Dezimalzahlen verstehen – Von Brüchen zu Kommazahlen

Darum geht's

Stell dir vor, du gehst in eine Bäckerei. Das Brot kostet 3 Franken und 50 Rappen. Wie schreibst du diesen Preis auf? Du könntest “3 Franken 50” schreiben. Oder kürzer: “3,50 CHF”.

Genau hier kommen Dezimalzahlen ins Spiel. Sie helfen uns, Beträge zwischen ganzen Zahlen auszudrücken. Ohne sie wäre unser Alltag ziemlich umständlich. Preise, Körpergrössen, Temperaturen – überall begegnen dir diese Zahlen mit Komma.

In diesem Artikel lernst du, was Dezimalzahlen sind, wie sie mit Brüchen zusammenhängen und wo sie im grossen System der Zahlen eingeordnet sind.

Eine kleine Zeitreise

Dezimalzahlen sind keine Erfindung der Neuzeit. Ihre Geschichte reicht weit zurück – und sie zeigt, wie Menschen über Jahrtausende mit dem Problem umgingen, Grössen zwischen ganzen Zahlen darzustellen.

Die alten Ägypter arbeiteten bereits vor 4000 Jahren mit Brüchen. Allerdings nutzten sie fast ausschliesslich sogenannte Stammbrüche – also Brüche mit dem Zähler 1. Sie schrieben zum Beispiel $\dfrac{1}{2}$ oder $\dfrac{1}{4}$, aber kaum $\dfrac{3}{4}$. Stattdessen zerlegten sie: $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}$.

Die Babylonier, die rund 2000 Jahre vor Christus lebten, entwickelten ein Zahlensystem auf Basis der Zahl 60. Dieses Sexagesimalsystem kennen wir heute noch: Eine Stunde hat 60 Minuten, eine Minute 60 Sekunden. Auch die Winkelgrade stammen daher. Die Babylonier kannten also Brüche wie $\dfrac{1}{60}$ oder $\dfrac{1}{3600}$ – eine Art frühes Dezimalsystem, nur zur Basis 60.

Der entscheidende Schritt zu unseren heutigen Dezimalzahlen kam im 16. Jahrhundert. Der flämische Mathematiker Simon Stevin veröffentlichte 1585 sein Werk “De Thiende” (auf Deutsch: “Die Zehnte”). Darin beschrieb er systematisch, wie man mit Zehnteln, Hundersteln und Tausendsteln rechnen kann. Stevin war überzeugt: Dezimalzahlen würden das Leben der Händler, Landvermesser und Astronomen enorm vereinfachen. Er hatte recht.

Die Schreibweise mit Komma, wie wir sie heute kennen, setzte sich jedoch erst später durch. Im deutschsprachigen Raum bürgerte sich das Komma als Trennzeichen ein. Im englischsprachigen Raum wird bis heute ein Punkt verwendet – daher schreibt man in England oder den USA $3.50$ statt $3,50$.

Noch ein interessanter Fakt: Das Dezimalsystem (zur Basis 10) hat sich weltweit durchgesetzt, weil Menschen zehn Finger haben. Wir zählen von Natur aus in Zehnergruppen. Das machte Zehnerbrüche besonders intuitiv.

Heute sind Dezimalzahlen aus dem Alltag nicht wegzudenken. Ob auf der Waage, am Benzinpreis oder im Sportresultat – das Komma ist allgegenwärtig.

Die Grundlagen

Die Bäckerei zeigt uns das Grundprinzip. Links vom Komma stehen die ganzen Franken. Rechts vom Komma stehen die Rappen – also die Teile eines Frankens. Das Komma ist wie eine Grenze. Es trennt die “Ganzen” von den “Teilen”.

Definition

Eine Dezimalzahl besteht aus einem Ganzteil und einem Dezimalteil, getrennt durch ein Komma:

$$\text{Ganzteil},{}\text{Dezimalteil}$$

Die Stellen nach dem Komma heissen: Zehntel, Hundertstel, Tausendstel.

$$3{,}547 = 3 + \frac{5}{10} + \frac{4}{100} + \frac{7}{1000}$$

Die Anzahl der Stellen nach dem Komma nennt man die Dezimalstellen.

Der Stellenwert nach dem Komma

Bei ganzen Zahlen kennst du bereits Einer, Zehner, Hunderter. Nach dem Komma geht es umgekehrt weiter.

Die erste Stelle nach dem Komma: Zehntel. Ein Zehntel ist $\dfrac{1}{10}$ oder $0{,}1$.

Die zweite Stelle: Hundertstel. Ein Hundertstel ist $\dfrac{1}{100}$ oder $0{,}01$.

Die dritte Stelle: Tausendstel. Ein Tausendstel ist $\dfrac{1}{1000}$ oder $0{,}001$.

Stell dir einen Kuchen vor. Du schneidest ihn in 10 gleiche Stücke. Jedes Stück ist ein Zehntel. Schneidest du jedes Stück nochmals in 10 Teile, hast du 100 winzige Stücke – Hundertstel.

Von Brüchen zu Dezimalzahlen

Dezimalzahlen und Brüche sind eng verwandt. Jeder Bruch mit 10, 100 oder 1000 im Nenner lässt sich direkt als Dezimalzahl schreiben.

Der Bruch $\dfrac{7}{10}$ bedeutet: 7 Zehntel. Als Dezimalzahl: $0{,}7$.

Der Bruch $\dfrac{23}{100}$ bedeutet: 23 Hundertstel. Als Dezimalzahl: $0{,}23$.

Der Bruch $\dfrac{9}{1000}$ bedeutet: 9 Tausendstel. Als Dezimalzahl: $0{,}009$.

Die Anzahl der Nullen im Nenner zeigt dir, wie viele Stellen nach dem Komma du brauchst.

Die Kernmethode

Das Umwandeln zwischen Brüchen und Dezimalzahlen folgt einem klaren Schema. Wenn du dieses Schema einmal verstanden hast, klappt die Umwandlung sicher in beide Richtungen.

Definition

Von Bruch zu Dezimalzahl:

Zähle die Nullen im Nenner. So viele Stellen kommen nach dem Komma. Der Zähler gibt die Ziffern. Fehlende Stellen werden mit führenden Nullen aufgefüllt.

Von Dezimalzahl zu Bruch:

Zähle die Stellen nach dem Komma. Das ergibt den Nenner als Zehnerpotenz. Die Zahl ohne Komma ist der Zähler. Dann kürzen!

$$\underbrace{0{,}045}_{\text{3 Stellen}} = \frac{45}{1000} = \frac{9}{200}$$

Die Zahlenbereiche im Überblick

Dezimalzahlen gehören zu einem grösseren System. Die Zahlenbereiche bauen aufeinander auf wie russische Puppen. Die kleinste Puppe steckt in der nächstgrösseren.

• Natürliche Zahlen $\mathbb{N}$: $1, 2, 3, 4, \ldots$ – zum Zählen
• Ganze Zahlen $\mathbb{Z}$: $\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots$ – mit Null und Negativen
• Rationale Zahlen $\mathbb{Q}$: alle Brüche $\dfrac{a}{b}$ – hier gehören Dezimalzahlen rein

Es gilt:

$$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$$

Jede natürliche Zahl ist auch eine ganze Zahl. Jede ganze Zahl ist auch eine rationale Zahl. Aber nicht jede rationale Zahl ist eine ganze Zahl.

Beispiel:

Beispiel 1: Bruch in Dezimalzahl umwandeln

Wandle $\dfrac{3}{10}$ in eine Dezimalzahl um.

Lösung:

Schritt 1: Nenner bestimmen. Der Nenner ist 10.

Schritt 2: Nullen zählen. 10 hat eine Null. Also eine Stelle nach dem Komma.

Schritt 3: Zähler hinschreiben. Der Zähler ist 3.

Schritt 4: Dezimalzahl aufschreiben. Die 3 kommt auf die Zehntelstelle.

$$\frac{3}{10} = 0{,}3$$

Die Lösung ist $0{,}3$ (sprich: null Komma drei).

Beispiel:

Beispiel 2: Dezimalzahl in Bruch umwandeln

Wandle $0{,}45$ in einen vollständig gekürzten Bruch um.

Lösung:

Schritt 1: Stellen nach dem Komma zählen. Es sind zwei Stellen.

Schritt 2: Nenner bestimmen. Zwei Stellen bedeuten Nenner $100$.

Schritt 3: Zähler bestimmen. Die Zahl ohne Komma ist $45$.

$$0{,}45 = \frac{45}{100}$$

Schritt 4: Kürzen. Beide Zahlen sind durch 5 teilbar.

$$\frac{45}{100} = \frac{45 \div 5}{100 \div 5} = \frac{9}{20}$$

Die Lösung ist $\dfrac{9}{20}$. Prüfe: $\dfrac{9}{20}$ lässt sich nicht weiter kürzen, da 9 und 20 keinen gemeinsamen Teiler ausser 1 haben.

Die häufigsten Stolpersteine

Beim Umgang mit Dezimalzahlen gibt es einige Fallen, in die viele Schülerinnen und Schüler tappen. Hier findest du die häufigsten – und wie du sie vermeidest.

Achtung

Führende Nullen vergessen: Bei $\dfrac{9}{1000}$ schreiben viele $0{,}9$ statt $0{,}009$. Zähle die Nullen im Nenner! Bei 1000 sind es drei Nullen. Du brauchst drei Stellen nach dem Komma. Die 9 steht ganz rechts. Davor kommen Nullen: $0{,}009$.

Achtung

Falsch kürzen: Nicht jeder Bruch lässt sich kürzen. Prüfe immer, ob Zähler und Nenner einen gemeinsamen Teiler haben. Der Bruch $\dfrac{23}{100}$ lässt sich nicht kürzen, weil 23 eine Primzahl ist. Teile nur dann, wenn beide Zahlen den gleichen Teiler haben.

Achtung

Zahlenbereiche verwechseln: Die Zahl $-3$ ist eine ganze Zahl und damit auch eine rationale Zahl. Aber sie ist keine natürliche Zahl. Die Zahl $0{,}5$ ist eine rationale Zahl, aber weder natürlich noch ganz. Frage dich immer: Ist sie positiv und ohne Komma? Dann ist sie natürlich. Hat sie ein Komma oder Minuszeichen? Dann prüfe weiter.

Achtung

Komma und Punkt verwechseln: In der Schweiz und in Deutschland verwenden wir das Komma als Dezimaltrennzeichen. $3{,}5$ ist korrekt. In englischsprachigen Texten oder auf Taschenrechnern siehst du $3.5$ mit Punkt. Gemeint ist dasselbe. Verwende in der Schule immer das Komma.

Beispiel:

Beispiel 3: Zahlenbereich einer Dezimalzahl bestimmen

Lisa misst ihre Körpergrösse: $1{,}52$ Meter. Zu welchen Zahlenbereichen gehört diese Zahl?

Lösung:

Schritt 1: Natürliche Zahlen prüfen. Ist $1{,}52$ eine ganze Zahl zum Zählen? Nein, sie liegt zwischen 1 und 2.

Schritt 2: Ganze Zahlen prüfen. Hat sie kein Komma und kein Minuszeichen? Nein, sie hat ein Komma. Also ist sie keine ganze Zahl.

Schritt 3: Rationale Zahlen prüfen. Lässt sie sich als Bruch schreiben?

$$1{,}52 = \frac{152}{100} = \frac{38}{25}$$

Ja, sie lässt sich als Bruch schreiben.

Ergebnis: $1{,}52 \in \mathbb{Q}$, aber $1{,}52 \notin \mathbb{Z}$ und $1{,}52 \notin \mathbb{N}$.

Beispiel:

Beispiel 4: Negativen Wert einordnen

Das Thermometer zeigt heute Morgen $-3{,}5$ Grad Celsius. Zu welchen Zahlenbereichen gehört $-3{,}5$?

Lösung:

Schritt 1: Natürliche Zahlen prüfen. Natürliche Zahlen sind positiv. $-3{,}5$ ist negativ. Also: nein.

Schritt 2: Ganze Zahlen prüfen. Ganze Zahlen haben kein Komma. $-3{,}5$ hat ein Komma. Also: nein.

Schritt 3: Rationale Zahlen prüfen. Lässt sie sich als Bruch $\dfrac{a}{b}$ schreiben?

$$-3{,}5 = -\frac{35}{10} = -\frac{7}{2}$$

Ja! Mit $a = -7$ und $b = 2$ ist das ein gültiger Bruch.

Ergebnis: $-3{,}5 \in \mathbb{Q}$, aber $-3{,}5 \notin \mathbb{Z}$ und $-3{,}5 \notin \mathbb{N}$.

Die Temperatur liegt also im Bereich der rationalen Zahlen.

Vertiefung

Du hast die Grundlagen gut verstanden. Jetzt schauen wir uns an, was hinter Dezimalzahlen noch steckt – und warum manche Brüche unendlich viele Stellen nach dem Komma ergeben.

Endliche und periodische Dezimalzahlen

Bisher haben alle Dezimalzahlen nach wenigen Stellen aufgehört. Das nennt man endliche Dezimalzahlen. Doch nicht alle Brüche verhalten sich so.

Teile 1 durch 3. Was passiert?

$$\frac{1}{3} = 0{,}333\ldots$$

Die 3 wiederholt sich unendlich oft. Das nennt man eine periodische Dezimalzahl. Die wiederholende Gruppe heisst die Periode. Man schreibt einen Strich über die Periode: $0{,}\overline{3}$.

Definition

Eine endliche Dezimalzahl hört nach einer bestimmten Anzahl Stellen auf:

$$\frac{3}{4} = 0{,}75$$

Eine periodische Dezimalzahl wiederholt eine Zifferngruppe unendlich oft:

$$\frac{1}{3} = 0{,}\overline{3} = 0{,}333\ldots$$$$\frac{1}{7} = 0{,}\overline{142857} = 0{,}142857142857\ldots$$

Beide Typen gehören zu den rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$.

Wann ist eine Dezimalzahl endlich?

Ein Bruch ergibt genau dann eine endliche Dezimalzahl, wenn der vollständig gekürzte Nenner nur die Primfaktoren 2 und 5 enthält. Das sind die Primfaktoren von 10.

Beispiele: $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{1}{4}$, $\dfrac{1}{5}$, $\dfrac{1}{8}$, $\dfrac{1}{20}$ – alle endlich.

Dagegen: $\dfrac{1}{3}$, $\dfrac{1}{6}$, $\dfrac{1}{7}$, $\dfrac{1}{9}$ – alle periodisch.

Das ist wichtig für die Praxis. Ein Rezept verlangt $\dfrac{1}{3}$ Liter Milch. Auf der Messbecher-Skala findest du keine exakte Markierung. Du näherst dich mit $0{,}33$ Liter an. Das ist eine Näherung – keine exakte Umwandlung.

Beispiel:

Beispiel 5: Periodische Dezimalzahl erkennen

Bestimme, ob $\dfrac{7}{8}$ eine endliche oder periodische Dezimalzahl ergibt.

Lösung:

Schritt 1: Bruch kürzen. $\dfrac{7}{8}$ ist bereits vollständig gekürzt.

Schritt 2: Nenner faktorisieren. $8 = 2 \times 2 \times 2 = 2^3$. Nur Primfaktor 2 – also endliche Dezimalzahl.

Schritt 3: Umwandeln. Erweitere auf Nenner 1000:

$$\frac{7}{8} = \frac{7 \times 125}{8 \times 125} = \frac{875}{1000} = 0{,}875$$

Probe: $\dfrac{7}{8}$ ergibt $0{,}875$. Das ist eine endliche Dezimalzahl mit drei Stellen nach dem Komma.

Ergebnis: $\dfrac{7}{8} = 0{,}875$ – endliche Dezimalzahl.

Übungen

Hier sind 10 Aufgaben, von einfach bis anspruchsvoll. Versuche jede Aufgabe selbst zu lösen, bevor du in die Lösungen schaust.

Aufgabe 1 ★ Schreibe den Bruch $\dfrac{4}{10}$ als Dezimalzahl.

Aufgabe 2 ★ Schreibe den Bruch $\dfrac{17}{100}$ als Dezimalzahl.

Aufgabe 3 ★ Schreibe den Bruch $\dfrac{3}{1000}$ als Dezimalzahl.

Aufgabe 4 ★★ Wandle $0{,}8$ in einen vollständig gekürzten Bruch um.

Aufgabe 5 ★★ Wandle $0{,}36$ in einen vollständig gekürzten Bruch um.

Aufgabe 6 ★★ Wandle $0{,}125$ in einen vollständig gekürzten Bruch um.

Aufgabe 7 ★★ Zu welchen Zahlenbereichen ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$) gehört die Zahl $7$?

Aufgabe 8 ★★ Zu welchen Zahlenbereichen gehört die Zahl $-4$?

Aufgabe 9 ★★★ Zu welchen Zahlenbereichen gehört die Zahl $2{,}5$?

Aufgabe 10 ★★★ Ein Schulheft kostet $\dfrac{3}{4}$ Franken. Schreibe diesen Betrag als Dezimalzahl. Handelt es sich um eine endliche oder periodische Dezimalzahl? Begründe.

Das Wichtigste in Kürze

Dezimalzahlen bestehen aus einem Ganzteil und einem Dezimalteil, getrennt durch ein Komma. Die Stellen nach dem Komma heissen Zehntel, Hundertstel, Tausendstel.

Jede Dezimalzahl lässt sich als Bruch schreiben – und umgekehrt. Beim Umwandeln zählst du die Nullen im Nenner (Richtung Dezimalzahl) oder die Stellen nach dem Komma (Richtung Bruch).

Die Zahlenbereiche bauen aufeinander auf: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$. Dezimalzahlen gehören zu den rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$.

Endliche Dezimalzahlen hören irgendwann auf. Periodische Dezimalzahlen wiederholen eine Zifferngruppe unendlich oft. Beide sind rational.

❓ Frage: Welche Dezimalzahl entspricht dem Bruch $\dfrac{7}{100}$?

Lösung anzeigen

Die Lösung ist $0{,}07$. Der Nenner 100 hat zwei Nullen. Du brauchst also zwei Stellen nach dem Komma. Die 7 steht an der Hunderstelstelle. Die Zehntelstelle ist leer, also eine Null: $0{,}07$.

❓ Frage: Zu welchen Zahlenbereichen gehört die Zahl $-8$?

Lösung anzeigen

$-8$ gehört zu $\mathbb{Z}$ (ganze Zahlen) und zu $\mathbb{Q}$ (rationale Zahlen). Sie gehört nicht zu $\mathbb{N}$, weil natürliche Zahlen positiv sind. Als Bruch geschrieben: $-8 = \dfrac{-8}{1}$. Das ist ein gültiger Bruch, also ist $-8 \in \mathbb{Q}$.

❓ Frage: Wandle $0{,}125$ in einen vollständig gekürzten Bruch um.

Lösung anzeigen

Drei Stellen nach dem Komma bedeuten Nenner $1000$.

$$0{,}125 = \frac{125}{1000}$$

Kürzen durch 125:

$$\frac{125}{1000} = \frac{125 \div 125}{1000 \div 125} = \frac{1}{8}$$

Die Lösung ist $\dfrac{1}{8}$.

❓ Frage: Ist $0{,}\overline{3} = 0{,}333\ldots$ eine rationale Zahl?

Lösung anzeigen

Ja! $0{,}\overline{3}$ ist eine rationale Zahl. Obwohl sie unendlich viele Stellen hat, lässt sie sich als Bruch schreiben:

$$0{,}\overline{3} = \frac{1}{3}$$

Alle periodischen Dezimalzahlen sind rational. Nur nicht-periodische, unendliche Dezimalzahlen (wie $\pi = 3{,}14159\ldots$) sind irrational. Diese lernst du erst später kennen.

❓ Frage: Ergibt der Bruch $\dfrac{3}{6}$ eine endliche oder periodische Dezimalzahl?

Lösung anzeigen

Zuerst kürzen: $\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$. Jetzt den Nenner 2 prüfen: $2 = 2^1$. Nur Primfaktor 2 – also endliche Dezimalzahl.

$$\frac{1}{2} = \frac{5}{10} = 0{,}5$$

Ergebnis: $\dfrac{3}{6} = 0{,}5$ – endliche Dezimalzahl. Wichtig: Immer erst kürzen, dann den Nenner prüfen!

Ausblick

Du kannst jetzt Dezimalzahlen und Brüche ineinander umwandeln. Du weisst, wo Dezimalzahlen im System der Zahlenbereiche stehen.

Als nächstes lernst du, wie du mit Dezimalzahlen rechnest: addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren. Dabei werden die Stellenwerte besonders wichtig.

Später begegnest du auch den irrationalen Zahlen – zum Beispiel $\pi$ oder $\sqrt{2}$. Diese lassen sich nicht als Bruch schreiben und haben keine Periode. Zusammen mit den rationalen Zahlen bilden sie die reellen Zahlen $\mathbb{R}$. Aber das ist ein neues Kapitel.

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 1

Gesucht: $\dfrac{4}{10}$ als Dezimalzahl.

Der Nenner ist 10. Er hat eine Null. Also eine Stelle nach dem Komma.

Der Zähler ist 4. Diese Ziffer kommt auf die Zehntelstelle.

$$\frac{4}{10} = 0{,}4$$

Lösung zu Aufgabe 2

Gesucht: $\dfrac{17}{100}$ als Dezimalzahl.

Der Nenner ist 100. Er hat zwei Nullen. Also zwei Stellen nach dem Komma.

Der Zähler ist 17. Die 1 steht auf der Zehntelstelle, die 7 auf der Hunderstelstelle.

$$\frac{17}{100} = 0{,}17$$

Lösung zu Aufgabe 3

Gesucht: $\dfrac{3}{1000}$ als Dezimalzahl.

Der Nenner ist 1000. Er hat drei Nullen. Also drei Stellen nach dem Komma.

Der Zähler ist 3. Die 3 steht auf der Tausendstellenstelle. Die Zehntel- und Hunderstelstelle sind leer: zwei führende Nullen.

$$\frac{3}{1000} = 0{,}003$$

Lösung zu Aufgabe 4

Gesucht: $0{,}8$ als gekürzter Bruch.

Eine Stelle nach dem Komma bedeutet Nenner 10.

$$0{,}8 = \frac{8}{10}$$

Kürzen durch 2:

$$\frac{8}{10} = \frac{8 \div 2}{10 \div 2} = \frac{4}{5}$$

Ergebnis: $\dfrac{4}{5}$. Prüfe: 4 und 5 haben keinen gemeinsamen Teiler ausser 1. Vollständig gekürzt.

Lösung zu Aufgabe 5

Gesucht: $0{,}36$ als gekürzter Bruch.

Zwei Stellen nach dem Komma bedeuten Nenner 100.

$$0{,}36 = \frac{36}{100}$$

Kürzen: 36 und 100 sind beide durch 4 teilbar.

$$\frac{36}{100} = \frac{36 \div 4}{100 \div 4} = \frac{9}{25}$$

Ergebnis: $\dfrac{9}{25}$. Prüfe: 9 und 25 haben keinen gemeinsamen Teiler ausser 1. Vollständig gekürzt.

Lösung zu Aufgabe 6

Gesucht: $0{,}125$ als gekürzter Bruch.

Drei Stellen nach dem Komma bedeuten Nenner 1000.

$$0{,}125 = \frac{125}{1000}$$

Kürzen: Beide durch 125 teilbar.

$$\frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$$

Ergebnis: $\dfrac{1}{8}$.

Lösung zu Aufgabe 7

Gesucht: Zahlenbereiche von $7$.

$7$ ist positiv und ohne Komma. Also: $7 \in \mathbb{N}$.

Da $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$: $7 \in \mathbb{Z}$.

Da $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$: $7 \in \mathbb{Q}$. Als Bruch: $7 = \dfrac{7}{1}$.

Ergebnis: $7 \in \mathbb{N}$, $7 \in \mathbb{Z}$, $7 \in \mathbb{Q}$.

Lösung zu Aufgabe 8

Gesucht: Zahlenbereiche von $-4$.

$-4$ ist negativ. Also: $-4 \notin \mathbb{N}$.

$-4$ ist eine ganze Zahl ohne Komma, aber negativ. Also: $-4 \in \mathbb{Z}$.

Als Bruch: $-4 = \dfrac{-4}{1}$. Also: $-4 \in \mathbb{Q}$.

Ergebnis: $-4 \in \mathbb{Z}$ und $-4 \in \mathbb{Q}$, aber $-4 \notin \mathbb{N}$.

Lösung zu Aufgabe 9

Gesucht: Zahlenbereiche von $2{,}5$.

$2{,}5$ hat ein Komma. Also: $2{,}5 \notin \mathbb{N}$ und $2{,}5 \notin \mathbb{Z}$.

Als Bruch: $2{,}5 = \dfrac{25}{10} = \dfrac{5}{2}$. Also: $2{,}5 \in \mathbb{Q}$.

Ergebnis: $2{,}5 \in \mathbb{Q}$, aber $2{,}5 \notin \mathbb{Z}$ und $2{,}5 \notin \mathbb{N}$.

Lösung zu Aufgabe 10

Gesucht: $\dfrac{3}{4}$ als Dezimalzahl; endlich oder periodisch?

Schritt 1: Umwandeln. Erweitere auf Nenner 100.

$$\frac{3}{4} = \frac{3 \times 25}{4 \times 25} = \frac{75}{100} = 0{,}75$$

Das Schulheft kostet $0{,}75$ Franken (also 75 Rappen).

Schritt 2: Typ bestimmen. Kürze zuerst: $\dfrac{3}{4}$ ist bereits vollständig gekürzt. Nenner $4 = 2^2$ – nur Primfaktor 2. Also endliche Dezimalzahl.

Ergebnis: $\dfrac{3}{4} = 0{,}75$ – endliche Dezimalzahl, weil der Nenner 4 nur den Primfaktor 2 enthält.

Verwandte Themen

• Dezimalzahlen dividieren – So teilst du Kommazahlen sicher auf
• Periodische Dezimalzahlen verstehen und umwandeln
• Dezimalzahlen multiplizieren – So geht's richtig

Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport