Ziehen mit einem Griff einfach erklärt: So meisterst du die Kombinatorik

Weiterführend:

• Zur Kapitelübersicht „Kombinatorik”
• Grundlagen: So bestimmst du Anzahlen systematisch
• Zum Vergleich: Ziehen mit und ohne Zurücklegen

Darum geht's

Stell dir vor, du greifst in eine Schüssel mit bunten Gummibärchen. Mit einem einzigen Griff holst du drei Stück heraus. In deiner Hand: rot, gelb, grün. Dein Freund macht dasselbe und erwischt ebenfalls rot, gelb, grün. Habt ihr beide „das Gleiche” gezogen? Klar! Denn bei einem Griff zählt nur, welche Farben in deiner Hand liegen – nicht, in welcher Reihenfolge du sie gegriffen hast. Genau dieses Prinzip steckt hinter dem „Ziehen mit einem Griff” in der Kombinatorik. In diesem Artikel lernst du, wie du Auswahlen zählst, bei denen die Reihenfolge keine Rolle spielt und kein Objekt doppelt vorkommt.

📋Lehrplan 21Zyklus 3 (7.–9. Klasse) · 4Kompetenzen

• MA.3.B.2.eGrundanspruchHäufigkeiten experimentell bestimmen und Vermutungen zu Wahrscheinlichkeiten formulieren; unbekannte Fragestellungen zu Kombinatorik/Wahrscheinlichkeit bearbeiten
• MA.3.A.1.nBegriffe exponentielles Wachstum, Fakultät
• MA.3.B.2.fWahrscheinlichkeiten und statistische Angaben überprüfen und begründen
• MA.3.B.2.gKombinatorische Probleme vergleichen, Analogien erkennen und erfinden

Quelle: Aargauer Lehrplan Volksschule, Fachbereich Mathematik (August 2022)

Eine kleine Zeitreise

Die Frage „Auf wie viele Arten kann ich aus vielen Dingen einige wenige auswählen?” beschäftigt Menschen schon seit Jahrhunderten. Bereits im alten Indien untersuchte der Gelehrte Pingala um 200 v. Chr. Kombinationen von kurzen und langen Silben in der Dichtung. Er entdeckte Zahlenmuster, die heute als Pascalsches Dreieck bekannt sind – lange bevor Pascal geboren wurde.

Im 12. Jahrhundert beschrieb der indische Mathematiker Bhaskara II. die Formel für Kombinationen präzise in seinem Werk Lilavati. Er nutzte sie, um die Anzahl möglicher Varianten in Musik und Architektur zu berechnen. Unabhängig davon entwickelten arabische Gelehrte wie Al-Karaji ähnliche Ideen.

Der französische Mathematiker Blaise Pascal führte im 17. Jahrhundert die heute übliche Schreibweise ein. Gemeinsam mit Pierre de Fermat löste er Probleme rund um Glücksspiele. Dabei entstand ein berühmter Briefwechsel aus dem Jahr 1654. Ein Adliger namens Chevalier de Méré hatte Pascal gefragt, wie man Wetteinsätze fair aufteilt, wenn ein Spiel vorzeitig abgebrochen wird. Aus dieser scheinbar harmlosen Frage wuchs eine ganze mathematische Disziplin.

Zur selben Zeit verfeinerten Jakob Bernoulli und später Leonhard Euler die Theorie. Bernoulli veröffentlichte 1713 sein Buch Ars Conjectandi, in dem er Kombinationen systematisch ordnete. Das Symbol $\binom{n}{k}$ selbst geht übrigens auf den deutschen Mathematiker Andreas von Ettingshausen zurück, der es 1826 einführte.

Heute sind Kombinationen überall. Sie stecken im Lotto, in der Genetik, in der Informatik und sogar im Musikstreaming: Wenn Spotify dir eine Playlist aus 30 Songs zusammenstellt, nutzt es kombinatorische Prinzipien. Die Mathematik hinter deinem Gummibärchen-Griff ist also erstaunlich alt – und zugleich hochaktuell.

Die Grundlagen

Bleiben wir beim Gummibärchen-Beispiel. In der Schüssel liegen 10 verschiedenfarbige Gummibärchen. Du ziehst 3 davon mit einem Griff heraus. Die entscheidende Frage lautet: Auf wie viele verschiedene Arten kannst du 3 aus 10 Gummibärchen auswählen?

Zwei Beobachtungen sind zentral:

1. Jedes Gummibärchen ist einzigartig. Du kannst nicht zweimal dasselbe rote Bärchen ziehen.
2. Die Reihenfolge spielt keine Rolle. Rot-gelb-grün ist dasselbe wie grün-rot-gelb.

Diese beiden Eigenschaften definieren das „Ziehen mit einem Griff” mathematisch: Ziehen ohne Zurücklegen, ohne Beachtung der Reihenfolge.

Bevor wir zur Formel kommen, brauchst du einen wichtigen Begriff: die Fakultät. Das Ausrufezeichen hinter einer Zahl bedeutet: Multipliziere alle natürlichen Zahlen von 1 bis zu dieser Zahl. Also ist $5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$ und $3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$.

Definition

Die Fakultät einer natürlichen Zahl $n$ ist das Produkt aller natürlichen Zahlen von 1 bis $n$:

$n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1$

Per Konvention gilt: $0! = 1$. Diese Festlegung sorgt dafür, dass kombinatorische Formeln auch in Randfällen funktionieren.

Fakultäten wachsen extrem schnell. Schon $10! = 3\,628\,800$, und $20!$ hat 19 Stellen. Deshalb ist es beim Rechnen oft klüger, zu kürzen statt auszurechnen. Darauf kommen wir gleich zurück.

Die Kernmethode

Um die Anzahl der Möglichkeiten zu berechnen, brauchst du den Binomialkoeffizienten. Er wird als „n über k” gelesen und so geschrieben:

$\binom{n}{k}$

Dabei bedeuten:

• $n$ = die Gesamtanzahl der Objekte (alle Gummibärchen in der Schüssel)
• $k$ = die Anzahl der Objekte, die du auswählst (wie viele du mit einem Griff herausholst)

So gehst du Schritt für Schritt vor:

1. Identifiziere $n$ und $k$. Bestimme, aus wie vielen Objekten du auswählst und wie viele du ziehst.
2. Wende die Formel an.
3. Kürze zuerst, dann rechne. Das macht die Rechnung handhabbar.
4. Prüfe das Ergebnis auf Plausibilität. Die Zahl muss eine natürliche Zahl sein.

Definition

Beim Ziehen mit einem Griff wählst du $k$ Objekte aus einer Menge von $n$ Objekten aus. Die Reihenfolge spielt keine Rolle, und jedes Objekt kann nur einmal gewählt werden. Die Anzahl der Möglichkeiten berechnet sich mit dem Binomialkoeffizienten:

$\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k! \cdot (n-k)!}$

Man nennt diese Auswahl auch Kombination ohne Wiederholung. Es muss stets $k \leq n$ gelten.

Warum funktioniert diese Formel? Stell dir vor, du ziehst die 3 Gummibärchen nacheinander und achtest dabei auf die Reihenfolge. Dann gibt es $10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$ Möglichkeiten. Da dir die Reihenfolge aber egal ist, hast du jede Auswahl mehrfach gezählt. Wie oft? Genau $3! = 6$ Mal, denn 3 Objekte lassen sich auf 6 Arten anordnen. Deshalb teilst du durch $3!$:

$\dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3!} = \dfrac{720}{6} = 120$

Genau das leistet der Binomialkoeffizient.

Beispiel:

Beispiel 1: Bücher für die Ferien

In deinem Regal stehen 8 ungelesene Romane. Du willst 3 davon in den Urlaub mitnehmen. Wie viele verschiedene Dreier-Sets gibt es?

Lösung:

Die Reihenfolge beim Einpacken spielt keine Rolle. Jedes Buch wählst du nur einmal. Also: Kombination ohne Wiederholung mit $n = 8$ und $k = 3$.

$\binom{8}{3} = \dfrac{8!}{3! \cdot 5!} = \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1}$

Zähler: $8 \cdot 7 \cdot 6 = 336$. Nenner: $3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$.

$\binom{8}{3} = \dfrac{336}{6} = 56$

Du hast 56 verschiedene Möglichkeiten, drei Bücher einzupacken. Das sind genug Optionen für eine spontane Entscheidung am Reisetag.

Beispiel:

Beispiel 2: Lottozahlen

Beim Schweizer Zahlenlotto werden 6 Zahlen aus 42 gezogen. Die Reihenfolge spielt keine Rolle. Wie viele verschiedene Tippreihen gibt es?

Lösung:

Wir haben $n = 42$ (alle Zahlen) und $k = 6$ (gezogene Zahlen).

$\binom{42}{6} = \dfrac{42!}{6! \cdot 36!}$

Kürze geschickt, indem du $42!$ nur bis $37$ ausschreibst:

$\binom{42}{6} = \dfrac{42 \cdot 41 \cdot 40 \cdot 39 \cdot 38 \cdot 37}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Zähler: $42 \cdot 41 \cdot 40 \cdot 39 \cdot 38 \cdot 37 = 3\,776\,965\,920$. Nenner: $6! = 720$.

$\binom{42}{6} = \dfrac{3\,776\,965\,920}{720} = 5\,245\,786$

Es gibt 5’245’786 verschiedene Tippreihen. Kein Wunder, dass ein Sechser so unwahrscheinlich ist. Deine Chance auf einen Jackpot liegt bei etwa $1$ zu $5{,}2$ Millionen.

Die häufigsten Stolpersteine

Beim Rechnen mit Binomialkoeffizienten passieren immer wieder die gleichen Fehler. Wenn du sie kennst, kannst du sie vermeiden.

Achtung

Stolperstein 1: Kombination mit Variation verwechselt. Kombinationen zählen Auswahlen ohne Reihenfolge. Variationen zählen geordnete Anordnungen. Frag dich stets: „Ändert sich die Situation, wenn ich die Reihenfolge ändere?” Beim Lottotipp nicht → Kombination. Beim Podest für Gold, Silber, Bronze schon → Variation.

Achtung

Stolperstein 2: $n$ und $k$ vertauscht. $n$ ist stets die grössere Zahl, also die Gesamtmenge. $k$ ist die Auswahl. Es muss $k \leq n$ gelten. Prüfe im Kopf: „Wähle ich $k$ aus $n$ oder umgekehrt?” Bei „3 aus 10” gilt $n = 10$, $k = 3$.

Achtung

Stolperstein 3: Fakultäten ohne Kürzen ausrechnen. $42!$ ist eine Zahl mit 51 Stellen – Taschenrechner geben oft einen Fehler aus. Kürze immer zuerst die Fakultäten gegeneinander, bevor du multiplizierst. Aus $\dfrac{42!}{36!}$ wird $42 \cdot 41 \cdot 40 \cdot 39 \cdot 38 \cdot 37$. Das ist viel handhabbarer.

Achtung

Stolperstein 4: Die Konvention $0! = 1$ vergessen. Viele Schüler denken, $0! = 0$. Das ist falsch. Die Festlegung $0! = 1$ sorgt dafür, dass $\binom{n}{n} = 1$ und $\binom{n}{0} = 1$ gelten – es gibt genau eine Art, alles oder nichts auszuwählen.

Beispiel:

Beispiel 3: Handkarten beim Jassen

Beim Schieber – einem beliebten Schweizer Kartenspiel – erhält jeder Spieler 9 Karten aus einem Stapel von 36. Wie viele verschiedene Startblätter kannst du bekommen?

Lösung:

Die Reihenfolge, in der du deine Karten aufnimmst, ist für das Blatt unerheblich. Also gilt: $n = 36$, $k = 9$.

$\binom{36}{9} = \dfrac{36!}{9! \cdot 27!} = \dfrac{36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29 \cdot 28}{9!}$

Zähler: $36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29 \cdot 28 = 30\,060\,784\,550\,400$. Nenner: $9! = 362\,880$.

$\binom{36}{9} = \dfrac{30\,060\,784\,550\,400}{362\,880} = 82\,851\,720$

Es gibt über 82 Millionen verschiedene Startblätter. Praktisch jedes Spiel ist einzigartig. Kein Wunder, dass Jasser selten dasselbe Blatt zweimal erleben.

Beispiel:

Beispiel 4: Projektteam in der Klasse

In einer Klasse mit 25 Schülerinnen und Schülern soll ein Projektteam aus 4 Personen gebildet werden. Auf wie viele Arten kann dieses Team zusammengestellt werden?

Lösung:

Ein Team aus Anna, Ben, Clara und David ist dasselbe wie eines aus David, Clara, Ben und Anna. Die Reihenfolge zählt nicht. Also: $n = 25$, $k = 4$.

$\binom{25}{4} = \dfrac{25!}{4! \cdot 21!} = \dfrac{25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Zähler: $25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 = 303\,600$. Nenner: $4! = 24$.

$\binom{25}{4} = \dfrac{303\,600}{24} = 12\,650$

Es gibt 12’650 verschiedene Möglichkeiten, das Team zu bilden. Das zeigt: Selbst bei einer normalen Klassengrösse sind die Kombinationsmöglichkeiten riesig.

Vertiefung

Der Binomialkoeffizient hat einige elegante Eigenschaften, die dir das Rechnen erleichtern und tiefere Zusammenhänge sichtbar machen.

Symmetrie: $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$

Wer 3 Gummibärchen aus 10 auswählt, lässt gleichzeitig 7 liegen. Die Anzahl der Möglichkeiten ist in beiden Blickwinkeln identisch. Praktisch: Wenn $k$ sehr gross ist, rechne lieber mit $n - k$. $\binom{50}{47}$ ist mühsam, $\binom{50}{3}$ ist in Sekunden erledigt.

Randfälle: $\binom{n}{0} = 1 \quad \text{und} \quad \binom{n}{n} = 1$

Es gibt genau eine Möglichkeit, nichts auszuwählen, und genau eine, alles auszuwählen.

Pascalsches Dreieck: Jeder Eintrag entsteht als Summe der beiden darüberliegenden Zahlen: $\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}$

Definition

In der Kombinatorik unterscheidet man vier Grundszenarien, je nachdem, ob die Reihenfolge zählt und ob zurückgelegt wird:

Situation	Reihenfolge	Zurücklegen	Formel
Variation mit Wiederholung	wichtig	ja	$n^k$
Variation ohne Wiederholung	wichtig	nein	$\dfrac{n!}{(n-k)!}$
Kombination mit Wiederholung	egal	ja	$\binom{n+k-1}{k}$
Kombination ohne Wiederholung (Ziehen mit einem Griff)	egal	nein	$\binom{n}{k}$

Deine zwei Entscheidungsfragen lauten: Wird zurückgelegt? Zählt die Reihenfolge?

Binomialkoeffizienten tauchen auch ausserhalb der reinen Kombinatorik auf. Der binomische Lehrsatz beschreibt, wie man $(a + b)^n$ ausmultipliziert: Die Koeffizienten sind genau $\binom{n}{k}$. Und in der Wahrscheinlichkeitsrechnung begegnen sie dir bei der Binomialverteilung.

Beispiel:

Beispiel 5: Delegation mit Bedingung

Eine Firma hat 8 Ingenieure und 5 Designer. Für ein Kundentreffen soll eine Delegation aus 2 Ingenieuren und 2 Designern entsendet werden. Wie viele verschiedene Delegationen sind möglich?

Lösung:

Hier kombinierst du zwei unabhängige Auswahlen. Erst wählst du die Ingenieure, dann die Designer. Die Reihenfolge zählt in keiner der beiden Gruppen.

Schritt 1: Ingenieure auswählen. Aus 8 wählst du 2:

$\binom{8}{2} = \dfrac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = \dfrac{56}{2} = 28$

Schritt 2: Designer auswählen. Aus 5 wählst du 2:

$\binom{5}{2} = \dfrac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = \dfrac{20}{2} = 10$

Schritt 3: Multipliziere die Möglichkeiten. Zu jeder Ingenieur-Auswahl passt jede Designer-Auswahl:

$28 \cdot 10 = 280$

Es gibt 280 verschiedene Delegationen. Dieses Vorgehen nennt man Produktregel der Kombinatorik – ein zentrales Werkzeug für zusammengesetzte Aufgaben.

Übungen

Arbeite die folgenden Aufgaben der Reihe nach. Sie steigen in der Schwierigkeit. Rechne zuerst selbst und prüfe erst dann deine Lösung im Abschnitt weiter unten.

Aufgabe 1: Berechne $\binom{7}{2}$.

Aufgabe 2: Berechne $\binom{10}{4}$.

Aufgabe 3: In einer Gelateria gibt es 12 Eissorten. Du bestellst 3 Kugeln, alle verschieden. Wie viele Kombinationen gibt es?

Aufgabe 4: Nutze die Symmetrie: Berechne $\binom{15}{13}$ schnell, indem du $\binom{15}{2}$ verwendest.

Aufgabe 5: In einem Chor sind 20 Personen. Für einen Liederabend werden 5 Solisten gesucht. Wie viele verschiedene Solistengruppen sind möglich?

Aufgabe 6: Ein Pizza-Belag-Set umfasst 9 Zutaten. Du darfst 4 Zutaten auswählen (jede nur einmal). Wie viele Pizzas sind möglich?

Aufgabe 7: Aus 8 Frauen und 7 Männern soll ein Komitee aus 3 Frauen und 2 Männern gebildet werden. Wie viele Komitees gibt es?

Aufgabe 8: Beim Euro Jackpot werden 5 Zahlen aus 50 gezogen. Berechne die Anzahl möglicher Tippreihen (nur der Hauptlottoblock).

Aufgabe 9: Eine Prüfung umfasst 15 Fragen. Du musst genau 10 beantworten. Wie viele Auswahlmöglichkeiten hast du für deine 10 Fragen?

Aufgabe 10: In einer Kartenhand werden 5 Karten aus einem Deck mit 52 Karten gezogen. Wie viele verschiedene Fünfer-Hände gibt es, die genau 2 Asse enthalten?

Das Wichtigste in Kürze

• Beim Ziehen mit einem Griff wählst du $k$ Objekte gleichzeitig aus einer Menge von $n$ Objekten. Die Reihenfolge spielt keine Rolle, jedes Objekt kann nur einmal gewählt werden.
• Die Anzahl der Möglichkeiten berechnest du mit dem Binomialkoeffizienten: $\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k! \cdot (n-k)!}$
• Merke: $n$ ist die Gesamtmenge, $k$ die Auswahl. Es gilt $k \leq n$ und $0! = 1$.
• Nutze die Symmetrie $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$, um Rechnungen mit grossem $k$ zu vereinfachen.
• Bei zusammengesetzten Auswahlen (z. B. Komitee aus mehreren Gruppen) rechnest du die Binomialkoeffizienten einzeln aus und multiplizierst sie.
• Frag dich immer: Zählt die Reihenfolge? Wird zurückgelegt? Die Antworten entscheiden über die richtige Formel.

Dein Wissen im Test

❓ Frage:

In einem Bücherregal stehen 15 verschiedene Romane. Du möchtest 4 davon für die Ferien auswählen. Wie viele Möglichkeiten hast du?

Lösung anzeigen

Kombination ohne Wiederholung mit $n = 15$ und $k = 4$: $\binom{15}{4} = \dfrac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \dfrac{32\,760}{24} = 1\,365$ Du hast 1’365 Möglichkeiten.

❓ Frage:

Warum gilt $\binom{8}{3} = \binom{8}{5}$? Erkläre in eigenen Worten.

Lösung anzeigen

Wenn du aus 8 Objekten 3 auswählst, lässt du automatisch 5 übrig. Jede Auswahl der 3 entspricht eindeutig einer Auswahl der 5 übrigen. Die Anzahl muss also gleich sein. Das ist die Symmetrie-Eigenschaft. Rechnerisch: $\binom{8}{3} = \dfrac{8!}{3! \cdot 5!} = 56$ und $\binom{8}{5} = \dfrac{8!}{5! \cdot 3!} = 56$.

❓ Frage:

Bei einem Wettbewerb sollen aus 20 Teilnehmern die 3 Gewinner für Gold, Silber und Bronze bestimmt werden. Ist dies eine Situation für „Ziehen mit einem Griff”? Begründe deine Antwort.

Lösung anzeigen

Nein. Gold, Silber und Bronze unterscheiden sich – die Reihenfolge spielt eine Rolle. Hier brauchst du eine Variation ohne Wiederholung: $\dfrac{20!}{(20-3)!} = 20 \cdot 19 \cdot 18 = 6\,840$ Es gibt 6’840 verschiedene Podiumsbesetzungen.

❓ Frage:

Eine Jury aus 12 Personen soll einen Vorstand von 3 gleichberechtigten Sprechern wählen. Auf wie viele Arten geht das?

Lösung anzeigen

„Gleichberechtigt” heisst: keine Rangfolge. Also Kombination ohne Wiederholung mit $n = 12$, $k = 3$: $\binom{12}{3} = \dfrac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \dfrac{1\,320}{6} = 220$ Es gibt 220 verschiedene Sprechergruppen.

❓ Frage:

Wie viele verschiedene Auswahlen aus 6 Pralinen aus einer Box mit 18 Pralinen sind möglich, wenn alle Pralinen unterschiedlich sind?

Lösung anzeigen

$n = 18$, $k = 6$: $\binom{18}{6} = \dfrac{18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13}{6!} = \dfrac{13\,366\,080}{720} = 18\,564$ Es gibt 18’564 verschiedene Pralinenauswahlen.

Ausblick

Du beherrschst nun die Kombination ohne Wiederholung – ein Grundpfeiler der Kombinatorik. Als Nächstes lernst du die Kombination mit Wiederholung, bei der dasselbe Objekt mehrfach gewählt werden darf. Typisches Beispiel: Du kaufst am Automaten 5 Getränke und darfst dieselbe Sorte mehrfach wählen.

Danach begegnen dir Binomialkoeffizienten in der Wahrscheinlichkeitsrechnung, besonders bei der Binomialverteilung. Sie beantwortet Fragen wie: „Mit welcher Wahrscheinlichkeit landet eine Münze bei 10 Würfen genau 7-mal auf Kopf?” Die Grundlagen aus diesem Artikel tragen dich auch dort.

Lösungen

Aufgabe 1: $n = 7$, $k = 2$.

$\binom{7}{2} = \dfrac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = \dfrac{42}{2} = 21$

Ergebnis: 21 Möglichkeiten.

Aufgabe 2: $n = 10$, $k = 4$. Wir kürzen direkt:

$\binom{10}{4} = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \dfrac{5\,040}{24} = 210$

Ergebnis: 210 Möglichkeiten.

Aufgabe 3: Eis-Auswahl mit $n = 12$, $k = 3$. Die Reihenfolge der Kugeln in der Waffel ist egal. Jede Sorte nur einmal → Kombination ohne Wiederholung.

$\binom{12}{3} = \dfrac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \dfrac{1\,320}{6} = 220$

Ergebnis: 220 verschiedene Eiskombinationen.

Aufgabe 4: Nutze die Symmetrie $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$. Statt $\binom{15}{13}$ rechnest du $\binom{15}{2}$:

$\binom{15}{2} = \dfrac{15 \cdot 14}{2 \cdot 1} = \dfrac{210}{2} = 105$

Ergebnis: $\binom{15}{13} = 105$. Die Symmetrie hat dir viel Arbeit erspart: Statt 13 Faktoren im Zähler brauchst du nur 2.

Aufgabe 5: Solistengruppe ohne Rangfolge. $n = 20$, $k = 5$.

$\binom{20}{5} = \dfrac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Zähler: $20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 = 1\,860\,480$. Nenner: $5! = 120$.

$\binom{20}{5} = \dfrac{1\,860\,480}{120} = 15\,504$

Ergebnis: 15’504 mögliche Solistengruppen.

Aufgabe 6: Pizza-Zutaten mit $n = 9$, $k = 4$.

$\binom{9}{4} = \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \dfrac{3\,024}{24} = 126$

Ergebnis: 126 verschiedene Pizzas.

Aufgabe 7: Zusammengesetzte Auswahl. Du rechnest zwei Binomialkoeffizienten aus und multiplizierst.

Schritt 1: 3 Frauen aus 8 wählen:

$\binom{8}{3} = \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \dfrac{336}{6} = 56$

Schritt 2: 2 Männer aus 7 wählen:

$\binom{7}{2} = \dfrac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = \dfrac{42}{2} = 21$

Schritt 3: Nach der Produktregel multiplizierst du:

$56 \cdot 21 = 1\,176$

Ergebnis: 1’176 verschiedene Komitees.

Aufgabe 8: Euro-Jackpot-Hauptblock mit $n = 50$, $k = 5$.

$\binom{50}{5} = \dfrac{50 \cdot 49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Zähler: $50 \cdot 49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 = 254\,251\,200$. Nenner: $5! = 120$.

$\binom{50}{5} = \dfrac{254\,251\,200}{120} = 2\,118\,760$

Ergebnis: 2’118’760 verschiedene Tippreihen allein im Hauptblock.

Aufgabe 9: Prüfung mit $n = 15$, $k = 10$. Wegen der grossen $k$ nutzt du die Symmetrie:

$\binom{15}{10} = \binom{15}{5} = \dfrac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Zähler: $15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 = 360\,360$. Nenner: $5! = 120$.

$\binom{15}{10} = \dfrac{360\,360}{120} = 3\,003$

Ergebnis: 3’003 verschiedene Auswahlen von 10 Fragen.

Aufgabe 10: Diese Aufgabe ist anspruchsvoll, weil zwei Bedingungen gleichzeitig gelten: genau 2 Asse und 3 Nicht-Asse. Ein 52er-Deck enthält 4 Asse und 48 Nicht-Asse.

Schritt 1: Wähle 2 Asse aus 4:

$\binom{4}{2} = \dfrac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = \dfrac{12}{2} = 6$

Schritt 2: Wähle 3 Nicht-Asse aus 48:

$\binom{48}{3} = \dfrac{48 \cdot 47 \cdot 46}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \dfrac{103\,776}{6} = 17\,296$

Schritt 3: Nach der Produktregel multiplizierst du beide Ergebnisse:

$6 \cdot 17\,296 = 103\,776$

Ergebnis: Es gibt 103’776 verschiedene Fünfer-Hände mit genau 2 Assen. Vergleiche das mit der Gesamtzahl aller Fünfer-Hände $\binom{52}{5} = 2\,598\,960$: Nur etwa $4\%$ aller Hände enthalten genau 2 Asse. Diese Denkweise – eine Auswahl in Gruppen zerlegen und die Teilauswahlen multiplizieren – ist der Schlüssel zu vielen komplexen Kombinatorik-Aufgaben.

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Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport