Die Normalparabel verstehen: Dein Weg zur quadratischen Funktion

Weiterführend:

• Zur Kapitelübersicht „Potenz- und quadratische Funktionen”
• Normalparabel verschieben: So transformierst du quadratische Funktionen
• Normalparabel strecken und spiegeln: So veränderst du quadratische Funktionen
• Quadratische Funktionen einfach erklärt: Von der Parabel zum Scheitelpunkt

Darum geht's

Wirf einen Ball schräg nach oben und beobachte seine Bahn: Er steigt, wird langsamer, erreicht den höchsten Punkt und fällt in einem eleganten Bogen zurück. Dieselbe Form entdeckst du beim Wasserstrahl im Springbrunnen, beim Sprung eines Delfins und bei manchen Brückenbögen. Diese Kurve heisst Parabel – und ihre einfachste Vertreterin ist die Normalparabel. Sie ist der Grundbaustein aller quadratischen Funktionen: Wer sie versteht, erkennt später jede verschobene, gestreckte oder gespiegelte Parabel auf einen Blick. In diesem Artikel lernst du, wie du Wertetabellen anlegst, mit der Punktprobe Punkte überprüfst und die besondere Symmetrie der Kurve nutzt. Dazu erfährst du, warum die Parabel beim Bremsweg eines Autos eine entscheidende Rolle spielt.

📋Lehrplan 21Zyklus 3 (7.–9. Klasse) · 4Kompetenzen

• MA.3.A.3.hGrundanspruchZu einer Funktionsgleichung Wertepaare bestimmen und in einem Koordinatensystem einzeichnen
• MA.3.C.2.gGrundanspruchAbhängigkeit zweier Grössen mit Funktionsgraph darstellen; Graphenverläufe interpretieren (Erw: geeignete Skalierung wählen; lineare funktionale Zusammenhänge mit Term beschreiben)
• MA.1.C.2.kAussagen zu Zahlenfolgen und Termen numerisch belegen; lineares, quadratisches und exponentielles Wachstum in Termen, Zahlenfolgen und Graphen erkennen
• MA.3.A.3.iFunktionswert zu einer gegebenen Zahl aus Wertetabelle, Graph und Funktionsgleichung bestimmen (z.B. y = 2x + 1, x = 7 → y = 15); Rechner/Software für Funktionswerte nutzen; Sachaufgaben mit Prozentangaben lösen (Steigung, Zins)

Quelle: Aargauer Lehrplan Volksschule, Fachbereich Mathematik (August 2022)

Eine kleine Zeitreise

Die Geschichte der Parabel beginnt vor über 2200 Jahren im antiken Griechenland. Der Mathematiker Apollonios von Perge (ca. 262–190 v. Chr.) untersuchte sogenannte Kegelschnitte: Kurven, die entstehen, wenn eine Ebene einen Kegel schneidet. Er prägte den Begriff „Parabel” – vom griechischen „parabole”, was so viel wie „Vergleich” oder „Nebeneinanderstellung” bedeutet. Für Apollonios war die Parabel ein rein geometrisches Objekt, eine von drei Kegelschnitt-Formen neben Ellipse und Hyperbel. An Funktionen oder Gleichungen dachte damals noch niemand.

Den nächsten grossen Schritt machte Galileo Galilei (1564–1642). Er fragte sich, welcher Bahn ein geworfener Stein folgt. In seinen „Discorsi” von 1638 bewies er: Die Flugbahn eines Wurfgeschosses ist eine Parabel – wenn man den Luftwiderstand vernachlässigt. Damit verband Galilei erstmals die antike Kurve mit der Bewegung in der realen Welt. Artilleristen, Brunnenbauer und später Ingenieure rechneten fortan mit Parabeln.

Fast zeitgleich revolutionierte René Descartes (1596–1650) die Mathematik. Mit seinem Koordinatensystem konnte man geometrische Formen plötzlich durch Gleichungen beschreiben. Die Parabel wurde zur Funktion: Jeder Punkt der Kurve erfüllt die Gleichung $y = x^2$. Leonhard Euler (1707–1783) systematisierte im 18. Jahrhundert den Funktionsbegriff und zeigte, dass die Normalparabel die Grundform aller quadratischen Funktionen ist. Alle anderen Parabeln entstehen aus ihr durch Verschieben, Strecken oder Spiegeln.

Gefahr

Mathe-Fact: Parabeln haben einen Brennpunkt: Alle Strahlen, die parallel zur Symmetrieachse einfallen, werden in diesem einen Punkt gebündelt. Deshalb sind Satellitenschüsseln, Autoscheinwerfer und Solaröfen als Parabolspiegel gebaut – die Form macht aus schwachen Signalen ein starkes Bündel.

Heute begegnet dir die Parabel überall: in der Bremsweg-Formel der Fahrschule, in der Flugbahn eines Basketballs und in den Antennen, die Fernsehsignale aus dem All empfangen. Die Normalparabel ist der einfachste Fall – und genau deshalb der ideale Startpunkt.

Die Grundlagen

Die Normalparabel ist der Graph der Funktion $f(x) = x^2$. Die Rechenvorschrift ist kurz: Nimm eine Zahl $x$ und multipliziere sie mit sich selbst. Das Ergebnis ist der Funktionswert $f(x)$, oft auch $y$ genannt.

Das Wort „quadratisch” kommt vom lateinischen „quadratus” (Quadrat). Quadrierst du eine Zahl, berechnest du die Fläche eines Quadrats mit dieser Seitenlänge: Ein Quadrat mit Seitenlänge 3 hat die Fläche $3^2 = 9$. Die Funktion heisst quadratisch, weil der höchste Exponent 2 ist.

Eine Wertetabelle zeigt dir die Form der Kurve:

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y = x^2$	$9$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$	$9$

Drei Dinge fallen auf. Erstens: Alle $y$-Werte sind grösser oder gleich null, denn ein Quadrat ist nie negativ. Zweitens: Die Werte links und rechts der Null sind spiegelgleich – $f(-3) = f(3) = 9$. Drittens: Die Werte wachsen immer schneller. Von $x = 0$ zu $x = 1$ steigt $y$ um 1, von $x = 2$ zu $x = 3$ bereits um 5.

Definition

Die Normalparabel ist der Graph der Funktion $f(x) = x^2$. Sie hat diese Eigenschaften:

• Scheitelpunkt: $S(0|0)$ – der tiefste Punkt der Kurve.
• Öffnung: nach oben; die Kurve hat eine U-Form.
• Symmetrie: achsensymmetrisch zur $y$-Achse, das heisst $f(-x) = f(x)$.
• Wertebereich: $f(x) \geq 0$ für alle $x$; der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen.

Vergleiche das mit einer linearen Funktion wie $g(x) = 2x$: Ihr Graph ist eine Gerade mit konstanter Steigung. Die Normalparabel dagegen ist gekrümmt – sie fällt links vom Scheitelpunkt und steigt rechts davon, und zwar umso steiler, je weiter du dich vom Ursprung entfernst.

Die Kernmethode

Zwei Techniken brauchst du bei der Normalparabel immer wieder: die Wertetabelle und die Punktprobe.

Wertetabelle anlegen. Wähle $x$-Werte symmetrisch um den Scheitelpunkt, zum Beispiel $-3$ bis $3$. Berechne zu jedem $x$-Wert den Funktionswert $y = x^2$. Achte auf die Vorzeichen: $(-2)^2 = 4$, nicht $-4$. Trage die Punkte ins Koordinatensystem ein und verbinde sie mit einer glatten, durchgehend gekrümmten Kurve. Die Symmetrie hilft dir doppelt: Hast du $f(3) = 9$ berechnet, kennst du automatisch auch $f(-3) = 9$.

Punktprobe durchführen. Oft sollst du entscheiden, ob ein Punkt auf der Parabel liegt. Dazu setzt du die $x$-Koordinate in die Funktionsgleichung ein und vergleichst das Ergebnis mit der $y$-Koordinate. Stimmen beide überein, liegt der Punkt auf dem Graphen. Stimmen sie nicht überein, liegt er daneben.

Definition

Ein Punkt $P(a|b)$ liegt genau dann auf der Normalparabel, wenn seine Koordinaten die Funktionsgleichung erfüllen:

$$b = a^2$$

Vorgehen: $x$-Koordinate $a$ einsetzen, $a^2$ ausrechnen, mit der $y$-Koordinate $b$ vergleichen. Gilt $a^2 = b$, liegt $P$ auf der Parabel – sonst nicht.

Mit diesen beiden Werkzeugen löst du fast jede Aufgabe zur Normalparabel: Funktionswerte berechnen, Graphen zeichnen, Punkte prüfen und Gleichungen der Form $x^2 = k$ verstehen.

Beispiel:

Beispiel 1: Funktionswerte berechnen

Berechne die Funktionswerte der Normalparabel für $x = 3$, $x = -3$ und $x = 0$.

Gegeben: Die Funktion $f(x) = x^2$ und die Stellen $x = 3$, $x = -3$, $x = 0$

Gesucht: Die Funktionswerte $f(3)$, $f(-3)$ und $f(0)$

Lösung:

Du setzt jeden $x$-Wert in die Funktionsgleichung ein:

$$\begin{align*} f(3) &= 3^2 = 3 \cdot 3 = 9 \\ f(-3) &= (-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9 \\ f(0) &= 0^2 = 0 \end{align*}$$

Beachte das Vorzeichen: Minus mal Minus ergibt Plus, deshalb ist $(-3)^2 = 9$.

Antwort: Die Punkte $(3|9)$, $(-3|9)$ und $(0|0)$ liegen auf der Normalparabel.

Kontrolle: $f(3) = f(-3) = 9$ – die Symmetrie zur $y$-Achse bestätigt das Ergebnis. ✓

Beispiel:

Beispiel 2: Wertetabelle anlegen und Punkte einzeichnen

Lege für die Normalparabel eine Wertetabelle von $x = -2$ bis $x = 2$ in Halbschritten an. Was zeigen die Zwischenwerte über die Form der Kurve?

Gegeben: Die Funktion $f(x) = x^2$, $x$-Werte von $-2$ bis $2$ in Schritten von $0{,}5$

Gesucht: Die zugehörigen $y$-Werte als Wertetabelle

Lösung:

Du quadrierst jeden $x$-Wert. Beispielrechnung für $x = 1{,}5$:

$$f(1{,}5) = 1{,}5^2 = 1{,}5 \cdot 1{,}5 = 2{,}25$$

Die vollständige Tabelle:

$x$	$-2$	$-1{,}5$	$-1$	$-0{,}5$	$0$	$0{,}5$	$1$	$1{,}5$	$2$
$y$	$4$	$2{,}25$	$1$	$0{,}25$	$0$	$0{,}25$	$1$	$2{,}25$	$4$

Trägst du die neun Punkte in ein Koordinatensystem ein, erkennst du die glatte U-Form.

Antwort: Die Zwischenwerte zeigen, dass die Kurve in der Nähe des Scheitelpunkts sehr flach verläuft – zwischen $x = 0$ und $x = 0{,}5$ steigt $y$ nur um $0{,}25$. Nach aussen wird die Parabel immer steiler.

Kontrolle: Die Tabelle ist spiegelsymmetrisch zur Spalte $x = 0$. ✓

Die häufigsten Stolpersteine

Beim Arbeiten mit der Normalparabel passieren bestimmte Fehler immer wieder. Wenn du sie kennst, vermeidest du sie leichter.

Achtung

Stolperstein 1: Das Vorzeichen beim Quadrieren

Der Klassiker: $(-3)^2 = -9$ gerechnet statt korrekt $(-3)^2 = 9$. Beim Quadrieren multiplizierst du die Zahl mit sich selbst, und Minus mal Minus ergibt Plus. Vorsicht auch bei der Schreibweise ohne Klammern: $-3^2$ bedeutet $-(3^2) = -9$, denn die Potenz wird vor dem Vorzeichen ausgewertet. Merksatz: Das Quadrat einer reellen Zahl ist nie negativ – erhältst du auf der Parabel einen negativen $y$-Wert, steckt ein Fehler in der Rechnung.

Achtung

Stolperstein 2: $x^2$ mit $2x$ verwechseln

$x^2$ heisst „$x$ mal $x$”, $2x$ heisst „$2$ mal $x$” – das ist nicht dasselbe. Für $x = 5$ gilt: $x^2 = 25$, aber $2x = 10$. Nur bei $x = 0$ und $x = 2$ liefern beide Terme denselben Wert. Wer die beiden verwechselt, zeichnet statt der gekrümmten Parabel eine Gerade. Prüfe im Zweifel mit einer kleinen Wertetabelle: Wachsen die Werte gleichmässig, hast du eine lineare Funktion vor dir – nicht die Normalparabel.

Achtung

Stolperstein 3: Punkte mit dem Lineal verbinden

Die Normalparabel ist eine glatte Kurve, kein Streckenzug. Wer die Tabellenpunkte mit geraden Linien verbindet, zeichnet einen falschen Graphen – besonders am Scheitelpunkt entsteht dann ein unschöner Knick. Berechne in der Nähe des Scheitels zusätzliche Zwischenwerte wie $f(0{,}5) = 0{,}25$ und verbinde alle Punkte freihändig mit einem durchgehenden Bogen. Die Kurve verläuft am Scheitel flach und wird nach aussen stetig steiler.

Achtung

Stolperstein 4: Der Scheitel ist nicht immer ein Minimum

Beim Scheitelpunkt der Normalparabel liegt der tiefste Punkt des Graphen – ein Minimum. Das gilt aber nur, weil die Parabel nach oben geöffnet ist. Bei einer nach unten geöffneten Parabel wie $f(x) = -x^2$ ist der Scheitel der höchste Punkt, also ein Maximum. Die Wurfbahn eines Balls ist genau so eine Kurve: Ihr Scheitel ist der höchste Punkt des Flugs. Präge dir ein: Öffnung nach oben → Scheitel ist Minimum; Öffnung nach unten → Scheitel ist Maximum.

Beispiel:

Beispiel 3: Punktprobe – liegt der Punkt auf der Parabel?

Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte $P(2{,}5|6{,}25)$ und $Q(-4|-16)$ auf der Normalparabel liegen.

Gegeben: Die Funktion $f(x) = x^2$ sowie die Punkte $P(2{,}5|6{,}25)$ und $Q(-4|-16)$

Gesucht: Liegen $P$ und $Q$ auf dem Graphen?

Lösung:

Punktprobe für $P$: Du setzt $x = 2{,}5$ ein und vergleichst mit der $y$-Koordinate.

$$f(2{,}5) = 2{,}5^2 = 6{,}25$$

Die $y$-Koordinate von $P$ ist ebenfalls $6{,}25$ – die Gleichung stimmt.

Punktprobe für $Q$: Du setzt $x = -4$ ein.

$$f(-4) = (-4)^2 = 16 \neq -16$$

Die $y$-Koordinate von $Q$ ist $-16$, der Funktionswert aber $16$. Die Gleichung stimmt nicht. Das war zu erwarten: Die Normalparabel hat keine negativen $y$-Werte.

Antwort: $P(2{,}5|6{,}25)$ liegt auf der Normalparabel, $Q(-4|-16)$ liegt nicht darauf.

Kontrolle: $2{,}5 \cdot 2{,}5 = 6{,}25$ ✓ und $(-4) \cdot (-4) = 16 > 0$ ✓

Beispiel:

Beispiel 4: Transfer – der Bremsweg als Parabel

In der Fahrschule lernst du die Faustformel für den Bremsweg: $s = \left(\dfrac{v}{10}\right)^2$. Dabei ist $v$ das Tempo in km/h und $s$ der Bremsweg in Metern. Berechne den Bremsweg bei 50 km/h und bei 100 km/h. Was bedeutet das Ergebnis für den Strassenverkehr?

Gegeben: Die Formel $s = \left(\dfrac{v}{10}\right)^2$ sowie $v_1 = 50$ km/h und $v_2 = 100$ km/h

Gesucht: Die Bremswege $s_1$ und $s_2$ und ihr Vergleich

Lösung:

Für $v_1 = 50$ km/h:

$$s_1 = \left(\frac{50}{10}\right)^2 = 5^2 = 25 \, \text{m}$$

Für $v_2 = 100$ km/h:

$$s_2 = \left(\frac{100}{10}\right)^2 = 10^2 = 100 \, \text{m}$$

Das Tempo hat sich verdoppelt, der Bremsweg hat sich vervierfacht: $100 = 4 \cdot 25$.

Antwort: Bei 50 km/h beträgt der Bremsweg 25 m, bei 100 km/h bereits 100 m. Doppeltes Tempo bedeutet vierfachen Bremsweg – der Zusammenhang ist quadratisch, nicht linear. Deshalb sind schon kleine Geschwindigkeitsüberschreitungen gefährlich.

Kontrolle: Der Graph der Formel ist eine gestauchte Normalparabel; quadratische Zunahme passt zur Tabelle: $30 \to 9$ m, $60 \to 36$ m, $120 \to 144$ m. ✓

Vertiefung

Die Normalparabel ist das einfachste Beispiel für quadratisches Wachstum. Bei einer linearen Funktion wie $g(x) = 2x$ führt eine Verdopplung von $x$ zu einer Verdopplung von $y$. Bei der Normalparabel ist das anders: Verdoppelst du $x$, vervierfacht sich der Funktionswert. Allgemein gilt:

$$f(2x) = (2x)^2 = 4x^2 = 4 \cdot f(x)$$

Verdreifachst du $x$, wächst $y$ sogar auf das Neunfache: $(3x)^2 = 9x^2$. Dieses Muster erklärt viele Alltagsphänomene – vom Bremsweg über die kinetische Energie eines Fahrzeugs bis zur Fläche eines Quadrats, die sich beim Verdoppeln der Seitenlänge vervierfacht.

Definition

Quadratisches Wachstum: Wird $x$ mit dem Faktor $k$ vervielfacht, wächst der Funktionswert der Normalparabel mit dem Faktor $k^2$: $f(kx) = k^2 \cdot f(x)$.

Achsensymmetrie: Für alle $x$ gilt $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$. Gegenzahlen haben denselben Funktionswert; die $y$-Achse ist Spiegelachse des Graphen.

Die Symmetrie hat eine praktische Folge: Jeder positive Funktionswert wird von genau zwei $x$-Werten erreicht. Suchst du alle $x$ mit $x^2 = 25$, gibt es zwei Lösungen: $x = 5$ und $x = -5$. Nur der Wert $0$ gehört zu einem einzigen $x$-Wert, nämlich dem Scheitelpunkt.

Zum Schluss ein Ausblick: Die Normalparabel ist die Mutter aller Parabeln. Verschiebst du sie nach oben, entsteht $f(x) = x^2 + 2$; verschiebst du sie zur Seite, entsteht $f(x) = (x - 3)^2$. Streckst, stauchst oder spiegelst du sie, erhältst du $f(x) = ax^2$. Alle diese Kurven behalten die typische Parabelform – nur Lage und Öffnung ändern sich.

Beispiel:

Beispiel 5: Quadratisches Wachstum und Rückwärtsrechnen

Ein quadratisches Mosaikbild besteht aus $x^2$ Steinchen, wenn jede Seite $x$ Steinchen lang ist. a) Wie verändert sich die Steinchenzahl, wenn die Seitenlänge von 4 auf 8 Steinchen verdoppelt wird? b) Für welche Seitenlängen besteht das Bild aus genau 100 Steinchen?

Gegeben: Der Zusammenhang $f(x) = x^2$; Seitenlängen 4 und 8; Zielwert $100$ Steinchen

Gesucht: a) Der Wachstumsfaktor der Steinchenzahl, b) alle Lösungen von $x^2 = 100$

Lösung:

a) Du berechnest beide Funktionswerte:

$$f(4) = 4^2 = 16 \qquad f(8) = 8^2 = 64$$

Der Vergleich ergibt $64 : 16 = 4$. Die Steinchenzahl vervierfacht sich – quadratisches Wachstum.

b) Du löst die Gleichung $x^2 = 100$ durch Wurzelziehen:

$$x^2 = 100 \quad \Rightarrow \quad x = \pm\sqrt{100} = \pm 10$$

Mathematisch gibt es zwei Lösungen: $x = 10$ und $x = -10$. Im Sachzusammenhang ist nur die positive sinnvoll, denn eine Seitenlänge kann nicht negativ sein.

Antwort: a) Bei doppelter Seitenlänge vervierfacht sich die Steinchenzahl von 16 auf 64. b) Die Gleichung hat die Lösungen $10$ und $-10$; das Mosaik hat die Seitenlänge 10 Steinchen.

Kontrolle: $10^2 = 100$ ✓ und $(-10)^2 = 100$ ✓

Übungen

Die folgenden Aufgaben sind nach Schwierigkeit geordnet. Löse sie der Reihe nach – die vollständigen Lösungswege findest du am Ende des Artikels.

Aufgabe 1: Berechne die Funktionswerte der Normalparabel für $x = 4$ und $x = -4$. Was fällt dir auf?

Aufgabe 2: Lege eine Wertetabelle für $f(x) = x^2$ mit den $x$-Werten $-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3$ an.

Aufgabe 3: Berechne $f(0{,}5)$ und $f(0{,}1)$. Was sagen diese Werte über den Verlauf der Parabel in der Nähe des Scheitelpunkts aus?

Aufgabe 4: Führe die Punktprobe durch: Liegt $P(6|36)$ auf der Normalparabel? Liegt $Q(-5|-25)$ darauf?

Aufgabe 5: Für welche $x$-Werte nimmt die Normalparabel den Funktionswert $y = 64$ an? Gib alle Lösungen an.

Aufgabe 6: Liegt der Punkt $R(3{,}5|12{,}25)$ auf der Normalparabel? Begründe mit einer Rechnung.

Aufgabe 7: Für welche $x$-Werte schneidet die Normalparabel die Gerade $g(x) = 2x$? Bestimme auch die Schnittpunkte.

Aufgabe 8: Die Faustformel für den Bremsweg lautet $s = \left(\dfrac{v}{10}\right)^2$ (mit $v$ in km/h und $s$ in Metern). Berechne den Bremsweg bei 120 km/h und vergleiche ihn mit dem Bremsweg bei 60 km/h.

Aufgabe 9: Zeige allgemein: Verdoppelst du bei der Normalparabel den $x$-Wert, vervierfacht sich der Funktionswert. Forme dazu den Term $(2x)^2$ um.

Aufgabe 10: Der Punkt $A(7|49)$ liegt auf der Normalparabel. a) Für welche $x$-Werte gilt $f(x) = 49$? b) Bestimme mit der Symmetrie der Normalparabel den Wert $k$, sodass der Punkt $B(-7|k)$ auf der Parabel liegt.

Das Wichtigste in Kürze

• Normalparabel: Graph der Funktion $f(x) = x^2$ – jede Zahl wird mit sich selbst multipliziert.
• Scheitelpunkt: $S(0|0)$, der tiefste Punkt; die Parabel ist nach oben geöffnet.
• Symmetrie: $f(-x) = f(x)$ – die $y$-Achse ist Spiegelachse; Gegenzahlen haben denselben Funktionswert.
• Wertebereich: $f(x) \geq 0$, denn Quadrate sind nie negativ.
• Punktprobe: $x$-Koordinate einsetzen und mit der $y$-Koordinate vergleichen; bei Gleichheit liegt der Punkt auf der Parabel.
• Gleichungen $x^2 = k$: Für $k > 0$ gibt es zwei Lösungen $x = \pm\sqrt{k}$, für $k = 0$ genau eine.
• Quadratisches Wachstum: Doppeltes $x$ bedeutet vierfaches $y$ – anders als bei linearen Funktionen, wo doppeltes $x$ doppeltes $y$ liefert.

Dein Wissen im Test

❓ Frage:

Berechne den Funktionswert der Normalparabel an der Stelle $x = -6$.

Lösung anzeigen

Antwort: $f(-6) = 36$. Rechenweg: $f(-6) = (-6)^2 = (-6) \cdot (-6) = 36$. Minus mal Minus ergibt Plus – der Funktionswert ist positiv, wie bei jedem Punkt der Normalparabel ausser dem Scheitel.

❓ Frage:

Liegt der Punkt $P(4|16)$ auf der Normalparabel? Führe die Punktprobe durch.

Lösung anzeigen

Ja. Punktprobe: Du setzt $x = 4$ in die Funktionsgleichung ein: $f(4) = 4^2 = 16$. Der berechnete Funktionswert stimmt mit der $y$-Koordinate von $P$ überein. Also liegt $P(4|16)$ auf der Normalparabel.

❓ Frage:

Für welche $x$-Werte gilt $x^2 = 81$? Gib alle Lösungen an.

Lösung anzeigen

Antwort: $x = 9$ und $x = -9$. Rechenweg: $x^2 = 81 \Rightarrow x = \pm\sqrt{81} = \pm 9$. Wegen der Symmetrie der Normalparabel gehören zu jedem positiven $y$-Wert zwei $x$-Werte. Wer nur $x = 9$ angibt, vergisst die halbe Lösung.

❓ Frage:

Begründe mit einer Termumformung, warum die Normalparabel achsensymmetrisch zur $y$-Achse ist.

Lösung anzeigen

Setze $-x$ in die Funktion ein: $f(-x) = (-x)^2 = (-x) \cdot (-x) = x^2 = f(x)$. Gegenzahlen liefern also immer denselben Funktionswert. Jeder Punkt $(x|y)$ des Graphen hat einen Spiegelpartner $(-x|y)$ – genau das bedeutet Achsensymmetrie zur $y$-Achse.

❓ Frage:

Ein Auto verdoppelt sein Tempo von 60 km/h auf 120 km/h. Um welchen Faktor wächst der Bremsweg nach der Faustformel $s = \left(\dfrac{v}{10}\right)^2$?

Lösung anzeigen

Antwort: Um den Faktor 4. Rechenweg: Bei 60 km/h: $s = 6^2 = 36$ m. Bei 120 km/h: $s = 12^2 = 144$ m. Der Vergleich ergibt $144 : 36 = 4$. Der Zusammenhang ist quadratisch: doppeltes Tempo, vierfacher Bremsweg.

Ausblick

Mit der Normalparabel hast du das Fundament aller quadratischen Funktionen gelegt. Im nächsten Schritt lernst du, die Parabel zu verschieben: Aus $f(x) = x^2$ wird $f(x) = (x - 2)^2 + 3$, und der Scheitelpunkt wandert vom Ursprung zum Punkt $(2|3)$. Danach folgen Strecken, Stauchen und Spiegeln mit dem Faktor $a$ in $f(x) = ax^2$. So entsteht Schritt für Schritt die allgemeine quadratische Funktion – das Werkzeug, mit dem du Wurfbahnen, Brückenbögen und Optimierungsprobleme berechnest.

Lösungen

Lösung 1: Du setzt beide Werte in die Funktionsgleichung ein:

$$f(4) = 4^2 = 16 \qquad f(-4) = (-4)^2 = 16$$

Beide $x$-Werte liefern denselben Funktionswert 16. Das zeigt die Achsensymmetrie der Normalparabel: Gegenzahlen haben identische $y$-Werte.

Lösung 2: Du quadrierst jeden $x$-Wert einzeln, zum Beispiel $f(-3) = (-3)^2 = 9$ und $f(2) = 2^2 = 4$. Die Wertetabelle lautet:

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$9$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$	$9$

Die Werte links und rechts der Null sind spiegelgleich – die Tabelle bestätigt die Symmetrie.

Lösung 3: Du berechnest beide Funktionswerte:

$$f(0{,}5) = 0{,}5^2 = 0{,}25 \qquad f(0{,}1) = 0{,}1^2 = 0{,}01$$

Beide Werte sind deutlich kleiner als die eingesetzten Zahlen. In der Nähe des Scheitelpunkts verläuft die Parabel also sehr flach: Kleine $x$-Werte werden durch das Quadrieren noch kleiner. Deshalb darfst du die Kurve am Scheitel nicht spitz zeichnen – sie schmiegt sich flach an die $x$-Achse.

Lösung 4: Punktprobe für $P(6|36)$: Du setzt $x = 6$ ein:

$$f(6) = 6^2 = 36$$

Der Funktionswert stimmt mit der $y$-Koordinate überein – $P$ liegt auf der Normalparabel.

Punktprobe für $Q(-5|-25)$: Du setzt $x = -5$ ein:

$$f(-5) = (-5)^2 = 25 \neq -25$$

Der Funktionswert ist $25$, die $y$-Koordinate von $Q$ aber $-25$. $Q$ liegt nicht auf der Parabel. Die Normalparabel hat keine Punkte mit negativem $y$-Wert.

Lösung 5: Du löst die Gleichung $x^2 = 64$ durch Wurzelziehen:

$$x^2 = 64 \quad \Rightarrow \quad x = \pm\sqrt{64} = \pm 8$$

Die Normalparabel nimmt den Wert $y = 64$ an den Stellen $x = 8$ und $x = -8$ an.

Kontrolle: $8^2 = 64$ ✓ und $(-8)^2 = 64$ ✓

Lösung 6: Punktprobe für $R(3{,}5|12{,}25)$: Du setzt $x = 3{,}5$ ein:

$$f(3{,}5) = 3{,}5^2 = 3{,}5 \cdot 3{,}5 = 12{,}25$$

Der berechnete Funktionswert stimmt mit der $y$-Koordinate von $R$ überein. Der Punkt $R(3{,}5|12{,}25)$ liegt auf der Normalparabel.

Lösung 7: An einem Schnittpunkt haben Parabel und Gerade denselben Funktionswert. Du setzt die Terme gleich:

$$x^2 = 2x \quad \Rightarrow \quad x^2 - 2x = 0 \quad \Rightarrow \quad x(x - 2) = 0$$

Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist: $x = 0$ oder $x = 2$.

Die zugehörigen $y$-Werte: $f(0) = 0$ und $f(2) = 4$. Die Schnittpunkte sind $(0|0)$ und $(2|4)$.

Kontrolle: $g(2) = 2 \cdot 2 = 4 = f(2)$ ✓ Für alle anderen $x$-Werte verlaufen Gerade und Parabel getrennt.

Lösung 8: Bremsweg bei 120 km/h:

$$s = \left(\frac{120}{10}\right)^2 = 12^2 = 144 \, \text{m}$$

Bremsweg bei 60 km/h:

$$s = \left(\frac{60}{10}\right)^2 = 6^2 = 36 \, \text{m}$$

Vergleich: $144 : 36 = 4$. Bei doppeltem Tempo ist der Bremsweg viermal so lang – ein typisches Beispiel für quadratisches Wachstum im Alltag.

Lösung 9: Du setzt $2x$ in die Funktion ein und formst den Term um:

$$f(2x) = (2x)^2 = 2x \cdot 2x = 4x^2 = 4 \cdot f(x)$$

Der Funktionswert an der Stelle $2x$ ist also immer das Vierfache des Funktionswerts an der Stelle $x$ – unabhängig davon, welches $x$ du wählst. Zahlenbeispiel: $f(3) = 9$ und $f(6) = 36 = 4 \cdot 9$.

Lösung 10:

a) Du löst die Gleichung $x^2 = 49$ durch Wurzelziehen:

$$x^2 = 49 \quad \Rightarrow \quad x = \pm\sqrt{49} = \pm 7$$

Die Normalparabel nimmt den Wert $49$ an den Stellen $x = 7$ und $x = -7$ an.

b) Wegen der Achsensymmetrie gilt $f(-7) = f(7) = 49$. Also ist $k = 49$, und der Punkt $B(-7|49)$ ist der Spiegelpartner von $A(7|49)$ bezüglich der $y$-Achse.

Kontrolle: $(-7)^2 = (-7) \cdot (-7) = 49$ ✓

Verwandte Themen

• Normalparabel verschieben: So transformierst du quadratische Funktionen
• Normalparabel strecken und spiegeln: So veränderst du quadratische Funktionen
• Quadratische Funktionen einfach erklärt: Von der Parabel zum Scheitelpunkt

Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport