: Beispielhaft beim letzten Paar: $43 - 41 = 2$. ✓

Lösung 9: Du teilst so oft wie möglich durch 2, dann weiter aufsteigend:

$$120 : 2 = 60, \qquad 60 : 2 = 30, \qquad 30 : 2 = 15, \qquad 15 : 3 = 5$$

Die 5 ist prim. In Potenzschreibweise:

$$120 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$$

Kontrolle: Rückmultiplizieren: $8 \cdot 3 \cdot 5 = 24 \cdot 5 = 120$. ✓

Lösung 10: Zuerst zerlegst du beide Zahlen in Primfaktoren:

$$36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3^2$$ $$90 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$$

Für den ggT nimmst du jeden Primfaktor so oft, wie er in beiden Zerlegungen vorkommt: Die 2 kommt in beiden mindestens einmal vor, die 3 in beiden zweimal, die 5 nur bei der 90.

$$\text{ggT}(36, 90) = 2 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9 = 18$$

Kontrolle: Rückmultiplizieren und Teilbarkeitsprobe: $2 \cdot 3^2 = 18$, und tatsächlich gilt $36 : 18 = 2$ sowie $90 : 18 = 5$ – beide Divisionen gehen ohne Rest auf. Ein grösserer gemeinsamer Teiler ist unmöglich, denn dann müsste ein weiterer gemeinsamer Primfaktor existieren. ✓

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Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport