Periodische Dezimalzahlen verstehen und umwandeln

Darum geht's

Stell dir vor, du teilst eine Pizza unter drei Freunden auf. Jeder bekommt genau ein Drittel. Aber wie viel ist ein Drittel als Kommazahl? Du nimmst den Taschenrechner und tippst $1 : 3$ ein. Das Ergebnis: $0.333333...$

Die Dreien hören nie auf. Egal wie lange du wartest, es kommen immer mehr Dreien. Du könntest den ganzen Tag schreiben und wärst nie fertig. Solche Zahlen, bei denen sich Ziffern endlos wiederholen, begegnen dir häufiger als du denkst. In diesem Artikel lernst du, wie du diese Zahlen erkennst, benennt und elegant in Brüche umwandelst.

Eine kleine Zeitreise

Periodische Dezimalzahlen beschäftigen Mathematiker schon seit Jahrhunderten. Ihre Geschichte ist eng mit der Entwicklung unseres Zahlensystems verknüpft.

Die Anfänge im Orient

Die ersten systematischen Beschreibungen von Dezimalzahlen entstanden im arabischen Raum. Der persische Mathematiker al-Uqlidisi verwendete im 10. Jahrhundert als einer der Ersten ein Komma, um den ganzzahligen Teil vom gebrochenen Teil zu trennen. Er rechnete dabei mit Zehnteln, Hundertsteln und Tausendsteln. Ob er die Besonderheit von periodischen Zahlen kannte, ist nicht überliefert.

Europa entdeckt das Dezimalsystem

Im 16. Jahrhundert brachte der flämische Mathematiker Simon Stevin das Dezimalsystem nach Europa. Sein Werk „De Thiende” aus dem Jahr 1585 erklärte als erstes europäisches Buch systematisch das Rechnen mit Dezimalbrüchen. Stevin glaubte, dass sein System alle Rechenprobleme vereinfachen würde. Periodische Zahlen passten allerdings nicht in sein Weltbild. Er wünschte sich eine Mathematik ohne diese „unordentlichen” unendlichen Folgen.

Das Problem der unendlichen Wiederholung

Im 17. und 18. Jahrhundert begannen Mathematiker ernsthafter über unendliche Dezimaldarstellungen nachzudenken. John Wallis und später Leonhard Euler untersuchten, welche Brüche abbrechende und welche periodische Dezimalzahlen ergeben. Euler erkannte einen wichtigen Zusammenhang. Der Nenner eines Bruchs bestimmt, ob die Dezimalzahl abbricht oder sich wiederholt.

Die mathematische Erklärung

Johann Heinrich Lambert bewies im Jahr 1761, dass irrationale Zahlen wie $\pi$ weder abbrechen noch periodisch sind. Das klärte die Situation endgültig. Zahlen lassen sich in drei Gruppen einteilen: abbrechende Dezimalzahlen, periodische Dezimalzahlen und nicht-periodische, unendliche Dezimalzahlen. Periodische Dezimalzahlen sind dabei genau die rationalen Zahlen, also Zahlen, die man als Bruch schreiben kann.

Heute im Schulunterricht

Diese historische Erkenntnis ist heute Schulstoff. Du lernst nicht nur eine Rechentechnik. Du folgst einem Gedankengang, den kluge Köpfe über Jahrhunderte entwickelt haben.

Die Grundlagen

Wenn du einen Bruch in eine Dezimalzahl umwandelst, gibt es zwei Möglichkeiten. Entweder die Division geht irgendwann auf. Dann erhältst du eine abbrechende Dezimalzahl wie $0.5$ oder $0.25$. Oder die Division geht nie auf. Dann wiederholen sich eine oder mehrere Ziffern unendlich oft.

Definition

Eine periodische Dezimalzahl ist eine Dezimalzahl, bei der sich ab einer bestimmten Stelle eine Ziffernfolge unendlich oft wiederholt. Diese sich wiederholende Ziffernfolge heisst Periode.

Die Periode wird mit einem Strich über den sich wiederholenden Ziffern gekennzeichnet:

$$\frac{1}{3} = 0.\overline{3} \quad \text{(sprich: null Komma Periode drei)}$$$$\frac{1}{7} = 0.\overline{142857}$$

Man unterscheidet zwei Typen:

• Rein-periodisch: Die Periode beginnt direkt nach dem Komma. Beispiel: $0.\overline{3}$
• Gemischt-periodisch: Vor der Periode stehen Ziffern, die sich nicht wiederholen. Beispiel: $0.1\overline{6}$

Bei rein-periodischen Dezimalzahlen beginnt die Wiederholung sofort nach dem Komma. Das ist der einfachere Fall. Bei gemischt-periodischen Dezimalzahlen gibt es zuerst einen nicht-periodischen Teil, die sogenannte Vorperiode. Dann erst folgt die sich wiederholende Periode.

Wie erkennst du die Periode bei einer Division?

Führe die Division schriftlich durch. Beobachte dabei die Reste. Sobald ein Rest zum zweiten Mal auftaucht, beginnt die Wiederholung. Ab diesem Punkt wiederholen sich alle folgenden Ziffern exakt. Der Rest bestimmt die Ziffer im Ergebnis. Gleicher Rest bedeutet gleiche Ziffer.

Bei einem Bruch mit Nenner $n$ kann der Rest nur die Werte $0, 1, 2, ..., n-1$ annehmen. Es gibt also höchstens $n-1$ verschiedene Reste. Deshalb ist die Periode eines Bruchs mit Nenner $n$ höchstens $n-1$ Ziffern lang.

Die Kernmethode

Jede periodische Dezimalzahl lässt sich als Bruch schreiben. Dafür gibt es eine elegante Methode. Sie nutzt, dass sich die unendlichen Teile beim Subtrahieren gegenseitig aufheben.

Definition

Vorgehen bei rein-periodischen Dezimalzahlen:

1. Nenne die Dezimalzahl $x$.
2. Zähle die Anzahl der Ziffern in der Periode.
3. Multipliziere $x$ mit $10^k$, wobei $k$ die Anzahl der Periodenziffern ist.
4. Subtrahiere die Ausgangsgleichung von der neuen Gleichung.
5. Löse nach $x$ auf und kürze.

Vorgehen bei gemischt-periodischen Dezimalzahlen:

1. Nenne die Dezimalzahl $x$.
2. Verschiebe zuerst so weit, dass die Periode direkt nach dem Komma steht. Multipliziere mit $10^v$, wobei $v$ die Länge der Vorperiode ist.
3. Wende danach die Methode für rein-periodische Zahlen an.
4. Löse nach $x$ auf und kürze.

Das Grundprinzip ist immer gleich. Du erzeugst zwei Gleichungen, die denselben unendlichen Teil haben. Beim Subtrahieren verschwindet der unendliche Teil. Übrig bleibt eine einfache Gleichung mit ganzen Zahlen.

Beispiel:

Beispiel 1: Rein-periodische Dezimalzahl mit einer Ziffer

Wandle $0.\overline{4}$ in einen Bruch um.

Lösung:

Schritt 1: Setze $x = 0.\overline{4} = 0.4444...$

Schritt 2: Die Periode hat eine Ziffer. Multipliziere mit $10$:

$$10x = 4.4444...$$

Schritt 3: Subtrahiere die erste Gleichung von der zweiten:

$$10x - x = 4.4444... - 0.4444...$$$$9x = 4$$

Schritt 4: Löse nach $x$ auf:

$$x = \frac{4}{9}$$

Ergebnis: $0.\overline{4} = \dfrac{4}{9}$

Probe: $4 \div 9 = 0.4444...$ ✓

Beispiel:

Beispiel 2: Rein-periodische Dezimalzahl mit zwei Ziffern

Wandle $0.\overline{27}$ in einen Bruch um.

Lösung:

Schritt 1: Setze $x = 0.\overline{27} = 0.272727...$

Schritt 2: Die Periode hat zwei Ziffern. Multipliziere mit $100$:

$$100x = 27.272727...$$

Schritt 3: Subtrahiere die erste Gleichung:

$$100x - x = 27.272727... - 0.272727...$$$$99x = 27$$

Schritt 4: Löse nach $x$ auf. Kürze mit $9$:

$$x = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}$$

Ergebnis: $0.\overline{27} = \dfrac{3}{11}$

Probe: $3 \div 11 = 0.272727...$ ✓

Merke: Bei einer zweistelligen Periode dividierst du durch $99$. Bei einer einstelligen durch $9$. Bei einer dreistelligen durch $999$.

Die häufigsten Stolpersteine

Achtung

Periodenstrich falsch setzen: Viele setzen den Strich über die falschen Ziffern. Bei $0.1\overline{6}$ gehört nur die $6$ zur Periode. Wenn du den Strich auch über die $1$ setzt, schreibst du eine andere Zahl. $0.\overline{16}$ ist nämlich $\dfrac{16}{99}$, nicht $\dfrac{1}{6}$. Lies die Aufgabe genau. Prüfe, welche Ziffern sich wirklich wiederholen.

Achtung

Falsche Zehnerpotenz beim Multiplizieren: Du multiplizierst mit der falschen Zahl. Die Zehnerpotenz richtet sich ausschliesslich nach der Länge der Periode. Eine zweistellige Periode ergibt den Faktor $100$. Eine dreistellige Periode ergibt den Faktor $1000$. Die Länge der Vorperiode spielt dabei keine Rolle. Erst beim Aufstellen der zweiten Gleichung zählt die Vorperiode.

Achtung

Kürzen vergessen: Nach dem Aufstellen des Bruchs bist du noch nicht fertig. Zähler und Nenner müssen auf ihren grössten gemeinsamen Teiler geprüft werden. Aus $\dfrac{27}{99}$ wird $\dfrac{3}{11}$. Das Ergebnis ohne Kürzen gilt in der Schule meist als unvollständig. Überprüfe immer, ob sich Zähler und Nenner durch eine gemeinsame Zahl dividieren lassen.

Achtung

$0.\overline{9} = 1$ nicht glauben: Das klingt falsch, ist aber mathematisch korrekt. Wenn du die Methode anwendest, erhältst du $9x = 9$, also $x = 1$. Viele Schüler zweifeln daran. Aber: $\dfrac{1}{3} = 0.\overline{3}$, und $3 \times 0.\overline{3} = 0.\overline{9}$. Gleichzeitig ist $3 \times \dfrac{1}{3} = 1$. Also muss $0.\overline{9} = 1$ gelten. Dieses Ergebnis ist kein Fehler, sondern ein Merkmal des Zahlensystems.

Beispiel:

Beispiel 3: Gemischt-periodische Dezimalzahl

Wandle $0.1\overline{6}$ in einen Bruch um.

Lösung:

Diese Zahl hat die Vorperiode $1$ und die Periode $6$.

Schritt 1: Setze $x = 0.1\overline{6} = 0.1666...$

Schritt 2: Verschiebe so, dass die Periode direkt nach dem Komma steht. Die Vorperiode hat eine Ziffer. Multipliziere mit $10$:

$$10x = 1.666... = 1.\overline{6}$$

Schritt 3: Jetzt ist die Periode direkt nach dem Komma. Multipliziere nochmals mit $10$:

$$100x = 16.666...$$

Schritt 4: Subtrahiere Schritt 2 von Schritt 3:

$$100x - 10x = 16.666... - 1.666...$$$$90x = 15$$

Schritt 5: Löse nach $x$ auf. Kürze mit $15$:

$$x = \frac{15}{90} = \frac{1}{6}$$

Ergebnis: $0.1\overline{6} = \dfrac{1}{6}$

Beispiel:

Beispiel 4: Gemischt-periodische Dezimalzahl mit zweistelliger Periode

Wandle $0.08\overline{3}$ in einen Bruch um.

Lösung:

Die Vorperiode ist $08$ (zwei Ziffern). Die Periode ist $3$ (eine Ziffer).

Schritt 1: Setze $x = 0.08\overline{3} = 0.08333...$

Schritt 2: Die Vorperiode hat zwei Ziffern. Multipliziere mit $100$:

$$100x = 8.\overline{3} = 8.333...$$

Schritt 3: Die Periode hat eine Ziffer. Multipliziere nochmals mit $10$:

$$1000x = 83.333...$$

Schritt 4: Subtrahiere:

$$1000x - 100x = 83.333... - 8.333...$$$$900x = 75$$

Schritt 5: Kürze mit $75$:

$$x = \frac{75}{900} = \frac{1}{12}$$

Ergebnis: $0.08\overline{3} = \dfrac{1}{12}$

Probe: $1 \div 12 = 0.08333...$ ✓

Vertiefung

Du hast gelernt, wie du periodische Dezimalzahlen in Brüche umwandelst. Nun lohnt es sich, tiefer zu schauen. Warum werden überhaupt manche Brüche periodisch?

Der Nenner entscheidet

Ob ein Bruch eine abbrechende oder periodische Dezimalzahl ergibt, hängt allein vom Nenner ab. Genauer gesagt: vom Nenner des vollständig gekürzten Bruchs. Ein Bruch ergibt genau dann eine abbrechende Dezimalzahl, wenn der Nenner nach dem Kürzen nur die Primfaktoren $2$ und $5$ enthält. Das sind die einzigen Primfaktoren der Zahl $10$. Unser Dezimalsystem basiert auf der Basis $10$.

Enthält der Nenner andere Primfaktoren wie $3$, $7$, $11$ oder $13$, entsteht eine periodische Dezimalzahl.

Definition

Ein vollständig gekürzter Bruch $\dfrac{p}{q}$ ergibt:

• eine abbrechende Dezimalzahl, wenn $q$ nur die Primfaktoren $2$ und $5$ enthält.
• eine periodische Dezimalzahl, wenn $q$ andere Primfaktoren enthält.

Beispiele:

$$\frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} \rightarrow \text{abbrechend: } 0.25$$$$\frac{1}{6} = \frac{1}{2 \cdot 3} \rightarrow \text{periodisch: } 0.1\overline{6}$$$$\frac{1}{7} \rightarrow \text{periodisch: } 0.\overline{142857}$$

Die Länge der Periode

Die Länge der Periode hängt vom Nenner ab. Beim Nenner $7$ wiederholen sich immer sechs Ziffern: $0.\overline{142857}$. Das ist kein Zufall. Es ist eine Folge der Rechenregeln für Reste.

Die maximale Periodenlänge bei Nenner $n$ beträgt $n - 1$.

Beispiel:

Beispiel 5: Bruch direkt durch Division

Bestimme die Dezimaldarstellung von $\dfrac{5}{12}$ durch schriftliche Division.

Lösung:

$12$ passt null Mal in $5$. Schreibe $0.$

$50 \div 12 = 4$ Rest $2$. Schreibe $4$.

$20 \div 12 = 1$ Rest $8$. Schreibe $1$.

$80 \div 12 = 6$ Rest $8$. Schreibe $6$.

$80 \div 12 = 6$ Rest $8$. Der Rest $8$ taucht wieder auf!

Ab jetzt wiederholt sich die $6$ unendlich.

$$\frac{5}{12} = 0.41\overline{6}$$

Die Vorperiode ist $41$. Die Periode ist $6$.

Warum? Der Nenner $12 = 2^2 \cdot 3$ enthält den Primfaktor $3$. Deshalb ist die Dezimalzahl periodisch.

Übungen

Die folgenden Aufgaben sind nach Schwierigkeit geordnet. Beginne mit Aufgabe 1 und arbeite dich vor. Lösungen findest du am Ende des Artikels.

Aufgaben zum Erkennen und Schreiben

Aufgabe 1: Schreibe die folgenden Zahlen mit Periodenstrich.

a) $0.777...$ b) $0.121212...$ c) $0.583333...$

Aufgabe 2: Welche dieser Dezimalzahlen sind periodisch, welche abbrechend?

a) $0.75$    b) $0.\overline{6}$    c) $0.3125$    d) $0.\overline{142857}$

Aufgaben zum Umwandeln: Bruch → Dezimalzahl

Aufgabe 3: Wandle die folgenden Brüche in Dezimalzahlen um. Verwende den Periodenstrich.

a) $\dfrac{2}{3}$    b) $\dfrac{5}{9}$    c) $\dfrac{7}{11}$

Aufgabe 4: Wandle um:

a) $\dfrac{1}{6}$    b) $\dfrac{5}{6}$    c) $\dfrac{1}{12}$

Aufgaben zum Umwandeln: Dezimalzahl → Bruch

Aufgabe 5: Wandle die folgenden rein-periodischen Dezimalzahlen in Brüche um.

a) $0.\overline{7}$    b) $0.\overline{36}$    c) $0.\overline{5}$

Aufgabe 6: Wandle um und kürze vollständig:

a) $0.\overline{18}$    b) $0.\overline{45}$    c) $0.\overline{6}$

Aufgaben zu gemischt-periodischen Dezimalzahlen

Aufgabe 7: Wandle in Brüche um:

a) $0.3\overline{6}$    b) $0.4\overline{3}$    c) $0.58\overline{3}$

Aufgabe 8: Zeige rechnerisch, dass $0.\overline{9} = 1$ gilt.

Aufgaben zum Nachdenken

Aufgabe 9: Bestimme, ob $\dfrac{7}{40}$ eine abbrechende oder periodische Dezimalzahl ergibt. Begründe deine Antwort mit der Primfaktorzerlegung des Nenners.

Aufgabe 10: Wandle $1.2\overline{3}$ in einen Bruch um.

Das Wichtigste in Kürze

Periodische Dezimalzahlen entstehen, wenn ein Bruch bei der Division nie aufgeht. Die sich wiederholende Ziffernfolge heisst Periode und wird mit einem Strich darüber gekennzeichnet.

Es gibt rein-periodische Zahlen, bei denen die Periode direkt nach dem Komma beginnt. Und gemischt-periodische Zahlen, bei denen zuerst eine Vorperiode steht.

Zum Umwandeln in einen Bruch verwendest du die Verschiebe-Methode. Du multiplizierst so, dass sich der periodische Teil beim Subtrahieren aufhebt. Das Ergebnis ist immer ein rationaler Bruch.

Ob ein Bruch periodisch wird, hängt vom Nenner ab. Enthält der Nenner andere Primfaktoren als $2$ und $5$, entsteht eine periodische Dezimalzahl. Dieses Prinzip gilt für alle Brüche.

❓ Frage: Wie schreibt man $0.555...$ korrekt mit Periodenstrich?

Lösung anzeigen

$0.\overline{5}$. Der Strich steht genau über der sich wiederholenden Ziffer $5$.

❓ Frage: Wandle $0.\overline{9}$ in einen Bruch um. Was fällt auf?

Lösung anzeigen

Setze $x = 0.\overline{9}$. Dann ist $10x = 9.\overline{9}$. Subtraktion ergibt $9x = 9$, also $x = 1$. Das Ergebnis ist $0.\overline{9} = 1$. Das klingt überraschend, ist aber mathematisch korrekt.

❓ Frage: Ist $\dfrac{3}{8}$ eine abbrechende oder periodische Dezimalzahl? Warum?

Lösung anzeigen

Abbrechend. Der Nenner $8 = 2^3$ enthält nur den Primfaktor $2$. Deshalb bricht die Dezimalzahl ab: $\dfrac{3}{8} = 0.375$.

❓ Frage: Mit welcher Zahl multiplizierst du, wenn die Periode drei Ziffern lang ist?

Lösung anzeigen

Mit $1000$. Die Zehnerpotenz entspricht immer der Länge der Periode: eine Ziffer → $10$, zwei Ziffern → $100$, drei Ziffern → $1000$.

❓ Frage: Was ist der Unterschied zwischen $0.\overline{12}$ und $0.1\overline{2}$?

Lösung anzeigen

Bei $0.\overline{12}$ sind beide Ziffern periodisch: $0.121212...$. Das ergibt $\dfrac{12}{99} = \dfrac{4}{33}$. Bei $0.1\overline{2}$ ist nur die $2$ periodisch: $0.1222...$. Das ist $\dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{11}{10}$… besser: über die Methode ergibt sich $\dfrac{11}{90}$. Die beiden Zahlen sind verschieden.

Ausblick

Periodische Dezimalzahlen sind dein Einstieg in ein grösseres Thema. In der 7. und 8. Klasse lernst du die rationalen Zahlen kennen. Du wirst sehen: Genau diese Zahlen lassen sich als Bruch schreiben, und genau diese Zahlen haben abbrechende oder periodische Dezimaldarstellungen.

Zahlen wie $\pi = 3.14159...$ oder $\sqrt{2} = 1.41421...$ dagegen sind irrational. Ihre Dezimaldarstellung bricht nie ab und wird niemals periodisch. Das macht sie zu einem eigenen, faszinierenden Kapitel der Mathematik.

Lösungen

Aufgabe 1:

a) $0.777... = 0.\overline{7}$ b) $0.121212... = 0.\overline{12}$ c) $0.583333... = 0.58\overline{3}$

Die Vorperiode ist $58$, die Periode ist $3$.

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Aufgabe 2:

a) $0.75$ → abbrechend. Die Zahl endet nach zwei Stellen. b) $0.\overline{6}$ → periodisch. Die $6$ wiederholt sich endlos. c) $0.3125$ → abbrechend. Die Zahl endet nach vier Stellen. d) $0.\overline{142857}$ → periodisch. Sechs Ziffern wiederholen sich. Das ist $\dfrac{1}{7}$.

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Aufgabe 3:

a) $\dfrac{2}{3}$: $2 \div 3 = 0.666... = 0.\overline{6}$

b) $\dfrac{5}{9}$: $5 \div 9 = 0.555... = 0.\overline{5}$

c) $\dfrac{7}{11}$: $7 \div 11 = 0.636363... = 0.\overline{63}$

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Aufgabe 4:

a) $\dfrac{1}{6} = 0.1\overline{6}$ (Vorperiode $1$, Periode $6$)

b) $\dfrac{5}{6} = 0.8\overline{3}$ (Vorperiode $8$, Periode $3$)

c) $\dfrac{1}{12} = 0.08\overline{3}$ (Vorperiode $08$, Periode $3$)

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Aufgabe 5:

a) $x = 0.\overline{7}$, dann $10x = 7.\overline{7}$. Subtraktion: $9x = 7$, also $x = \dfrac{7}{9}$.

b) $x = 0.\overline{36}$, dann $100x = 36.\overline{36}$. Subtraktion: $99x = 36$, also $x = \dfrac{36}{99} = \dfrac{4}{11}$.

c) $x = 0.\overline{5}$, dann $10x = 5.\overline{5}$. Subtraktion: $9x = 5$, also $x = \dfrac{5}{9}$.

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Aufgabe 6:

a) $x = 0.\overline{18}$: $99x = 18$, also $x = \dfrac{18}{99} = \dfrac{2}{11}$.

b) $x = 0.\overline{45}$: $99x = 45$, also $x = \dfrac{45}{99} = \dfrac{5}{11}$.

c) $x = 0.\overline{6}$: $9x = 6$, also $x = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$.

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Aufgabe 7:

a) $x = 0.3\overline{6}$. Multipliziere mit $10$: $10x = 3.\overline{6}$. Multipliziere mit $10$: $100x = 36.\overline{6}$. Subtraktion: $90x = 33$, also $x = \dfrac{33}{90} = \dfrac{11}{30}$.

b) $x = 0.4\overline{3}$. $10x = 4.\overline{3}$. $100x = 43.\overline{3}$. Subtraktion: $90x = 39$, also $x = \dfrac{39}{90} = \dfrac{13}{30}$.

c) $x = 0.58\overline{3}$. $100x = 58.\overline{3}$. $1000x = 583.\overline{3}$. Subtraktion: $900x = 525$, also $x = \dfrac{525}{900} = \dfrac{7}{12}$.

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Aufgabe 8:

Setze $x = 0.\overline{9} = 0.999...$

Multipliziere mit $10$:

$$10x = 9.999...$$

Subtrahiere:

$$10x - x = 9.999... - 0.999...$$ $$9x = 9$$ $$x = 1$$

Ergebnis: $0.\overline{9} = 1$. Das ist mathematisch korrekt und kein Widerspruch.

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Aufgabe 9:

Primfaktorzerlegung: $40 = 2^3 \cdot 5$.

Der Nenner $40$ enthält nur die Primfaktoren $2$ und $5$. Deshalb ergibt $\dfrac{7}{40}$ eine abbrechende Dezimalzahl.

Probe: $7 \div 40 = 0.175$ ✓

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Aufgabe 10:

$x = 1.2\overline{3} = 1.2333...$

Multipliziere mit $10$: $10x = 12.\overline{3} = 12.333...$

Multipliziere mit $100$: $100x = 123.\overline{3} = 123.333...$

Subtraktion:

$$100x - 10x = 123.333... - 12.333...$$ $$90x = 111$$ $$x = \frac{111}{90} = \frac{37}{30}$$

Ergebnis: $1.2\overline{3} = \dfrac{37}{30}$

Probe: $37 \div 30 = 1.2333...$ ✓

Verwandte Themen

• Dezimalzahlen verstehen – Von Brüchen zu Kommazahlen
• Dezimalzahlen dividieren – So teilst du Kommazahlen sicher auf
• Dezimalzahlen multiplizieren – So geht's richtig

Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport