Potenz- und quadratische Funktionen

Darum geht's

Ein Basketball fliegt auf einer Parabel zum Korb. Die Fläche eines Quadrats ist das Quadrat seiner Seitenlänge. Ein Brückenbogen folgt ebenfalls einer parabelartigen Kurve. Überall, wo etwas von einer Grösse quadratisch abhängt, steckt eine quadratische Funktion dahinter.

In diesem Kapitel begegnet dir die mathematische Kurve, mit der sich am meisten anfangen lässt: die Parabel. Du lernst die Normalparabel $y = x^2$, veränderst sie mit Verschieben, Strecken und Spiegeln — und siehst, wie die allgemeine quadratische Funktion entsteht.

Worum geht es?

Eine Potenzfunktion hat die Form $f(x) = x^n$ mit einem festen Exponenten $n$. Für $n = 2$ erhältst du $f(x) = x^2$ — die Normalparabel, symmetrisch zur $y$-Achse, mit dem Scheitelpunkt $S(0|0)$.

Eine allgemeine quadratische Funktion hat zwei äquivalente Darstellungsformen:

• Scheitelform $f(x) = a(x-d)^2 + e$ — Scheitelpunkt direkt ablesbar: $S(d|e)$.
• Normalform $f(x) = ax^2 + bx + c$ — $y$-Achsenabschnitt direkt ablesbar: $(0|c)$.

Der Parameter $a$ bestimmt die Öffnungsrichtung (nach oben für $a > 0$, nach unten für $a < 0$) und die Weite. $|a| > 1$ macht die Parabel schmaler, $|a| < 1$ breiter.

Umgekehrt lernst du die Quadratwurzelfunktion $f(x) = \sqrt{x}$ kennen — die Umkehrung von $f(x) = x^2$ auf dem nicht-negativen Bereich. Ihr Graph ist eine “halbe Parabel auf der Seite”.

Was du schon können solltest

Für dieses Kapitel brauchst du:

• das Verständnis des Funktionsbegriffs — besonders das Koordinatensystem und Wertetabellen,
• Potenzen und die binomischen Formeln — Scheitelform und Normalform unterscheiden sich nur durch Ausmultiplizieren,
• Quadratwurzeln — für die Nullstellen und die Quadratwurzelfunktion,
• sichere Termumformungen für das Umrechnen zwischen Scheitel- und Normalform.

Was du in diesem Kapitel lernst

Acht Lektionen, die vom Einfachen zum Allgemeinen aufbauen:

1. Die Normalparabel — der Graph von $y = x^2$: Symmetrie, Scheitelpunkt, Verlauf.
2. Verschieben der Normalparabel — $y = (x-d)^2 + e$: Wie die Parabel waagrecht und senkrecht verschoben wird.
3. Strecken und Spiegeln der Normalparabel — der Parameter $a$ in $y = a \cdot x^2$: Stauchen, Strecken, nach unten öffnen.
4. Quadratische Funktionen — die allgemeine Form $y = a(x-d)^2 + e$. Alles zusammen.
5. Scheitel- und Normalform — wie du von der Scheitelform zur Normalform kommst (Ausmultiplizieren) und umgekehrt (quadratische Ergänzung).
6. Potenzfunktionen — $f(x) = x^n$ für verschiedene $n$: Parabeln ($n=2$), kubische Kurven ($n=3$), Hyperbeln ($n = -1$). Die Parität des Exponenten bestimmt die Symmetrie.
7. Quadratwurzelfunktionen — $f(x) = \sqrt{x}$: Definitionsbereich $x \ge 0$, monoton wachsend, rechtsgekrümmt.
8. Parabeln im Alltag — Anwendungen: Wurfbahnen, Brückenbögen, Satellitenschüsseln, Gewinnfunktionen.

Wichtige Begriffe im Überblick

• Potenzfunktion — Funktion der Form $f(x) = x^n$.
• Quadratische Funktion — Funktion zweiten Grades: $f(x) = ax^2 + bx + c$.
• Parabel — der Graph einer quadratischen Funktion.
• Scheitelpunkt ($S$) — der höchste (bei $a < 0$) oder tiefste (bei $a > 0$) Punkt der Parabel.
• Scheitelform — $f(x) = a(x-d)^2 + e$ mit $S(d|e)$.
• Normalform — $f(x) = ax^2 + bx + c$; $c$ ist der $y$-Achsenabschnitt.
• Symmetrieachse — vertikale Gerade durch den Scheitelpunkt; $x = d$.
• Nullstellen — die $x$-Werte, bei denen $f(x) = 0$ (Schnittpunkte mit der $x$-Achse).

Häufige Denkfehler

Achtung

Der häufigste Fehler beim Lesen der Scheitelform: das Minus in $(x-d)^2$ wird ignoriert. Der Scheitel liegt bei $x = d$, nicht bei $x = -d$.

1. “Bei $f(x) = (x+3)^2 - 4$ liegt der Scheitel bei $S(3|-4)$.” Falsch — lies das $+3$ als $-(-3)$: $(x-(-3))^2$, also $S(-3|-4)$. Das Vorzeichen vor dem $d$ kehrt sich um.
2. ”$-x^2 = (-x)^2$.” Nein. $-x^2 = -(x^2)$, ist also negativ (für $x \neq 0$). $(-x)^2 = x^2$ ist positiv. Beispiel: $-3^2 = -9$, aber $(-3)^2 = 9$.
3. ”$\sqrt{x}$ ist für alle $x$ definiert.” Nur für $x \ge 0$. Die Quadratwurzelfunktion hat als Definitionsbereich $[0, \infty)$ — Wurzeln aus negativen Zahlen gibt es in den reellen Zahlen nicht.

Wo es im Lehrplan 21 steht

Potenz- und quadratische Funktionen gehören zu MA.3 – Grössen, Funktionen, Daten, 3. Zyklus:

• MA.3.A.3 – Quadratische Funktionen zeichnen; Scheitelpunkt, Nullstellen und $y$-Achsenabschnitt bestimmen.
• MA.3.C.2 – Funktionsgraphen als Darstellung quadratischer Zusammenhänge.
• MA.3.B.2 – Parameter von Funktionsgleichungen (Verschiebung, Streckung) deuten.

Die Normalparabel und einfache Transformationen gelten als Grundanspruch. Allgemeine Potenzfunktionen ($n > 2$) und die Quadratwurzelfunktion sind Erweiterung.

Die Themen im Überblick

• Potenzfunktionen
• Die Normalparabel
• Verschieben der Normalparabel
• Strecken und Spiegeln der Normalparabel
• Quadratische Funktionen
• Scheitel- und Normalform
• Quadratwurzelfunktionen
• Parabeln im Alltag

Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport