Terme aufstellen – Vom Alltag zur Formel

Weiterführend:

• Zur Kapitelübersicht „Terme und Gleichungen”
• Vorwissen: Terme mit einer Variablen – Der Platzhalter in der Mathematik
• Als Nächstes: Gleichungen verstehen und lösen

Darum geht's

Stell dir vor, du planst eine Geburtstagsparty. Jeder Gast bekommt drei Stücke Pizza und zwei Getränke. Du weisst noch nicht genau, wie viele Gäste kommen werden. Trotzdem möchtest du schon überlegen, wie viel du einkaufen musst.

In deinem Kopf rechnest du wahrscheinlich so: “Anzahl Gäste mal drei ergibt die Pizzastücke. Anzahl Gäste mal zwei ergibt die Getränke.”

Du hast gerade einen Term aufgestellt – nur ohne es zu merken. Ein Term ist nichts anderes als eine mathematische Beschreibung einer Situation. Statt lange Sätze zu schreiben, drückst du Zusammenhänge kurz und präzise aus. Genau das lernst du hier.

📋Lehrplan 21Zyklus 3 (7.–9. Klasse) · 6Kompetenzen

• MA.3.A.3.hGrundanspruchZu einer Funktionsgleichung Wertepaare bestimmen und in einem Koordinatensystem einzeichnen
• MA.3.C.2.gGrundanspruchAbhängigkeit zweier Grössen mit Funktionsgraph darstellen; Graphenverläufe interpretieren (Erw: geeignete Skalierung wählen; lineare funktionale Zusammenhänge mit Term beschreiben)
• MA.3.A.1.mBegriffe (lineare) Funktion, sichere/mögliche/unmögliche Ereignisse, Flussdiagramm, Bit, Byte; Vorsätze Mikro, Nano; Masseinheiten Dichte (kg/dm³, g/cm³)
• MA.3.A.3.iFunktionswert zu einer gegebenen Zahl aus Wertetabelle, Graph und Funktionsgleichung bestimmen (z.B. y = 2x + 1, x = 7 → y = 15); Rechner/Software für Funktionswerte nutzen; Sachaufgaben mit Prozentangaben lösen (Steigung, Zins)
• MA.3.C.2.fProportionale und lineare Zusammenhänge in Sachsituationen erkennen (Erw: indirekt proportionale); Wertepaare und Funktionsgraphen im Koordinatensystem darstellen; Alltagssituationen in mathematische Sprache übersetzen
• MA.3.C.2.hWertetabellen, Diagramme, Sachtexte, Terme und Graphen einander zuordnen und interpretieren; Sachsituationen nach funktionalen, statistischen und probabilistischen Gesichtspunkten bearbeiten

Quelle: Aargauer Lehrplan Volksschule, Fachbereich Mathematik (August 2022)

Eine kleine Zeitreise

Die Idee, Unbekanntes mit Buchstaben zu beschreiben, ist erstaunlich jung. Über Jahrtausende rechneten Menschen mit Zahlen, ohne Variablen zu kennen.

Die alten Babylonier lösten vor etwa 4000 Jahren bereits Gleichungen. Sie schrieben aber keine Terme auf. Stattdessen beschrieben sie Aufgaben in langen Sätzen: “Ich habe die Länge und die Breite addiert. Das Ergebnis mal sich selbst ergab …” Diese Art heisst rhetorische Algebra. Sie war umständlich und schwer lesbar.

Der griechische Mathematiker Diophantos von Alexandria machte um 250 nach Christus einen wichtigen Schritt. Er benutzte Abkürzungen für oft verwendete Wörter. Statt “Quadrat der Unbekannten” schrieb er ein Zeichen. Das war die synkopierte Algebra. Immer noch nicht perfekt, aber kürzer.

Richtig modern wurde die Sache erst im 16. Jahrhundert. Der französische Jurist und Hobby-Mathematiker François Viète hatte eine revolutionäre Idee. Er schlug 1591 vor, Buchstaben systematisch als Platzhalter zu verwenden. Vokale für Unbekanntes, Konsonanten für bekannte Grössen.

René Descartes verfeinerte das System fünfzig Jahre später. Von ihm stammt die Konvention, die du heute kennst: $x, y, z$ für Unbekannte und $a, b, c$ für feste Werte. Descartes führte auch die Hochzahlen wie $x^2$ ein.

Seitdem hat sich diese Schreibweise weltweit durchgesetzt. Ein Inder, eine Schweizerin und ein Japaner können denselben Term lesen – auch ohne gemeinsame Sprache. Terme sind die internationale Sprache der Mathematik.

Die Grundlagen

Kehren wir zur Party zurück. Die Anzahl der Gäste ist noch unbekannt. In der Mathematik verwenden wir dafür Buchstaben als Platzhalter. Wir nennen sie Variablen.

Setzen wir $g$ für die Anzahl der Gäste ein. Dann lautet die Rechnung für die Pizzastücke: $g \cdot 3$ oder kürzer $3 \cdot g$.

Das ist bereits ein vollständiger Term. Er enthält eine Variable ($g$), eine Zahl (3) und eine Rechenoperation (Multiplikation).

Definition

Ein Term ist ein mathematischer Ausdruck, der aus Zahlen, Variablen und Rechenzeichen besteht. Er beschreibt eine Rechenvorschrift, ohne dass ein Gleichheitszeichen vorkommt.

Allgemeine Form: Terme können so aussehen:

$$5x \quad \text{oder} \quad 2a + 3b \quad \text{oder} \quad \dfrac{x}{4} - 7$$

Der wichtige Unterschied: Ein Term ist wie ein Rezept. Er beschreibt, was gerechnet werden soll. Eine Gleichung hingegen sagt: “Diese zwei Dinge sind gleich.”

Stell dir eine Variable wie eine Schachtel vor. Du weisst nicht, welche Zahl drin ist. Du kannst aber trotzdem damit rechnen.

Wenn jemand sagt “Nimm die Schachtel und verdopple den Inhalt”, dann schreibst du $2 \cdot x$ oder einfach $2x$. “Nimm die Schachtel, verdopple den Inhalt und addiere fünf” wird zu $2x + 5$.

Die Schachtel (Variable) behält ihren Wert. Der Term beschreibt nur, was du mit diesem unbekannten Wert machst. Beim Einsetzen einer konkreten Zahl erhältst du den Termwert.

Die Kernmethode

Das Wichtigste beim Aufstellen von Termen: Übersetze den Text Wort für Wort in Mathematik. Arbeite systematisch in fünf Schritten.

Definition

1. Lies den Text sorgfältig. Was ist unbekannt? Das wird deine Variable.
2. Wähle einen Buchstaben. Üblicherweise $x$, oder der Anfangsbuchstabe der gesuchten Grösse.
3. Erkenne die Rechenoperationen. Welche Wörter deuten auf Plus, Minus, Mal oder Geteilt hin?
4. Schreibe den Term auf. Achte auf die richtige Reihenfolge der Operationen.
5. Prüfe deinen Term. Setze eine einfache Zahl ein und vergleiche mit dem Text.

Damit du die passenden Rechenzeichen erkennst, hilft dir diese Übersetzungstabelle:

• “Summe”, “mehr als”, “addiert zu”, “erhöht um” → Addition ($+$)
• “Differenz”, “weniger als”, “subtrahiert”, “vermindert um” → Subtraktion ($-$)
• “Produkt”, “mal”, “das Doppelte”, “das Dreifache” → Multiplikation ($\cdot$)
• “Quotient”, “geteilt durch”, “ein Viertel von”, “die Hälfte” → Division ($:$ oder $/$)

Achtung

Achtung bei der Reihenfolge!

“5 weniger als $x$” bedeutet $x - 5$ (nicht $5 - x$). “5 mehr als das Dreifache von $x$” bedeutet $3x + 5$. Lies genau: Was wird von was abgezogen oder zu was addiert? Die Reihenfolge im Satz entspricht nicht immer der Reihenfolge im Term.

Die Probe ist entscheidend. Setze eine kleine Zahl wie 2 oder 3 für die Variable ein. Rechne den Term aus. Prüfe dann im Text, ob das Ergebnis logisch stimmt.

Beispiel:

Beispiel 1: Einfache Übersetzung

Aufgabe: Stelle einen Term auf für “Das Fünffache einer Zahl, vermindert um zwei”.

Lösung:

Die unbekannte Zahl nennen wir $x$.

“Das Fünffache einer Zahl” bedeutet $5 \cdot x$, also $5x$.

“Vermindert um zwei” bedeutet, dass wir 2 abziehen.

$$5x - 2$$

Probe: Für $x = 3$ ergibt der Term $5 \cdot 3 - 2 = 15 - 2 = 13$. Das Fünffache von 3 ist 15, minus 2 ergibt 13. Stimmt!

Würdest du $x = 10$ einsetzen, erhieltest du $5 \cdot 10 - 2 = 48$. Der Term beschreibt also eine ganze Familie von Rechnungen – für jede mögliche Zahl $x$ ein Ergebnis.

Beispiel:

Beispiel 2: Term mit Veränderung

Aufgabe: In einem Parkhaus stehen anfangs $p$ Autos. Jede Stunde fahren 8 Autos weg und 5 neue kommen. Wie viele Autos stehen nach einer Stunde im Parkhaus?

Lösung:

Startmenge: $p$ Autos

Veränderung pro Stunde: 8 Autos weniger, 5 Autos mehr. Insgesamt ergibt das $-8 + 5 = -3$.

Nach einer Stunde stehen also drei Autos weniger im Parkhaus als am Anfang:

$$p - 8 + 5 = p - 3$$

Probe: Waren anfangs $p = 50$ Autos im Parkhaus, stehen nach einer Stunde $50 - 3 = 47$ Autos dort. Das passt zum Text.

Der Term $p - 3$ beschreibt die Anzahl Autos nach einer Stunde – für jeden Anfangswert. Die Variable $p$ steht für den unbekannten Startwert. Bei $p = 100$ wären es 97 Autos, bei $p = 20$ wären es 17.

Die häufigsten Stolpersteine

Beim Aufstellen von Termen passieren immer wieder dieselben Fehler. Wenn du sie kennst, kannst du sie vermeiden.

Achtung

Stolperstein 1: Variable vergessen

“Die Hälfte einer Zahl plus 3” ist $\dfrac{x}{2} + 3$, nicht $\dfrac{1}{2} + 3$. Achte darauf, dass die Variable im Term vorkommt, sobald eine unbekannte Zahl im Spiel ist. Ohne Variable beschreibst du keine Situation, sondern nur eine feste Rechnung.

Achtung

Stolperstein 2: Punkt-vor-Strich missachtet

Der Term $2 + 3x$ ist nicht dasselbe wie $(2 + 3) \cdot x$. Im ersten Term wird zuerst $3 \cdot x$ gerechnet, dann 2 addiert. Im zweiten Term wird zuerst $2 + 3 = 5$ gerechnet, dann mit $x$ multipliziert. Setze Klammern, wenn die übliche Reihenfolge nicht zum Text passt.

Achtung

Stolperstein 3: Klammern weglassen

“Das Dreifache der Summe aus $x$ und 4” ist $3 \cdot (x + 4)$, nicht $3x + 4$. Das Wort “Summe” verlangt, dass zuerst addiert und dann multipliziert wird. Ohne Klammern würde die Punkt-vor-Strich-Regel alles umdrehen.

Achtung

Stolperstein 4: Reihenfolge bei Subtraktion

“Die Differenz von $x$ und 7” heisst $x - 7$. “Die Differenz von 7 und $x$” heisst dagegen $7 - x$. Die Subtraktion ist nicht vertauschbar. $x - 7$ und $7 - x$ ergeben unterschiedliche Werte, zum Beispiel $3 - 7 = -4$ und $7 - 3 = 4$.

Beispiel:

Beispiel 3: Textaufgabe mit mehreren Grössen

Aufgabe: Ein Rechteck hat eine Länge, die doppelt so gross ist wie seine Breite $b$. Stelle einen Term für den Umfang des Rechtecks auf.

Lösung:

Breite: $b$

Länge: Das Doppelte der Breite, also $2b$.

Der Umfang eines Rechtecks besteht aus zwei Längen und zwei Breiten:

$$U = 2 \cdot \text{Länge} + 2 \cdot \text{Breite}$$

Einsetzen:

$$U = 2 \cdot 2b + 2 \cdot b = 4b + 2b = 6b$$

Interpretation: Der Umfang ist immer das Sechsfache der Breite, egal wie gross das Rechteck tatsächlich ist.

Probe: Für $b = 5\,\text{cm}$ wäre der Umfang $6 \cdot 5 = 30\,\text{cm}$. Rechnen wir nach: Breite 5 cm, Länge 10 cm, Umfang $5 + 10 + 5 + 10 = 30\,\text{cm}$. Passt.

Beispiel:

Beispiel 4: Preis mit Rabatt

Aufgabe: Ein T-Shirt kostet $x$ Franken. Im Sale gibt es 20 Prozent Rabatt. Stelle einen Term für den neuen Preis auf.

Lösung:

20 Prozent von $x$ werden abgezogen. 20 Prozent entsprechen dem Faktor $0{,}2$:

$$\text{Rabattbetrag} = 0{,}2 \cdot x = 0{,}2x$$

Der neue Preis ist der alte Preis minus Rabatt:

$$\text{Neuer Preis} = x - 0{,}2x = 0{,}8x$$

Probe: Ein T-Shirt für $x = 50$ Franken kostet im Sale $0{,}8 \cdot 50 = 40$ Franken. Der Rabatt beträgt also 10 Franken, was 20 Prozent von 50 Franken sind.

Merke: Statt “Preis minus 20 Prozent” kannst du kürzer “80 Prozent des Preises” schreiben. Das ist der Schlüssel zu vielen Sachaufgaben mit Prozenten.

Vertiefung

Terme verbinden Mathematik mit der realen Welt. Sie sind der erste Schritt zu einer der wichtigsten Ideen der Mathematik: Funktionen.

Eine Funktion ordnet jeder Zahl eine andere Zahl zu. Genau das macht ein Term auch. Schreibst du $y = 3x + 2$, so hast du eine Funktionsgleichung. Für jedes $x$ liefert der Term einen $y$-Wert.

Definition

Wenn du einen Term gleich $y$ setzt, erhältst du eine Funktionsgleichung. Der Term auf der rechten Seite beschreibt, wie $y$ aus $x$ berechnet wird.

$$y = \text{Term mit } x$$

Beispiel: $y = 2x + 1$ bedeutet, dass jeder $x$-Wert in den Term $2x+1$ eingesetzt wird. Das Ergebnis ist der zugehörige $y$-Wert.

Solche Terme sind das Rückgrat vieler Anwendungen. Physiker beschreiben mit ihnen Bewegungen, Biologinnen Wachstum, Ökonomen Kosten und Erträge.

Ein Beispiel aus der Physik: Fährt ein Zug mit $50$ km/h, so ist die zurückgelegte Strecke nach $t$ Stunden gleich $50t$. Der Term $50t$ beschreibt eine proportionale Zuordnung. Doppelte Zeit ergibt doppelte Strecke.

Fährt der Zug los, hat aber schon 10 km zurückgelegt, lautet der Term $50t + 10$. Jetzt liegt ein linearer Zusammenhang vor. Bei $t = 0$ ist der Zug bereits bei 10 km.

Diese Unterscheidung kommt immer wieder vor. Ohne konstanten Anteil (wie $50t$) heisst der Zusammenhang proportional. Mit konstantem Anteil (wie $50t + 10$) heisst er linear.

Kompliziertere Terme führen zu anderen Funktionstypen. Ein Term wie $x^2$ beschreibt eine quadratische Funktion. Ein Term wie $2^x$ beschreibt exponentielles Wachstum. In höheren Klassen lernst du diese kennen.

Beispiel:

Beispiel 5: Term als Funktion verwenden

Aufgabe: Eine Taxifahrt kostet eine Grundgebühr von 6 Franken plus $3{,}50$ Franken pro Kilometer. Stelle einen Term für den Fahrpreis bei $x$ Kilometern auf. Berechne den Preis für 4 km und 12 km.

Lösung:

Grundgebühr (fest): 6 Franken

Kosten pro Kilometer: $3{,}50 \cdot x = 3{,}5x$ Franken

Gesamtpreis:

$$P(x) = 3{,}5x + 6$$

Für $x = 4$ km:

$$P(4) = 3{,}5 \cdot 4 + 6 = 14 + 6 = 20\,\text{Franken}$$

Für $x = 12$ km:

$$P(12) = 3{,}5 \cdot 12 + 6 = 42 + 6 = 48\,\text{Franken}$$

Der Term $3{,}5x + 6$ beschreibt einen linearen Zusammenhang. Ohne die Grundgebühr wäre er proportional. Grundgebühr und Kilometerpreis lassen sich direkt aus dem Term ablesen.

Übungen

Bearbeite die folgenden Aufgaben der Reihe nach. Die Schwierigkeit steigt von oben nach unten. Die Lösungen findest du am Ende des Artikels.

1. Stelle einen Term auf für “Eine Zahl, vermindert um 9”.
2. Stelle einen Term auf für “Das Vierfache einer Zahl, erhöht um 11”.
3. Schreibe den Term zu “Die Summe aus einer Zahl und ihrer Hälfte”.
4. Ein Buch kostet $b$ Franken. Du kaufst 5 Stück. Wie lautet der Gesamtpreis als Term?
5. Lisa ist $a$ Jahre alt. Ihr Bruder ist 3 Jahre jünger. Wie lautet der Term für das Alter des Bruders? Und für die Summe beider Alter?
6. Ein Quadrat hat die Seitenlänge $s$. Stelle Terme für den Umfang und die Fläche auf.
7. Ein Handy-Abo kostet 20 Franken pro Monat plus 12 Rappen pro Gesprächsminute. Stelle einen Term für die monatlichen Kosten in Franken auf, wenn du $m$ Minuten telefonierst.
8. Eine Zahl $x$ wird verdreifacht. Vom Ergebnis wird 4 abgezogen. Diese Differenz wird verdoppelt. Wie lautet der Term?
9. In einer Klasse sind $k$ Kinder. Ein Drittel sind Mädchen. Stelle Terme auf für die Anzahl Mädchen und die Anzahl Jungen.
10. Ein Rechteck hat die Breite $b$. Die Länge ist um 4 cm grösser als die Breite. Stelle einen Term für den Flächeninhalt auf. Vereinfache, wenn möglich.

Das Wichtigste in Kürze

Ein Term ist ein mathematischer Ausdruck aus Zahlen, Variablen und Rechenzeichen. Er beschreibt eine Rechenvorschrift ohne Gleichheitszeichen.

Beim Aufstellen eines Terms übersetzt du einen Text schrittweise in mathematische Symbole. Zuerst wählst du eine Variable für die unbekannte Grösse. Dann identifizierst du die Rechenoperationen anhand von Schlüsselwörtern. Zum Schluss prüfst du deinen Term mit einer einfachen Zahl.

Besonders aufpassen musst du bei der Reihenfolge. ”$a$ weniger als $b$” heisst $b - a$, nicht $a - b$. Bei zusammengesetzten Formulierungen wie “das Doppelte der Summe” brauchst du Klammern.

Terme sind der Einstieg in Funktionen. Wird ein Term gleich $y$ gesetzt, beschreibt er, wie $y$ von $x$ abhängt. Damit öffnest du die Tür zu fast allen mathematischen Modellen in Schule und Wissenschaft.

❓ Frage:

Stelle einen Term auf: “Eine Zahl wird verdreifacht und dann um 7 erhöht.”

Lösung anzeigen

Der Term lautet $3x + 7$. Die Zahl $x$ wird zuerst mit 3 multipliziert (verdreifacht), dann wird 7 addiert (erhöht).

❓ Frage:

Was bedeutet der Term $\dfrac{n}{4} - 2$ in Worten?

Lösung anzeigen

Ein Viertel einer Zahl $n$, vermindert um 2. Oder: Die Zahl $n$ wird durch 4 geteilt, dann werden 2 abgezogen.

❓ Frage:

Ein Kinoticket kostet $k$ Franken. Für Kinder gibt es 3 Franken Rabatt. Wie lautet der Term für den Kinderpreis?

Lösung anzeigen

Der Term lautet $k - 3$. Vom normalen Preis $k$ werden 3 Franken abgezogen.

❓ Frage:

Welcher Term gehört zu “Das Doppelte der Summe aus $x$ und 5”?

Lösung anzeigen

Der Term lautet $2 \cdot (x + 5)$. Die Klammer ist wichtig, weil erst die Summe gebildet und dann verdoppelt wird. Ohne Klammer wäre $2x + 5$ etwas anderes.

❓ Frage:

Berechne den Wert des Terms $4x - 3$ für $x = 6$.

Lösung anzeigen

Einsetzen: $4 \cdot 6 - 3 = 24 - 3 = 21$. Der Termwert ist 21.

Ausblick

Mit Termen hast du das Werkzeug, um reale Situationen mathematisch zu beschreiben. Der nächste Schritt: Zwei Terme gleichsetzen. Dann entsteht eine Gleichung.

Gleichungen lösen heisst, den Wert der Variablen zu finden, für den beide Seiten denselben Wert haben. Diese Fähigkeit brauchst du in der Physik, Chemie, Wirtschaft und im Alltag. Später kommen Funktionen, Formeln für Flächen und Volumen sowie Gleichungssysteme mit mehreren Unbekannten dazu. Alles baut auf dem Fundament auf, das du gerade gelegt hast.

Lösungen

1. Variable $x$. “Vermindert um 9” bedeutet minus 9.

$$x - 9$$

2. Variable $x$. Zuerst vervierfachen, dann 11 addieren.

$$4x + 11$$

3. Die Zahl ist $x$, ihre Hälfte ist $\dfrac{x}{2}$. Summe heisst addieren.

$$x + \dfrac{x}{2}$$

Man kann den Term auch zusammenfassen zu $\dfrac{3x}{2}$, weil $x = \dfrac{2x}{2}$ ist.

4. Preis pro Buch: $b$ Franken. Fünf Stück kosten das Fünffache.

$$5b$$

5. Lisa ist $a$ Jahre alt. Der Bruder ist 3 Jahre jünger, also $a - 3$ Jahre alt. Die Summe beider Alter:

$$a + (a - 3) = 2a - 3$$

6. Quadrat mit Seitenlänge $s$. Der Umfang besteht aus vier gleichen Seiten:

$$U = 4s$$

Der Flächeninhalt ist die Seitenlänge mal sich selbst:

$$A = s \cdot s = s^2$$

7. Grundgebühr: 20 Franken. Pro Minute fallen 12 Rappen an, das sind $0{,}12$ Franken. Für $m$ Minuten ergibt das $0{,}12 \cdot m = 0{,}12m$ Franken. Gesamtkosten:

$$K = 0{,}12m + 20$$

8. Schritt für Schritt: $x$ verdreifachen ergibt $3x$. Davon 4 abziehen ergibt $3x - 4$. Das Ergebnis verdoppeln heisst, mit 2 multiplizieren. Wichtig: Das ganze bisherige Ergebnis wird verdoppelt, also brauchst du eine Klammer.

$$2 \cdot (3x - 4) = 6x - 8$$

9. Anzahl Kinder: $k$. Ein Drittel sind Mädchen:

$$\text{Mädchen} = \dfrac{k}{3}$$

Die restlichen zwei Drittel sind Jungen:

$$\text{Jungen} = k - \dfrac{k}{3} = \dfrac{2k}{3}$$

10. Breite: $b$. Länge: um 4 cm grösser als die Breite, also $b + 4$. Flächeninhalt ist Länge mal Breite:

$$A = b \cdot (b + 4)$$

Du kannst die Klammer auflösen, indem du $b$ mit jedem Summanden multiplizierst:

$$A = b^2 + 4b$$

Beide Formen sind richtig. Die Form $b^2 + 4b$ zeigt, dass sich die Fläche aus einem Quadrat ($b^2$) und einem Rechteck ($4b$) zusammensetzt.

Verwandte Themen

• Gleichungen verstehen und lösen
• Terme mit einer Variablen – Der Platzhalter in der Mathematik
• Terme verstehen und richtig rechnen

Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport