Zusammengesetzte Funktionen: Verkettung einfach erklärt (Mathe)

Darum geht's

Stell dir vor, du arbeitest in einer Fabrik. Ein Rohstoff durchläuft zwei Maschinen nacheinander. Die erste Maschine formt das Material. Die zweite veredelt das Ergebnis der ersten. Das Endprodukt hängt von beiden Maschinen ab – und von der Reihenfolge.

Genau so funktioniert das Verketten von Funktionen in der Mathematik. Eine Funktion verarbeitet eine Eingabe. Ihr Ergebnis wird sofort zur Eingabe der nächsten Funktion. Dieses Prinzip nennt man Komposition oder Verkettung.

Im Alltag begegnest du diesem Konzept ständig. Du rechnest einen Preis in Euro um und addierst dann die Mehrwertsteuer. Oder du verdoppelst eine Strecke und rechnest sie anschliessend in Kilometer um. Zwei Schritte, die aufeinander aufbauen.

📋Lehrplan 21Zyklus 3 (7.–9. Klasse) · 1Kompetenz

• MA.3.A.3.gFunktionswerte aufgrund von Funktionsgraphen bestimmen; indirekt proportionale Beziehungen berechnen; Prozentangaben als proportionale Zuordnungen verstehen

Quelle: Aargauer Lehrplan Volksschule, Fachbereich Mathematik (August 2022)

Eine kleine Zeitreise

Die Idee, Funktionen miteinander zu verknüpfen, ist keine moderne Erfindung. Sie hat sich über Jahrhunderte langsam entwickelt – und geht Hand in Hand mit der Geschichte der Funktion selbst.

Im 17. Jahrhundert begannen Mathematiker ernsthaft darüber nachzudenken, was eine Funktion überhaupt ist. Gottfried Wilhelm Leibniz prägte um 1673 den Begriff “Funktion” erstmals in einem mathematischen Sinne. Er verstand darunter eine Grösse, die von einer anderen abhing. Wenige Jahrzehnte später arbeitete Johann Bernoulli diesen Begriff weiter aus. Er beschrieb Funktionen als Rechenvorschriften, die einer Variablen einen Wert zuordnen.

Leonhard Euler, der produktivste Mathematiker der Geschichte, brachte dann im 18. Jahrhundert die Notation, die wir heute kennen. Er schrieb $f(x)$ und meinte damit eine Funktion $f$, angewendet auf den Wert $x$. Diese Schreibweise ermöglichte es, Funktionen als eigenständige Objekte zu betrachten – und damit auch, sie zu kombinieren.

Die Idee der Komposition entstand ganz natürlich aus der Praxis. Astronomen berechneten die Position eines Planeten in mehreren Schritten. Physiker beschrieben Bewegungen durch verkettete Abhängigkeiten. Ingenieure entwarfen Getriebe, bei denen jedes Zahnrad die Bewegung des vorherigen transformierte.

Im 19. Jahrhundert formalisierte Augustin-Louis Cauchy den Begriff der Funktion mathematisch präzise. Er legte damit die Grundlage für ein rigoroses Verständnis von Komposition. Das Symbol $\circ$ für die Verkettung setzte sich im Laufe des 20. Jahrhunderts durch.

Heute ist die Komposition von Funktionen ein grundlegendes Konzept in der gesamten Mathematik. In der Informatik entspricht sie dem Verketten von Prozeduren. In der Kryptographie sichert sie Verschlüsselungsalgorithmen. In der Analysis ist sie unverzichtbar für die Kettenregel der Differentialrechnung – ein Thema, das dir in der Oberstufe begegnen wird.

Das Schöne daran: Der Kerngedanke bleibt immer gleich. Nimm das Ergebnis einer Operation. Stecke es in die nächste. Beobachte, was herauskommt.

Die Grundlagen

Bevor du Funktionen verketten kannst, brauchst du ein solides Verständnis der Grundbegriffe. Eine Funktion ordnet jedem Element aus ihrer Definitionsmenge genau einen Wert zu. Diesen Wert nennt man das Bild oder den Funktionswert.

Bei der Verkettung nutzt du dieses Bild weiter. Du schickst es als Eingabe in eine zweite Funktion. Das Ergebnis der zweiten Funktion ist dann der Wert der Gesamtkomposition.

Definition

Seien $f$ und $g$ zwei Funktionen. Die Komposition oder Verkettung von $f$ und $g$ ist die Funktion $f \circ g$, definiert durch:

$(f \circ g)(x) = f(g(x))$

Dabei wird zuerst $g(x)$ berechnet. Das Ergebnis wird anschliessend in $f$ eingesetzt.

Man liest $f \circ g$ als “f nach g” oder “f von g”. Das Symbol $\circ$ heisst Kompositionszeichen.

Der Definitionsbereich von $f \circ g$ besteht aus allen $x$ im Definitionsbereich von $g$, für die $g(x)$ im Definitionsbereich von $f$ liegt.

Die Schreibweise $f \circ g$ kann anfangs verwirren. Das $f$ steht links, wird aber zuletzt angewendet. Das $g$ steht rechts, wird aber zuerst ausgeführt. Dieses Prinzip entspricht der normalen Leserichtung von innen nach aussen: Bei $f(g(x))$ liest du zuerst $g(x)$, dann $f(\ldots)$.

Denke an das Fabrik-Bild. Die rechte Maschine ($g$) bearbeitet das Rohmaterial zuerst. Ihr Output fliesst in die linke Maschine ($f$). Der Begriff “nach” in “f nach g” beschreibt die zeitliche Abfolge aus Sicht des Materials: es durchläuft zuerst $g$, dann $f$.

Die Kernmethode

Das Berechnen einer zusammengesetzten Funktion folgt einem klaren Schema. Halte dich an diese Schritte – dann machst du keine Fehler.

Definition

So berechnest du $(f \circ g)(x)$:

Schritt 1: Identifiziere die innere Funktion $g$ und die äussere Funktion $f$.

Schritt 2: Berechne zunächst $g(x)$ vollständig.

Schritt 3: Setze das gesamte Ergebnis $g(x)$ überall dort in $f$ ein, wo $x$ steht.

Schritt 4: Vereinfache den entstandenen Ausdruck.

Wichtig bei algebraischen Ausdrücken: Setze $g(x)$ immer in Klammern, wenn du es in $f$ einsetzt. Vergisst du die Klammern, entstehen Vorzeichenfehler.

Beim Einsetzen eines Zahlenwertes rechnest du Schritt für Schritt. Du berechnest erst $g(x)$, dann $f$ von diesem Ergebnis. Beim Bestimmen eines Funktionsterms ersetzt du in $f(x)$ jedes $x$ durch den vollständigen Ausdruck für $g(x)$.

Die Klammern sind dabei entscheidend. Wenn $g(x) = x + 1$ und $f(x) = x^2$, dann gilt:

$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = (x + 1)^2$

Ohne Klammern würdest du fälschlicherweise $x + 1^2 = x + 1$ schreiben – ein klassischer Fehler.

Beispiel:

Beispiel 1: Verkettung mit einem Zahlenwert

Gegeben sind $f(x) = 2x + 3$ und $g(x) = x - 1$.

Berechne $(f \circ g)(4)$.

Lösung:

Schritt 1: Die innere Funktion ist $g$, die äussere ist $f$.

Schritt 2: Berechne $g(4)$.

$g(4) = 4 - 1 = 3$

Schritt 3: Setze das Ergebnis in $f$ ein.

$f(g(4)) = f(3) = 2 \cdot 3 + 3 = 6 + 3 = 9$

Ergebnis: $(f \circ g)(4) = 9$

Zur Kontrolle: Berechne auch $(g \circ f)(4)$.

$f(4) = 2 \cdot 4 + 3 = 11$, dann $g(11) = 11 - 1 = 10$.

$(g \circ f)(4) = 10 \neq 9$. Die Reihenfolge macht also einen Unterschied.

Beispiel:

Beispiel 2: Funktionsterm einer Komposition

Gegeben sind $f(x) = x^2$ und $g(x) = 3x - 2$.

Bestimme den Funktionsterm von $(f \circ g)(x)$.

Lösung:

Schritt 1: Bei $f \circ g$ ist $g$ die innere Funktion.

Schritt 2: In $f(x) = x^2$ ersetzt du jedes $x$ durch $g(x) = 3x - 2$.

$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(3x - 2) = (3x - 2)^2$

Schritt 3: Ausmultiplizieren mit der binomischen Formel $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(3x - 2)^2 = 9x^2 - 12x + 4$

Ergebnis: $(f \circ g)(x) = 9x^2 - 12x + 4$

Probe für $x = 1$:

• Direkt: $g(1) = 3 \cdot 1 - 2 = 1$, dann $f(1) = 1^2 = 1$
• Mit Formel: $9 \cdot 1 - 12 \cdot 1 + 4 = 1$ ✓

Die häufigsten Stolpersteine

Beim Arbeiten mit zusammengesetzten Funktionen schleichen sich immer wieder dieselben Fehler ein. Hier sind die vier häufigsten – und wie du sie vermeidest.

Achtung

Die Reihenfolge ist nicht beliebig!

$f \circ g$ und $g \circ f$ sind in der Regel zwei verschiedene Funktionen. Die Verkettung ist nicht kommutativ.

Beispiel mit $f(x) = x^2$ und $g(x) = x + 1$:

• $(f \circ g)(x) = (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1$
• $(g \circ f)(x) = x^2 + 1$

Diese Terme sind verschieden. Prüfe immer genau, welche Funktion innen und welche aussen steht.

Achtung

Vergiss die Klammern nicht!

Wenn du einen Ausdruck in eine äussere Funktion einsetzt, musst du ihn vollständig einklammern.

Falsch: $f(x) = x^2$, $g(x) = x + 3$: $(f \circ g)(x) = x + 3^2 = x + 9$

Richtig: $(f \circ g)(x) = (x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$

Der Fehler verändert das Ergebnis vollständig. Klammern gehören immer um den eingesetzten Ausdruck.

Achtung

Den Definitionsbereich prüfen!

Bei Funktionen mit Einschränkungen (Wurzeln, Brüche) musst du den Definitionsbereich der Komposition sorgfältig bestimmen.

Es gelten zwei Bedingungen: $x$ muss im Definitionsbereich von $g$ liegen, und $g(x)$ muss im Definitionsbereich von $f$ liegen.

Beispiel: $f(x) = \sqrt{x}$ (Definitionsbereich: $x \geq 0$) und $g(x) = x - 4$.

Für $(f \circ g)(x) = \sqrt{x - 4}$ muss gelten: $x - 4 \geq 0$, also $x \geq 4$.

Achtung

Nicht mit der Multiplikation verwechseln!

Das Kompositionszeichen $\circ$ bedeutet nicht Multiplikation. $(f \circ g)(x) \neq f(x) \cdot g(x)$.

Das Produkt zweier Funktionen schreibt man $(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)$.

Die Komposition $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ ist etwas völlig anderes: die eine Funktion wird in die andere eingesetzt.

Beispiel:

Beispiel 3: Komposition mit Definitionsbereich

Gegeben sind $f(x) = \sqrt{x}$ und $g(x) = x - 3$.

Bestimme den Funktionsterm und den Definitionsbereich von $h = f \circ g$.

Lösung:

Funktionsterm:

$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x - 3) = \sqrt{x - 3}$

Definitionsbereich:

Die Wurzelfunktion $f$ ist nur für nicht-negative Werte definiert. Es muss also gelten:

$g(x) \geq 0$

$x - 3 \geq 0$

$x \geq 3$

Ergebnis: $h(x) = \sqrt{x - 3}$ mit Definitionsbereich $D = [3; +\infty)$

Probe: $h(7) = \sqrt{7 - 3} = \sqrt{4} = 2$. Das Ergebnis ist positiv – der Wert liegt im Definitionsbereich. ✓

Beachte: Bei $x = 2$ wäre $g(2) = -1$. Diesen Wert kann $f$ nicht verarbeiten. Deshalb ist $x = 2$ nicht im Definitionsbereich der Komposition.

Beispiel:

Beispiel 4: Anwendung im Alltag – Rabatte

Ein Online-Shop bietet 20% Rabatt auf alle Artikel. Zusätzlich gibt es einen Gutschein über 10 CHF Abzug.

Die Rabattfunktion ist $r(p) = 0{,}8 \cdot p$. Die Gutscheinfunktion ist $g(p) = p - 10$.

Ein Artikel kostet 80 CHF. Berechne den Endpreis, wenn:

a) Zuerst der Rabatt, dann der Gutschein angewendet wird. b) Zuerst der Gutschein, dann der Rabatt angewendet wird.

Lösung:

a) Erst Rabatt, dann Gutschein: $(g \circ r)(80)$

$r(80) = 0{,}8 \cdot 80 = 64$

$g(64) = 64 - 10 = 54 \text{ CHF}$

b) Erst Gutschein, dann Rabatt: $(r \circ g)(80)$

$g(80) = 80 - 10 = 70$

$r(70) = 0{,}8 \cdot 70 = 56 \text{ CHF}$

Erkenntnis: Die Reihenfolge macht einen Unterschied von 2 CHF. Wenn du zuerst den prozentualen Rabatt anwendest, zahlst du weniger. Das liegt daran, dass der Gutschein danach auf eine kleinere Basis trifft.

Vertiefung

Sobald du die Grundlagen beherrschst, öffnen sich interessante weiterführende Aspekte.

Dreifache Verkettung: Du kannst mehr als zwei Funktionen verketten. Für drei Funktionen $f$, $g$ und $h$ gilt:

$(f \circ g \circ h)(x) = f(g(h(x)))$

Die innerste Funktion $h$ wird zuerst ausgewertet, dann $g$, zuletzt $f$.

Identitätsfunktion: Die Funktion $\text{id}(x) = x$ ist das neutrale Element der Komposition. Es gilt:

$f \circ \text{id} = f \quad \text{und} \quad \text{id} \circ f = f$

Das entspricht dem Faktor 1 bei der Multiplikation.

Definition

Zwei Funktionen $f$ und $f^{-1}$ heissen Umkehrfunktionen voneinander, wenn gilt:

$(f \circ f^{-1})(x) = x \quad \text{und} \quad (f^{-1} \circ f)(x) = x$

Die Komposition einer Funktion mit ihrer Umkehrfunktion ergibt die Identitätsfunktion. Die eine Funktion “macht rückgängig”, was die andere getan hat.

Verbindung zur Kettenregel: In der Analysis (ab Klasse 11) lernst du die Ableitung von Funktionen. Die sogenannte Kettenregel erklärt genau, wie man zusammengesetzte Funktionen ableitet:

$(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

Die Komposition ist also nicht nur ein isoliertes Thema. Sie ist das Fundament für viele fortgeschrittene Konzepte.

Komposition in der Informatik: In der Programmierung entspricht die Verkettung von Funktionen dem Konzept der Funktionskomposition. Viele moderne Programmiersprachen unterstützen dieses Prinzip explizit. Du schreibst eine Funktion, die eine Eingabe verarbeitet, und reicht ihr Ergebnis an die nächste Funktion weiter – exakt wie in der Mathematik.

Beispiel:

Beispiel 5: Dreifache Verkettung

Gegeben sind $f(x) = 2x$, $g(x) = x + 3$ und $h(x) = x^2$.

Berechne $(f \circ g \circ h)(2)$.

Lösung:

Schritt 1: Innerste Funktion zuerst – berechne $h(2)$.

$h(2) = 2^2 = 4$

Schritt 2: Setze das Ergebnis in $g$ ein.

$g(h(2)) = g(4) = 4 + 3 = 7$

Schritt 3: Setze dieses Ergebnis in $f$ ein.

$f(g(h(2))) = f(7) = 2 \cdot 7 = 14$

Ergebnis: $(f \circ g \circ h)(2) = 14$

Als Funktionsterm:

$(f \circ g \circ h)(x) = f(g(h(x))) = f(g(x^2)) = f(x^2 + 3) = 2(x^2 + 3) = 2x^2 + 6$

Probe: $2 \cdot 2^2 + 6 = 8 + 6 = 14$ ✓

Übungen

Löse die folgenden Aufgaben selbstständig. Sie sind nach Schwierigkeit geordnet. Die ausführlichen Lösungen findest du am Ende des Artikels.

Aufgabe 1 (Grundlagen): Gegeben: $f(x) = x + 4$ und $g(x) = 3x$. Berechne $(f \circ g)(2)$.

Aufgabe 2 (Grundlagen): Gegeben: $f(x) = x - 5$ und $g(x) = 2x + 1$. Berechne $(g \circ f)(8)$.

Aufgabe 3 (Funktionsterm): Gegeben: $f(x) = x + 1$ und $g(x) = 4x$. Bestimme den Funktionsterm von $(f \circ g)(x)$.

Aufgabe 4 (Funktionsterm): Gegeben: $f(x) = x^2$ und $g(x) = x + 5$. Bestimme den Funktionsterm von $(f \circ g)(x)$ und vereinfache.

Aufgabe 5 (Reihenfolge): Gegeben: $f(x) = 2x + 1$ und $g(x) = x^2$. Bestimme $(f \circ g)(x)$ und $(g \circ f)(x)$. Sind die Ergebnisse gleich?

Aufgabe 6 (Definitionsbereich): Gegeben: $f(x) = \sqrt{x}$ und $g(x) = x - 5$. Bestimme $(f \circ g)(x)$ und den zugehörigen Definitionsbereich.

Aufgabe 7 (Bruchfunktion): Gegeben: $f(x) = \dfrac{1}{x}$ und $g(x) = x - 2$. Bestimme $(f \circ g)(x)$ und den Definitionsbereich.

Aufgabe 8 (Zerlegung): Die Funktion $h(x) = (2x + 3)^4$ ist eine Komposition $f \circ g$. Gib mögliche Funktionen $f$ und $g$ an.

Aufgabe 9 (Dreifache Verkettung): Gegeben: $f(x) = x - 1$, $g(x) = 3x$ und $h(x) = x^2 + 1$. Berechne $(f \circ g \circ h)(2)$.

Aufgabe 10 (Anwendung): Die Temperatur $T$ (in °C) an einem Berggipfel hängt von der Höhe $h$ (in Metern) ab: $T(h) = 20 - 0{,}006 \cdot h$. Die Höhe eines Bergsteigers hängt von der Zeit $t$ (in Minuten) ab: $h(t) = 100 \cdot t$. Bestimme die zusammengesetzte Funktion $T(h(t))$ und berechne die Temperatur nach 30 Minuten.

Das Wichtigste in Kürze

Zusammengesetzte Funktionen verbinden zwei Schritte zu einem einzigen. Die innere Funktion wird zuerst ausgewertet. Ihr Ergebnis fliesst in die äussere Funktion.

Die Schreibweise $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ liest du von innen nach aussen. Das $g$ rechts wird zuerst ausgeführt, das $f$ links danach.

Die Reihenfolge ist entscheidend. $f \circ g$ und $g \circ f$ liefern meist verschiedene Ergebnisse. Die Verkettung ist nicht kommutativ.

Beim Einsetzen von Termen brauchst du immer Klammern. Ohne Klammern entstehen Fehler.

Der Definitionsbereich ergibt sich aus beiden Funktionen. $x$ muss in $g$ definiert sein, und $g(x)$ muss in $f$ definiert sein.

Quiz

❓ Frage: Gegeben: $f(x) = x + 5$ und $g(x) = 2x$. Berechne $(f \circ g)(3)$.

Lösung anzeigen

Schritt 1: Berechne die innere Funktion $g(3)$. $g(3) = 2 \cdot 3 = 6$ Schritt 2: Setze das Ergebnis in $f$ ein. $f(6) = 6 + 5 = 11$ Lösung: $(f \circ g)(3) = 11$

❓ Frage: Gegeben: $f(x) = x^2$ und $g(x) = x + 1$. Wie lautet der Funktionsterm von $(g \circ f)(x)$?

Lösung anzeigen

Bei $g \circ f$ ist $f$ die innere Funktion. $( g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x^2) = x^2 + 1$ Lösung: $(g \circ f)(x) = x^2 + 1$ Beachte: $(f \circ g)(x) = (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$ – das ist ein anderes Ergebnis!

❓ Frage: Sind $f \circ g$ und $g \circ f$ immer gleich? Begründe deine Antwort.

Lösung anzeigen

Nein, die Verkettung ist im Allgemeinen nicht kommutativ. Gegenbeispiel: $f(x) = x^2$, $g(x) = x + 1$ $(f \circ g)(x) = (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1$ $(g \circ f)(x) = x^2 + 1$ Diese Funktionsterme sind verschieden. Nur in Sonderfällen (z.B. $f$ und $g$ sind Umkehrfunktionen voneinander) gilt $f \circ g = g \circ f$.

❓ Frage: Gegeben: $f(x) = \sqrt{x}$ und $g(x) = x - 9$. Was ist der Definitionsbereich von $(f \circ g)(x)$?

Lösung anzeigen

Der Funktionsterm der Komposition ist: $(f \circ g)(x) = \sqrt{x - 9}$ Die Wurzel ist nur für nicht-negative Werte definiert. Es muss gelten: $x - 9 \geq 0 \implies x \geq 9$ Lösung: Definitionsbereich $D = [9; +\infty)$

❓ Frage: Die Funktion $h(x) = (5x - 2)^3$ soll als $f \circ g$ geschrieben werden. Welche Funktionen $f$ und $g$ sind möglich?

Lösung anzeigen

Du suchst eine “innere” und eine “äussere” Funktion, deren Komposition $h$ ergibt. Die natürliche Zerlegung ist:

• Innere Funktion: $g(x) = 5x - 2$
• Äussere Funktion: $f(x) = x^3$ Probe: $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(5x - 2) = (5x - 2)^3$ ✓ Lösung: $g(x) = 5x - 2$ und $f(x) = x^3$

Ausblick

Du hast jetzt das Fundament der Funktionskomposition aufgebaut. Dieses Wissen trägt dich weit.

In Klasse 11 begegnest du der Kettenregel. Sie beschreibt, wie man zusammengesetzte Funktionen ableitet – und ohne das Konzept der Komposition wäre sie unverständlich. Auch Umkehrfunktionen und Transformationen von Graphen bauen direkt auf der Verkettung auf.

In der Informatik findest du das gleiche Prinzip überall: in Pipelines, Filterketten und funktionaler Programmierung. Wer Verkettung versteht, denkt bereits wie ein Programmierer.

Übe weiter mit verschiedenen Funktionstypen. Der Übergang vom Einsetzen von Zahlen zum Einsetzen von Termen ist der wichtigste Schritt.

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 1:

Innere Funktion: $g$, äussere Funktion: $f$.

$g(2) = 3 \cdot 2 = 6$

$f(g(2)) = f(6) = 6 + 4 = 10$

Ergebnis: $(f \circ g)(2) = 10$

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Lösung zu Aufgabe 2:

Bei $g \circ f$ ist $f$ die innere Funktion.

$f(8) = 8 - 5 = 3$

$g(f(8)) = g(3) = 2 \cdot 3 + 1 = 7$

Ergebnis: $(g \circ f)(8) = 7$

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Lösung zu Aufgabe 3:

Bei $f \circ g$ ersetzt du in $f(x) = x + 1$ das $x$ durch $g(x) = 4x$.

$(f \circ g)(x) = f(4x) = 4x + 1$

Ergebnis: $(f \circ g)(x) = 4x + 1$

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Lösung zu Aufgabe 4:

Bei $f \circ g$ ersetzt du in $f(x) = x^2$ das $x$ durch $g(x) = x + 5$. Klammern nicht vergessen!

$(f \circ g)(x) = f(x + 5) = (x + 5)^2$

Ausmultiplizieren: $(x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25$

Ergebnis: $(f \circ g)(x) = x^2 + 10x + 25$

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Lösung zu Aufgabe 5:

Für $f \circ g$ mit $f(x) = 2x + 1$ und $g(x) = x^2$:

$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2) = 2x^2 + 1$

Für $g \circ f$:

$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1$

Vergleich: $2x^2 + 1 \neq 4x^2 + 4x + 1$. Die Ergebnisse sind verschieden. Die Reihenfolge der Verkettung ist entscheidend.

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Lösung zu Aufgabe 6:

Funktionsterm:

$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x - 5) = \sqrt{x - 5}$

Definitionsbereich:

Die Wurzel erfordert einen nicht-negativen Wert unter dem Wurzelzeichen.

$x - 5 \geq 0 \implies x \geq 5$

Ergebnis: $(f \circ g)(x) = \sqrt{x - 5}$, Definitionsbereich $D = [5; +\infty)$

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Lösung zu Aufgabe 7:

Funktionsterm:

$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x - 2) = \dfrac{1}{x - 2}$

Definitionsbereich:

Die Bruchfunktion ist undefiniert, wenn der Nenner null ist.

$x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$

Ergebnis: $(f \circ g)(x) = \dfrac{1}{x - 2}$, Definitionsbereich $D = \mathbb{R} \setminus \{2\}$

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Lösung zu Aufgabe 8:

Die Funktion $h(x) = (2x + 3)^4$ ist eine potenzierte innere Funktion.

Die natürlichste Zerlegung:

• Innere Funktion: $g(x) = 2x + 3$
• Äussere Funktion: $f(x) = x^4$

Probe: $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(2x + 3) = (2x + 3)^4 = h(x)$ ✓

Andere Zerlegungen sind möglich, aber weniger natürlich.

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Lösung zu Aufgabe 9:

Dreifache Verkettung: zuerst $h$, dann $g$, zuletzt $f$.

$h(2) = 2^2 + 1 = 5$

$g(h(2)) = g(5) = 3 \cdot 5 = 15$

$f(g(h(2))) = f(15) = 15 - 1 = 14$

Ergebnis: $(f \circ g \circ h)(2) = 14$

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Lösung zu Aufgabe 10:

Zusammengesetzte Funktion:

Ersetze in $T(h) = 20 - 0{,}006 \cdot h$ das $h$ durch $h(t) = 100 \cdot t$.

$T(h(t)) = 20 - 0{,}006 \cdot 100 \cdot t = 20 - 0{,}6 \cdot t$

Temperatur nach 30 Minuten:

$T(h(30)) = 20 - 0{,}6 \cdot 30 = 20 - 18 = 2 \text{ °C}$

Ergebnis: Der Funktionsterm ist $T(t) = 20 - 0{,}6 \cdot t$. Nach 30 Minuten beträgt die Temperatur am Gipfel 2 °C.

Verwandte Themen

• Umkehrfunktionen
• Parallele und senkrechte Geraden
• Spezialfälle linearer Funktionen

Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport