Winkel an parallelen Geraden – Stufen-, Wechsel- und Nebenwinkel verstehen

Weiterführend:

• Zur Kapitelübersicht „Winkel und Kreis”
• Alles über Winkel: Drehen, Messen und Verstehen
• Winkel messen und zeichnen – Alles im Griff mit dem Geodreieck

Darum geht's

Stell dir eine Leiter vor, die an einer Wand lehnt. Die Sprossen verlaufen alle parallel zueinander. Die Wand schneidet jede Sprosse im gleichen Winkel.

Egal welche Sprosse du betrachtest: Der Winkel zwischen Wand und Sprosse bleibt immer derselbe. Das ist kein Zufall. Es liegt daran, dass die Sprossen parallel sind.

Dieses Prinzip begegnet dir überall. Bei Eisenbahnschienen, die eine Strasse kreuzen. Bei Linien auf kariertem Papier. Oder bei Fensterrahmen und Zebrastreifen.

Wenn eine Linie zwei parallele Geraden schneidet, entstehen besondere Winkelbeziehungen. Diese Beziehungen helfen dir, unbekannte Winkel zu berechnen – oft mit nur einer einzigen gegebenen Zahl.

📋Lehrplan 21Zyklus 2 (3.–6. Klasse), Zyklus 3 (7.–9. Klasse) · 7Kompetenzen

• MA.3.A.1.iGrundanspruchReferenzgrössen 1 m³, 1 dm³, 1 cm³; Vorsätze Mega, Giga, Tera
• MA.3.B.1.hGrundanspruchErw: Parameter in Gleichungen verändern und Auswirkungen mit elektronischen Hilfsmitteln untersuchen
• MA.3.C.3.gGrundanspruch
• MA.3.A.1.jBegriffe Koordinatensystem, Währung, arithmetisches Mittel (Erw: indirekte Proportionalität); Masseinheiten Flächenmasse (km², ha, a, m², dm², cm², mm²), Geld (CHF, €, $)
• MA.3.A.1.kBegriffe absolute und relative Häufigkeit, x-Koordinate, y-Koordinate, x-Achse, y-Achse, Einheitsstrecke, Wahrscheinlichkeit; Masseinheiten Geschwindigkeit (km/h, m/s, kB/s, dpi)
• MA.3.B.1.iErgebnisse zu funktionalen Zusammenhängen überprüfen, insbesondere durch Interpretation von Tabellen, Graphen und Diagrammen
• MA.3.C.3.h

Quelle: Aargauer Lehrplan Volksschule, Fachbereich Mathematik (August 2022)

Eine kleine Zeitreise

Die Beziehungen zwischen Winkeln an parallelen Geraden gehören zu den ältesten Erkenntnissen der Geometrie. Schon im antiken Ägypten nutzten Baumeister parallele Linien, um gerade Wände und ebene Pyramidenflächen zu konstruieren. Sie wussten: Wenn zwei Kanten parallel bleiben, öffnet sich der gleiche Winkel an jeder Schnittstelle.

Der griechische Mathematiker Euklid von Alexandria fasste dieses Wissen um $300$ v. Chr. in seinem berühmten Werk „Die Elemente” zusammen. Das fünfte Postulat seines Werks – das sogenannte Parallelenpostulat – gehört zu den berühmtesten Aussagen der Mathematikgeschichte. Es besagt vereinfacht: Durch einen Punkt ausserhalb einer Geraden gibt es genau eine Parallele zu dieser Geraden.

Über zwei Jahrtausende lang versuchten Mathematiker zu beweisen, dass dieses Postulat aus den anderen Axiomen folgt. Alle Versuche scheiterten. Erst im $19.$ Jahrhundert entdeckten Nikolai Lobatschewski und János Bolyai unabhängig voneinander, dass es auch andere, nicht-euklidische Geometrien gibt. In diesen Welten gelten die vertrauten Regeln nicht mehr.

Die Bezeichnungen F-Winkel, Z-Winkel und E-Winkel sind übrigens eine deutsche Merkhilfe aus dem $19.$ Jahrhundert. Lehrer bemerkten, dass Schüler sich die Muster leichter einprägen, wenn sie an Buchstabenformen denken. Im Englischen spricht man von „corresponding angles” und „alternate angles”, ganz ohne Buchstabenbild.

Heute findest du diese Winkelbeziehungen überall. Architekten nutzen sie beim Dachbau. Vermesser berechnen damit unzugängliche Strecken. Und sogar Albert Einstein brauchte die Geometrie der Parallelen, um seine Relativitätstheorie zu formulieren – allerdings in einer nicht-euklidischen Variante, in der der gewohnte Raum gekrümmt ist.

Die Grundlagen

Bevor wir die Winkelbeziehungen erforschen, brauchst du zwei zentrale Begriffe: parallele Geraden und Transversale.

Definition

Zwei Geraden heissen parallel, wenn sie überall den gleichen Abstand haben. Sie schneiden sich nie – auch nicht, wenn man sie unendlich verlängert. Das mathematische Symbol dafür ist $\parallel$.

Eine dritte Gerade, die beide parallelen Geraden schneidet, heisst Transversale (oder Schnittgerade).

An den zwei Schnittpunkten zwischen Transversale und den Parallelen entstehen insgesamt acht Winkel – vier an jedem Schnittpunkt.

Formal: Sind $g$ und $h$ zwei Geraden und gilt $g \parallel h$, dann haben sie an jeder Stelle denselben senkrechten Abstand $d$:

$$\begin{align*} d(P, h) = d(Q, h) \quad \text{für alle } P, Q \in g \end{align*}$$

Diese acht Winkel stehen in besonderen Beziehungen zueinander. Manche sind gleich gross. Andere ergänzen sich zu $180°$. Die Muster zu erkennen ist der Schlüssel zu diesem Thema.

Wichtig: Die Regeln, die du gleich kennenlernst, gelten nur dann, wenn die zwei Geraden tatsächlich parallel sind. Sobald die Parallelität fehlt, stimmen die Gleichungen nicht mehr. Deshalb ist der erste Schritt bei jeder Aufgabe: Prüfe die Parallelität.

Die Kernmethode

An zwei parallelen Geraden mit einer Transversale gibt es drei wichtige Winkelpaare. Diese drei Regeln bilden das Fundament des ganzen Themas.

Definition

Stufenwinkel (F-Winkel): Winkel, die auf derselben Seite der Transversale liegen und beide oberhalb oder beide unterhalb ihrer jeweiligen Parallele sind. Sie sind gleich gross.

$$\begin{align*} \alpha_{\text{Stufen}} = \beta_{\text{Stufen}} \end{align*}$$

Wechselwinkel (Z-Winkel): Winkel, die auf verschiedenen Seiten der Transversale liegen und zwischen den Parallelen. Sie sind gleich gross.

$$\begin{align*} \alpha_{\text{Wechsel}} = \beta_{\text{Wechsel}} \end{align*}$$

Nebenwinkel an Parallelen (E-Winkel): Winkel, die auf derselben Seite der Transversale liegen und beide zwischen den Parallelen. Sie ergänzen sich zu $180°$.

$$\begin{align*} \alpha_{\text{Neben}} + \beta_{\text{Neben}} = 180° \end{align*}$$

Die F-Form für Stufenwinkel: Zeichne gedanklich ein grosses F. Die beiden Querstriche des F sind die Parallelen. Die Winkel in den Ecken des F sind Stufenwinkel.

Die Z-Form für Wechselwinkel: Stelle dir ein Z vor. Die obere und untere Linie sind die Parallelen. Die schräge Linie ist die Transversale. Die Winkel in den Ecken des Z sind Wechselwinkel.

Die U-Form für Nebenwinkel: Denke an ein liegendes U. Die beiden senkrechten Striche stehen für die Parallelen. Die Winkel im Innern des U sind Nebenwinkel.

So gehst du vor, wenn du Winkel berechnen sollst:

1. Parallelität prüfen – nur dann gelten die Regeln.
2. Gegebenen Winkel markieren in der Skizze.
3. Beziehung bestimmen – F-, Z- oder U-Muster?
4. Regel anwenden – gleich oder $180°$ ergänzend?
5. Berechnen und Einheit schreiben.

Beispiel:

Beispiel 1: Stufenwinkel direkt ablesen

Zwei parallele Geraden $g$ und $h$ werden von einer Transversale $t$ geschnitten. Der Winkel $\alpha$ an der oberen Geraden beträgt $65°$. Er liegt rechts von $t$ und oberhalb von $g$.

Gesucht ist der Stufenwinkel $\beta$ an der unteren Geraden $h$.

Lösung:

Skizziere die Situation. Markiere $\alpha$ rechts oben an $g$. Der Stufenwinkel $\beta$ liegt ebenfalls rechts von $t$, aber oberhalb von $h$.

Beide Winkel zeigen in dieselbe „Richtung” – das ist das F-Muster.

Da Stufenwinkel bei parallelen Geraden gleich gross sind, gilt:

$$\begin{align*} \beta = \alpha = 65° \end{align*}$$

Antwort: Der Winkel $\beta$ ist $65°$ gross.

Beispiel:

Beispiel 2: Wechselwinkel mit Skizze

Gegeben sind zwei parallele Geraden. Eine Transversale schneidet sie. Der Winkel $\gamma = 118°$ liegt links von der Transversale, unterhalb der oberen Geraden – also zwischen den Parallelen.

Gesucht ist der Winkel $\delta$, der rechts von der Transversale, oberhalb der unteren Geraden liegt – ebenfalls zwischen den Parallelen.

Lösung:

Zeichne eine Skizze mit beiden Parallelen und der Transversale. Markiere $\gamma$ und $\delta$.

Prüfe die Lage:

• $\gamma$ und $\delta$ liegen auf verschiedenen Seiten der Transversale (links vs. rechts).
• Beide liegen zwischen den Parallelen.

Das entspricht dem Z-Muster. Also sind $\gamma$ und $\delta$ Wechselwinkel.

Wechselwinkel sind gleich gross:

$$\begin{align*} \delta = \gamma = 118° \end{align*}$$

Antwort: Der Winkel $\delta$ beträgt $118°$.

Kontrollfrage: Ist $\delta$ wirklich stumpf? Ja – $\gamma$ ist stumpf ($> 90°$), und Wechselwinkel sind gleich gross. Das Ergebnis passt.

Die häufigsten Stolpersteine

Beim Arbeiten mit Winkeln an Parallelen gibt es einige typische Fallen. Wenn du sie kennst, läufst du nicht hinein.

Achtung

Parallelität nicht geprüft: Die Regeln für Stufen-, Wechsel- und Nebenwinkel gelten nur bei parallelen Geraden. Prüfe immer zuerst, ob $g \parallel h$ wirklich gilt. In vielen Aufgaben ist die Parallelität im Text versteckt – zum Beispiel „Eisenbahnschienen” oder „gegenüberliegende Hauswände”.

Achtung

Stufen- und Wechselwinkel verwechselt: Beide Winkelpaare sind zwar gleich gross, aber die Benennung ist wichtig. Stufenwinkel liegen auf derselben Seite der Transversale. Wechselwinkel liegen auf verschiedenen Seiten. In Beweisen musst du die richtige Begründung nennen.

Achtung

Nebenwinkel verwechselt: Es gibt zwei Arten von Nebenwinkeln:

• Nebenwinkel an einem Schnittpunkt ergänzen sich zu $180°$, weil sie zusammen einen gestreckten Winkel bilden.
• Nebenwinkel an Parallelen ergänzen sich zu $180°$, weil sie an zwei verschiedenen Schnittpunkten liegen und das U-Muster bilden.

Beide ergeben $180°$, aber aus unterschiedlichen Gründen.

Achtung

Die Hälfte der Winkel übersehen: An jeder Parallele entstehen vier Winkel, insgesamt also acht. Viele Schülerinnen und Schüler zeichnen nur die offensichtlichen Winkel ein und vergessen die anderen. Nummeriere sie gleich zu Beginn von $1$ bis $8$, damit du den Überblick behältst.

Beispiel:

Beispiel 3: Mehrere Winkel aus einem berechnen

Zwei parallele Geraden werden von einer Transversale geschnitten. Nur ein Winkel ist bekannt: $\alpha = 53°$, gemessen rechts von der Transversale, oberhalb der oberen Geraden.

Berechne alle acht Winkel an den beiden Schnittpunkten.

Lösung:

Nummeriere die Winkel $\alpha_1$ bis $\alpha_4$ am oberen Schnittpunkt und $\beta_1$ bis $\beta_4$ am unteren. Gegeben: $\alpha_1 = 53°$.

Am oberen Schnittpunkt:

• $\alpha_3 = \alpha_1 = 53°$ (Scheitelwinkel)
• $\alpha_2 = 180° - 53° = 127°$ (Nebenwinkel zu $\alpha_1$)
• $\alpha_4 = \alpha_2 = 127°$ (Scheitelwinkel)

Am unteren Schnittpunkt (über Stufenwinkel):

• $\beta_1 = \alpha_1 = 53°$ (Stufenwinkel)
• $\beta_2 = \alpha_2 = 127°$ (Stufenwinkel)
• $\beta_3 = \alpha_3 = 53°$ (Stufenwinkel)
• $\beta_4 = \alpha_4 = 127°$ (Stufenwinkel)

Antwort: Vier Winkel messen $53°$, die anderen vier $127°$. Die Summe jedes Paars ergibt $180°$.

Beispiel:

Beispiel 4: Eine Sachsituation mit dem Dach

Ein Architekt plant ein Dach. Die Dachsparren verlaufen parallel zueinander. Eine Stützstrebe kreuzt zwei benachbarte Sparren.

Der Winkel zwischen der Strebe und dem oberen Sparren beträgt $72°$, gemessen auf der Innenseite (zwischen den beiden Sparren). Wie gross ist der Winkel auf der Innenseite beim unteren Sparren?

Lösung:

Zeichne die Situation: zwei parallele Sparren (waagrecht) und die Strebe (schräg).

Die beiden gesuchten Winkel liegen:

• auf derselben Seite der Strebe (Innenseite),
• beide zwischen den Sparren.

Das ist das U-Muster. Es handelt sich um Nebenwinkel an Parallelen.

Nebenwinkel ergänzen sich zu $180°$:

$$\begin{align*} 72° + \beta &= 180° \\ \beta &= 180° - 72° \\ \beta &= 108° \end{align*}$$

Antwort: Der Winkel beim unteren Sparren beträgt $108°$.

Kontrolle: Stumpfer Winkel ($> 90°$) passt, weil $72°$ ein spitzer Winkel ist – zusammen müssen sie $180°$ ergeben.

Vertiefung

Die drei Regeln lassen sich nicht nur anwenden – man kann auch erklären, warum sie gelten. Mathematik lebt davon, Aussagen zu begründen.

Definition

Tatsächlich brauchst du nur eine der drei Regeln als Grundannahme. Die anderen beiden folgen daraus mit Hilfe von Scheitel- und Nebenwinkeln am Schnittpunkt.

Beispiel: Aus dem Stufenwinkelsatz folgt der Wechselwinkelsatz:

Sei $\alpha$ ein Winkel am oberen Schnittpunkt und $\beta$ sein Wechselwinkel am unteren. Dann gibt es am unteren Schnittpunkt einen Winkel $\gamma$, der Stufenwinkel zu $\alpha$ ist. Es gilt $\gamma = \alpha$.

Gleichzeitig ist $\beta$ der Scheitelwinkel von $\gamma$, also $\beta = \gamma$.

Durch Gleichsetzen folgt:

$$\begin{align*} \beta = \gamma = \alpha \end{align*}$$

Also sind Wechselwinkel gleich gross.

Diese Art von Argumentation heisst Beweis durch Herleitung. Sie ist eine zentrale Technik in der Mathematik. Wenn du sie einmal verstanden hast, öffnet sich dir die ganze Geometrie.

Umkehrung der Sätze: Die Regeln gelten auch in die andere Richtung. Wenn du zwei Geraden siehst und eine Transversale findet zwei gleich grosse Stufenwinkel – dann sind die Geraden parallel. Diese Umkehrung ist enorm praktisch. Handwerker und Vermesser nutzen sie ständig, um Parallelität zu überprüfen.

Anwendung: Winkelsumme im Dreieck. Mit den Sätzen über Parallelen kannst du beweisen, dass die Winkelsumme im Dreieck genau $180°$ beträgt. Ziehe durch einen Eckpunkt eine Parallele zur gegenüberliegenden Seite. Die drei Innenwinkel des Dreiecks tauchen dann als Wechselwinkel an dieser Parallele wieder auf – und ergeben gemeinsam einen gestreckten Winkel, also $180°$.

Beispiel:

Beispiel 5: Parallelität beweisen

Zwei Geraden $g$ und $h$ werden von einer Transversale $t$ geschnitten. Ein Winkel auf der oberen Geraden beträgt $43°$, der entsprechende Stufenwinkel auf der unteren Geraden ebenfalls $43°$.

Frage: Sind $g$ und $h$ parallel?

Lösung:

Normalerweise nutzt du die Stufenwinkelregel so: Wenn $g \parallel h$, dann sind Stufenwinkel gleich.

Hier gehst du den Weg umgekehrt (Umkehrsatz):

Wenn zwei Geraden von einer Transversale so geschnitten werden, dass die Stufenwinkel gleich gross sind, dann sind die Geraden parallel.

Gegeben: Beide Stufenwinkel messen $43°$. Sie sind also gleich.

Daraus folgt direkt:

$$\begin{align*} g \parallel h \end{align*}$$

Antwort: Ja, die Geraden sind parallel.

Merke: Diese Umkehrung wird oft in Aufgaben benutzt, um Parallelität zu beweisen, nicht nur um sie vorauszusetzen.

Übungen

Bearbeite die folgenden zehn Aufgaben in Ruhe. Die Lösungen findest du am Ende des Artikels. Die Schwierigkeit steigt langsam an.

Aufgabe 1: Zwei parallele Geraden werden von einer Transversale geschnitten. Ein Stufenwinkel misst $74°$. Wie gross ist der zugehörige Stufenwinkel?

Aufgabe 2: Ein Wechselwinkel an parallelen Geraden beträgt $112°$. Wie gross ist sein Wechselpartner?

Aufgabe 3: Zwei Nebenwinkel an Parallelen: einer misst $38°$. Berechne den anderen.

Aufgabe 4: An einem Schnittpunkt mit einer Transversale messen zwei gegenüberliegende Winkel je $65°$ (Scheitelwinkel). Wie gross sind die anderen beiden Winkel an diesem Schnittpunkt?

Aufgabe 5: Gegeben: $g \parallel h$ und eine Transversale. Der Winkel $\alpha$ oben links beträgt $127°$. Berechne alle sieben übrigen Winkel.

Aufgabe 6: Ein Wechselwinkel hat die Grösse $(3x + 10)°$, sein Partner $(2x + 40)°$. Wie gross ist $x$, und wie gross sind die Winkel?

Aufgabe 7: Sind zwei Geraden parallel, wenn ein Stufenwinkelpaar $58°$ und $62°$ misst? Begründe.

Aufgabe 8: Ein Dachsparren und die Dachdecke stehen parallel. Eine schräge Strebe schneidet beide. Der Winkel zur Strebe beim Sparren beträgt oben $34°$. Wie gross ist der Aussenwinkel an der Decke auf derselben Seite der Strebe?

Aufgabe 9: In einem Dreieck liegt ein Winkel bei $48°$, ein zweiter bei $67°$. Nutze die Parallelenregeln, um zu zeigen: Der dritte Winkel misst $65°$.

Aufgabe 10: Zwei Geraden werden von einer Transversale so geschnitten, dass die Nebenwinkel an Parallelen sich zu $175°$ ergänzen. Sind die Geraden parallel? Begründe.

Das Wichtigste in Kürze

An zwei parallelen Geraden mit einer Transversale entstehen acht Winkel. Zwischen diesen bestehen drei Beziehungen:

• Stufenwinkel (F-Muster) – gleich gross.
• Wechselwinkel (Z-Muster) – gleich gross.
• Nebenwinkel an Parallelen (U-Muster) – ergeben zusammen $180°$.

Aus einem bekannten Winkel lassen sich alle sieben übrigen berechnen. Die Regeln gelten nur bei Parallelität – prüfe das stets zuerst. Die Umkehrung hilft, Parallelität nachzuweisen: Sind Stufen- oder Wechselwinkel gleich, so sind die Geraden parallel. Zeichne immer eine Skizze und nummeriere die Winkel.

Quiz

❓ Frage:

Zwei parallele Geraden werden von einer Transversale geschnitten. Ein Winkel beträgt $53°$. Wie gross ist sein Stufenwinkel?

Lösung anzeigen

Der Stufenwinkel ist ebenfalls $53°$ gross, da Stufenwinkel bei parallelen Geraden gleich gross sind.

❓ Frage:

Der Winkel $\alpha = 127°$ und der Winkel $\beta$ sind Nebenwinkel an zwei parallelen Geraden. Berechne $\beta$.

Lösung anzeigen

Nebenwinkel ergänzen sich zu $180°$:

$$\begin{align*} \beta = 180° - 127° = 53° \end{align*}$$

❓ Frage:

Erkläre, warum Wechselwinkel an parallelen Geraden gleich gross sein müssen. Nutze dein Wissen über Scheitelwinkel und Stufenwinkel.

Lösung anzeigen

Wechselwinkel lassen sich über Scheitelwinkel und Stufenwinkel herleiten:

1. Der Wechselwinkel ist Scheitelwinkel zu einem Winkel am selben Schnittpunkt.
2. Dieser Winkel ist Stufenwinkel zum ursprünglichen Winkel.
3. Da Scheitelwinkel gleich sind und Stufenwinkel gleich sind, müssen auch Wechselwinkel gleich sein.

❓ Frage:

Zwei Geraden werden von einer Transversale geschnitten. Ein Stufenwinkelpaar misst $70°$ und $72°$. Sind die Geraden parallel? a) Ja b) Nein c) Nur wenn die Transversale senkrecht steht

Lösung anzeigen

b) Nein. Stufenwinkel sind bei parallelen Geraden exakt gleich gross. Da $70° \neq 72°$, können die Geraden nicht parallel sein.

❓ Frage:

Wie viele Winkel entstehen insgesamt, wenn eine Transversale zwei parallele Geraden schneidet?

Lösung anzeigen

Es entstehen acht Winkel – vier an jedem der beiden Schnittpunkte.

Ausblick

Die Winkelbeziehungen an parallelen Geraden sind das Fundament für viele weiterführende Themen. Als Nächstes begegnen sie dir beim Dreieck: Die Winkelsumme von $180°$ lässt sich damit elegant beweisen. Auch der Satz über die Winkelsumme im Viereck ($360°$) baut darauf auf.

Später triffst du die Idee im Strahlensatz wieder, der Streckenverhältnisse bei Parallelen untersucht. Und in der Vektorgeometrie der höheren Klassen wirst du Parallelität mit Vektoren beschreiben. Die einfachen F-, Z- und U-Muster begleiten dich durch die ganze Mathematik.

Lösungen

Lösung Aufgabe 1:

Stufenwinkel sind bei parallelen Geraden gleich gross. Der gesuchte Winkel beträgt ebenfalls $74°$.

Lösung Aufgabe 2:

Wechselwinkel sind gleich gross. Der Wechselpartner misst ebenfalls $112°$.

Lösung Aufgabe 3:

Nebenwinkel an Parallelen ergänzen sich zu $180°$:

$$\begin{align*} \beta = 180° - 38° = 142° \end{align*}$$

Der andere Nebenwinkel beträgt $142°$.

Lösung Aufgabe 4:

An einem Schnittpunkt bilden vier Winkel einen vollen Umlauf. Die gegenüberliegenden sind jeweils Scheitelwinkel und gleich gross. Die beiden anderen sind Nebenwinkel zu $65°$:

$$\begin{align*} 180° - 65° = 115° \end{align*}$$

Die anderen beiden Winkel messen je $115°$.

Lösung Aufgabe 5:

Gegeben: $\alpha = 127°$ oben links.

Am oberen Schnittpunkt:

• Scheitelwinkel: $127°$
• Nebenwinkel (links und rechts): $180° - 127° = 53°$

Am unteren Schnittpunkt gelten dieselben Werte, da Stufenwinkel gleich sind:

• Zwei Winkel von $127°$
• Zwei Winkel von $53°$

Also: vier Winkel messen $127°$, die anderen vier $53°$.

Lösung Aufgabe 6:

Wechselwinkel sind gleich gross:

$$\begin{align*} 3x + 10 &= 2x + 40 \\ 3x - 2x &= 40 - 10 \\ x &= 30 \end{align*}$$

Einsetzen: $3 \cdot 30 + 10 = 100°$, und $2 \cdot 30 + 40 = 100°$. Beide Winkel messen $100°$.

Lösung Aufgabe 7:

Nein. Stufenwinkel sind bei parallelen Geraden gleich gross. Da $58° \neq 62°$, können die Geraden nicht parallel sein. Der Stufenwinkelsatz (bzw. sein Umkehrsatz) ist hier verletzt.

Lösung Aufgabe 8:

Am Sparren beträgt der Winkel zur Strebe $34°$ (innen). Gesucht ist der Aussenwinkel an der Decke auf derselben Seite der Strebe.

An der Decke bilden der Innen- und der Aussenwinkel einen Nebenwinkel am Schnittpunkt. Der Innenwinkel ist Stufenwinkel zu $34°$, also $34°$. Der Aussenwinkel ist dessen Nebenwinkel:

$$\begin{align*} 180° - 34° = 146° \end{align*}$$

Der Aussenwinkel an der Decke misst $146°$.

Lösung Aufgabe 9:

Ziehe durch eine Ecke des Dreiecks eine Parallele zur Gegenseite. An dieser Parallele treten die beiden anderen Innenwinkel als Wechselwinkel auf. Gemeinsam mit dem dritten Winkel bilden sie einen gestreckten Winkel:

$$\begin{align*} 48° + 67° + \gamma &= 180° \\ \gamma &= 180° - 115° \\ \gamma &= 65° \end{align*}$$

Der dritte Winkel misst $65°$.

Lösung Aufgabe 10:

Bei parallelen Geraden müssen sich Nebenwinkel an Parallelen exakt zu $180°$ ergänzen. Da hier $175° \neq 180°$, liegt keine Parallelität vor.

Die Geraden sind nicht parallel. Sie bilden einen kleinen Winkel und würden sich bei Verlängerung irgendwann schneiden.

Verwandte Themen

• Alles über Winkel: Drehen, Messen und Verstehen
• Winkel messen und zeichnen – Alles im Griff mit dem Geodreieck
• Kreise und Kreisausschnitte verstehen – So berechnest du Flächen und Bögen

Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport