Brüche dividieren: Kehrwert-Methode einfach erklärt | Schritt für Schritt

Weiterführend:

• Zur Kapitelübersicht „Bruchzahlen”
• Vorwissen: Brüche multiplizieren
• Brüche erweitern und kürzen
• Unechte Brüche und gemischte Zahlen

Darum geht's

Stell dir vor, du backst Pizza für deine Freunde. Du hast eine halbe Pizza übrig und möchtest sie in Viertel-Stücke aufteilen. Wie viele solcher Stücke bekommst du aus deiner halben Pizza? Genau diese Frage beantwortet die Division von Brüchen.

Im Alltag teilst du ständig Teile durch Teile: wenn du ein Rezept für vier Personen halbierst, wenn du eine Stoffbahn in gleich lange Abschnitte schneidest oder wenn du Saft in kleine Gläser abfüllst. Die Bruchdivision löst solche Situationen mathematisch präzise. Was zunächst kompliziert klingt, entpuppt sich als eleganter Trick: Du verwandelst jede Division in eine Multiplikation. In diesem Artikel lernst du, wie dieser Trick funktioniert und warum er immer stimmt.

📋Lehrplan 21Zyklus 2 (3.–6. Klasse), Zyklus 3 (7.–9. Klasse) · 3Kompetenzen

• MA.1.A.3.iGrundanspruchGrundoperationen mit rationalen Zahlen; Wurzeln und Potenzen mit Rechner; Erw: Grundoperationen mit gewöhnlichen Brüchen mit Variablen
• MA.1.A.1.gBegriffe Bruch, Prozent, Teiler, Vielfache, Zähler, Nenner, überschlagen, runden; Symbole %, ≈; Dezimalzahlen und Brüche lesen und schreiben
• MA.1.A.3.gDezimalzahlen multiplizieren; Brüche am Rechteckmodell multiplizieren; Brüche als Dezimalzahlen schreiben; Stammbrüche in ganzen Zahlen bestimmen

Quelle: Aargauer Lehrplan Volksschule, Fachbereich Mathematik (August 2022)

Eine kleine Zeitreise

Die Division von Brüchen beschäftigte Mathematiker bereits vor über 3000 Jahren. Die alten Ägypter kannten Brüche, arbeiteten aber fast ausschliesslich mit Stammbrüchen. Ein Stammbruch hat im Zähler immer die Eins, wie $\dfrac{1}{2}$ oder $\dfrac{1}{5}$. Komplexere Brüche zerlegten die Ägypter in Summen von Stammbrüchen. Eine Division war für sie ein mühsames Unterfangen mit vielen Einzelschritten.

Die Babylonier entwickelten ein Zahlensystem mit der Basis 60. Auch sie hatten kein allgemeines Verfahren für die Bruchdivision. Stattdessen nutzten sie umfangreiche Tabellen mit Kehrwerten: Zu jeder Zahl schlugen sie den passenden Kehrwert nach und multiplizierten dann.

Gefahr

Mathe-Fact: Babylonische Schreiber ritzten vor fast 4000 Jahren ganze Kehrwert-Tabellen in Tontafeln. Statt zu dividieren, schlugen sie den Kehrwert nach und multiplizierten – im Prinzip genau der Trick, den du in diesem Artikel lernst.

Den entscheidenden Durchbruch brachte der indische Mathematiker Brahmagupta im 7. Jahrhundert. Er formulierte erstmals klare Regeln für die Bruchrechnung, einschliesslich der Division: Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert. Aus einer komplizierten Operation wurde eine einfache Multiplikation.

Der persische Mathematiker Al-Chwarizmi verfeinerte diese Methoden im 9. Jahrhundert. Sein Name gab dem Wort „Algorithmus” seinen Ursprung. Er schrieb systematische Anleitungen, wie man Brüche erweitert, kürzt und dividiert. Im mittelalterlichen Europa verbreitete Leonardo Fibonacci diese Rechenmethoden weiter. Sein Buch „Liber Abaci” aus dem Jahr 1202 zeigte die Kehrwert-Methode an Beispielen aus Handel und Handwerk.

Die moderne Schreibweise mit Bruchstrich etablierte sich erst im 16. und 17. Jahrhundert. Heute ist die Bruchdivision Grundlage für Algebra und höhere Mathematik – und der Kehrwert-Trick ist noch immer derselbe wie bei Brahmagupta.

Die Grundlagen

Die Division von Brüchen beantwortet die Frage: „Wie oft passt der zweite Bruch in den ersten?” Mathematisch schreibst du das so: $\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d}$.

Drei Begriffe brauchst du dafür. Der Dividend ist der Bruch, den du teilst. Im Ausdruck $\dfrac{3}{4} : \dfrac{1}{2}$ ist $\dfrac{3}{4}$ der Dividend. Der Divisor ist der Bruch, durch den du teilst – hier $\dfrac{1}{2}$. Das Ergebnis heisst Quotient.

Das zentrale Konzept ist der Kehrwert:

Definition

Der Kehrwert (auch Reziprokwert) eines Bruchs entsteht, wenn du Zähler und Nenner vertauschst. Der Kehrwert von $\dfrac{3}{4}$ ist $\dfrac{4}{3}$, der Kehrwert von $\dfrac{2}{5}$ ist $\dfrac{5}{2}$.

Multiplizierst du einen Bruch mit seinem Kehrwert, erhältst du immer 1:

$$\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} = \frac{12}{12} = 1$$

Eine ganze Zahl schreibst du als Bruch mit Nenner 1: Der Kehrwert von $5 = \dfrac{5}{1}$ ist $\dfrac{1}{5}$.

Am Rechteckmodell kannst du dir die Frage „Wie oft passt ein Bruch in einen anderen?” gut vorstellen. Zeichne ein Rechteck, das $\dfrac{3}{4}$ darstellt, und lege Streifen der Grösse $\dfrac{1}{4}$ hinein: Es passen genau drei Streifen. Also gilt $\dfrac{3}{4} : \dfrac{1}{4} = 3$.

Auch krumme Verhältnisse lassen sich so deuten. Die Aufgabe $\dfrac{3}{4} : \dfrac{1}{2}$ fragt: „Wie oft passt ein Halbes in drei Viertel?” Ein Halbes passt einmal ganz hinein, danach bleibt noch ein Viertel übrig – das ist die Hälfte eines Halben. Das Ergebnis ist also $1\dfrac{1}{2}$ oder $\dfrac{3}{2}$. Beim Zeichnen wird das schnell mühsam. Deshalb brauchst du die Rechenregel aus dem nächsten Abschnitt: Sie liefert dasselbe Ergebnis ohne Bild.

Ganze Zahlen kannst du ebenfalls durch Brüche teilen. Schreibe die ganze Zahl als Bruch mit Nenner 1: $3 : \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{1} : \dfrac{1}{4} = 12$. Das passt zur Anschauung – in der Zahl 3 stecken zwölf Viertel.

Die Kernmethode

Die Kehrwert-Methode ist dein Werkzeug für jede Bruchdivision. Sie verwandelt die Division in eine Multiplikation:

Definition

Du dividierst durch einen Bruch, indem du mit seinem Kehrwert multiplizierst:

$$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$$

Dabei bleibt der Dividend $\dfrac{a}{b}$ unverändert. Nur der Divisor $\dfrac{c}{d}$ wird zum Kehrwert $\dfrac{d}{c}$ umgedreht.

So gehst du Schritt für Schritt vor:

1. Aufgabe aufschreiben: Notiere beide Brüche mit dem Divisionszeichen. Ganze Zahlen und gemischte Zahlen wandelst du zuerst in Brüche um: aus $4$ wird $\dfrac{4}{1}$, aus $2\dfrac{1}{2}$ wird $\dfrac{5}{2}$.
2. Kehrwert des Divisors bilden: Vertausche beim zweiten Bruch Zähler und Nenner. Der erste Bruch bleibt, wie er ist.
3. Division durch Multiplikation ersetzen: Aus $\dfrac{5}{6} : \dfrac{2}{3}$ wird $\dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{3}{2}$.
4. Multiplizieren und kürzen: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner. Kürze, wo möglich – am besten schon vor dem Ausmultiplizieren über Kreuz.

Auch die Division durch eine natürliche Zahl folgt dieser Regel: $\dfrac{4}{5} : 2 = \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{5}$. Du teilst den Bruch in zwei gleich grosse Hälften.

Kontrolliere dein Ergebnis am Schluss mit einer Plausibilitätsprüfung. Teilst du durch einen Bruch kleiner als 1, muss das Ergebnis grösser sein als der Dividend. Teilst du durch eine Zahl grösser als 1, wird das Ergebnis kleiner. Diese Überlegung entlarvt viele Flüchtigkeitsfehler, bevor du sie abgibst.

Beispiel:

Beispiel 1: Saft abfüllen – Einstieg

Du hast $\dfrac{2}{3}$ Liter Saft. Du möchtest ihn in Gläser zu je $\dfrac{1}{6}$ Liter abfüllen. Wie viele Gläser kannst du füllen?

Gegeben:

• Saftmenge $\dfrac{2}{3}$ Liter (Dividend)
• Glasgrösse $\dfrac{1}{6}$ Liter (Divisor)

Gesucht: Anzahl Gläser, also $\dfrac{2}{3} : \dfrac{1}{6}$

Lösung:

Der Kehrwert von $\dfrac{1}{6}$ ist $\dfrac{6}{1}$. Du ersetzt die Division durch die Multiplikation mit dem Kehrwert:

$$\frac{2}{3} : \frac{1}{6} = \frac{2}{3} \cdot \frac{6}{1} = \frac{2 \cdot 6}{3 \cdot 1} = \frac{12}{3} = 4$$

Antwort: Du kannst 4 Gläser füllen.

Kontrolle: $4 \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$ ✓ Vier Sechstel-Gläser ergeben genau die vorhandene Saftmenge.

Beispiel:

Beispiel 2: Bruch durch Bruch – mit Kürzen

Berechne $\dfrac{3}{4} : \dfrac{5}{8}$ und kürze das Ergebnis vollständig.

Gegeben: Die Brüche $\dfrac{3}{4}$ und $\dfrac{5}{8}$

Gesucht: Der Quotient $\dfrac{3}{4} : \dfrac{5}{8}$

Lösung:

Der Kehrwert von $\dfrac{5}{8}$ ist $\dfrac{8}{5}$:

$$\frac{3}{4} : \frac{5}{8} = \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{5}$$

Vor dem Ausmultiplizieren kürzt du über Kreuz: Die 4 im Nenner und die 8 im Zähler haben den gemeinsamen Teiler 4.

$$\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{5} = \frac{3 \cdot 2}{1 \cdot 5} = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}$$

Antwort: Das Ergebnis ist $\dfrac{6}{5}$, als gemischte Zahl $1\dfrac{1}{5}$.

Kontrolle: $\dfrac{6}{5} \cdot \dfrac{5}{8} = \dfrac{30}{40} = \dfrac{3}{4}$ ✓ Quotient mal Divisor ergibt wieder den Dividend.

Die häufigsten Stolpersteine

Beim Dividieren von Brüchen passieren bestimmte Fehler immer wieder. Wenn du sie kennst, vermeidest du sie leichter.

Achtung

Stolperstein 1: Den falschen Bruch umkehren

Viele kehren versehentlich den Dividend statt den Divisor um. Sie rechnen $\dfrac{3}{4} : \dfrac{1}{2}$ als $\dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{1}{2}$ statt korrekt $\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{2}{1}$. Merke dir: Nur der zweite Bruch wird umgedreht, nie der erste. Prüfe mit dem Überschlag: Teilst du durch etwas Kleineres als 1, muss das Ergebnis grösser als der Dividend sein.

Achtung

Stolperstein 2: Den Kehrwert-Schritt vergessen

Wer einfach $\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{4}{5} = \dfrac{8}{15}$ rechnet, obwohl $\dfrac{2}{3} : \dfrac{4}{5}$ gefragt ist, überspringt den entscheidenden Schritt. Korrekt ist $\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{5}{4} = \dfrac{10}{12} = \dfrac{5}{6}$. Schreibe immer alle Schritte auf: Division notieren, Kehrwert bilden, Divisionszeichen durch Malzeichen ersetzen.

Achtung

Stolperstein 3: Gemischte Zahlen nicht umwandeln

Bei $1\dfrac{1}{2} : \dfrac{2}{3}$ rechnen manche nur mit $\dfrac{1}{2}$ weiter und ignorieren die ganze Zahl. Wandle gemischte Zahlen immer zuerst in unechte Brüche um: $1\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}$, dann $\dfrac{3}{2} : \dfrac{2}{3} = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{9}{4} = 2\dfrac{1}{4}$.

Achtung

Stolperstein 4: Falsch oder zu früh kürzen

Kürzen über Kreuz ist erst erlaubt, nachdem du den Kehrwert gebildet und die Division in eine Multiplikation verwandelt hast. Bei $\dfrac{6}{8} : \dfrac{3}{4}$ bildest du zuerst $\dfrac{6}{8} \cdot \dfrac{4}{3}$ und kürzt dann: 6 mit 3, 8 mit 4 – Ergebnis 1. In der Division selbst darfst du nicht über Kreuz kürzen.

Beispiel:

Beispiel 3: Land aufteilen – Division durch eine natürliche Zahl

Ein Bauer teilt $3\dfrac{3}{4}$ Hektar Land gerecht unter seinen drei Kindern auf. Wie viel Hektar erhält jedes Kind?

Gegeben:

• Gesamtfläche $3\dfrac{3}{4}$ Hektar
• Anzahl Kinder: 3

Gesucht: Fläche pro Kind, also $3\dfrac{3}{4} : 3$

Lösung:

Zuerst wandelst du die gemischte Zahl in einen unechten Bruch um:

$$3\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{15}{4}$$

Die natürliche Zahl 3 schreibst du als $\dfrac{3}{1}$. Ihr Kehrwert ist $\dfrac{1}{3}$:

$$\frac{15}{4} : 3 = \frac{15}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{15 \cdot 1}{4 \cdot 3} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}$$

Antwort: Jedes Kind erhält $1\dfrac{1}{4}$ Hektar Land.

Kontrolle: $3 \cdot \dfrac{5}{4} = \dfrac{15}{4} = 3\dfrac{3}{4}$ ✓ Die drei Teilflächen ergeben zusammen die Gesamtfläche.

Beispiel:

Beispiel 4: Kuchen fürs Schulfest – Transfer aus dem Alltag

Lena backt Kuchen für ein Schulfest. Ein Rezept füllt $\dfrac{2}{3}$ eines Backblechs. Sie hat Teig für insgesamt $4\dfrac{1}{2}$ Backbleche. Wie oft kann sie das Rezept backen?

Gegeben:

• Teigmenge: $4\dfrac{1}{2}$ Backbleche
• Bedarf pro Rezept: $\dfrac{2}{3}$ Backblech

Gesucht: Anzahl Rezepte, also $4\dfrac{1}{2} : \dfrac{2}{3}$

Lösung:

Du wandelst die gemischte Zahl um: $4\dfrac{1}{2} = \dfrac{9}{2}$. Der Kehrwert von $\dfrac{2}{3}$ ist $\dfrac{3}{2}$:

$$\frac{9}{2} : \frac{2}{3} = \frac{9}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9 \cdot 3}{2 \cdot 2} = \frac{27}{4} = 6\frac{3}{4}$$

Antwort: Lena kann 6 vollständige Kuchen backen. Für einen siebten reicht der Teig nicht mehr ganz – es bleibt Teig für $\dfrac{3}{4}$ eines Kuchens übrig.

Kontrolle: Als Dezimalzahl ist $\dfrac{27}{4} = 6{,}75$. Probe: $6{,}75 \cdot \dfrac{2}{3} = 4{,}5 = 4\dfrac{1}{2}$ ✓

Vertiefung

Warum funktioniert der Kehrwert-Trick eigentlich? Zwei Überlegungen zeigen es.

Erste Überlegung: Division ist die Umkehrung der Multiplikation. Die Frage $\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \, ?$ bedeutet: „Mit welcher Zahl muss ich $\dfrac{c}{d}$ multiplizieren, um $\dfrac{a}{b}$ zu erhalten?” Setzt du $\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c}$ ein, geht die Probe auf: Beim Multiplizieren mit $\dfrac{c}{d}$ kürzen sich $\dfrac{d}{c}$ und $\dfrac{c}{d}$ zu 1, und es bleibt genau $\dfrac{a}{b}$ übrig.

Zweite Überlegung: Den Divisor zu 1 machen. Eine Division ändert ihren Wert nicht, wenn du Dividend und Divisor mit derselben Zahl multiplizierst – wie beim Erweitern eines Bruchs. Multipliziere beide mit dem Kehrwert des Divisors:

$$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \left(\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}\right) : \left(\frac{c}{d} \cdot \frac{d}{c}\right) = \left(\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}\right) : 1 = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$$

Der Divisor wird zu 1, und durch 1 zu teilen ändert nichts. Übrig bleibt die Multiplikation mit dem Kehrwert.

Mit diesem Wissen verstehst du auch Doppelbrüche – Brüche, in deren Zähler oder Nenner selbst ein Bruch steht:

Definition

Ein Doppelbruch ist nur eine andere Schreibweise für eine Division: Der Hauptbruchstrich bedeutet „geteilt durch”.

$$\dfrac{\;\frac{a}{b}\;}{\;\frac{c}{d}\;} = \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$$

Du löst einen Doppelbruch auf, indem du den Zählerbruch mit dem Kehrwert des Nennerbruchs multiplizierst.

Beispiel:

Beispiel 5: Doppelbruch auflösen

Vereinfache den Doppelbruch $\dfrac{\;\frac{3}{4}\;}{\;\frac{2}{5}\;}$.

Gegeben: Ein Doppelbruch mit Zählerbruch $\dfrac{3}{4}$ und Nennerbruch $\dfrac{2}{5}$

Gesucht: Der Wert des Doppelbruchs als einfacher Bruch

Lösung:

Der Hauptbruchstrich bedeutet „geteilt durch”. Du schreibst den Doppelbruch als Division und wendest die Kehrwert-Regel an:

$$\dfrac{\;\frac{3}{4}\;}{\;\frac{2}{5}\;} = \frac{3}{4} : \frac{2}{5} = \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{2} = \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 2} = \frac{15}{8} = 1\frac{7}{8}$$

Antwort: Der Doppelbruch hat den Wert $\dfrac{15}{8}$, als gemischte Zahl $1\dfrac{7}{8}$.

Kontrolle: $\dfrac{15}{8} \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{30}{40} = \dfrac{3}{4}$ ✓ Quotient mal Nennerbruch ergibt den Zählerbruch.

Übungen

Die folgenden Aufgaben sind nach Schwierigkeit geordnet. Kürze alle Ergebnisse vollständig. Die Lösungen mit ausführlichen Rechenwegen findest du am Ende des Artikels.

Aufgabe 1: Berechne $\dfrac{1}{2} : \dfrac{1}{8}$.

Aufgabe 2: Berechne $\dfrac{3}{5} : \dfrac{1}{5}$.

Aufgabe 3: Berechne $\dfrac{4}{7} : \dfrac{2}{3}$.

Aufgabe 4: Berechne $\dfrac{5}{6} : \dfrac{3}{4}$ und wandle das Ergebnis in eine gemischte Zahl um.

Aufgabe 5: Berechne $\dfrac{4}{5} : 2$.

Aufgabe 6: Berechne $2\dfrac{1}{3} : \dfrac{2}{5}$.

Aufgabe 7: Ein Rezept benötigt $\dfrac{3}{4}$ Liter Milch. Du hast $4\dfrac{1}{2}$ Liter Milch. Wie viele Portionen kannst du nach diesem Rezept zubereiten?

Aufgabe 8: Berechne $3\dfrac{2}{5} : 1\dfrac{7}{10}$.

Aufgabe 9: Vereinfache den Doppelbruch $\dfrac{\;\frac{5}{6}\;}{\;\frac{10}{9}\;}$.

Aufgabe 10: Berechne $\dfrac{8}{9} : \dfrac{4}{15} : \dfrac{2}{5}$. (Tipp: Rechne von links nach rechts.)

Das Wichtigste in Kürze

• Kehrwert-Regel: Du dividierst durch einen Bruch, indem du mit seinem Kehrwert multiplizierst: $\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c}$.
• Kehrwert bilden: Zähler und Nenner vertauschen. Nur der Divisor wird umgedreht, nie der Dividend.
• Ganze und gemischte Zahlen zuerst als Brüche schreiben: $3 = \dfrac{3}{1}$, $2\dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2}$.
• Kürzen über Kreuz ist erlaubt, sobald die Division in eine Multiplikation verwandelt ist – das spart Rechenarbeit.
• Plausibilität prüfen: Division durch einen Bruch kleiner als 1 macht das Ergebnis grösser als den Dividend.
• Doppelbrüche sind Divisionen in anderer Schreibweise: Zählerbruch mal Kehrwert des Nennerbruchs.
• Ergebnis immer vollständig kürzen und bei Bedarf als gemischte Zahl angeben.

Dein Wissen im Test

❓ Frage:

Berechne im Kopf: $1 : \dfrac{1}{5}$.

Lösung anzeigen

Antwort: 5. Rechenweg: $\dfrac{1}{1} : \dfrac{1}{5} = \dfrac{1}{1} \cdot \dfrac{5}{1} = 5$. Ein Fünftel passt fünfmal in ein Ganzes. Allgemein gilt: $a : \dfrac{1}{n} = a \cdot n$.

❓ Frage:

Was ist der Kehrwert von $\dfrac{7}{3}$? Und was ergibt ein Bruch multipliziert mit seinem Kehrwert?

Lösung anzeigen

Antwort: Der Kehrwert von $\dfrac{7}{3}$ ist $\dfrac{3}{7}$ – du vertauschst Zähler und Nenner. Ein Bruch mal sein Kehrwert ergibt immer 1: $\dfrac{7}{3} \cdot \dfrac{3}{7} = \dfrac{21}{21} = 1$. Genau diese Eigenschaft macht die Kehrwert-Regel möglich.

❓ Frage:

Berechne $\dfrac{2}{3} : \dfrac{4}{5}$ und kürze das Ergebnis vollständig.

Lösung anzeigen

Antwort: $\dfrac{5}{6}$. Rechenweg: Der Kehrwert von $\dfrac{4}{5}$ ist $\dfrac{5}{4}$: $\dfrac{2}{3} : \dfrac{4}{5} = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{5}{4} = \dfrac{10}{12} = \dfrac{5}{6}$. Vergiss das Kürzen am Schluss nicht: $\dfrac{10}{12}$ ist noch nicht die Endform.

❓ Frage:

Warum wird bei der Bruchdivision nur der Divisor umgekehrt und nicht der Dividend?

Lösung anzeigen

Der Dividend ist die Ausgangsmenge, die aufgeteilt wird – sie darf sich nicht verändern. Die Kehrwert-Regel entsteht, indem man Dividend und Divisor mit dem Kehrwert des Divisors multipliziert. Der Divisor wird dabei zu 1, und durch 1 zu teilen ändert nichts. Übrig bleibt: Dividend mal Kehrwert des Divisors. Würdest du stattdessen den Dividend umkehren, würdest du eine völlig andere Aufgabe lösen und ein falsches Ergebnis erhalten.

❓ Frage:

Ein Schüler behauptet: „Division macht Zahlen immer kleiner.” Stimmt das? Begründe mit einem Beispiel.

Lösung anzeigen

Nein. Teilst du durch einen Bruch kleiner als 1, wird das Ergebnis grösser als der Dividend. Beispiel: $\dfrac{1}{2} : \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{1} = 2$. Als Dezimalzahlen: $0{,}5 : 0{,}25 = 2$. Ein Viertel passt zweimal in ein Halbes – das Ergebnis 2 ist grösser als $\dfrac{1}{2}$. Die Behauptung stimmt nur beim Teilen durch Zahlen grösser als 1.

Ausblick

Mit der Kehrwert-Regel beherrschst du nun alle vier Grundoperationen mit Brüchen. Der nächste Schritt führt dich zu den Dezimalzahlen: Jeder Bruch lässt sich als Dezimalzahl schreiben, denn der Bruchstrich ist selbst eine Division. Aus $\dfrac{1}{4}$ wird $1 : 4 = 0{,}25$.

Preise, Messwerte und später die Prozentrechnung bauen auf Dezimalzahlen auf. Die Techniken, die du bei den Brüchen gelernt hast, übertragen sich direkt. Brüche und Dezimalzahlen sind zwei Schreibweisen für dieselben Zahlen – bald wechselst du mühelos zwischen beiden Darstellungen.

Lösungen

Lösung 1: Der Kehrwert von $\dfrac{1}{8}$ ist $\dfrac{8}{1}$. Du ersetzt die Division durch die Multiplikation mit dem Kehrwert:

$$\frac{1}{2} : \frac{1}{8} = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{1} = \frac{8}{2} = 4$$

Ein Achtel passt viermal in ein Halbes.

Lösung 2: Der Kehrwert von $\dfrac{1}{5}$ ist $\dfrac{5}{1}$:

$$\frac{3}{5} : \frac{1}{5} = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{1} = \frac{15}{5} = 3$$

Das passt zur Anschauung: Ein Fünftel passt dreimal in drei Fünftel.

Lösung 3: Der Kehrwert von $\dfrac{2}{3}$ ist $\dfrac{3}{2}$. Beim Multiplizieren kürzt du die 4 mit der 2:

$$\frac{4}{7} : \frac{2}{3} = \frac{4}{7} \cdot \frac{3}{2} = \frac{2 \cdot 3}{7 \cdot 1} = \frac{6}{7}$$

Lösung 4: Der Kehrwert von $\dfrac{3}{4}$ ist $\dfrac{4}{3}$. Du kürzt die 6 mit der 4 (gemeinsamer Teiler 2):

$$\frac{5}{6} : \frac{3}{4} = \frac{5}{6} \cdot \frac{4}{3} = \frac{5 \cdot 2}{3 \cdot 3} = \frac{10}{9} = 1\frac{1}{9}$$

Das Ergebnis ist $\dfrac{10}{9}$, als gemischte Zahl $1\dfrac{1}{9}$.

Lösung 5: Die natürliche Zahl 2 schreibst du als $\dfrac{2}{1}$. Ihr Kehrwert ist $\dfrac{1}{2}$:

$$\frac{4}{5} : 2 = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$$

Die Hälfte von vier Fünfteln sind zwei Fünftel.

Lösung 6: Zuerst wandelst du die gemischte Zahl um: $2\dfrac{1}{3} = \dfrac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \dfrac{7}{3}$. Der Kehrwert von $\dfrac{2}{5}$ ist $\dfrac{5}{2}$:

$$\frac{7}{3} : \frac{2}{5} = \frac{7}{3} \cdot \frac{5}{2} = \frac{35}{6} = 5\frac{5}{6}$$

Das Ergebnis ist $\dfrac{35}{6}$, als gemischte Zahl $5\dfrac{5}{6}$.

Lösung 7: Du rechnest $4\dfrac{1}{2} : \dfrac{3}{4}$. Umwandeln: $4\dfrac{1}{2} = \dfrac{9}{2}$. Der Kehrwert von $\dfrac{3}{4}$ ist $\dfrac{4}{3}$. Du kürzt die 9 mit der 3 und die 4 mit der 2:

$$\frac{9}{2} : \frac{3}{4} = \frac{9}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{3 \cdot 2}{1 \cdot 1} = 6$$

Du kannst genau 6 Portionen zubereiten.

Kontrolle: $6 \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{18}{4} = 4\dfrac{1}{2}$ ✓

Lösung 8: Beide gemischte Zahlen wandelst du in unechte Brüche um:

$$3\frac{2}{5} = \frac{17}{5} \qquad \text{und} \qquad 1\frac{7}{10} = \frac{17}{10}$$

Der Kehrwert von $\dfrac{17}{10}$ ist $\dfrac{10}{17}$. Die 17 kürzt sich mit der 17, die 10 mit der 5:

$$\frac{17}{5} : \frac{17}{10} = \frac{17}{5} \cdot \frac{10}{17} = \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 1} = 2$$

Lösung 9: Der Hauptbruchstrich bedeutet „geteilt durch”. Du schreibst den Doppelbruch als Division. Der Kehrwert von $\dfrac{10}{9}$ ist $\dfrac{9}{10}$:

$$\dfrac{\;\frac{5}{6}\;}{\;\frac{10}{9}\;} = \frac{5}{6} : \frac{10}{9} = \frac{5}{6} \cdot \frac{9}{10} = \frac{45}{60} = \frac{3}{4}$$

Beim Kürzen teilst du Zähler und Nenner durch 15.

Lösung 10: Du rechnest von links nach rechts. Erster Schritt: Der Kehrwert von $\dfrac{4}{15}$ ist $\dfrac{15}{4}$. Du kürzt die 8 mit der 4 und die 15 mit der 9:

$$\frac{8}{9} : \frac{4}{15} = \frac{8}{9} \cdot \frac{15}{4} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 1} = \frac{10}{3}$$

Zweiter Schritt: Der Kehrwert von $\dfrac{2}{5}$ ist $\dfrac{5}{2}$. Du kürzt die 10 mit der 2:

$$\frac{10}{3} : \frac{2}{5} = \frac{10}{3} \cdot \frac{5}{2} = \frac{5 \cdot 5}{3 \cdot 1} = \frac{25}{3} = 8\frac{1}{3}$$

Das Ergebnis ist $\dfrac{25}{3}$, als gemischte Zahl $8\dfrac{1}{3}$.

Verwandte Themen

• Brüche multiplizieren einfach erklärt – Schritt für Schritt zur Lösung
• Mit gemischten Zahlen rechnen
• Bruchteil einer Menge berechnen

Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport