Lage von Geraden – Wie Linien sich treffen (oder nicht)

Darum geht's

Stell dir vor, du stehst an einer Strassenkreuzung. Zwei Strassen treffen sich an genau einem Punkt. Jetzt denk an die Schienen einer Eisenbahn. Sie verlaufen nebeneinander, ohne sich jemals zu berühren. Und manchmal führen zwei Wegbeschreibungen zum exakt gleichen Pfad – sie beschreiben dieselbe Route.

Genau diese drei Möglichkeiten gibt es auch in der Geometrie. Wenn wir zwei Geraden in einer Ebene betrachten, können sie sich schneiden, parallel verlaufen oder sogar identisch sein. Das Verständnis dieser Lagebeziehungen ist ein Grundbaustein der Geometrie – und du wirst sehen, dass er in der Architektur, im Strassenbau und sogar in der Kunst eine riesige Rolle spielt.

Eine kleine Zeitreise

Die Frage, wie sich Geraden zueinander verhalten, beschäftigt Menschen schon seit mehr als 2300 Jahren. Die Geschichte beginnt im alten Griechenland – genauer gesagt mit einem Mann namens Euklid.

Euklid von Alexandria lebte um 300 vor Christus. Er war Mathematiker und gilt heute als “Vater der Geometrie”. Sein wichtigstes Werk heisst Stoicheia, auf Deutsch: Die Elemente. In diesem Buch fasste Euklid das gesamte mathematische Wissen seiner Zeit zusammen. Das Buch besteht aus 13 Bänden und enthält 465 Sätze.

Was Euklid damals leistete, ist noch heute beeindruckend. Er baute die gesamte Geometrie auf fünf einfachen Grundaussagen auf, die er Postulate nannte. Ein Postulat ist eine Aussage, die man als wahr annimmt, ohne sie beweisen zu müssen.

Das fünfte Postulat – das sogenannte Parallelenpostulat – hat Mathematiker über Jahrhunderte beschäftigt. Euklid formulierte es in etwa so: Wenn eine Gerade zwei andere Geraden schneidet und dabei auf einer Seite Winkel bildet, die zusammen kleiner als 180° sind, dann treffen sich die beiden Geraden auf dieser Seite.

Einfacher ausgedrückt: Durch einen Punkt ausserhalb einer Geraden gibt es genau eine Gerade, die parallel zur ersten verläuft.

Das klingt selbstverständlich. Aber Mathematiker versuchten jahrhundertelang, dieses Postulat aus den anderen vier zu beweisen – ohne Erfolg. Im 19. Jahrhundert entdeckten Carl Friedrich Gauss, Nikolai Lobatschewski und János Bolyai unabhängig voneinander, dass man auch Geometrien aufbauen kann, in denen dieses Postulat nicht gilt. So entstanden die sogenannten nicht-euklidischen Geometrien.

Für die Schule – und für den Alltag – arbeiten wir aber weiterhin mit Euklids Geometrie. Und in dieser Geometrie gelten genau die drei Lagebeziehungen, die du in diesem Artikel lernst. Das Schöne daran: Was Euklid vor 2300 Jahren aufschrieb, ist heute noch genauso gültig.

Die Grundlagen

Bevor wir die Lagebeziehungen untersuchen, klären wir den Begriff der Geraden genau.

Definition

Eine Gerade ist eine gerade Linie ohne Anfang und ohne Ende. Sie erstreckt sich in beide Richtungen unendlich weit. Eine Gerade hat keine Dicke und keine Krümmung.

Geraden werden mit kleinen Buchstaben bezeichnet, zum Beispiel $g$, $h$ oder $k$. In Zeichnungen stellt man sie als Linien mit Pfeilen an beiden Enden dar, um die unendliche Ausdehnung anzuzeigen.

Eine Gerade ist damit etwas anderes als eine Strecke oder ein Strahl. Eine Strecke hat zwei Endpunkte und eine endliche Länge. Ein Strahl hat einen Anfangspunkt und erstreckt sich in eine Richtung unendlich weit. Nur die Gerade ist in beide Richtungen unendlich.

Diese Unterscheidung ist wichtig, wenn wir Lagebeziehungen untersuchen. Zwei Strecken können so in einer Zeichnung liegen, dass sie sich nicht berühren – obwohl ihre verlängerten Geraden sich schneiden würden. Wenn wir von Lagebeziehungen sprechen, meinen wir daher immer die vollständigen, unendlich langen Geraden.

Eine Gerade wird eindeutig bestimmt durch:

• zwei Punkte, die auf ihr liegen, oder
• einen Punkt und eine Richtung (zum Beispiel durch die Steigung).

Wenn du einen Punkt $A(1, 2)$ und einen Punkt $B(3, 6)$ hast, gibt es genau eine Gerade, die durch beide verläuft. Keine andere Gerade kann durch exakt diese zwei Punkte gehen.

Nun kommen wir zur entscheidenden Frage: Was passiert, wenn wir zwei Geraden gleichzeitig betrachten? Wie können sie zueinander liegen?

Die Kernmethode

In einer Ebene gibt es für zwei Geraden genau drei Möglichkeiten. Diese drei Fälle schliessen sich gegenseitig aus – eine vierte Möglichkeit gibt es nicht.

Definition

Zwei Geraden $g$ und $h$ heissen schneidend, wenn sie genau einen gemeinsamen Punkt $S$ haben. Dieser Punkt heisst Schnittpunkt.

Schreibweise: $g \cap h = \{S\}$

Wenn der Schnittwinkel genau $90°$ beträgt, heissen die Geraden senkrecht zueinander. Man schreibt: $g \perp h$

Definition

Zwei Geraden $g$ und $h$ heissen parallel, wenn sie keinen gemeinsamen Punkt haben. Sie verlaufen in dieselbe Richtung und halten überall denselben Abstand zueinander.

Schreibweise: $g \parallel h$

Definition

Zwei Geraden $g$ und $h$ heissen identisch, wenn sie unendlich viele gemeinsame Punkte haben. Sie liegen vollständig aufeinander. Es handelt sich um ein und dieselbe Gerade, die nur unterschiedlich beschrieben wurde.

Schreibweise: $g = h$

Das ist die vollständige Liste. Jede Situation, in der du zwei Geraden in einer Ebene betrachtest, fällt in genau eine dieser drei Kategorien. Dein Ziel ist es, zu erkennen, welcher Fall vorliegt – und das geht mit einer einfachen Schritt-für-Schritt-Prüfung:

1. Haben die Geraden mindestens einen gemeinsamen Punkt?
2. Falls nein: Die Geraden sind parallel.
3. Falls ja: Haben sie genau einen oder unendlich viele gemeinsame Punkte?
4. Falls genau einen: Die Geraden sind schneidend.
5. Falls unendlich viele: Die Geraden sind identisch.

Beispiel:

Beispiel 1: Lagebeziehung aus einer Zeichnung ablesen

Zwei Geraden $g$ und $h$ sind in einem Koordinatensystem eingezeichnet. Die Gerade $g$ verläuft durch $A(0, 1)$ und $B(2, 3)$. Die Gerade $h$ verläuft durch $C(0, 4)$ und $D(2, 2)$.

Lösung:

Wir zeichnen beide Geraden ein und schauen, ob sie sich treffen.

Die Gerade $g$ steigt von links nach rechts an. Die Gerade $h$ fällt von links nach rechts ab. Eine steigende und eine fallende Gerade müssen sich irgendwo treffen.

Wir überprüfen den Punkt $(1, 2)$: Liegt er auf $g$? Die Gerade $g$ steigt pro Schritt um 1, also gilt für $x = 1$: $y = 1 + 1 = 2$. Ja. Liegt $(1, 2)$ auch auf $h$? Die Gerade $h$ fällt pro Schritt um 1, also gilt für $x = 1$: $y = 4 - 1 = 3$. Nein, $(1,2)$ liegt nicht auf $h$.

Wir zeichnen genauer und finden: Der Schnittpunkt liegt bei $S(1{,}5\; |\; 2{,}5)$.

Antwort: Die Geraden $g$ und $h$ sind schneidend mit Schnittpunkt $S(1{,}5\; |\; 2{,}5)$.

Beispiel:

Beispiel 2: Parallele Geraden mit der Steigung erkennen

Die Gerade $g$ verläuft durch $A(0, 5)$ und $B(2, 3)$. Die Gerade $h$ verläuft durch $C(0, 2)$ und $D(2, 0)$.

Lösung:

Wir berechnen die Steigung beider Geraden.

Steigung von $g$:

$$m_g = \frac{3 - 5}{2 - 0} = \frac{-2}{2} = -1$$

Steigung von $h$:

$$m_h = \frac{0 - 2}{2 - 0} = \frac{-2}{2} = -1$$

Beide Geraden haben die Steigung $-1$. Sie verlaufen in exakt dieselbe Richtung. Jetzt prüfen wir, ob sie denselben $y$-Achsenabschnitt haben.

Für $g$: Der $y$-Achsenabschnitt ist $5$ (ablesbar aus $A(0, 5)$). Für $h$: Der $y$-Achsenabschnitt ist $2$ (ablesbar aus $C(0, 2)$).

Die Geraden verlaufen parallel, aber versetzt. Sie teilen keinen gemeinsamen Punkt.

Antwort: Die Geraden $g$ und $h$ sind parallel: $g \parallel h$.

Die häufigsten Stolpersteine

Achtung

“Fast parallel” gibt es nicht: Viele Schülerinnen und Schüler sehen zwei Geraden, die einen sehr kleinen Winkel einschliessen, und nennen sie “fast parallel”. Das ist ein Denkfehler. In der Mathematik gibt es keine Abstufungen. Wenn sich zwei Geraden irgendwo treffen – egal wie weit entfernt dieser Punkt liegt –, dann sind sie schneidend. Punkt. Entweder haben sie einen gemeinsamen Punkt oder gar keinen.

Achtung

Strecken verwechseln mit Geraden: Zwei Strecken können sich in einer Zeichnung nicht berühren, obwohl ihre Geraden sich schneiden würden. Achte immer darauf, ob die Aufgabe von Strecken, Strahlen oder Geraden spricht. Bei Lagebeziehungen geht es in der Regel um vollständige, unendlich lange Geraden.

Achtung

Identisch wird oft vergessen: Viele denken bei Lagebeziehungen nur an zwei Fälle: parallel oder schneidend. Der dritte Fall – identisch – wird leicht übersehen. Dieser Fall tritt auf, wenn zwei Geraden unterschiedlich beschrieben werden, aber exakt dieselbe Linie ergeben. Prüfe immer: Haben die Geraden mehr als einen gemeinsamen Punkt? Falls ja, sind sie identisch.

Achtung

Gleiche Steigung bedeutet nicht automatisch identisch: Wenn zwei Geraden dieselbe Steigung haben, sind sie entweder parallel oder identisch. Um zu unterscheiden, musst du den $y$-Achsenabschnitt vergleichen. Gleiche Steigung und gleicher $y$-Achsenabschnitt: identisch. Gleiche Steigung, verschiedene $y$-Achsenabschnitte: parallel.

Beispiel:

Beispiel 3: Identische Geraden erkennen

Gerade $g$ verläuft durch $P(2, 4)$ und $Q(4, 8)$. Gerade $h$ verläuft durch $R(0, 0)$ und $S(3, 6)$.

Lösung:

Wir berechnen die Steigungen.

Steigung von $g$:

$$m_g = \frac{8 - 4}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2$$

Steigung von $h$:

$$m_h = \frac{6 - 0}{3 - 0} = \frac{6}{3} = 2$$

Beide Geraden haben die Steigung $2$. Nun prüfen wir den $y$-Achsenabschnitt.

Für $g$: Wir verwenden die Formel $y = mx + b$ und setzen $P(2, 4)$ ein.

$$4 = 2 \cdot 2 + b \quad \Rightarrow \quad b = 0$$

Für $h$: Wir verwenden $R(0, 0)$. Direkt ablesbar: $b = 0$.

Beide Geraden haben die Steigung $2$ und den $y$-Achsenabschnitt $0$. Sie sind exakt dieselbe Gerade.

Antwort: Die Geraden $g$ und $h$ sind identisch: $g = h$.

Beispiel:

Beispiel 4: Textaufgabe – Strassenplanung

Eine Stadt plant drei neue Fahrradwege. Weg $A$ verläuft von Nord nach Süd entlang der Flussseite. Weg $B$ verläuft ebenfalls von Nord nach Süd, aber auf der anderen Seite des Stadtparks. Weg $C$ verläuft von West nach Ost und quert dabei das Stadtzentrum.

Frage: Bestimme alle Lagebeziehungen zwischen den drei Wegen.

Lösung:

Wir betrachten je zwei Wege miteinander.

Wege $A$ und $B$: Beide verlaufen von Nord nach Süd. Sie verlaufen in dieselbe Richtung und treffen sich nie, weil sie auf verschiedenen Seiten des Parks liegen. $\Rightarrow$ Parallel: $A \parallel B$

Wege $A$ und $C$: Weg $A$ verläuft von Nord nach Süd, Weg $C$ von West nach Ost. Diese Richtungen sind senkrecht zueinander. Die Wege treffen sich an genau einem Punkt im Stadtgebiet. $\Rightarrow$ Schneidend (sogar senkrecht): $A \perp C$

Wege $B$ und $C$: Dasselbe gilt für Weg $B$ und Weg $C$. Auch hier stehen die Richtungen senkrecht aufeinander, und sie treffen sich an einem Punkt. $\Rightarrow$ Schneidend (sogar senkrecht): $B \perp C$

Antwort: $A \parallel B$, $A \perp C$ und $B \perp C$.

Vertiefung

Wenn du die drei Grundfälle sicher beherrschst, kannst du tiefer einsteigen. Besonders interessant ist die Verbindung zwischen den Lagebeziehungen und dem Winkel, den zwei Geraden einschliessen.

Bei zwei schneidenden Geraden entstehen immer vier Winkel. Diese Winkel haben besondere Eigenschaften:

Definition

Wenn sich zwei Geraden schneiden, entstehen zwei Paare von Scheitelwinkelpaaren. Scheitelwinkel sind die gegenüberliegenden Winkel – sie sind immer gleich gross.

Die benachbarten Winkel heissen Nebenwinkel. Nebenwinkel ergänzen sich immer zu $180°$.

Wenn der Schnittwinkel $\alpha$ beträgt, dann gilt:

• Gegenüberliegender Winkel (Scheitelwinkel): ebenfalls $\alpha$
• Benachbarte Winkel: jeweils $180° - \alpha$

Ein besonders wichtiger Spezialfall ist der rechte Winkel: Wenn zwei Geraden senkrecht aufeinander stehen ($g \perp h$), dann betragen alle vier entstehenden Winkel genau $90°$.

In der Praxis begegnet dir das ständig: Tischkanten, Gebäudeecken, das Schulheft – überall stehen Linien senkrecht aufeinander.

Ein weiterer fortgeschrittener Gedanke: Wenn du weisst, dass zwei Geraden parallel sind ($g \parallel h$), und eine dritte Gerade $k$ beide schneidet, entstehen Wechselwinkel und Stufenwinkel. Diese Winkelpaare sind für spätere Klassen sehr wichtig, zum Beispiel beim Berechnen von Winkeln in Dreiecken und Vielecken.

Wechselwinkel liegen auf verschiedenen Seiten der schneidenden Geraden und sind gleich gross. Stufenwinkel liegen auf derselben Seite und ergänzen sich zu $180°$.

Diese Zusammenhänge bauen direkt auf den Lagebeziehungen auf, die du in diesem Artikel gelernt hast.

Beispiel:

Beispiel 5: Winkel an Parallelen berechnen

Zwei parallele Geraden $g \parallel h$ werden von einer dritten Geraden $k$ geschnitten. Der Winkel, den $k$ mit $g$ einschliesst, beträgt $\alpha = 65°$.

Frage: Berechne alle anderen entstehenden Winkel.

Lösung:

An der Geraden $g$ entstehen vier Winkel. Da Scheitelwinkel gleich gross sind und Nebenwinkel sich zu $180°$ ergänzen:

$$\begin{align*} \alpha_1 &= 65° \\ \alpha_2 &= 180° - 65° = 115° \\ \alpha_3 &= 65° \quad \text{(Scheitelwinkel zu } \alpha_1\text{)} \\ \alpha_4 &= 115° \quad \text{(Scheitelwinkel zu } \alpha_2\text{)} \end{align*}$$

Da $g \parallel h$, übertragen sich diese Winkel auf die Schnittstelle mit $h$. Wechselwinkel sind gleich gross:

$$\begin{align*} \beta_1 &= 65° \quad \text{(Wechselwinkel zu } \alpha_1\text{)} \\ \beta_2 &= 115° \\ \beta_3 &= 65° \\ \beta_4 &= 115° \end{align*}$$

Antwort: Es gibt zwei verschiedene Winkelgrössen: $65°$ und $115°$. Diese wechseln sich ab.

Übungen

Die folgenden Aufgaben sind nach Schwierigkeit geordnet. Beginne mit Aufgabe 1 und arbeite dich vor. Die Lösungen findest du am Ende des Artikels.

Aufgabe 1 (einfach) Gerade $g$ verläuft von links nach rechts waagerecht. Gerade $h$ verläuft von oben nach unten senkrecht. Welche Lagebeziehung haben $g$ und $h$?

Aufgabe 2 (einfach) Nenne drei Beispiele aus dem Alltag für parallele Geraden.

Aufgabe 3 (einfach) Was bedeutet die Schreibweise $g \parallel h$? Und was bedeutet $g \perp h$?

Aufgabe 4 (mittel) Gerade $g$ hat die Steigung $m = 3$. Gerade $h$ hat ebenfalls die Steigung $m = 3$. Gerade $g$ schneidet die $y$-Achse bei $b = 1$, Gerade $h$ bei $b = 7$. Welche Lagebeziehung haben $g$ und $h$?

Aufgabe 5 (mittel) Gerade $g$ verläuft durch $A(0, 0)$ und $B(4, 4)$. Gerade $h$ verläuft durch $C(1, 1)$ und $D(5, 5)$. Welche Lagebeziehung haben $g$ und $h$? Begründe deine Antwort.

Aufgabe 6 (mittel) Gerade $g$ verläuft durch $P(0, 3)$ und $Q(2, 7)$. Gerade $h$ verläuft durch $R(1, 0)$ und $S(3, 4)$. Welche Lagebeziehung haben $g$ und $h$?

Aufgabe 7 (mittel) Zwei Geraden schneiden sich im Punkt $S(2, 5)$. Gerade $g$ hat die Steigung $m = 1$. Welche Steigung muss Gerade $h$ haben, damit $g \perp h$ gilt?

Aufgabe 8 (schwer) Gerade $g$ verläuft durch $A(1, 2)$ und $B(3, 6)$. Gerade $h$ verläuft durch $C(2, 1)$ und $D(4, 5)$. Bestimme die Lagebeziehung und berechne gegebenenfalls den Schnittpunkt.

Aufgabe 9 (schwer) Drei Geraden $g$, $h$ und $k$ verlaufen alle durch denselben Punkt $M(3, 3)$. Gerade $g$ hat die Steigung $m = 2$. Gerade $h$ hat die Steigung $m = -1$. Gerade $k$ hat die Steigung $m = 2$.

Bestimme alle Lagebeziehungen zwischen den drei Geraden.

Aufgabe 10 (schwer – Transferaufgabe) Ein Architekt zeichnet vier Geraden für einen Grundriss. Er nennt sie $a$, $b$, $c$ und $d$.

• $a \parallel b$
• $c \parallel d$
• $a \perp c$

Was kannst du über die Lagebeziehung zwischen $b$ und $d$ schliessen? Begründe vollständig.

Das Wichtigste in Kürze

Zwei Geraden in einer Ebene können genau drei Lagebeziehungen zueinander haben:

• Schneidend ($g \cap h = \{S\}$): Die Geraden haben genau einen gemeinsamen Punkt, den Schnittpunkt $S$. Schneiden sie sich im rechten Winkel, schreibt man $g \perp h$.
• Parallel ($g \parallel h$): Die Geraden haben keinen gemeinsamen Punkt. Sie verlaufen in dieselbe Richtung und halten überall denselben Abstand.
• Identisch ($g = h$): Die Geraden haben unendlich viele gemeinsame Punkte. Es ist dieselbe Gerade, nur unterschiedlich beschrieben.

Um die Lagebeziehung zu bestimmen, vergleiche zuerst die Steigungen. Gleiche Steigung? Dann parallel oder identisch – und dann den $y$-Achsenabschnitt vergleichen. Verschiedene Steigungen? Dann schneidend.

❓ Frage: Zwei Geraden verlaufen durch die Punkte $A(1, 2)$, $B(3, 4)$ sowie durch $C(1, 2)$, $D(5, 6)$. Welche Lagebeziehung haben sie?

Lösung anzeigen

Die Geraden sind identisch. Beide verlaufen durch den gemeinsamen Punkt $(1, 2)$ und haben dieselbe Steigung:

$$m = \frac{4-2}{3-1} = 1 \quad \text{und} \quad m = \frac{6-2}{5-1} = 1$$

Da Steigung und ein gemeinsamer Punkt übereinstimmen, sind es dieselbe Gerade: $g = h$.

❓ Frage: Was bedeutet das Symbol $g \perp h$?

Lösung anzeigen

Das Symbol $\perp$ bedeutet senkrecht. Die Aussage $g \perp h$ sagt aus, dass die Geraden $g$ und $h$ sich im rechten Winkel schneiden. An ihrem Schnittpunkt entstehen vier Winkel, die alle genau $90°$ betragen.

❓ Frage: Gerade $g$ hat die Steigung $m = 2$. Gerade $h$ hat die Steigung $m = -0{,}5$. Können sie parallel sein?

Lösung anzeigen

Nein, sie können nicht parallel sein. Parallele Geraden haben immer dieselbe Steigung. Da $2 \neq -0{,}5$, müssen sich die Geraden schneiden. Bonusinformation: Da $2 \cdot (-0{,}5) = -1$ gilt, stehen die Geraden sogar senkrecht aufeinander. Zwei Geraden stehen genau dann senkrecht, wenn das Produkt ihrer Steigungen $-1$ ergibt.

❓ Frage: Gerade $g$ und Gerade $h$ haben beide die Steigung $m = 4$. Gerade $g$ hat den $y$-Achsenabschnitt $b = 3$, Gerade $h$ hat den $y$-Achsenabschnitt $b = 3$. Welche Lagebeziehung haben sie?

Lösung anzeigen

Die Geraden sind identisch. Gleiche Steigung und gleicher $y$-Achsenabschnitt bedeuten: Es ist exakt dieselbe Gerade, nur möglicherweise unterschiedlich beschrieben. Es gilt $g = h$.

❓ Frage: Drei Geraden liegen in einer Ebene. Gerade $g$ ist parallel zu $h$, und $h$ ist parallel zu $k$. Was gilt für $g$ und $k$?

Lösung anzeigen

Wenn $g \parallel h$ und $h \parallel k$, dann gilt auch $g \parallel k$. Das nennt man die Transitivität der Parallelität: Parallele Geraden verlaufen alle in dieselbe Richtung. Wenn $g$ und $h$ diese Richtung teilen, und $h$ und $k$ ebenfalls, dann teilen auch $g$ und $k$ diese Richtung. Sie sind parallel.

Ausblick

Die Lagebeziehungen von Geraden sind kein isoliertes Thema. Sie begegnen dir in der Geometrie immer wieder.

In der nächsten Klasse lernst du, wie man mit parallelen Geraden und einer Querlinie systematisch Winkel berechnet – die Wechselwinkel und Stufenwinkel, die wir in der Vertiefung kurz angesprochen haben. Schneidende und parallele Geraden spielen ausserdem eine wichtige Rolle bei Dreiecken, Vierecken und allen anderen geometrischen Figuren.

In der Oberstufe lernst du, Schnittpunkte von Geraden rechnerisch zu bestimmen – und das führt direkt zur linearen Algebra. Die Grundlage dafür legst du jetzt.

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 1: Gerade $g$ verläuft waagerecht (Steigung $m = 0$), Gerade $h$ verläuft senkrecht (keine definierte Steigung, aber senkrechte Ausrichtung). Eine waagerechte und eine senkrechte Gerade stehen immer im rechten Winkel und schneiden sich in genau einem Punkt.

Antwort: Die Geraden sind schneidend und sogar senkrecht zueinander: $g \perp h$.

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Lösung zu Aufgabe 2: Mögliche Beispiele: Gleisschienen einer Eisenbahn, die Längslinien auf einem liniierten Blatt Papier, zwei Fahrspuren einer Autobahn, die gegenüberliegenden Seiten eines Rechtecks, Fenstersprossen, Zebrastreifen.

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Lösung zu Aufgabe 3: $g \parallel h$ bedeutet: Die Geraden $g$ und $h$ sind parallel. Sie haben keinen gemeinsamen Punkt und verlaufen in dieselbe Richtung.

$g \perp h$ bedeutet: Die Geraden $g$ und $h$ stehen senkrecht aufeinander. Sie schneiden sich in einem rechten Winkel von $90°$.

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Lösung zu Aufgabe 4: Beide Geraden haben die Steigung $m = 3$. Da die Steigungen gleich sind, kommen nur die Fälle “parallel” oder “identisch” infrage. Nun vergleichen wir die $y$-Achsenabschnitte: $b_g = 1$ und $b_h = 7$. Sie sind verschieden. Deshalb liegen die Geraden versetzt nebeneinander.

Antwort: Die Geraden sind parallel: $g \parallel h$.

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Lösung zu Aufgabe 5: Wir berechnen die Steigungen:

$$m_g = \frac{4 - 0}{4 - 0} = 1 \qquad m_h = \frac{5 - 1}{5 - 1} = 1$$

Gleiche Steigung. Nun prüfen wir den $y$-Achsenabschnitt. Gerade $g$ verläuft durch $(0, 0)$, also $b_g = 0$. Gerade $h$ verläuft durch $(1, 1)$: Wir setzen ein: $1 = 1 \cdot 1 + b$, also $b_h = 0$.

Gleiche Steigung, gleicher $y$-Achsenabschnitt.

Antwort: Die Geraden sind identisch: $g = h$.

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Lösung zu Aufgabe 6: Steigung von $g$:

$$m_g = \frac{7 - 3}{2 - 0} = \frac{4}{2} = 2$$

Steigung von $h$:

$$m_h = \frac{4 - 0}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2$$

Gleiche Steigung. Wir prüfen den $y$-Achsenabschnitt.

Für $g$: $b_g = 3$ (direkt ablesbar aus $P(0, 3)$). Für $h$: Wir setzen $R(1, 0)$ in $y = 2x + b$ ein: $0 = 2 \cdot 1 + b$, also $b_h = -2$.

Verschiedene $y$-Achsenabschnitte.

Antwort: Die Geraden sind parallel: $g \parallel h$.

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Lösung zu Aufgabe 7: Zwei Geraden stehen genau dann senkrecht aufeinander, wenn das Produkt ihrer Steigungen $-1$ ergibt:

$$m_g \cdot m_h = -1$$ $$1 \cdot m_h = -1 \quad \Rightarrow \quad m_h = -1$$

Antwort: Gerade $h$ muss die Steigung $m_h = -1$ haben.

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Lösung zu Aufgabe 8: Steigung von $g$:

$$m_g = \frac{6 - 2}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2$$

Steigung von $h$:

$$m_h = \frac{5 - 1}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2$$

Gleiche Steigung. $y$-Achsenabschnitt von $g$: Einsetzen von $A(1, 2)$: $2 = 2 \cdot 1 + b_g$, also $b_g = 0$.

$y$-Achsenabschnitt von $h$: Einsetzen von $C(2, 1)$: $1 = 2 \cdot 2 + b_h$, also $b_h = -3$.

Verschiedene $y$-Achsenabschnitte, gleiche Steigung.

Antwort: Die Geraden sind parallel: $g \parallel h$. Es gibt keinen Schnittpunkt.

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Lösung zu Aufgabe 9: Gerade $g$ und Gerade $k$ haben beide die Steigung $m = 2$ und verlaufen beide durch $M(3, 3)$. Gleiche Steigung und gemeinsamer Punkt bedeuten: Es ist dieselbe Gerade. $\Rightarrow$ $g = k$ (identisch)

Gerade $g$ (Steigung $2$) und Gerade $h$ (Steigung $-1$) haben verschiedene Steigungen und treffen sich in $M(3, 3)$. $\Rightarrow$ $g$ und $h$ sind schneidend in $M(3, 3)$.

Da $g = k$, gilt dasselbe für $h$ und $k$: Sie sind schneidend in $M(3, 3)$.

Antwort: $g = k$ (identisch), $g$ schneidet $h$ in $M(3, 3)$, $k$ schneidet $h$ in $M(3, 3)$.

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Lösung zu Aufgabe 10: Wir nutzen die gegebenen Informationen schrittweise.

Gegeben: $a \parallel b$, $c \parallel d$, $a \perp c$.

Da $a \perp c$ und $a \parallel b$, steht auch $b$ senkrecht auf $c$: $b \perp c$.

Da $c \parallel d$ und $b \perp c$, steht auch $b$ senkrecht auf $d$: $b \perp d$.

Antwort: Die Geraden $b$ und $d$ stehen senkrecht aufeinander: $b \perp d$. Ausserdem gilt: Da $a \perp d$ (weil $a \perp c$ und $c \parallel d$) und $a \parallel b$, folgt $b \perp d$. Alle vier Geraden bilden zusammen ein Muster wie die Linien auf kariertem Papier – zwei horizontale und zwei vertikale Parallelen.

Verwandte Themen

• Strecken und Geraden – Die Bausteine der Geometrie
• Achsensymmetrie verstehen – Spiegelungen in der Geometrie
• Punkte in der Geometrie – Der Startpunkt für alles

Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport