Kreisumfang und Kreisfläche – Formeln, Herleitung, Umkehraufgaben

Darum geht's

Du willst einen runden Geburtstagskuchen backen. Die Kuchenform hat einen Durchmesser von 26 cm. Jetzt fragst du dich: Wie viel Teig brauchst du eigentlich, um die Form zu füllen? Und wie lang muss das Dekoband sein, das du um den fertigen Kuchen wickeln möchtest?

Beide Fragen lassen sich mit Mathematik beantworten. Das Band um den Kuchen entspricht dem Kreisumfang. Der Teig, der die Form ausfüllt, entspricht der Kreisfläche. In diesem Artikel lernst du, wie du beide Grössen mit einfachen Formeln berechnest, woher diese Formeln kommen und wie du sie rückwärts anwendest.

Vom Kuchen zur Mathematik: Was ist ein Kreis eigentlich?

Bevor wir rechnen, klären wir die wichtigsten Begriffe. Ein Kreis ist eine Figur, bei der alle Punkte denselben Abstand zum Mittelpunkt $M$ haben. Dieser Abstand heisst Radius und wird mit $r$ abgekürzt.

Das kannst du ganz praktisch ausprobieren: Befestige eine Schnur an einem Pflock, spanne sie straff und führe einen Stift am Schnurende einmal rund um den Pflock. Es entsteht ein Kreis. Die Länge der gespannten Schnur ist sein Radius.

Genau genommen ist der Kreis eine Linie, die Kreislinie. Ihre Länge heisst Umfang $U$. Der Bereich, den die Kreislinie einschliesst, heisst Kreisfläche oder Kreisscheibe. Ihren Inhalt nennen wir Flächeninhalt $A$. Diese Unterscheidung hilft dir beim Rechnen: Der Umfang ist eine Länge, die Fläche ist eine Fläche.

Der Durchmesser $d$ ist die längste Strecke durch den Kreis. Er geht durch den Mittelpunkt und verbindet zwei Punkte auf der Kreislinie. Der Durchmesser ist immer doppelt so lang wie der Radius:

$d = 2 \cdot r$

Umgekehrt gilt:

$r = \frac{d}{2}$

Diese Beziehung ist wichtig. In Aufgaben wird manchmal der Radius gegeben, manchmal der Durchmesser. Du musst flexibel umrechnen können.

Abb. 1: Die Grundbegriffe am Kreis: Mittelpunkt $M$, Radius $r$, Durchmesser $d = 2 \cdot r$, Kreislinie (Umfang $U$) und Kreisfläche $A$.

Definition

Ein Kreis ist die Menge aller Punkte, die von einem festen Mittelpunkt $M$ den gleichen Abstand haben. Dieser Abstand heisst Radius $r$. Der Durchmesser $d = 2r$ ist die Strecke durch den Mittelpunkt von Kreispunkt zu Kreispunkt. Der Umfang $U$ ist die Länge der Kreislinie. Der Flächeninhalt $A$ gibt die Grösse der eingeschlossenen Kreisscheibe an.

Die Kreiszahl Pi: Eine besondere Konstante

Wenn du den Umfang eines Kreises durch seinen Durchmesser teilst, erhältst du immer dieselbe Zahl – egal wie gross oder klein der Kreis ist. Das kannst du selbst nachprüfen.

Experiment: Pi selbst messen

Nimm verschiedene runde Gegenstände, zum Beispiel eine Getränkedose, einen Teller und ein Velorad. Miss jeweils den Umfang $U$ mit einem Faden oder einem Massband und den Durchmesser $d$ mit einem Lineal. Teile dann den Umfang durch den Durchmesser. So könnten deine Messwerte aussehen:

Gegenstand	Durchmesser $d$	Umfang $U$	$U : d$
Getränkedose	$6{,}6 \, \text{cm}$	$20{,}7 \, \text{cm}$	$\approx 3{,}14$
Teller	$26{,}0 \, \text{cm}$	$81{,}7 \, \text{cm}$	$\approx 3{,}14$
Velorad	$70 \, \text{cm}$	$220 \, \text{cm}$	$\approx 3{,}14$

Bei jedem Gegenstand kommt ungefähr $3{,}14$ heraus. Die kleinen Abweichungen in den weiteren Nachkommastellen entstehen durch Messungenauigkeiten.

Diese Zahl heisst Pi und wird mit dem griechischen Buchstaben $\pi$ geschrieben.

$\pi \approx 3{,}14159...$

Pi ist eine irrationale Zahl. Das bedeutet: Ihre Nachkommastellen enden nie und wiederholen sich nicht. Wir rechnen mit der $\pi$-Taste des Taschenrechners ($\pi \approx 3{,}14159$) oder lassen $\pi$ stehen und runden erst am Schluss, meist auf zwei Dezimalstellen. Für eine Überschlagsrechnung im Kopf genügt $\pi \approx 3{,}14$.

Definition

Die Kreiszahl $\pi$ (Pi) ist das Verhältnis von Kreisumfang zu Durchmesser:

$\pi = \frac{U}{d}$

Sie gilt für jeden Kreis und hat den Wert $\pi \approx 3{,}14159...$. Pi ist eine mathematische Konstante, die du in beiden Kreisformeln brauchst.

Der Kreisumfang: Wie lang ist die Kreislinie?

Der Kreisumfang $U$ ist die Länge der Kreislinie. Zurück zu unserem Kuchen: Der Umfang entspricht der Länge des Dekobands.

Die Formel für den Kreisumfang

Da $\pi$ das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser ist, können wir den Umfang berechnen:

$U = \pi \cdot d$

Mit $d = 2 \cdot r$ erhalten wir die zweite Form der Formel:

$U = 2 \cdot \pi \cdot r$

Beide Formeln sind gleichwertig. Verwende die Version, die zur gegebenen Grösse passt.

So berechnest du den Kreisumfang Schritt für Schritt

1. Lies den Radius $r$ oder Durchmesser $d$ aus der Aufgabe ab.
2. Falls nur $d$ gegeben ist, berechne $r = \frac{d}{2}$ (oder umgekehrt).
3. Setze in die passende Formel ein: $U = \pi \cdot d$ oder $U = 2 \cdot \pi \cdot r$.
4. Rechne aus und gib das Ergebnis mit Einheit an.

Beispiel 1: Dekoband für den Kuchen

Der Kuchen hat einen Durchmesser von $d = 26 \, \text{cm}$. Wie lang muss das Dekoband sein?

Lösung:

Gegeben: $d = 26 \, \text{cm}$

Gesucht: Umfang $U$

Formel: $U = \pi \cdot d$

Einsetzen: $U = \pi \cdot 26 \, \text{cm}$

Berechnen: $U = 26\pi \, \text{cm} \approx 81{,}68 \, \text{cm}$

Antwort: Das Dekoband muss etwa $81{,}7 \, \text{cm}$ lang sein.

Beispiel 2: Strecke pro Radumdrehung beim Velo

Ein Velorad hat einen Radius von $r = 35 \, \text{cm}$. Welche Strecke legt das Velo bei einer Radumdrehung zurück?

Lösung:

Bei einer Umdrehung rollt das Rad genau einmal seinen Umfang auf dem Boden ab.

Gegeben: $r = 35 \, \text{cm}$

Gesucht: Umfang $U$

Formel: $U = 2 \cdot \pi \cdot r$

Einsetzen: $U = 2 \cdot \pi \cdot 35 \, \text{cm}$

Berechnen: $U = 70\pi \, \text{cm} \approx 219{,}91 \, \text{cm}$

Antwort: Bei einer Umdrehung legt das Velo etwa $220 \, \text{cm}$ oder $2{,}20 \, \text{m}$ zurück.

Die Kreisfläche: Wie viel Platz hat der Kreis?

Die Kreisfläche $A$ beschreibt den Inhalt des Kreises. Bei unserem Kuchen wäre das die Teigmenge, die in die Form passt.

Herleitung: Aus dem Kreis wird fast ein Rechteck

Warum steht in der Flächenformel $r^2$? Zerschneide eine Kreisscheibe wie eine Torte in viele gleich grosse, schmale Stücke. Jedes Stück ist ein Kreissektor. Lege die Stücke nun abwechselnd mit der Spitze nach oben und mit der Spitze nach unten nebeneinander.

Je mehr Stücke du nimmst, desto mehr ähnelt die Figur einem Rechteck:

• Die Höhe ist ungefähr der Radius $r$.
• Die Breite ist ungefähr der halbe Umfang, denn die Hälfte der Bögen liegt oben, die andere Hälfte unten: $\frac{U}{2} = \frac{2 \cdot \pi \cdot r}{2} = \pi \cdot r$.

Die Fläche des Fast-Rechtecks ist Breite mal Höhe:

$A \approx \frac{1}{2} \cdot U \cdot r = \pi \cdot r \cdot r = \pi \cdot r^2$

Je feiner du schneidest, desto genauer stimmt die Näherung. Im Grenzfall unendlich vieler Stücke gilt die Formel exakt.

Die Formel für die Kreisfläche

Die Formel für die Kreisfläche lautet also:

$A = \pi \cdot r^2$

Das $r^2$ bedeutet «Radius zum Quadrat». Du multiplizierst den Radius mit sich selbst.

Falls nur der Durchmesser gegeben ist, kannst du die Formel umschreiben:

$A = \pi \cdot \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi \cdot d^2}{4}$

Die erste Version mit $r$ ist übersichtlicher. Rechne daher zuerst $r$ aus, wenn nur $d$ gegeben ist.

So berechnest du die Kreisfläche Schritt für Schritt

1. Lies den Radius $r$ oder Durchmesser $d$ aus der Aufgabe ab.
2. Falls nur $d$ gegeben ist, berechne $r = \frac{d}{2}$.
3. Berechne $r^2$ (Radius zum Quadrat).
4. Setze in die Formel ein: $A = \pi \cdot r^2$.
5. Rechne aus und gib das Ergebnis mit Flächeneinheit an.

Beispiel 3: Fläche der Kuchenform

Die Kuchenform hat einen Durchmesser von $d = 26 \, \text{cm}$. Wie gross ist die Bodenfläche?

Lösung:

Gegeben: $d = 26 \, \text{cm}$

Gesucht: Fläche $A$

Zuerst den Radius berechnen: $r = \frac{d}{2} = \frac{26 \, \text{cm}}{2} = 13 \, \text{cm}$

Formel: $A = \pi \cdot r^2$

Einsetzen: $A = \pi \cdot (13 \, \text{cm})^2$

$A = \pi \cdot 169 \, \text{cm}^2$

$A = 169\pi \, \text{cm}^2 \approx 530{,}93 \, \text{cm}^2$

Antwort: Die Bodenfläche beträgt etwa $531 \, \text{cm}^2$.

Beispiel 4: Rasenfläche eines Kreisels berechnen

Ein Verkehrskreisel hat einen Radius von $r = 8 \, \text{m}$. Die Gemeinde möchte die Rasenfläche in der Mitte neu bepflanzen. Wie viele Quadratmeter Rasen werden benötigt?

Lösung:

Gegeben: $r = 8 \, \text{m}$

Gesucht: Fläche $A$

Formel: $A = \pi \cdot r^2$

Einsetzen: $A = \pi \cdot (8 \, \text{m})^2$

$A = \pi \cdot 64 \, \text{m}^2$

$A = 64\pi \, \text{m}^2 \approx 201{,}06 \, \text{m}^2$

Antwort: Es werden etwa $201 \, \text{m}^2$ Rasen benötigt.

Beispiel 5: Pizzagrössen vergleichen

Eine kleine Pizza hat einen Durchmesser von $d_1 = 20 \, \text{cm}$. Eine grosse Pizza hat einen Durchmesser von $d_2 = 30 \, \text{cm}$. Um wie viel Prozent ist die grosse Pizza grösser?

Lösung:

Zuerst beide Radien berechnen: $r_1 = \frac{20 \, \text{cm}}{2} = 10 \, \text{cm}$

$r_2 = \frac{30 \, \text{cm}}{2} = 15 \, \text{cm}$

Fläche der kleinen Pizza: $A_1 = \pi \cdot (10 \, \text{cm})^2 = 100\pi \, \text{cm}^2$

Fläche der grossen Pizza: $A_2 = \pi \cdot (15 \, \text{cm})^2 = 225\pi \, \text{cm}^2$

Verhältnis berechnen: $\frac{A_2}{A_1} = \frac{225\pi}{100\pi} = \frac{225}{100} = 2{,}25$

Die grosse Pizza ist $2{,}25$-mal so gross. Das entspricht einer Steigerung um $125\%$.

Antwort: Die grosse Pizza ist um $125\%$ grösser als die kleine, obwohl der Durchmesser nur um $50\%$ zugenommen hat.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

Achtung

Fehler 1: Radius und Durchmesser verwechseln

Viele Schüler setzen den Durchmesser direkt in die Flächenformel ein, obwohl dort der Radius gebraucht wird. Das Ergebnis wird dann viermal zu gross. Prüfe immer: Ist $r$ oder $d$ gegeben? Falls $d$ gegeben ist, halbiere zuerst.

Fehler 2: Quadrat falsch berechnen

Bei $r^2$ wird nur der Radius quadriert, nicht $\pi$. Falsch: $(\pi \cdot r)^2$. Richtig: $\pi \cdot r^2$.

Fehler 3: Einheiten vergessen oder falsch angeben

Der Umfang hat eine Längeneinheit (cm, m). Die Fläche hat eine Flächeneinheit (cm², m²). Achte darauf, dass die Einheit zum Ergebnis passt.

Fehler 4: Proportionalität falsch einschätzen

Verdoppelst du den Radius, verdoppelt sich der Umfang. Aber die Fläche vervierfacht sich! Das liegt am Quadrat in der Flächenformel.

Fehler 5: Zu früh runden

Rechne möglichst lange mit $\pi$ als Symbol oder mit dem ungerundeten Zwischenergebnis im Taschenrechner. Runde erst im letzten Schritt und gib wenn möglich auch das exakte Ergebnis an, zum Beispiel $25\pi \, \text{cm}^2$.

Formeln umstellen: Den Radius aus Umfang oder Fläche berechnen

Manchmal ist nicht der Radius gegeben, sondern der Umfang oder die Fläche. Dann musst du die Formeln umstellen.

Radius aus dem Umfang berechnen

Ausgangsformel: $U = 2 \cdot \pi \cdot r$

Nach $r$ umgestellt: $r = \frac{U}{2 \cdot \pi}$

Radius aus der Fläche berechnen

Ausgangsformel: $A = \pi \cdot r^2$

Nach $r^2$ umgestellt: $r^2 = \frac{A}{\pi}$

Wurzel ziehen: $r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$

Beispiel 6: Radius aus der Fläche bestimmen

Ein kreisförmiger Teich hat eine Fläche von $A = 78{,}5 \, \text{m}^2$. Wie gross ist sein Radius?

Lösung:

Gegeben: $A = 78{,}5 \, \text{m}^2$

Gesucht: Radius $r$

Formel umstellen: $r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$

Einsetzen: $r = \sqrt{\frac{78{,}5 \, \text{m}^2}{\pi}}$

$r = \sqrt{\frac{78{,}5}{3{,}14159} \, \text{m}^2}$

$r \approx \sqrt{24{,}99 \, \text{m}^2}$

$r \approx 5 \, \text{m}$

Antwort: Der Teich hat einen Radius von etwa $5 \, \text{m}$.

Beispiel 7: Vom Umfang zur Fläche

Ein kreisrunder Spielplatz ist von einem Zaun umgeben. Der Zaun ist $62{,}8 \, \text{m}$ lang. Wie gross ist die Fläche des Spielplatzes?

Lösung:

Gegeben ist der Umfang $U = 62{,}8 \, \text{m}$. Für die Fläche brauchst du zuerst den Radius.

Radius aus dem Umfang: $r = \frac{U}{2 \cdot \pi} = \frac{62{,}8 \, \text{m}}{2 \cdot \pi} \approx 9{,}995 \, \text{m}$

Das sind rund $10 \, \text{m}$. Lass den ungerundeten Wert im Taschenrechner stehen und rechne damit weiter: $A = \pi \cdot r^2 \approx \pi \cdot (9{,}995 \, \text{m})^2 \approx 313{,}8 \, \text{m}^2$

Antwort: Der Spielplatz ist etwa $314 \, \text{m}^2$ gross.

Mit dem gerundeten Radius $r = 10 \, \text{m}$ hättest du $100\pi \, \text{m}^2 \approx 314{,}2 \, \text{m}^2$ erhalten. Der kleine Unterschied zeigt, warum du erst am Schluss runden solltest.

Zusammengesetzte Figuren: Kreise in der Praxis

In realen Anwendungen kommen oft Figuren vor, die aus Kreisen und anderen Formen zusammengesetzt sind. Beispiele sind Halbkreise, Viertelkreise oder Kreisringe.

Der Halbkreis

Beim Halbkreis halbiert sich die Fläche: $A_{\text{Halbkreis}} = \frac{\pi \cdot r^2}{2}$

Der Umfang besteht aus dem halben Kreisumfang plus dem Durchmesser: $U_{\text{Halbkreis}} = \pi \cdot r + 2 \cdot r = r \cdot (\pi + 2)$

Der Kreisring

Ein Kreisring entsteht, wenn aus einem grossen Kreis ein kleinerer mit demselben Mittelpunkt ausgeschnitten wird. Die Fläche ist die Differenz: $A_{\text{Ring}} = \pi \cdot R^2 - \pi \cdot r^2 = \pi \cdot \left(R^2 - r^2\right)$

Dabei ist $R$ der äussere Radius und $r$ der innere Radius.

Beispiel 8: Rasenring um ein Blumenbeet

Eine kreisförmige Rasenfläche mit Radius $R = 8 \, \text{m}$ hat in der Mitte ein rundes Blumenbeet mit Radius $r = 3 \, \text{m}$. Wie gross ist die Rasenfläche?

Lösung:

Die Rasenfläche ist ein Kreisring mit $R = 8 \, \text{m}$ und $r = 3 \, \text{m}$.

Weg 1: Grosse Kreisfläche minus kleine Kreisfläche

$A_{\text{gross}} = \pi \cdot (8 \, \text{m})^2 = 64\pi \, \text{m}^2$

$A_{\text{klein}} = \pi \cdot (3 \, \text{m})^2 = 9\pi \, \text{m}^2$

$A_{\text{Ring}} = 64\pi \, \text{m}^2 - 9\pi \, \text{m}^2 = 55\pi \, \text{m}^2$

Weg 2: Mit der Ringformel

$A_{\text{Ring}} = \pi \cdot \left(R^2 - r^2\right) = \pi \cdot \left(64 - 9\right) \, \text{m}^2 = 55\pi \, \text{m}^2$

Beide Wege führen zum gleichen Ergebnis:

$A_{\text{Ring}} = 55\pi \, \text{m}^2 \approx 172{,}79 \, \text{m}^2$

Achtung: $R^2 - r^2$ ist nicht dasselbe wie $(R - r)^2$. Mit $\pi \cdot (8 - 3)^2 = 25\pi \approx 78{,}54 \, \text{m}^2$ wäre das Ergebnis falsch.

Antwort: Die Rasenfläche beträgt etwa $173 \, \text{m}^2$.

Das Wichtigste in Kürze

• Die Kreislinie hat die Länge $U$ (Umfang), die Kreisscheibe hat den Flächeninhalt $A$.
• Die Kreiszahl $\pi \approx 3{,}14159$ ist das Verhältnis $U : d$. Das kannst du durch Messen an runden Gegenständen selbst nachprüfen.
• Der Kreisumfang berechnet sich mit $U = 2 \cdot \pi \cdot r$ oder $U = \pi \cdot d$.
• Die Kreisfläche berechnet sich mit $A = \pi \cdot r^2$. Die Formel entsteht, wenn du den Kreis in schmale Sektoren zerlegst und zu einem Fast-Rechteck mit Breite $\pi r$ und Höhe $r$ umlegst.
• Achte genau darauf, ob Radius oder Durchmesser gegeben ist. Es gilt: $d = 2 \cdot r$.
• Rückwärts rechnest du mit $r = \frac{U}{2\pi}$ oder $r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$.
• Ein Kreisring hat die Fläche $A_{\text{Ring}} = \pi \cdot \left(R^2 - r^2\right)$.
• Verdoppelst du den Radius, verdoppelt sich der Umfang. Die Fläche vervierfacht sich.

Dein Wissen im Test

❓ Frage:Ein Kreis hat einen Durchmesser von $d = 14 \, \text{cm}$. Wie gross ist sein Umfang?

Lösung anzeigen

Der Radius beträgt $r = 7 \, \text{cm}$.

$U = 2 \cdot \pi \cdot r = 2 \cdot \pi \cdot 7 \, \text{cm} = 14\pi \, \text{cm} \approx 43{,}98 \, \text{cm}$

Alternativ direkt: $U = \pi \cdot d = \pi \cdot 14 \, \text{cm} \approx 43{,}98 \, \text{cm}$

❓ Frage:Ein kreisförmiges Trampolin hat einen Radius von $r = 2 \, \text{m}$. Wie gross ist die Sprungfläche?

Lösung anzeigen

$A = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot (2 \, \text{m})^2 = \pi \cdot 4 \, \text{m}^2 = 4\pi \, \text{m}^2 \approx 12{,}57 \, \text{m}^2$

Die Sprungfläche beträgt etwa $12{,}57 \, \text{m}^2$.

❓ Frage:Ein Kreis hat eine Fläche von $A = 50{,}27 \, \text{cm}^2$. Berechne den Radius.

Lösung anzeigen

Formel umstellen: $r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$

$r = \sqrt{\frac{50{,}27 \, \text{cm}^2}{\pi}} = \sqrt{\frac{50{,}27}{3{,}14159} \, \text{cm}^2} \approx \sqrt{16 \, \text{cm}^2} = 4 \, \text{cm}$

Der Radius beträgt etwa $4 \, \text{cm}$.

❓ Frage:Ein ringförmiges Blumenbeet hat den äusseren Radius $R = 4 \, \text{m}$ und den inneren Radius $r = 2 \, \text{m}$. Wie gross ist die Beetfläche?

Lösung anzeigen

Das Beet ist ein Kreisring:

$A_{\text{Ring}} = \pi \cdot \left(R^2 - r^2\right) = \pi \cdot \left(16 - 4\right) \, \text{m}^2 = 12\pi \, \text{m}^2 \approx 37{,}70 \, \text{m}^2$

Das Blumenbeet hat eine Fläche von etwa $37{,}70 \, \text{m}^2$.

Ausblick: Was kommt als Nächstes?

Du hast jetzt gelernt, Umfang und Fläche von Kreisen zu berechnen. Diese Kenntnisse sind die Grundlage für weitere spannende Themen.

Als Nächstes zerlegst du den Kreis in Teile. In der Lektion Kreisbogen und Kreissektor berechnest du Tortenstücke und ihre gebogenen Ränder. Dafür brauchst du den Mittelpunktswinkel und den Anteil am Vollkreis.

Danach geht es zu dreidimensionalen Körpern, die auf dem Kreis basieren. Der Zylinder entsteht, wenn du einen Kreis in die Höhe ziehst. Sein Volumen und seine Oberfläche berechnest du mit den Kreisformeln, die du jetzt beherrschst.

Auch der Kegel und die Kugel bauen auf dem Kreis auf. Mit deinem Wissen über $\pi$, Radius und die Kreisfläche bist du bestens vorbereitet für diese Körper.

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Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport