Wahrscheinlichkeit berechnen: So bestimmst du Chancen wie ein Profi

Weiterführend:

• Zur Kapitelübersicht „Wahrscheinlichkeitsrechnung”
• Vorwissen: Zufallsexperimente verstehen
• Als Nächstes: Laplace-Experimente einfach erklärt
• Vertiefung: Baumdiagramme für mehrstufige Experimente

Darum geht's

Stell dir vor, du spielst mit Freunden ein Brettspiel. Du brauchst unbedingt eine Sechs, um zu gewinnen. Dein Herz klopft, du schüttelst den Würfel – und fragst dich: Wie gross ist eigentlich meine Chance? Oder denk an einen Wetterbericht: “Morgen regnet es mit 70% Wahrscheinlichkeit.” Was bedeutet das genau? Die Wahrscheinlichkeitsrechnung gibt dir die Werkzeuge, um solche Fragen präzise zu beantworten. Du lernst, Chancen und Risiken in Zahlen auszudrücken – eine Fähigkeit, die dir im Alltag, in der Schule und später im Beruf ständig begegnen wird.

📋Lehrplan 21Zyklus 3 (7.–9. Klasse) · 5Kompetenzen

• MA.3.A.1.kGrundanspruchBegriffe absolute und relative Häufigkeit, x-Koordinate, y-Koordinate, x-Achse, y-Achse, Einheitsstrecke, Wahrscheinlichkeit; Masseinheiten Geschwindigkeit (km/h, m/s, kB/s, dpi)
• MA.3.B.2.eGrundanspruchHäufigkeiten experimentell bestimmen und Vermutungen zu Wahrscheinlichkeiten formulieren; unbekannte Fragestellungen zu Kombinatorik/Wahrscheinlichkeit bearbeiten
• MA.3.A.1.mBegriffe (lineare) Funktion, sichere/mögliche/unmögliche Ereignisse, Flussdiagramm, Bit, Byte; Vorsätze Mikro, Nano; Masseinheiten Dichte (kg/dm³, g/cm³)
• MA.3.B.2.fWahrscheinlichkeiten und statistische Angaben überprüfen und begründen
• MA.3.C.1.iErweiterungErw: Zufallsexperimente durchführen und Wahrscheinlichkeiten ermitteln; Wahrscheinlichkeit aus relativer Häufigkeit ableiten

Quelle: Aargauer Lehrplan Volksschule, Fachbereich Mathematik (August 2022)

Eine kleine Zeitreise

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist überraschend jung. Während die Geometrie und Arithmetik schon tausende Jahre alt sind, entstand das systematische Berechnen von Chancen erst im 17. Jahrhundert – und zwar am Spieltisch.

Im Jahr 1654 schrieb der französische Adlige und leidenschaftliche Glücksspieler Chevalier de Méré an den Mathematiker Blaise Pascal. De Méré hatte ein Problem: Bei einem Würfelspiel wurde ein Preis vorzeitig abgebrochen. Wie sollte der Gewinn fair aufgeteilt werden, wenn das Spiel noch nicht zu Ende war? Pascal dachte nach und begann einen berühmten Briefwechsel mit seinem Kollegen Pierre de Fermat. Aus diesem Briefwechsel entstand das mathematische Fundament der Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Bald darauf verfasste der Niederländer Christiaan Huygens 1657 das erste Lehrbuch zum Thema, und der Schweizer Mathematiker Jakob Bernoulli entwickelte wenig später das Gesetz der grossen Zahlen. Dieses Gesetz beschreibt, warum sich zufällige Ereignisse auf lange Sicht ihrer theoretischen Wahrscheinlichkeit annähern.

Der wohl wichtigste Name in der klassischen Wahrscheinlichkeitsrechnung ist jedoch Pierre-Simon Laplace (1749–1827). In seinem Werk “Théorie analytique des probabilités” formulierte er 1812 die Definition, die du heute noch in jedem Schulbuch findest: Wahrscheinlichkeit ist die Anzahl günstiger Fälle geteilt durch die Anzahl möglicher Fälle. Laplace glaubte an einen streng bestimmten Kosmos. Seine Formel sollte helfen, Unwissen über die Welt in Zahlen zu fassen.

Heute steckt die Wahrscheinlichkeitsrechnung überall: in Wetterprognosen, Versicherungsberechnungen, medizinischen Studien, Künstlicher Intelligenz und sogar in der Quantenphysik. Was als kleines Rätsel am Spieltisch begann, wurde zu einem Werkzeug, ohne das unsere moderne Welt nicht funktionieren würde.

Die Grundlagen

Zurück zum Würfel: Du weisst intuitiv, dass eine Sechs “eher unwahrscheinlich” ist. Aber wie unwahrscheinlich genau? Die Mathematik hilft dir, diese vage Ahnung in eine exakte Zahl zu verwandeln.

Wenn du einen fairen Würfel wirfst, hat er sechs Seiten. Jede Seite zeigt eine andere Zahl: 1, 2, 3, 4, 5 oder 6. Alle Seiten sind gleich gross und der Würfel ist nicht gezinkt. Das bedeutet: Jede Zahl hat die gleiche Chance, oben zu landen.

Du möchtest eine Sechs. Das ist genau ein Ergebnis von sechs möglichen. Dieses Verhältnis – ein günstiges Ergebnis von sechs möglichen – ist die Wahrscheinlichkeit.

Bevor wir zur Formel kommen, musst du drei wichtige Begriffe kennen:

• Ein Zufallsexperiment ist ein Vorgang mit mehreren möglichen Ausgängen, von denen du vor dem Durchführen nicht weisst, welcher eintritt. Würfeln, Münzwerfen und Losen sind klassische Beispiele.
• Der Ergebnisraum (oft mit $\Omega$ bezeichnet) ist die Menge aller möglichen Ergebnisse. Beim Würfel ist $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
• Ein Ereignis ist eine Auswahl bestimmter Ergebnisse aus dem Ergebnisraum. Das Ereignis “gerade Zahl” beim Würfel besteht aus den Ergebnissen $\{2, 4, 6\}$.

Definition

Ein Zufallsexperiment hat einen Ergebnisraum $\Omega$, der alle möglichen Ergebnisse enthält. Ein Ereignis $E$ ist eine Teilmenge des Ergebnisraums.

Die Wahrscheinlichkeit $P(E)$ misst, wie oft das Ereignis $E$ im Verhältnis zu allen möglichen Ergebnissen eintritt.

Es gilt immer:

$0 \leq P(E) \leq 1$

Der Buchstabe $P$ kommt vom englischen Wort “Probability” (Wahrscheinlichkeit).

Die Kernmethode

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung basiert auf einem einfachen Prinzip: Du zählst, wie viele Ergebnisse für dich “günstig” sind, und setzt das ins Verhältnis zu allen möglichen Ergebnissen. Das funktioniert so:

1. Bestimme alle möglichen Ergebnisse. Diese Menge nennt man den Ergebnisraum $\Omega$.
2. Zähle die günstigen Ergebnisse. Das sind die Ergebnisse, die das Ereignis erfüllen, das dich interessiert.
3. Berechne das Verhältnis. Teile die Anzahl der günstigen Ergebnisse durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse.

Definition

Wenn alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind, gilt:

$P(E) = \dfrac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}}$

Diese Formel heisst Laplace-Formel. Man nennt ein Zufallsexperiment mit dieser Eigenschaft ein Laplace-Experiment.

Die Wahrscheinlichkeit ist immer eine Zahl zwischen 0 und 1:

• $P(E) = 0$ bedeutet: Das Ereignis ist unmöglich. Es kann nicht eintreten.
• $P(E) = 1$ bedeutet: Das Ereignis ist sicher. Es tritt garantiert ein.
• $P(E) = 0{,}5$ bedeutet: Das Ereignis tritt in der Hälfte aller Fälle ein.

Du kannst die Wahrscheinlichkeit auch in Prozent angeben. Dazu multiplizierst du den Wert mit 100:

$P(E) = 0{,}25 \quad \Rightarrow \quad 0{,}25 \cdot 100\% = 25\%$

Manchmal ist es einfacher, die Wahrscheinlichkeit des Gegenteils zu berechnen. Das nennt man das Gegenereignis $\overline{E}$. Die Wahrscheinlichkeiten von Ereignis und Gegenereignis ergeben zusammen immer 1:

$P(\overline{E}) = 1 - P(E)$

Beispiel:

Beispiel 1: Der klassische Würfelwurf

Aufgabe: Du wirfst einen fairen Würfel einmal. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, eine Sechs zu würfeln?

Lösung:

Schritt 1: Bestimme alle möglichen Ergebnisse.

Der Würfel kann 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 zeigen. Der Ergebnisraum ist $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Das sind 6 mögliche Ergebnisse.

Schritt 2: Zähle die günstigen Ergebnisse.

Du möchtest eine Sechs. Das ist genau 1 günstiges Ergebnis.

Schritt 3: Wende die Laplace-Formel an.

$P(\text{Sechs}) = \dfrac{1}{6}$

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit beträgt $\dfrac{1}{6} \approx 16{,}7\%$. Im Durchschnitt fällt also etwa jeder sechste Wurf eine Sechs.

Beispiel:

Beispiel 2: Eine gerade Zahl würfeln

Aufgabe: Du wirfst einen fairen Würfel. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl zu würfeln?

Lösung:

Schritt 1: Bestimme alle möglichen Ergebnisse.

Der Würfel zeigt 1, 2, 3, 4, 5 oder 6. Das sind 6 Ergebnisse.

Schritt 2: Zähle die günstigen Ergebnisse.

Gerade Zahlen auf dem Würfel: 2, 4 und 6. Das sind 3 günstige Ergebnisse.

Schritt 3: Wende die Formel an.

$P(\text{gerade Zahl}) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit beträgt $\dfrac{1}{2} = 50\%$.

Kleiner Bonus: Dieses Ergebnis leuchtet ein. Von den sechs Zahlen sind genau drei gerade und drei ungerade. Die Wahrscheinlichkeit für “ungerade Zahl” ist somit ebenfalls $\dfrac{1}{2}$. Das passt perfekt zur Regel des Gegenereignisses: $P(\text{ungerade}) = 1 - P(\text{gerade}) = 1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$.

Die häufigsten Stolpersteine

Achtung

Stolperstein 1: Ergebnisse nicht vollständig zählen

Viele Schüler vergessen Ergebnisse oder zählen welche doppelt. Beim Würfel gibt es genau 6 Ergebnisse – nicht 5 und nicht 7. Bei zwei Würfeln sind es schon 36 Paare, nicht 12 oder 21. Erstelle dir immer eine vollständige Liste aller möglichen Ergebnisse. Bei komplexeren Experimenten helfen Tabellen oder Baumdiagramme.

Achtung

Stolperstein 2: Bruch und Prozent verwechseln

Die Wahrscheinlichkeit $\dfrac{1}{6}$ ist nicht dasselbe wie $16\%$. Korrekt: $\dfrac{1}{6} \approx 0{,}167 = 16{,}7\%$. Nutze den Taschenrechner, rechne sorgfältig um und runde erst am Schluss. Ein typischer Fehler: $\dfrac{1}{3}$ wird schnell als $30\%$ geschrieben, obwohl es $33{,}\overline{3}\%$ sind.

Achtung

Stolperstein 3: Die Laplace-Formel falsch anwenden

Die Laplace-Formel funktioniert nur, wenn alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind. Bei einem gezinkten Würfel, einer verbogenen Münze oder einem Glücksrad mit unterschiedlich grossen Feldern darfst du sie nicht anwenden. Frage dich immer zuerst: Haben wirklich alle Ergebnisse die gleiche Chance?

Achtung

Stolperstein 4: Ereignis und Ergebnis vermischen

Ein Ergebnis ist ein einzelner Ausgang des Experiments (z.B. die Zahl “4” beim Würfel). Ein Ereignis ist eine Auswahl von Ergebnissen (z.B. “gerade Zahl” = $\{2, 4, 6\}$). Diese Begriffe sind nicht austauschbar. Wer sie verwechselt, macht Fehler beim Zählen der günstigen Fälle.

Beispiel:

Beispiel 3: Ziehen aus einem Beutel

Aufgabe: In einem Beutel liegen 4 rote, 3 blaue und 5 grüne Kugeln. Du ziehst ohne hinzusehen eine Kugel. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, eine blaue Kugel zu ziehen?

Lösung:

Schritt 1: Bestimme alle möglichen Ergebnisse.

Gesamtzahl der Kugeln: $4 + 3 + 5 = 12$. Es gibt 12 mögliche Ergebnisse, denn jede Kugel kann gezogen werden.

Schritt 2: Zähle die günstigen Ergebnisse.

Es gibt 3 blaue Kugeln. Das sind 3 günstige Ergebnisse.

Schritt 3: Wende die Formel an.

$P(\text{blau}) = \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}$

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit beträgt $\dfrac{1}{4} = 25\%$.

Zur Kontrolle: Die Wahrscheinlichkeiten für alle Farben ergeben zusammen $P(\text{rot}) + P(\text{blau}) + P(\text{grün}) = \dfrac{4}{12} + \dfrac{3}{12} + \dfrac{5}{12} = \dfrac{12}{12} = 1$. Das ist immer so, wenn sich die Ereignisse gegenseitig ausschliessen und den gesamten Ergebnisraum abdecken.

Beispiel:

Beispiel 4: Das Gegenereignis geschickt nutzen

Aufgabe: Eine Schulklasse hat 25 Schüler. 12 davon haben mindestens ein Haustier. Du wählst zufällig einen Schüler aus. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Schüler kein Haustier hat?

Lösung:

Hier bietet sich das Gegenereignis an. Das Ereignis $E$ sei: “Der Schüler hat mindestens ein Haustier.”

Schritt 1: Berechne $P(E)$.

$P(\text{Haustier}) = \dfrac{12}{25}$

Schritt 2: Nutze die Gegenereignis-Regel.

$P(\overline{E}) = 1 - P(E) = 1 - \dfrac{12}{25} = \dfrac{25}{25} - \dfrac{12}{25} = \dfrac{13}{25}$

Schritt 3: In Prozent umrechnen.

$\dfrac{13}{25} = 0{,}52 = 52\%$

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, dass der ausgewählte Schüler kein Haustier hat, beträgt $\dfrac{13}{25} = 52\%$. Das Gegenereignis ist in diesem Fall nicht einfacher, aber es zeigt dir zwei gleichwertige Lösungswege.

Vertiefung

Die Laplace-Formel ist mächtig, aber sie beschreibt nur einen Teil der Wirklichkeit. In vielen Situationen sind nicht alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich – und genau dort wird es spannend.

Stell dir vor, du willst wissen, wie wahrscheinlich es ist, dass ein bestimmter Schweizer Autofahrer einen Unfall hat. Hier kannst du nicht einfach “günstige Fälle durch alle Fälle” rechnen. Stattdessen schaust du in Statistiken: Wie viele Unfälle gab es in den letzten Jahren pro 100 Autofahrer? Dieses Verhältnis nennt man die relative Häufigkeit, und aus ihr leitet man dann die Wahrscheinlichkeit ab. Man nennt diesen Ansatz die statistische Wahrscheinlichkeit.

Definition

Führt man ein Zufallsexperiment $n$ mal durch und tritt dabei das Ereignis $E$ genau $k$ mal ein, so nennt man

$h_n(E) = \dfrac{k}{n}$

die relative Häufigkeit von $E$. Nach dem Gesetz der grossen Zahlen nähert sich diese relative Häufigkeit mit zunehmender Versuchszahl $n$ der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit $P(E)$ an.

Jakob Bernoulli formulierte genau dieses Gesetz im Jahr 1713. Es besagt: Je öfter du ein Experiment wiederholst, desto näher kommt die beobachtete Häufigkeit dem theoretischen Wert. Wirfst du eine faire Münze 10 Mal, kann es sein, dass 7 Mal “Kopf” fällt – die relative Häufigkeit von $\dfrac{7}{10} = 70\%$ weicht stark von den theoretischen 50% ab. Wirfst du sie aber 10’000 Mal, wirst du sehr nahe bei 50% landen.

Diese Einsicht ist der Grund, warum Versicherungen, Wettbüros und Wahlforscher mit Wahrscheinlichkeiten präzise arbeiten können, obwohl der Einzelfall unvorhersehbar bleibt.

Beispiel:

Beispiel 5: Statistische Wahrscheinlichkeit

Aufgabe: Eine Reisszwecke wird 200 Mal auf den Tisch geworfen. Sie landet 128 Mal mit der Spitze nach oben und 72 Mal mit der Spitze zur Seite. Mit welcher Wahrscheinlichkeit landet die Reisszwecke bei einem weiteren Wurf mit der Spitze nach oben?

Lösung:

Die Reisszwecke ist kein Laplace-Experiment – die beiden Ergebnisse sind nicht gleich wahrscheinlich. Du musst daher die relative Häufigkeit aus dem Versuch nutzen.

Schritt 1: Bestimme die relative Häufigkeit.

$h_{200}(\text{Spitze oben}) = \dfrac{128}{200}$

Schritt 2: Vereinfache den Bruch.

$\dfrac{128}{200} = \dfrac{64}{100} = 0{,}64$

Schritt 3: Drücke die Wahrscheinlichkeit aus.

Die geschätzte Wahrscheinlichkeit beträgt $P(\text{Spitze oben}) \approx 0{,}64 = 64\%$.

Antwort: Die Reisszwecke landet mit geschätzt 64% Wahrscheinlichkeit mit der Spitze nach oben. Wichtig: Dieser Wert ist ein Schätzwert. Bei 2’000 Würfen wäre er noch genauer, bei 20 Würfen noch ungenauer.

Übungen

Bearbeite die folgenden Aufgaben in der Reihenfolge. Sie werden nach und nach anspruchsvoller. Die Lösungen findest du am Ende des Artikels.

Aufgabe 1: Du wirfst einen fairen Würfel. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, eine 3 zu würfeln?

Aufgabe 2: Eine Münze wird einmal geworfen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie auf “Kopf” landet?

Aufgabe 3: In einer Urne liegen 5 rote und 7 blaue Kugeln. Du ziehst eine Kugel. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen?

Aufgabe 4: Du würfelst einen fairen Würfel. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, eine Zahl kleiner als 5 zu würfeln?

Aufgabe 5: Ein Glücksrad hat 10 gleich grosse Felder, nummeriert von 1 bis 10. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, eine Primzahl zu erdrehen?

Aufgabe 6: In einem Losbehälter sind 50 Lose, davon 8 Gewinne. Du ziehst ein Los. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, eine Niete zu ziehen? Nutze das Gegenereignis.

Aufgabe 7: Eine Schulklasse hat 24 Schüler, davon 15 Mädchen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Schüler ein Junge ist?

Aufgabe 8: Du hast ein Kartenspiel mit 52 Karten (4 Farben, je 13 Karten). Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, ein Ass zu ziehen?

Aufgabe 9: Eine Reisszwecke wird 500 Mal geworfen. Sie landet 315 Mal mit der Spitze nach oben. Wie gross ist die geschätzte Wahrscheinlichkeit, dass sie bei einem weiteren Wurf mit der Spitze nach oben landet?

Aufgabe 10: Du wirfst zwei faire Würfel gleichzeitig. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme genau 7 beträgt? (Tipp: Schreibe alle möglichen Ergebnispaare auf.)

Das Wichtigste in Kürze

• Die Wahrscheinlichkeit $P(E)$ gibt an, wie gross die Chance ist, dass ein Ereignis eintritt. Sie liegt immer zwischen 0 (unmöglich) und 1 (sicher).
• Bei einem Laplace-Experiment (alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich) gilt die Laplace-Formel: $P(E) = \dfrac{\text{Anzahl günstiger Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller Ergebnisse}}$
• Das Gegenereignis hilft, wenn du die Wahrscheinlichkeit für “nicht E” brauchst: $P(\overline{E}) = 1 - P(E)$.
• Sind die Ergebnisse nicht gleich wahrscheinlich, schätzt du die Wahrscheinlichkeit über die relative Häufigkeit aus einem Experiment.
• Das Gesetz der grossen Zahlen besagt: Bei vielen Versuchen nähert sich die relative Häufigkeit der theoretischen Wahrscheinlichkeit an.
• Du kannst Wahrscheinlichkeiten als Bruch, Dezimalzahl oder Prozentangabe darstellen.

Dein Wissen im Test

❓ Frage:

Ein Glücksrad hat 8 gleich grosse Felder, nummeriert von 1 bis 8. Du drehst das Rad. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, eine Zahl grösser als 6 zu erhalten?

Lösung anzeigen

Die Zahlen grösser als 6 sind 7 und 8. Das sind 2 günstige Ergebnisse. Insgesamt gibt es 8 mögliche Ergebnisse. $P(\text{grösser als 6}) = \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4} = 25\%$

❓ Frage:

In einer Schachtel liegen 10 Pralinen: 6 mit Nussfüllung und 4 mit Karamellfüllung. Du greifst blind hinein. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, KEINE Nusspraline zu erwischen?

Lösung anzeigen

“Keine Nusspraline” bedeutet, dass du eine Karamellpraline greifst. Günstige Ergebnisse: 4 Karamellpralinen. Alle Ergebnisse: 10 Pralinen. $P(\text{Karamell}) = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5} = 40\%$ Alternativ mit dem Gegenereignis: $P(\text{Nuss}) = \dfrac{6}{10}$, also $P(\text{keine Nuss}) = 1 - \dfrac{6}{10} = \dfrac{4}{10} = 40\%$.

❓ Frage:

Richtig oder falsch: Wenn die Wahrscheinlichkeit für Regen morgen 30% beträgt, dann ist die Wahrscheinlichkeit für “kein Regen” genau 70%.

Lösung anzeigen

Richtig. “Kein Regen” ist das Gegenereignis von “Regen”. Die Wahrscheinlichkeiten von Ereignis und Gegenereignis ergeben immer 1 bzw. 100%: $P(\text{kein Regen}) = 1 - P(\text{Regen}) = 1 - 0{,}3 = 0{,}7 = 70\%$

❓ Frage:

Eine Münze wird 100 Mal geworfen. Es fällt 47 Mal “Kopf”. Welche Aussage ist korrekt? a) Die Münze ist gezinkt, weil nicht genau 50 Mal “Kopf” fiel. b) Die relative Häufigkeit beträgt 47%, die theoretische Wahrscheinlichkeit liegt aber bei 50%. c) Die Wahrscheinlichkeit für “Kopf” beträgt jetzt 47%.

Lösung anzeigen

Antwort b) ist korrekt. Die relative Häufigkeit $\dfrac{47}{100} = 47\%$ weicht immer etwas von der theoretischen Wahrscheinlichkeit ab – das ist normal bei zufälligen Ereignissen. Nach dem Gesetz der grossen Zahlen würde sich der Wert bei deutlich mehr Würfen (z.B. 10’000) den 50% annähern. Eine einzige Stichprobe mit 100 Würfen erlaubt noch keine Aussage, ob die Münze gezinkt ist.

❓ Frage:

In einer Klasse mit 30 Schülern haben 18 einen Hund, 10 eine Katze und 2 weder Hund noch Katze (niemand hat beides). Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Schüler eine Katze hat?

Lösung anzeigen

Günstige Ergebnisse: 10 Schüler mit Katze. Alle Ergebnisse: 30 Schüler. $P(\text{Katze}) = \dfrac{10}{30} = \dfrac{1}{3} \approx 33{,}3\%$ Die Kontrolle: $18 + 10 + 2 = 30$. Die Zahlen passen zum Ergebnisraum.

Ausblick

Du hast jetzt das Fundament der Wahrscheinlichkeitsrechnung gelegt. Im nächsten Schritt lernst du, wie du Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Zufallsexperimenten berechnest – zum Beispiel, wenn du einen Würfel zweimal wirfst oder zwei Kugeln nacheinander ziehst. Dabei helfen dir Baumdiagramme, den Überblick zu behalten. Du wirst die Pfadregeln kennenlernen: die Multiplikationsregel für Pfade und die Additionsregel für verschiedene Pfade. Mit diesen Werkzeugen kannst du auch komplexere Aufgaben lösen, etwa die Wahrscheinlichkeit für einen Sechserpasch oder das Ziehen von zwei roten Kugeln.

Lösungen

Lösung Aufgabe 1:

Der Würfel hat 6 mögliche Ergebnisse. Die günstigen Ergebnisse sind “3” – das ist genau 1 Ergebnis.

$P(3) = \dfrac{1}{6} \approx 16{,}7\%$

Lösung Aufgabe 2:

Eine Münze hat zwei mögliche Ergebnisse: Kopf oder Zahl. Günstig ist 1 Ergebnis (Kopf).

$P(\text{Kopf}) = \dfrac{1}{2} = 50\%$

Lösung Aufgabe 3:

Gesamtzahl der Kugeln: $5 + 7 = 12$. Günstige Ergebnisse: 5 rote Kugeln.

$P(\text{rot}) = \dfrac{5}{12} \approx 41{,}7\%$

Lösung Aufgabe 4:

Zahlen kleiner als 5 auf dem Würfel: 1, 2, 3 und 4. Das sind 4 günstige Ergebnisse von insgesamt 6 möglichen.

$P(\text{kleiner als 5}) = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3} \approx 66{,}7\%$

Lösung Aufgabe 5:

Die Primzahlen zwischen 1 und 10 sind 2, 3, 5 und 7. Das sind 4 günstige Ergebnisse von 10 möglichen.

$P(\text{Primzahl}) = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5} = 40\%$

Achtung: Die 1 ist keine Primzahl, und die 2 ist eine – auch wenn sie die einzige gerade Primzahl ist.

Lösung Aufgabe 6:

Gewinne: 8. Nieten: $50 - 8 = 42$.

Direkter Weg: $P(\text{Niete}) = \dfrac{42}{50} = \dfrac{21}{25} = 84\%$.

Über das Gegenereignis: $P(\text{Gewinn}) = \dfrac{8}{50} = \dfrac{4}{25}$. Also $P(\text{Niete}) = 1 - \dfrac{4}{25} = \dfrac{21}{25} = 84\%$.

Lösung Aufgabe 7:

Anzahl Jungen: $24 - 15 = 9$.

$P(\text{Junge}) = \dfrac{9}{24} = \dfrac{3}{8} = 37{,}5\%$

Lösung Aufgabe 8:

Ein Kartenspiel enthält 4 Asse (eines pro Farbe). Das sind 4 günstige Ergebnisse von 52 möglichen.

$P(\text{Ass}) = \dfrac{4}{52} = \dfrac{1}{13} \approx 7{,}7\%$

Lösung Aufgabe 9:

Hier hilft die relative Häufigkeit.

$h_{500}(\text{Spitze oben}) = \dfrac{315}{500} = 0{,}63 = 63\%$

Die geschätzte Wahrscheinlichkeit beträgt also 63%. Dieser Wert ist ein Schätzwert und würde sich bei mehr Würfen weiter präzisieren.

Lösung Aufgabe 10:

Beim Werfen zweier Würfel gibt es $6 \cdot 6 = 36$ mögliche Ergebnispaare $(a, b)$, wobei $a$ das Ergebnis des ersten Würfels und $b$ das Ergebnis des zweiten Würfels ist.

Welche Paare ergeben die Augensumme 7?

$(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$

Das sind 6 günstige Ergebnisse.

$P(\text{Summe 7}) = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6} \approx 16{,}7\%$

Interessant: Die Augensumme 7 ist die wahrscheinlichste aller Augensummen bei zwei Würfeln. Summe 2 oder Summe 12 haben nur je $\dfrac{1}{36}$ Wahrscheinlichkeit, weil sie nur durch genau ein Paar erreicht werden können – $(1,1)$ beziehungsweise $(6,6)$.

Verwandte Themen

• Zufallsexperimente verstehen: Dein Einstieg in die Wahrscheinlichkeitsrechnung
• Wahrscheinlichkeitsskala verstehen: Von unmöglich bis sicher in Zahlen
• Laplace-Experimente einfach erklärt: So berechnest du Wahrscheinlichkeiten

Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport