Anteile und Prozente verstehen: So rechnest du sicher mit Prozent

Weiterführend:

• Zur Kapitelübersicht „Prozent- und Zinsrechnung”
• Prozentwert berechnen: So findest du den Anteil von einem Ganzen
• Prozentrechnen im Kopf: 7 Tricks, mit denen du blitzschnell rechnest

Darum geht's

Du gehst mit deiner Klasse ins Kino. Von den 25 Schülern wählen 15 einen Actionfilm und 10 eine Komödie. Dein Lehrer fragt: “Wie viele Schüler haben sich prozentual für den Actionfilm entschieden?” Du weisst, dass es mehr als die Hälfte sind – aber wie drückst du das in Prozent aus?

Prozentangaben begegnen dir überall: beim Rabatt im Laden, bei Testergebnissen in der Schule oder bei den Akkuladeständen deines Handys. Sie helfen uns, Anteile zu vergleichen und auf einen Blick zu verstehen. In diesem Artikel lernst du, was Prozent wirklich bedeutet, wie du zwischen Anteilen und Prozenten umrechnest und wie du die drei wichtigsten Grössen der Prozentrechnung sicher berechnest.

📋Lehrplan 21Zyklus 2 (3.–6. Klasse), Zyklus 3 (7.–9. Klasse) · 7 Kompetenzen

• MA.1.A.1.gBegriffe Bruch, Prozent, Teiler, Vielfache, Zähler, Nenner, überschlagen, runden; Symbole %, ≈; Dezimalzahlen und Brüche lesen und schreiben
• MA.1.A.1.hBegriffe Gleichung, Klammer, Primzahl; Symbole +, −, /, *, =, x², (), ≠; Brüche (Nenner 2–1'000), Dezimalzahlen und Prozentzahlen je in die beiden anderen Schreibweisen übertragen
• MA.1.A.2.hSummen und Differenzen mit Dezimalzahlen überschlagen; Prozentrechnungen überschlagen
• MA.1.A.3.hProzentrechnungen mit Rechner; Erw: natürliche Zahlen in Primfaktoren zerlegen
• MA.3.A.1.lBegriffe Steigung in %, Zins, Zinssatz, Kapital, Rabatt, Brutto, Netto
• MA.3.A.3.gFunktionswerte aufgrund von Funktionsgraphen bestimmen; indirekt proportionale Beziehungen berechnen; Prozentangaben als proportionale Zuordnungen verstehen
• MA.3.A.3.iFunktionswert zu einer gegebenen Zahl aus Wertetabelle, Graph und Funktionsgleichung bestimmen (z.B. y = 2x + 1, x = 7 → y = 15); Rechner/Software für Funktionswerte nutzen; Sachaufgaben mit Prozentangaben lösen (Steigung, Zins)

Quelle: Aargauer Lehrplan Volksschule, Fachbereich Mathematik (August 2022)

Anteile und Prozente: die Idee

Das Wort “Prozent” kommt aus dem Lateinischen. “Pro centum” heisst übersetzt “von Hundert”. Wenn du sagst, dass 60 % der Klasse den Actionfilm gewählt haben, meinst du: Von je 100 Schülern hätten 60 den Actionfilm gewählt.

Das Praktische an Prozentangaben: Sie machen Anteile vergleichbar. Ob eine Klasse 25 oder 30 Schüler hat – 60 % bedeutet immer denselben Anteil am Ganzen. Du kannst Schulen verschiedener Grösse, Preise unterschiedlicher Produkte und Statistiken aus verschiedenen Ländern direkt vergleichen.

Ein Anteil beschreibt, wie gross ein Teil im Verhältnis zum Ganzen ist. Du kannst ihn als Bruch, als Dezimalzahl oder als Prozentangabe schreiben. Alle drei Darstellungen meinen dasselbe.

Im Kino-Beispiel haben 15 von 25 Schülern den Actionfilm gewählt. Als Bruch geschrieben:

$$\text{Anteil} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$$

Um diesen Bruch in Prozent umzurechnen, erweiterst du ihn auf den Nenner 100:

$$\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 20}{5 \cdot 20} = \frac{60}{100} = 60 \, \%$$

Der schnellere Weg führt über die Dezimalzahl. Du teilst den Zähler durch den Nenner und multiplizierst mit 100:

$$\frac{15}{25} = 0{,}6 \quad \Rightarrow \quad 0{,}6 \cdot 100 = 60 \, \%$$

Definition

Der Prozentsatz $p \, \%$ gibt an, wie viele Hundertstel ein Teil vom Ganzen ausmacht. Du berechnest ihn, indem du den Anteil mit 100 multiplizierst:

$$p \, \% = \text{Anteil} \cdot 100 = \frac{\text{Teil}}{\text{Ganzes}} \cdot 100$$

Dabei ist der Anteil eine Zahl zwischen 0 und 1 (als Dezimalzahl) oder ein Bruch. Der Prozentsatz $p$ ist die Zahl vor dem Prozentzeichen.

Anteile und Prozente: der Rechenweg

Bei jeder Prozentaufgabe arbeitest du mit drei Grössen. Zwei davon sind gegeben, die dritte suchst du. Wenn du die drei Grössen sicher erkennst, hast du das Wichtigste verstanden.

Der Grundwert $G$ ist das Ganze, also 100 %. Im Kino-Beispiel ist der Grundwert die gesamte Klasse mit 25 Schülern. Er ist die Bezugsgrösse, von der ausgegangen wird.

Der Prozentwert $W$ ist der Teil des Ganzen. Das sind die 15 Schüler, die den Actionfilm gewählt haben. Der Prozentwert hat dieselbe Einheit wie der Grundwert.

Der Prozentsatz $p$ gibt an, wie viel Prozent der Prozentwert vom Grundwert ausmacht. In unserem Fall sind das 60 %. Der Prozentsatz hat keine Einheit.

Diese drei Grössen hängen durch eine einfache Formel zusammen:

Definition

$$W = G \cdot \dfrac{p}{100}$$

Aus dieser Grundformel lassen sich die anderen beiden ableiten:

$$p = \dfrac{W}{G} \cdot 100 \qquad \text{und} \qquad G = \dfrac{W \cdot 100}{p}$$

Merksatz: Multipliziere, wenn du den Prozentwert suchst. Dividiere, wenn du den Grundwert suchst.

So erkennst du, welche Grösse gesucht ist

Bevor du rechnest, ordnest du jede Zahl aus der Aufgabe einer der drei Grössen zu. Erst dann wählst du die Rechnung. So gehst du vor:

1. Das Ganze suchen: Frage dich: “Wovon wird der Prozentsatz genommen? Was sind 100 %?” Das ist der Grundwert $G$. Das Wort “von” steht meist beim Grundwert. Bei Preisänderungen ist es der ursprüngliche Preis.
2. Den Prozentsatz erkennen: Die Zahl mit dem %-Zeichen ist der Prozentsatz. Prüfe, ob sie wirklich zur gegebenen Menge gehört: Kostet etwas nach 20 % Rabatt noch 320 CHF, dann sind die 320 CHF 80 % des alten Preises – nicht 20 %.
3. Den Prozentwert erkennen: Der Prozentwert $W$ ist der Teil. Er ist eine konkrete Menge mit derselben Einheit wie der Grundwert.
4. Gegeben und gesucht notieren: Schreibe $G$, $W$ und $p$ auf und markiere die Grösse, nach der gefragt ist.
5. Rechnung wählen, rechnen, prüfen: Die Tabelle zeigt, was du rechnest. Am Schluss setzt du dein Ergebnis in die Grundformel ein und fragst dich, ob es zur Situation passt.

Gesucht	Gegeben	Was du rechnest
Prozentwert $W$ (der Teil)	$G$ und $p$	$G$ mal $\dfrac{p}{100}$ – multiplizieren
Prozentsatz $p$	$W$ und $G$	$W$ durch $G$, dann mal 100
Grundwert $G$ (das Ganze)	$W$ und $p$	$W$ durch $\dfrac{p}{100}$ – dividieren

Alle drei Rechnungen kommen aus derselben Verhältnisgleichung: Der Teil verhält sich zum Ganzen wie $p$ zu 100, also $\dfrac{W}{G} = \dfrac{p}{100}$. In jeder Aufgabe fehlt genau eine der drei Grössen.

Beispiel:

Prozentwert berechnen – Der Rabatt

Eine Jacke kostet regulär 120 CHF. Sie ist um 25 % reduziert. Wie viel sparst du?

Gegeben:

• Grundwert $G = 120 \, \text{CHF}$
• Prozentsatz $p = 25 \, \%$

Gesucht: Prozentwert $W$ (der Rabattbetrag)

Lösung:

Du setzt die gegebenen Werte in die Grundformel ein:

$$W = G \cdot \frac{p}{100} = 120 \cdot \frac{25}{100} = 120 \cdot 0{,}25 = 30 \, \text{CHF}$$

Antwort: Du sparst 30 CHF. Die Jacke kostet also $120 - 30 = 90$ CHF.

Kontrolle: 25 % entspricht einem Viertel. Ein Viertel von 120 CHF sind tatsächlich 30 CHF. ✓

Beispiel:

Prozentsatz berechnen – Die Klassenarbeit

Bei einer Mathearbeit erreicht Lena 72 von 80 möglichen Punkten. Wie viel Prozent hat sie erreicht?

Gegeben:

• Grundwert $G = 80 \, \text{Punkte}$ (maximale Punktzahl)
• Prozentwert $W = 72 \, \text{Punkte}$ (erreichte Punktzahl)

Gesucht: Prozentsatz $p$

Lösung:

Du formst die Grundformel nach $p$ um und setzt ein:

$$p = \frac{W}{G} \cdot 100 = \frac{72}{80} \cdot 100$$

Zuerst rechnest du den Bruch aus:

$$\frac{72}{80} = 0{,}9$$

Dann multiplizierst du mit 100:

$$p = 0{,}9 \cdot 100 = 90 \, \%$$

Antwort: Lena hat 90 % der Punkte erreicht.

Kontrolle: Setze in die Grundformel ein: $80 \cdot 0{,}9 = 72$. ✓ Das Ergebnis stimmt.

Typische Fehler bei Anteile und Prozente

Beim Rechnen mit Prozenten passieren bestimmte Fehler immer wieder. Wenn du diese kennst, vermeidest du sie leichter.

Achtung

Stolperstein 1: Grundwert und Prozentwert verwechseln

Der Grundwert ist immer das Ganze, also 100 %. Frage dich: “Wovon wird der Prozentsatz berechnet?” Das “Wovon” ist der Grundwert.

Beispiel: “20 % von 80 CHF” – die 80 CHF sind der Grundwert. Bei “Der reduzierte Preis ist 60 % des Originalpreises” ist der Originalpreis der Grundwert.

Achtung

Stolperstein 2: Division und Multiplikation verwechseln

Suchst du den Prozentwert (den Teil)? Dann multiplizierst du den Grundwert mit dem Anteil. Suchst du den Grundwert (das Ganze)? Dann dividierst du den Prozentwert durch den Anteil.

Merksatz: Vom Ganzen zum Teil → multiplizieren. Vom Teil zum Ganzen → dividieren.

Achtung

Stolperstein 3: Prozentsatz nicht in einen Anteil umwandeln

25 % bedeutet $\dfrac{25}{100} = 0{,}25$. Du musst den Prozentsatz erst durch 100 teilen, bevor du multiplizierst. Wer 120 CHF mit 25 statt 0,25 multipliziert, erhält 3000 CHF Rabatt – offensichtlich falsch.

Achtung

Stolperstein 4: Einheiten vergessen oder verwechseln

Dein Ergebnis hat immer dieselbe Einheit wie der Grundwert. Geht es um CHF, ist auch der Prozentwert in CHF. Geht es um Personen, ist der Prozentwert eine Personenzahl. Der Prozentsatz hat dagegen nie eine Einheit – nur das %-Zeichen.

Anteile und Prozente in Aufgaben

Beispiel:

Grundwert berechnen – Das Sonderangebot

Im Ausverkauf kostet ein Smartphone nur noch 450 CHF. Das entspricht 75 % des ursprünglichen Preises. Was hat das Smartphone vorher gekostet?

Gegeben:

• Prozentwert $W = 450 \, \text{CHF}$ (reduzierter Preis)
• Prozentsatz $p = 75 \, \%$

Gesucht: Grundwert $G$ (ursprünglicher Preis)

Lösung:

Du formst die Grundformel nach $G$ um:

$$G = \frac{W \cdot 100}{p}$$

Jetzt setzt du die Werte ein:

$$G = \frac{450 \cdot 100}{75} = \frac{45\,000}{75} = 600 \, \text{CHF}$$

Antwort: Das Smartphone kostete ursprünglich 600 CHF.

Kontrolle: $600 \cdot 0{,}75 = 450$ ✓ Das Ergebnis stimmt.

Achte darauf: Da das Smartphone reduziert ist, muss der ursprüngliche Preis grösser als 450 CHF sein. 600 CHF passt zu dieser Erwartung.

Beispiel:

Transfer – Salzgehalt im Meerwasser

Ein Liter Meerwasser enthält etwa 35 Gramm Salz. Wie viel Prozent des Meerwassers ist Salz, wenn 1 Liter Wasser ungefähr 1000 Gramm wiegt?

Gegeben:

• Grundwert $G = 1000 \, \text{g}$ (Gesamtmasse des Wassers)
• Prozentwert $W = 35 \, \text{g}$ (Masse des Salzes)

Gesucht: Prozentsatz $p$ (Salzgehalt in Prozent)

Lösung:

Du berechnest den Prozentsatz mit der umgeformten Grundformel:

$$p = \frac{W}{G} \cdot 100 = \frac{35}{1000} \cdot 100$$

Zuerst rechnest du den Anteil:

$$\frac{35}{1000} = 0{,}035$$

Dann multiplizierst du mit 100:

$$p = 0{,}035 \cdot 100 = 3{,}5 \, \%$$

Antwort: Der Salzgehalt des Meerwassers beträgt 3,5 %.

Dieses Ergebnis passt zur Realität: Meerwasser hat einen durchschnittlichen Salzgehalt von etwa 3,5 %. Im Toten Meer sind es sogar über 30 % – fast zehnmal so viel.

Anteile und Prozente genauer betrachtet

Bisher hast du mit Prozentsätzen zwischen 0 % und 100 % gerechnet. Es gibt jedoch Situationen, in denen Prozentsätze grösser als 100 % oder kleiner als 0 % auftreten. Diese Fälle solltest du sicher einordnen können.

Prozentsätze über 100 % treten dann auf, wenn ein Teil grösser ist als das ursprüngliche Ganze. Beispiel: Eine Aktie steigt von 50 CHF auf 75 CHF. Der neue Wert beträgt 150 % des alten Wertes. Wenn du sagst “120 % vom Original”, meinst du 20 % mehr als das Original.

Prozentsätze unter 0 % sind technisch möglich, wenn man Veränderungen beschreibt. Eine Temperatur sinkt um $-5 \, \%$ bedeutet, sie sinkt nicht – sie steigt um 5 %. Solche Schreibweisen sind selten und meistens unklar. Klarer ist immer eine positive Prozentangabe mit der Richtung (Anstieg oder Rückgang).

Definition

Wenn du mehrere Anteile vom selben Ganzen hast, kannst du die Prozentsätze direkt addieren – aber nur, wenn alle Prozentsätze sich auf denselben Grundwert beziehen.

Beispiel: 40 % der Klasse spielen Fussball, 35 % spielen Volleyball, 25 % spielen Basketball. Zusammen: $40 + 35 + 25 = 100 \, \%$. Die Anteile beziehen sich auf dieselbe Klasse, also funktioniert die Addition.

Achtung: $50 \, \%$ Rabatt plus weitere $20 \, \%$ Rabatt ergeben nicht $70 \, \%$ Rabatt, sondern nur $60 \, \%$. Der zweite Rabatt bezieht sich nämlich auf den bereits reduzierten Preis.

Ein weiterer wichtiger Zusammenhang: Prozentangaben sind dasselbe wie proportionale Zuordnungen. Wenn du 25 % von etwas berechnest, multiplizierst du mit 0,25. Verdoppelt sich das Ganze, verdoppelt sich auch der Prozentwert. Diese Eigenschaft macht die Prozentrechnung zur idealen Vorbereitung für die spätere Zins- und Funktionsrechnung.

Beispiel:

Vertiefung – Wachstum über 100 %

Eine Pflanze ist im Frühling 40 cm hoch. Im Sommer ist sie auf 70 cm gewachsen. Wie viel Prozent ihrer ursprünglichen Höhe misst sie jetzt?

Gegeben:

• Grundwert $G = 40 \, \text{cm}$ (ursprüngliche Höhe)
• Prozentwert $W = 70 \, \text{cm}$ (neue Höhe)

Gesucht: Prozentsatz $p$

Lösung:

Du verwendest die Formel für den Prozentsatz:

$$p = \frac{W}{G} \cdot 100 = \frac{70}{40} \cdot 100$$

Den Bruch kannst du kürzen oder direkt ausrechnen:

$$\frac{70}{40} = 1{,}75$$

Multiplikation mit 100 ergibt:

$$p = 1{,}75 \cdot 100 = 175 \, \%$$

Antwort: Die Pflanze misst nun 175 % ihrer ursprünglichen Höhe.

Interpretation: Das bedeutet, sie ist auf das 1,75-fache gewachsen. Der Zuwachs beträgt $175 \, \% - 100 \, \% = 75 \, \%$. Sie ist also um 75 % gewachsen, nicht um 175 %.

Ein Prozentsatz über 100 % bedeutet immer: Der neue Wert ist grösser als der ursprüngliche.

Übungen

Die folgenden Aufgaben sind nach Schwierigkeit geordnet. Versuche, alle ohne Taschenrechner zu lösen, soweit möglich. Die Lösungen findest du am Ende des Artikels.

Aufgabe 1: Wandle den Bruch $\dfrac{3}{4}$ in eine Prozentangabe um.

Aufgabe 2: Berechne 30 % von 200 CHF.

Aufgabe 3: Von 50 Schülern sind 22 Mädchen. Wie viel Prozent sind das?

Aufgabe 4: Ein T-Shirt kostet 40 CHF. Es wird um 15 % reduziert. Wie viel kostet es jetzt?

Aufgabe 5: Bei einer Umfrage sind 84 Personen befragt worden. Das sind 70 % aller Eingeladenen. Wie viele Personen waren ursprünglich eingeladen?

Aufgabe 6: Lukas hat in einem Test 42 von 60 Punkten erreicht. Er möchte mindestens 75 % erreichen. Hat er bestanden?

Aufgabe 7: Ein Pullover wird um 20 % reduziert. Danach wird er nochmals um 10 % reduziert. Wie viel Prozent Rabatt hat der Käufer insgesamt im Vergleich zum Originalpreis?

Aufgabe 8: Eine Aktie ist im Wert von 80 CHF auf 92 CHF gestiegen. Wie viel Prozent beträgt der Wertzuwachs?

Aufgabe 9: In einer Mischung sind 240 ml Saft enthalten. Das entspricht 30 % der Gesamtflüssigkeit. Wie viel Wasser ist in der Mischung enthalten?

Aufgabe 10: Ein Buch kostete 25 CHF. Sein neuer Preis beträgt 130 % des alten Preises. Wie hoch ist der neue Preis und um wie viel Prozent ist er gestiegen?

Das Wichtigste in Kürze

• Prozent bedeutet “von Hundert”: 1 % entspricht einem Hundertstel, also $\dfrac{1}{100} = 0{,}01$.
• Drei Grundgrössen: Grundwert $G$ (das Ganze, 100 %), Prozentwert $W$ (der Teil) und Prozentsatz $p$ (der Anteil in Prozent).
• Erst zuordnen, dann rechnen: Bestimme zuerst, was 100 % ist und welche Grösse gesucht ist. Prüfe, zu welchem Prozentsatz eine gegebene Menge gehört.
• Die Grundformel: $W = G \cdot \dfrac{p}{100}$. Daraus leitest du die Formeln für $p$ und $G$ ab.
• Vom Anteil zum Prozentsatz: Multipliziere den Bruch oder die Dezimalzahl mit 100.
• Prozentsätze über 100 % sind möglich und beschreiben Werte, die grösser als das Original sind.
• Mehrfache Rabatte addieren sich nicht direkt – der zweite Rabatt wirkt auf den bereits reduzierten Preis.
• Kontrolle: Setze dein Ergebnis in die Grundformel ein und prüfe, ob die Gleichung stimmt.

Dein Wissen im Test

❓ Frage:

Ein Fahrrad kostet 480 CHF. Du bekommst 15 % Rabatt. Wie viel musst du bezahlen?

Lösung anzeigen

Rabattbetrag: $W = 480 \cdot \dfrac{15}{100} = 480 \cdot 0{,}15 = 72 \, \text{CHF}$ Endpreis: $480 - 72 = 408 \, \text{CHF}$

❓ Frage:

Der Grundwert verdoppelt sich, der Prozentsatz bleibt gleich. Was passiert mit dem Prozentwert?

Lösung anzeigen

Der Prozentwert verdoppelt sich ebenfalls. Begründung: $W = G \cdot \dfrac{p}{100}$. Wenn $G$ doppelt so gross wird und $p$ gleich bleibt, wird auch $W$ doppelt so gross.

❓ Frage:

Marco sagt: “Ich habe 120 % der Punkte erreicht.” Ist das möglich?

Lösung anzeigen

Ja, das ist möglich – aber nur unter bestimmten Bedingungen. 120 % wären mehr als das Ganze (100 %). Das geht nur, wenn es Bonuspunkte gibt oder sich der Grundwert geändert hat. Achtung: Bei klassischen Aufgaben ohne Bonus kann der Prozentsatz nicht über 100 % liegen. Wenn du ein solches Ergebnis erhältst, hast du vermutlich Grundwert und Prozentwert vertauscht.

❓ Frage:

Welcher Anteil entspricht 45 %? a) $\dfrac{4}{5}$ b) $\dfrac{9}{20}$ c) $\dfrac{45}{50}$

Lösung anzeigen

Antwort b): $\dfrac{9}{20}$. Begründung: $45 \, \% = \dfrac{45}{100}$. Diesen Bruch kannst du kürzen: $\dfrac{45}{100} = \dfrac{45 : 5}{100 : 5} = \dfrac{9}{20}$. Kontrolle: $\dfrac{9}{20} = 0{,}45 = 45 \, \%$. ✓

❓ Frage:

Eine Hose wird zuerst um 50 % reduziert und danach um weitere 20 %. Wie viel Prozent Rabatt erhält der Käufer insgesamt vom Originalpreis?

Lösung anzeigen

Antwort: 60 % Rabatt insgesamt – nicht 70 %. Begründung: Nach dem ersten Rabatt zahlt der Käufer noch 50 % des Originalpreises. Der zweite Rabatt von 20 % bezieht sich auf diesen reduzierten Preis: $20 \, \%$ von $50 \, \% = 10 \, \%$. Der Käufer zahlt also: $50 \, \% - 10 \, \% = 40 \, \%$ des Originalpreises. Der Gesamtrabatt beträgt: $100 \, \% - 40 \, \% = 60 \, \%$.

❓ Frage:

Vier Fragen zum selben Velo. Bestimme bei jeder zuerst, welche Grösse gegeben und welche gesucht ist. Rechne erst dann.

• a) Ein Velo kostet 400 CHF und ist um 20 % reduziert. Wie viele Franken sparst du?
• b) Du sparst 80 CHF. Das sind 20 % des ursprünglichen Preises. Wie viel kostete das Velo?
• c) Nach 20 % Rabatt kostet das Velo noch 320 CHF. Wie viel kostete es vorher?
• d) Das Velo kostete 400 CHF, jetzt bezahlst du 320 CHF. Wie viel Prozent Rabatt erhältst du?

Lösung anzeigen

a) Gegeben sind $G = 400$ CHF und 20 %. Gesucht ist der Prozentwert: $W = 400 \cdot 0{,}2 = 80$ CHF.

b) Gegeben sind $W = 80$ CHF und 20 %. Gesucht ist der Grundwert: $G = \dfrac{80 \cdot 100}{20} = 400$ CHF.

c) Die 320 CHF gehören nicht zu 20 %. Nach dem Rabatt bezahlst du noch $100 \, \% - 20 \, \% = 80 \, \%$. Gegeben sind also $W = 320$ CHF und 80 %. Gesucht ist der Grundwert: $G = \dfrac{320 \cdot 100}{80} = 400$ CHF.

d) Gegeben sind $G = 400$ CHF und der Rabatt $W = 400 - 320 = 80$ CHF. Gesucht ist der Prozentsatz: $\dfrac{80}{400} \cdot 100 = 20$, also 20 % Rabatt.

Viermal dieselben Zahlen, aber vier verschiedene Rechnungen. Entscheidend ist, welche Grösse gesucht ist und zu welchem Prozentsatz die gegebene Menge gehört.

Ausblick

Jetzt kannst du mit Anteilen und Prozenten sicher rechnen. Im nächsten Schritt lernst du die Zinsrechnung kennen. Dabei berechnest du, wie viel Geld du auf einem Sparkonto nach einer bestimmten Zeit erhältst – oder wie viel ein Kredit wirklich kostet.

Die Zinsrechnung ist eine direkte Anwendung der Prozentrechnung: Der Zinssatz ist ein Prozentsatz, das Kapital ist der Grundwert und die Zinsen sind der Prozentwert. Mit deinem heutigen Wissen bist du bestens darauf vorbereitet, auch komplexere Aufgaben aus dem Alltag zu lösen.

Lösungen

Lösung 1: Du erweiterst den Bruch auf den Nenner 100:

$$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{75}{100} = 75 \, \%$$

Alternativ teilst du 3 durch 4: $3 : 4 = 0{,}75$. Multiplikation mit 100 ergibt 75 %.

Lösung 2: Du suchst den Prozentwert. Setze in die Grundformel ein:

$$W = G \cdot \frac{p}{100} = 200 \cdot \frac{30}{100} = 200 \cdot 0{,}3 = 60 \, \text{CHF}$$

30 % von 200 CHF sind also 60 CHF.

Lösung 3: Du suchst den Prozentsatz. Setze in die umgeformte Grundformel ein:

$$p = \frac{W}{G} \cdot 100 = \frac{22}{50} \cdot 100 = 0{,}44 \cdot 100 = 44 \, \%$$

Von den 50 Schülern sind 44 % Mädchen.

Lösung 4: Zuerst berechnest du den Rabattbetrag:

$$W = 40 \cdot \frac{15}{100} = 40 \cdot 0{,}15 = 6 \, \text{CHF}$$

Der neue Preis beträgt $40 - 6 = 34 \, \text{CHF}$.

Lösung 5: Du suchst den Grundwert. Setze ein:

$$G = \frac{W \cdot 100}{p} = \frac{84 \cdot 100}{70} = \frac{8400}{70} = 120$$

Es waren ursprünglich 120 Personen eingeladen.

Kontrolle: $120 \cdot 0{,}7 = 84$. ✓

Lösung 6: Du berechnest, wie viel Prozent Lukas erreicht hat:

$$p = \frac{42}{60} \cdot 100 = 0{,}7 \cdot 100 = 70 \, \%$$

Lukas hat 70 % erreicht. Da er mindestens 75 % braucht, hat er den Test nicht bestanden.

Lösung 7: Nach dem ersten Rabatt von 20 % zahlt der Käufer noch 80 % des Originalpreises. Der zweite Rabatt von 10 % bezieht sich auf diesen reduzierten Preis:

$$\text{Zweiter Rabatt} = 80 \, \% \cdot \frac{10}{100} = 8 \, \%$$

Der Käufer zahlt nun $80 \, \% - 8 \, \% = 72 \, \%$ des Originalpreises. Der Gesamtrabatt beträgt $100 \, \% - 72 \, \% = 28 \, \%$ – nicht 30 %, wie man auf den ersten Blick denken könnte.

Lösung 8: Du berechnest den Wertzuwachs in CHF und dann den Prozentsatz:

$$\text{Zuwachs} = 92 - 80 = 12 \, \text{CHF}$$ $$p = \frac{12}{80} \cdot 100 = 0{,}15 \cdot 100 = 15 \, \%$$

Der Wertzuwachs beträgt 15 %. Der neue Wert beträgt 115 % des alten Wertes.

Lösung 9: Zuerst berechnest du die Gesamtmenge der Flüssigkeit. Die 240 ml Saft entsprechen 30 %:

$$G = \frac{W \cdot 100}{p} = \frac{240 \cdot 100}{30} = \frac{24\,000}{30} = 800 \, \text{ml}$$

Die Gesamtflüssigkeit beträgt also 800 ml. Davon ziehst du den Saftanteil ab:

$$\text{Wasser} = 800 - 240 = 560 \, \text{ml}$$

Die Mischung enthält 560 ml Wasser.

Lösung 10: Du berechnest den neuen Preis:

$$W = 25 \cdot \frac{130}{100} = 25 \cdot 1{,}3 = 32{,}50 \, \text{CHF}$$

Der neue Preis beträgt 32,50 CHF. Die Preissteigerung beträgt:

$$130 \, \% - 100 \, \% = 30 \, \%$$

Der Preis ist also um 30 % gestiegen. Die absolute Preiserhöhung beträgt $32{,}50 - 25 = 7{,}50 \, \text{CHF}$.

Verwandte Themen

• Prozentwert berechnen: So findest du den Anteil von einem Ganzen
• Prozentsatz berechnen: Die Schritt-für-Schritt-Anleitung mit Formel und Beispielen
• Grundwert berechnen: So findest du das Ganze aus dem Prozentanteil

Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport