Kongruenz einfach erklärt: So erkennst du kongruente Figuren

Weiterführend:

• Zur Kapitelübersicht „Kongruenz”
• Kongruenzsätze einfach erklärt: So beweist du, dass Dreiecke deckungsgleich sind
• Kongruente Dreiecke einfach erklärt: Die 4 Kongruenzsätze verstehen und anwenden
• Kongruenz und Schnittfiguren einfach erklärt: So erkennst du deckungsgleiche Formen

Darum geht's

Stell dir vor, du backst Weihnachtsplätzchen mit deiner Lieblings-Ausstechform. Jeder Teig-Stern, der aus der Form kommt, sieht exakt gleich aus. Gleiche Grösse, gleiche Zacken, gleiche Winkel. Wenn du zwei dieser Sterne übereinanderlegst, decken sie sich perfekt. In der Mathematik nennen wir solche Figuren kongruent. Dieses Konzept ist nicht nur für Plätzchen nützlich. Es hilft dir zu beweisen, dass zwei geometrische Figuren identisch sind – selbst wenn eine davon gedreht, gespiegelt oder verschoben wurde. In diesem Artikel lernst du, wie du Kongruenz erkennst, beweist und sicher anwendest.

📋Lehrplan 21Zyklus 3 (7.–9. Klasse) · 6Kompetenzen

• MA.2.A.3.iGrundanspruchUmfang und Flächeninhalt von Kreisen; Kantenlängen, Flächen und Volumen an geraden Prismen und Zylindern; Volumen beliebiger Körper schätzen
• MA.2.B.1.iGrundanspruchComputer zur Erforschung geometrischer Beziehungen nutzen (z.B. Umkreismittelpunkt bei verschiedenen Dreiecken)
• MA.2.C.3.gGrundanspruchKörper in der Vorstellung verändern und Ergebnisse beschreiben (z.B. Ecken eines Würfels abschleifen); Operationen im Kopf ausführen und Ergebnisse skizzieren
• MA.2.A.3.jStrecken, Flächen und Volumen an Pyramiden, Kegeln und Kugeln berechnen; Winkel aufgrund von Winkelsummen, Satz von Thales, Ähnlichkeit und Kongruenz bestimmen
• MA.2.B.1.hBeim Erforschen geometrischer Beziehungen Vermutungen formulieren, überprüfen und allenfalls neue formulieren; auf Forschungsaufgaben einlassen
• MA.2.C.3.h

Quelle: Aargauer Lehrplan Volksschule, Fachbereich Mathematik (August 2022)

Eine kleine Zeitreise

Die Idee der Kongruenz ist uralt. Schon vor über 2300 Jahren beschäftigte sich der griechische Mathematiker Euklid mit der Frage, wann zwei Figuren als “gleich” gelten. In seinem berühmten Werk “Die Elemente” (ca. 300 v. Chr.) legte er die Grundlagen der Geometrie. Er führte die ersten Kongruenzsätze für Dreiecke ein, allerdings ohne den modernen Begriff “Kongruenz”. Euklid sprach stattdessen davon, dass sich Figuren “zur Deckung bringen” lassen.

Interessant ist, dass die Kongruenzsätze in den “Elementen” als Grundlage für fast alle weiteren geometrischen Beweise dienten. Euklid nutzte sie, um komplexe Aussagen Schritt für Schritt herzuleiten. Sein methodischer Aufbau – vom Einfachen zum Komplexen – prägt die Mathematik bis heute.

Das Wort Kongruenz selbst kommt aus dem Lateinischen. “Congruere” bedeutet “übereinstimmen” oder “zusammenpassen”. Eingeführt wurde der Begriff im mathematischen Sinn erst im 18. Jahrhundert. Leonhard Euler und später Carl Friedrich Gauss prägten die moderne Notation.

Das Symbol $\cong$ für Kongruenz wurde übrigens vom deutschen Mathematiker Gottfried Wilhelm Leibniz vorgeschlagen. Er kombinierte das Gleichheitszeichen mit einer Tilde. Die Tilde steht für “ähnlich”, das Gleichheitszeichen für “gleich”. Zusammen ergibt sich: “ähnlich und gleich gross” – also kongruent.

Auch in anderen Kulturen wurde das Konzept früh entdeckt. Chinesische Mathematiker der Han-Dynastie verwendeten kongruente Figuren zur Landvermessung. Arabische Gelehrte des Mittelalters bauten auf Euklid auf und erweiterten die Kongruenzlehre. Heute ist Kongruenz aus Architektur, Ingenieurwesen, Robotik und Computergrafik nicht wegzudenken. Jede Serienproduktion beruht auf dem Prinzip, dass Bauteile kongruent sein müssen, damit sie austauschbar bleiben.

Die Grundlagen

Kehren wir zu unseren Plätzchen zurück. Die Ausstechform ist wie eine Schablone. Egal, wie oft du sie benutzt, das Ergebnis ist immer dasselbe. Die Plätzchen sind deckungsgleich.

Jetzt übertragen wir das auf die Geometrie. Stell dir zwei Dreiecke vor. Eines liegt auf deinem Blatt. Das andere ist gedreht und befindet sich in einer Ecke. Sehen sie gleich aus? Vielleicht. Aber sind sie wirklich identisch? Um das herauszufinden, könntest du eines ausschneiden und auf das andere legen. Passen alle Seiten und alle Winkel genau aufeinander? Dann sind die Dreiecke kongruent.

In der Mathematik können wir Figuren nicht einfach ausschneiden. Wir brauchen präzise Werkzeuge. Wir messen Seitenlängen und Winkel. Wir vergleichen diese Masse systematisch.

Definition

Zwei geometrische Figuren sind kongruent, wenn sie durch Verschieben, Drehen oder Spiegeln zur Deckung gebracht werden können. Alle entsprechenden Seiten und Winkel stimmen überein. Das mathematische Symbol für Kongruenz ist $\cong$. Wenn Dreieck $ABC$ kongruent zu Dreieck $DEF$ ist, schreiben wir:

$$\triangle ABC \cong \triangle DEF$$

Wichtig ist dabei die Reihenfolge der Buchstaben. Wenn wir $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ schreiben, bedeutet das: Punkt $A$ entspricht $D$, $B$ entspricht $E$, $C$ entspricht $F$. Daraus folgt automatisch: Seite $\overline{AB}$ ist genauso lang wie $\overline{DE}$, und der Winkel $\angle A$ ist gleich gross wie $\angle D$.

Die Kernmethode

Um Kongruenz zu beweisen, musst du nicht alle sechs Masse eines Dreiecks (drei Seiten, drei Winkel) prüfen. Es reichen drei geschickt gewählte Angaben. Diese Abkürzungen heissen Kongruenzsätze.

Definition

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:

• SSS-Satz: Alle drei Seiten stimmen überein.
• SWS-Satz: Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel stimmen überein.
• WSW-Satz: Eine Seite und die beiden anliegenden Winkel stimmen überein.
• SsW-Satz: Zwei Seiten und der Winkel gegenüber der längeren Seite stimmen überein.

Warum funktionieren diese Sätze? Beim SSS-Satz hast du drei feste Seitenlängen. Daraus lässt sich nur ein einziges Dreieck konstruieren – die Form ist eindeutig bestimmt. Beim SWS-Satz fixierst du zwei Seiten und den Winkel dazwischen. Das dritte Masse (die Gegenseite) ergibt sich zwangsläufig.

Vorsicht beim WWW: Drei gleiche Winkel beweisen keine Kongruenz! Sie beweisen nur Ähnlichkeit. Denn Winkel sagen nichts über die Grösse aus. Ein kleines und ein grosses gleichseitiges Dreieck haben beide $60°$-Winkel, sind aber nicht kongruent.

Mindestens eine Seitenlänge muss in jedem Kongruenzsatz vorkommen. Das ist die goldene Regel.

Beispiel:

Beispiel 1: SSS-Satz anwenden

Gegeben sind zwei Dreiecke mit folgenden Seitenlängen:

• Dreieck $ABC$: $a = 5 \, \text{cm}$, $b = 7 \, \text{cm}$, $c = 8 \, \text{cm}$
• Dreieck $DEF$: $d = 7 \, \text{cm}$, $e = 8 \, \text{cm}$, $f = 5 \, \text{cm}$

Frage: Sind die Dreiecke kongruent?

Lösung:

Wir vergleichen die Seitenlängen sortiert.

• Dreieck $ABC$: $\{5, 7, 8\} \, \text{cm}$
• Dreieck $DEF$: $\{5, 7, 8\} \, \text{cm}$

Beide Mengen sind identisch. Nach dem SSS-Satz sind die Dreiecke kongruent.

Die passende Zuordnung lautet: $A \leftrightarrow F$ (beide liegen gegenüber $5 \, \text{cm}$), $B \leftrightarrow D$, $C \leftrightarrow E$.

$$\triangle ABC \cong \triangle FDE$$

Die Reihenfolge der Buchstaben in der Kongruenzaussage ist kein Zufall. Sie dokumentiert, welcher Punkt welchem entspricht.

Beispiel:

Beispiel 2: SWS-Satz mit Scheitelwinkel

In einem Viereck $ABCD$ schneiden sich die Diagonalen im Punkt $M$. Es gilt:

$$\overline{AM} = \overline{CM} = 4 \, \text{cm}, \quad \overline{BM} = \overline{DM} = 3 \, \text{cm}$$

Frage: Sind die Dreiecke $ABM$ und $CDM$ kongruent?

Lösung:

Schritt 1: Seiten identifizieren.

• In $\triangle ABM$: $\overline{AM} = 4 \, \text{cm}$, $\overline{BM} = 3 \, \text{cm}$
• In $\triangle CDM$: $\overline{CM} = 4 \, \text{cm}$, $\overline{DM} = 3 \, \text{cm}$

Schritt 2: Eingeschlossenen Winkel prüfen.

Die Winkel $\angle AMB$ und $\angle CMD$ sind Scheitelwinkel. Scheitelwinkel sind immer gleich gross:

$$\angle AMB = \angle CMD$$

Schritt 3: SWS-Satz anwenden.

Wir haben zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel. Nach dem SWS-Satz gilt:

$$\triangle ABM \cong \triangle CDM$$

Die Dreiecke sind kongruent.

Die häufigsten Stolpersteine

Achtung

Stolperstein 1: Falsche Zuordnung der Eckpunkte

Wenn du $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ schreibst, müssen die Buchstaben in der richtigen Reihenfolge stehen. $A$ entspricht $D$, $B$ entspricht $E$, $C$ entspricht $F$. Eine falsche Zuordnung führt zu falschen Aussagen über Seiten und Winkel. Prüfe immer, ob die Reihenfolge zur Zuordnung der Masse passt.

Achtung

Stolperstein 2: SWS mit WSW verwechseln

Beim SWS-Satz liegt der Winkel zwischen den beiden Seiten (eingeschlossen). Beim WSW-Satz liegen die Winkel an der gegebenen Seite (anliegend). Zeichne dir im Zweifel eine kleine Skizze und markiere die gegebenen Elemente. Dann siehst du sofort, welcher Satz passt.

Achtung

Stolperstein 3: Den WWW-”Satz” anwenden

Drei gleiche Winkel beweisen niemals Kongruenz! Sie beweisen nur Ähnlichkeit. Dreiecke mit identischen Winkeln können beliebig gross oder klein sein. Mindestens eine Seitenlänge muss übereinstimmen, damit die Grösse festgelegt ist.

Achtung

Stolperstein 4: Beim SsW-Satz die Seitenbedingung vergessen

Der SsW-Satz gilt nur, wenn der gegebene Winkel der längeren der beiden gegebenen Seiten gegenüberliegt. Ist dies nicht der Fall, können zwei verschiedene Dreiecke mit denselben Massen existieren. Prüfe die Seitenlängen, bevor du den Satz anwendest.

Beispiel:

Beispiel 3: Passenden Kongruenzsatz auswählen

Von zwei Dreiecken kennst du folgende Informationen:

• Dreieck $PQR$: $\angle P = 50°$, $\overline{PQ} = 6 \, \text{cm}$, $\angle Q = 70°$
• Dreieck $XYZ$: $\angle X = 50°$, $\overline{XY} = 6 \, \text{cm}$, $\angle Y = 70°$

Frage: Welcher Kongruenzsatz ist anwendbar?

Lösung:

Schritt 1: Lage der Winkel prüfen.

• $\angle P$ liegt am Endpunkt $P$ der Seite $\overline{PQ}$.
• $\angle Q$ liegt am Endpunkt $Q$ der Seite $\overline{PQ}$.

Beide Winkel liegen an den Enden der gegebenen Seite. Das ist die Konstellation für den WSW-Satz.

Schritt 2: Entsprechende Elemente vergleichen.

• $\angle P = \angle X = 50°$
• $\overline{PQ} = \overline{XY} = 6 \, \text{cm}$
• $\angle Q = \angle Y = 70°$

Schritt 3: WSW-Satz anwenden.

$$\triangle PQR \cong \triangle XYZ$$

Bonus: Aus der Winkelsumme folgt zusätzlich $\angle R = 180° - 50° - 70° = 60° = \angle Z$. Die Dreiecke sind vollständig bestimmt.

Beispiel:

Beispiel 4: Transfer in den Alltag

Du baust ein Regal zusammen. Die Anleitung zeigt ein dreieckiges Verstärkungsblech mit den Massen: $30 \, \text{cm}$, $40 \, \text{cm}$ und $50 \, \text{cm}$. Du hast zwei Metallplatten erhalten.

• Platte 1: Seiten $30 \, \text{cm}$, $40 \, \text{cm}$, $50 \, \text{cm}$
• Platte 2: Seiten $30 \, \text{cm}$, $50 \, \text{cm}$, $40 \, \text{cm}$

Frage: Sind beide Platten identisch und passen sie zur Vorlage?

Lösung:

Sortiert ergeben beide Platten die Menge $\{30, 40, 50\} \, \text{cm}$. Die Reihenfolge der Aufzählung ist für das Dreieck selbst irrelevant.

Ein Dreieck wird durch die Seitenlängen eindeutig bestimmt (SSS-Satz), nicht durch ihre Reihenfolge in der Beschreibung.

Daher gilt nach dem SSS-Satz: Beide Platten sind kongruent zueinander und kongruent zur Vorlage in der Anleitung. Beide passen.

Nebenbemerkung: Das Dreieck hat die Seiten $3 : 4 : 5$-Verhältnis, also ist es sogar rechtwinklig (Satz des Pythagoras: $3^2 + 4^2 = 5^2$). Das macht es zur idealen Stabilisierung.

Vertiefung

Kongruenz ist eng mit den sogenannten Kongruenzabbildungen verknüpft. Das sind geometrische Transformationen, die Längen und Winkel unverändert lassen. Es gibt genau drei Grundtypen: Verschiebung (Translation), Drehung (Rotation) und Spiegelung (Reflexion).

Jede Kongruenzabbildung erzeugt aus einer Figur eine kongruente Kopie. Die Originalfigur und ihr Bild haben identische Seitenlängen und Winkel. Das ist die moderne, bewegungsorientierte Sicht auf Kongruenz.

Definition

Eine Kongruenzabbildung (auch Isometrie) ist eine Abbildung der Ebene auf sich selbst, die Abstände erhält. Für zwei beliebige Punkte $P$ und $Q$ und ihre Bildpunkte $P'$ und $Q'$ gilt:

$$|PQ| = |P'Q'|$$

Da auch Winkel erhalten bleiben, sind Urbild und Bild stets kongruent.

Ein spannender Fakt: Jede Kongruenzabbildung lässt sich als Verkettung von höchstens drei Spiegelungen darstellen. Das ist ein tiefes Ergebnis der Geometrie. Eine Verschiebung entspricht zwei Spiegelungen an parallelen Achsen. Eine Drehung entspricht zwei Spiegelungen an sich schneidenden Achsen.

Kongruenz vs. Ähnlichkeit: Kongruenz ist ein Spezialfall der Ähnlichkeit. Zwei ähnliche Figuren haben gleiche Form, aber möglicherweise unterschiedliche Grösse. Kongruente Figuren sind ähnlich mit dem Streckfaktor $k = 1$. Während Ähnlichkeit den Form-Aspekt beschreibt, fügt Kongruenz den Grössen-Aspekt hinzu.

In der Architektur und Technik ist Kongruenz das Prinzip hinter Massenfertigung. Schrauben, Zahnräder, Chips – alle müssen innerhalb enger Toleranzen kongruent zueinander sein. In der Kristallographie beschreiben kongruente Einheiten die Bausteine von Kristallgittern. Selbst in der Kunst nutzen Künstler wie M. C. Escher Kongruenzabbildungen, um faszinierende Parkettierungen zu erzeugen.

Beispiel:

Beispiel 5: Kongruenzbeweis im gleichschenkligen Dreieck

Behauptung: Im gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel gleich gross.

Gegeben: Dreieck $ABC$ mit $\overline{AC} = \overline{BC}$ (also ist $c$ die Basis).

Zu zeigen: $\angle A = \angle B$.

Lösung:

Wir konstruieren die Winkelhalbierende $w_\gamma$ aus $C$ zur Basis $\overline{AB}$. Sie trifft $\overline{AB}$ im Punkt $D$. Wir erhalten zwei Dreiecke: $\triangle ACD$ und $\triangle BCD$.

Schritt 1: Gegebene Gleichheiten sammeln.

• $\overline{AC} = \overline{BC}$ (Voraussetzung, Schenkel)
• $\angle ACD = \angle BCD$ (Winkelhalbierende halbiert $\angle C$)
• $\overline{CD} = \overline{CD}$ (gemeinsame Seite)

Schritt 2: SWS-Satz anwenden.

Die beiden Dreiecke haben zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel gemeinsam:

$$\triangle ACD \cong \triangle BCD$$

Schritt 3: Folgerung ziehen.

Aus der Kongruenz folgt, dass entsprechende Winkel gleich gross sind. Der Winkel $\angle A$ in $\triangle ACD$ entspricht dem Winkel $\angle B$ in $\triangle BCD$. Daher:

$$\angle A = \angle B$$

Die Basiswinkel sind gleich gross. Kongruenz als Beweiswerkzeug: Genau darauf zielt Euklid seit 2300 Jahren ab.

Übungen

Bearbeite die folgenden Aufgaben der Reihe nach. Die Schwierigkeit steigt langsam an.

Aufgabe 1: Gegeben: $\triangle ABC \cong \triangle KLM$ mit $\overline{AB} = 7 \, \text{cm}$. Wie lang ist $\overline{KL}$?

Aufgabe 2: Welches Symbol steht für Kongruenz? a) $=$ b) $\cong$ c) $\sim$ d) $\approx$

Aufgabe 3: Ein Dreieck hat die Seiten $a = 4$, $b = 5$, $c = 6$. Ein zweites Dreieck hat die Seiten $d = 4$, $e = 6$, $f = 5$. Sind die Dreiecke kongruent? Welcher Satz?

Aufgabe 4: Dreieck 1 hat die Winkel $45°$, $60°$, $75°$. Dreieck 2 hat dieselben Winkel. Sind die Dreiecke kongruent?

Aufgabe 5: Zwei Dreiecke haben jeweils die Seiten $5 \, \text{cm}$ und $8 \, \text{cm}$, mit einem eingeschlossenen Winkel von $60°$. Welcher Kongruenzsatz greift?

Aufgabe 6: $\triangle ABC$ und $\triangle DEF$: $\overline{AB} = \overline{DE} = 10 \, \text{cm}$, $\angle A = \angle D = 30°$, $\angle B = \angle E = 90°$. Sind die Dreiecke kongruent?

Aufgabe 7: Ein Rechteck $ABCD$ wird durch die Diagonale $\overline{AC}$ in zwei Dreiecke geteilt. Zeige, dass $\triangle ABC \cong \triangle CDA$.

Aufgabe 8: In einem gleichseitigen Dreieck ist jede Seite $6 \, \text{cm}$ lang. Ein zweites Dreieck hat die Winkel $60°$, $60°$, $60°$. Sind die Dreiecke zwingend kongruent?

Aufgabe 9: Konstruiere im Kopf: Dreieck mit $a = 3$, $b = 4$, $c = 5$ und Dreieck mit $a = 3$, $b = 5$, $c = 4$. Sind sie kongruent? Welche Zuordnung?

Aufgabe 10: Begründe mit Kongruenz: In einem Parallelogramm halbieren sich die Diagonalen gegenseitig.

Das Wichtigste in Kürze

• Kongruente Figuren sind deckungsgleich. Sie haben die gleiche Form und die gleiche Grösse.
• Das Symbol für Kongruenz ist $\cong$.
• Bei kongruenten Figuren stimmen alle entsprechenden Seiten und Winkel überein.
• Für Dreiecke gibt es vier Kongruenzsätze: SSS, SWS, WSW und SsW. Mit ihnen kannst du Kongruenz beweisen, ohne alle sechs Masse zu kennen.
• WWW reicht nicht! Drei gleiche Winkel beweisen nur Ähnlichkeit, keine Kongruenz.
• Die Reihenfolge der Eckpunkte in der Kongruenzaussage legt die Zuordnung der entsprechenden Elemente fest.
• Kongruenz entsteht durch Kongruenzabbildungen: Verschiebung, Drehung und Spiegelung. Diese erhalten Längen und Winkel.
• Kongruenz ist ein Spezialfall der Ähnlichkeit mit Streckfaktor $1$.

Dein Wissen im Test

❓ Frage:

Dreieck $ABC$ hat die Seiten $a = 3 \, \text{cm}$, $b = 4 \, \text{cm}$, $c = 5 \, \text{cm}$. Dreieck $DEF$ hat die Seiten $d = 6 \, \text{cm}$, $e = 8 \, \text{cm}$, $f = 10 \, \text{cm}$. Sind die Dreiecke kongruent?

Lösung anzeigen

Nein, die Dreiecke sind nicht kongruent. Die Seiten von Dreieck $DEF$ sind jeweils doppelt so lang wie die von Dreieck $ABC$. Die Dreiecke sind zwar ähnlich (Streckfaktor $2$), aber sie haben unterschiedliche Grössen. Für Kongruenz müssten alle Seitenlängen exakt übereinstimmen.

❓ Frage:

Von zwei Dreiecken weisst du: Beide haben die Winkel $60°$, $60°$ und $60°$. Welcher Kongruenzsatz ist anwendbar?

Lösung anzeigen

Keiner! Drei übereinstimmende Winkel (WWW) sind kein Kongruenzsatz. Du kannst unendlich viele gleichseitige Dreiecke mit $60°$-Winkeln zeichnen, die alle unterschiedlich gross sind. Diese Information beweist nur Ähnlichkeit. Für einen Kongruenzbeweis fehlt mindestens eine Seitenlänge.

❓ Frage:

Gegeben: $\triangle ABC \cong \triangle XYZ$ mit $\overline{AB} = 5 \, \text{cm}$ und $\angle C = 40°$. Was weisst du über Dreieck $XYZ$?

Lösung anzeigen

Aus der Kongruenzaussage folgt die Zuordnung $A \leftrightarrow X$, $B \leftrightarrow Y$, $C \leftrightarrow Z$. Daraus ergibt sich:

• $\overline{XY} = \overline{AB} = 5 \, \text{cm}$
• $\angle Z = \angle C = 40°$

❓ Frage:

Welche Aussage ist korrekt? a) Kongruente Figuren sind immer ähnlich. b) Ähnliche Figuren sind immer kongruent. c) Beide Aussagen sind falsch.

Lösung anzeigen

a) Kongruente Figuren sind immer ähnlich ist korrekt. Kongruenz ist ein Spezialfall der Ähnlichkeit (mit Streckfaktor $1$). Alles, was kongruent ist, ist automatisch auch ähnlich. Die Umkehrung gilt aber nicht: Zwei ähnliche Figuren können unterschiedliche Grössen haben und sind dann nicht kongruent.

❓ Frage:

Zwei Dreiecke $ABC$ und $DEF$ haben $\overline{AB} = \overline{DE}$, $\overline{AC} = \overline{DF}$ und $\angle A = \angle D$. Welcher Kongruenzsatz greift?

Lösung anzeigen

Es greift der SWS-Satz (Seite-Winkel-Seite). Der Winkel $\angle A$ liegt zwischen den Seiten $\overline{AB}$ und $\overline{AC}$. Er ist also der eingeschlossene Winkel. Ebenso liegt $\angle D$ zwischen $\overline{DE}$ und $\overline{DF}$. Damit gilt:

$$\triangle ABC \cong \triangle DEF$$

Ausblick

Du hast jetzt ein solides Verständnis von Kongruenz. Der nächste logische Schritt in der Geometrie ist die Ähnlichkeit von Figuren. Dort lernst du, wie du Figuren vergleichst, die zwar die gleiche Form, aber unterschiedliche Grössen haben. Der Strahlensatz wird dein Werkzeug für Ähnlichkeitsbeweise. Ausserdem wirst du die Kongruenzsätze nutzen, um geometrische Beweise zu führen – etwa zur Mittelsenkrechten, zur Winkelhalbierenden oder zum Satz des Thales.

Lösungen

Lösung 1: Aus $\triangle ABC \cong \triangle KLM$ folgt die Zuordnung $A \leftrightarrow K$, $B \leftrightarrow L$, $C \leftrightarrow M$. Also entspricht $\overline{AB}$ der Seite $\overline{KL}$. Daher: $\overline{KL} = 7 \, \text{cm}$.

Lösung 2: Richtig ist b) $\cong$. Das Zeichen kombiniert die Tilde $\sim$ (ähnlich) mit dem Gleichheitszeichen $=$. Zusammen: “ähnlich und gleich gross” – also kongruent. $\sim$ allein steht nur für Ähnlichkeit, $\approx$ bedeutet “ungefähr gleich”.

Lösung 3: Sortiert ergibt Dreieck 1: $\{4, 5, 6\}$, Dreieck 2: $\{4, 5, 6\}$. Die Seitenmengen sind identisch. Nach dem SSS-Satz sind die Dreiecke kongruent.

Lösung 4: Nein, sie sind nicht zwingend kongruent. Gleiche Winkel (WWW) beweisen nur Ähnlichkeit. Die Dreiecke könnten unterschiedlich gross sein. Ohne eine Seitenangabe lässt sich keine Kongruenz folgern.

Lösung 5: Es greift der SWS-Satz (Seite-Winkel-Seite). Beide Seitenlängen $5 \, \text{cm}$ und $8 \, \text{cm}$ stimmen überein, und der eingeschlossene Winkel beträgt in beiden Fällen $60°$. Nach SWS sind die Dreiecke kongruent.

Lösung 6: Wir haben die Seite $\overline{AB} = \overline{DE} = 10 \, \text{cm}$. Der Winkel $\angle A$ liegt am Punkt $A$ (an der Seite $\overline{AB}$), der Winkel $\angle B$ liegt am Punkt $B$ (ebenfalls an $\overline{AB}$). Beide Winkel sind anliegend an der gegebenen Seite. Das ist die WSW-Konstellation. Nach dem WSW-Satz sind die Dreiecke kongruent:

$$\triangle ABC \cong \triangle DEF$$

Lösung 7: Im Rechteck $ABCD$ gilt: $\overline{AB} = \overline{CD}$ (gegenüberliegende Seiten), $\overline{BC} = \overline{DA}$ (gegenüberliegende Seiten) und $\overline{AC} = \overline{CA}$ (gemeinsame Diagonale). Die drei Seiten von $\triangle ABC$ stimmen also mit den drei Seiten von $\triangle CDA$ überein. Nach dem SSS-Satz:

$$\triangle ABC \cong \triangle CDA$$

Lösung 8: Nein, nicht zwingend. Das erste Dreieck hat konkrete Seitenlängen von $6 \, \text{cm}$. Das zweite Dreieck hat nur Winkelangaben ($60°$, $60°$, $60°$). Daraus folgt zwar, dass es gleichseitig ist, aber die Seitenlänge ist nicht festgelegt. Das zweite Dreieck könnte Seiten von $1 \, \text{cm}$ oder $100 \, \text{m}$ haben. Es ist ähnlich zum ersten Dreieck, aber nicht zwingend kongruent.

Lösung 9: Sortiert ergeben beide Dreiecke die Seitenmenge $\{3, 4, 5\}$. Nach dem SSS-Satz sind sie kongruent. Die Zuordnung: Seite mit Länge $3$ → Seite mit Länge $3$, Seite $4$ → Seite $4$, Seite $5$ → Seite $5$. Die Reihenfolge der Buchstaben in der Aussage richtet sich nach der Lage der Seiten gegenüber den Eckpunkten.

Lösung 10: Im Parallelogramm $ABCD$ schneiden sich die Diagonalen $\overline{AC}$ und $\overline{BD}$ im Punkt $M$. Wir betrachten die Dreiecke $\triangle ABM$ und $\triangle CDM$.

• $\overline{AB} = \overline{CD}$ (gegenüberliegende Seiten im Parallelogramm)
• $\angle BAM = \angle DCM$ (Wechselwinkel an den parallelen Seiten $\overline{AB}$ und $\overline{CD}$ mit Schnittlinie $\overline{AC}$)
• $\angle ABM = \angle CDM$ (Wechselwinkel an den parallelen Seiten mit Schnittlinie $\overline{BD}$)

Nach dem WSW-Satz gilt $\triangle ABM \cong \triangle CDM$. Aus der Kongruenz folgt $\overline{AM} = \overline{CM}$ und $\overline{BM} = \overline{DM}$. Die Diagonalen halbieren sich also gegenseitig.

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Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport