Brüche und Prozente umrechnen

Darum geht's

Im Laden siehst du “20% Rabatt”. Im Rezept steht “ein Viertel der Menge nehmen”. In der Zeitung liest du “die Hälfte der Befragten”. All das beschreibt Anteile – nur in unterschiedlichen Schreibweisen. Brüche und Prozente sind eng verwandt, denn beide drücken aus, welcher Teil eines Ganzen gemeint ist. Sobald du den Zusammenhang verstehst, kannst du beide Darstellungen sicher ineinander umrechnen. Dieses Wissen brauchst du täglich: beim Einkaufen, beim Kochen, bei Wahlergebnissen und später in fast jedem Schulfach.

Weiterführend:

• Zur Kapitelübersicht „Bruchzahlen“
• Vorwissen: Brüche vergleichen
• Als Nächstes: Brüche addieren und subtrahieren

Eine kleine Zeitreise

Die Geschichte der Prozentrechnung beginnt nicht mit einem einzigen Moment. Sie entwickelte sich über Jahrhunderte hinweg aus einem ganz praktischen Bedürfnis: Händler und Steuereintreiber brauchten eine einheitliche Methode, um Anteile vergleichbar zu machen.

Im alten Rom wurden Steuern und Zinsen häufig “pro centum” berechnet – das bedeutet “für je hundert”. Wer sich Geld lieh, zahlte oft vier oder fünf Münzen pro hundert geliehene Münzen zurück. Der Ausdruck “pro centum” wurde im Laufe der Zeit kürzer: zuerst “p. cento”, dann “p.c.” und schliesslich das heutige Zeichen %.

Im Mittelalter wurden Brüche in Europa vor allem in der arabischen Mathematik weiterentwickelt. Gelehrte wie Al-Khwarizmi, von dessen Namen das Wort “Algorithmus” stammt, beschrieben systematische Rechenverfahren mit Brüchen. Sein Werk wurde ins Lateinische übersetzt und gelangte so in die europäischen Universitäten.

Im 15. und 16. Jahrhundert nutzten Kaufleute in Italien zunehmend den Nenner 100 für Zinsberechnungen. Handschriftliche Dokumente aus dieser Zeit zeigen Schreibweisen wie “20 pro 100” oder “20 p100”. Die Abkürzung % entstand vermutlich im 17. Jahrhundert durch das Zusammenziehen des kleinen “o” hinter “per cento” zu dem Zeichen, das wir heute kennen.

Für dich heute bedeutet das: Das Prozentzeichen trägt Jahrhunderte Geschichte in sich. Wenn du 75% schreibst, stehst du in einer langen Tradition von Händlern, Mathematikern und Steuerbeamten, die alle dasselbe Problem lösten – nur mit weniger praktischen Taschenrechnern als du.

Brüche sind sogar noch älter. Die alten Ägypter verwendeten bereits vor über 3500 Jahren Brüche, allerdings fast ausschliesslich sogenannte Stammbrüche mit dem Zähler 1: $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{1}{3}$, $\dfrac{1}{4}$ und so weiter. Sie stellten jeden Bruch als Summe verschiedener Stammbrüche dar – eine Methode, die zwar funktioniert, aber sehr umständlich ist.

Die Grundlagen

Bevor du umrechnest, musst du verstehen, was ein Bruch und was Prozent eigentlich bedeuten.

Ein Bruch beschreibt immer einen Teil eines Ganzen. Der Nenner zeigt, in wie viele gleich grosse Teile das Ganze aufgeteilt wurde. Der Zähler zeigt, wie viele dieser Teile gemeint sind.

Definition

Ein Bruch $\dfrac{a}{b}$ besteht aus:

• Zähler $a$: die Anzahl der betrachteten Teile
• Nenner $b$: die Anzahl der gleich grossen Teile, in die das Ganze aufgeteilt wurde

$\frac{a}{b} \quad \text{mit } b \neq 0$

Beispiel: $\dfrac{3}{4}$ bedeutet “3 von 4 gleich grossen Teilen”.

Das Wort Prozent kommt aus dem Lateinischen: “pro centum” bedeutet “von Hundert”. Ein Prozent ist also genau ein Hundertstel.

Definition

Prozent ist ein Bruch mit dem Nenner 100:

$p\% = \frac{p}{100}$

Das Prozentzeichen % steht für “geteilt durch 100”.

Beispiele: $25\% = \frac{25}{100} \qquad 7\% = \frac{7}{100} \qquad 100\% = \frac{100}{100} = 1$

Warum sind Prozente so nützlich? Weil sie Vergleiche sofort möglich machen. “50 von 200 Schülern haben ein Haustier” und “30 von 120 Schülern haben ein Haustier” klingt unterschiedlich. Sobald du aber beide Angaben in Prozent umrechnest, siehst du: beides ergibt 25%. Die Situation ist identisch. Prozente schaffen einen gemeinsamen Massstab – immer bezogen auf 100.

Die Kernmethode

Für die Umrechnung zwischen Brüchen und Prozenten gibt es zwei Richtungen. Beide sind einfach, wenn du weisst, warum sie funktionieren.

Definition

Methode 1 – Erweitern auf Nenner 100:

Wenn der Nenner ein Teiler von 100 ist (also 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50), erweitere direkt auf 100:

$\frac{a}{b} = \frac{a \cdot k}{100} \quad \text{wobei } k = 100 : b$

Methode 2 – Mit 100 multiplizieren:

Für jeden Bruch gilt:

$\frac{a}{b} \cdot 100\% = \frac{a \cdot 100}{b}\%$

Definition

Schreibe die Prozentzahl als Bruch mit Nenner 100, dann kürze vollständig:

$p\% = \frac{p}{100} \xrightarrow{\text{kürzen}} \text{gekürzter Bruch}$

Der Schlüssel ist der Nenner 100. Brüche und Prozente teilen sich diesen gemeinsamen Nenner. Deshalb ist die Umrechnung in beiden Richtungen direkt möglich – du musst nur Erweitern oder Kürzen können, was du bereits bei Brüchen gelernt hast.

Beispiel:

Beispiel 1: Bruch zu Prozent – einfaches Erweitern

Wandle $\dfrac{3}{4}$ in Prozent um.

Lösung:

Der Nenner 4 ist ein Teiler von 100. Du berechnest den Erweiterungsfaktor:

$100 : 4 = 25$

Jetzt erweiterst du Zähler und Nenner mit 25:

$$\begin{aligned} \frac{3}{4} &= \frac{3 \cdot 25}{4 \cdot 25} \\[6pt] &= \frac{75}{100} \\[6pt] &= 75\% \end{aligned}$$

Probe: $75\% = \dfrac{75}{100} = \dfrac{3}{4}$ ✓

Das bedeutet: drei Viertel einer Pizza entsprechen 75% der Pizza. Drei von vier gleich grossen Stücken sind 75 von 100 gleichwertigen Anteilen.

Beispiel:

Beispiel 2: Bruch zu Prozent – Multiplikation mit 100

Wandle $\dfrac{5}{8}$ in Prozent um.

Lösung:

Der Nenner 8 ist kein Teiler von 100. Deshalb verwendest du Methode 2 – du multiplizierst den Bruch mit 100%:

$$\begin{aligned} \frac{5}{8} \cdot 100\% &= \frac{5 \cdot 100}{8}\% \\[6pt] &= \frac{500}{8}\% \\[6pt] &= 62{,}5\% \end{aligned}$$

Ergebnis: $\dfrac{5}{8} = 62{,}5\%$

Der Rechenweg funktioniert immer, egal ob der Nenner ein Teiler von 100 ist oder nicht. Du kannst diese Methode also als universelle Methode verwenden – sie ist etwas länger, aber immer korrekt.

Die häufigsten Stolpersteine

Achtung

Prozent und Promille verwechseln: Prozent bedeutet “von Hundert”, Promille bedeutet “von Tausend”. Das ist ein häufiger Fehler.

$1 \text{ Promille} = \frac{1}{1000} = 0{,}1\%$

Blutalkoholwerte werden in Promille angegeben, nicht in Prozent. 0,5 ‰ ist nicht dasselbe wie $0{,}5\%$.

Achtung

Nicht vollständig kürzen: Wenn du 60% in einen Bruch umwandelst, schreibst du zuerst $\dfrac{60}{100}$. Jetzt musst du vollständig kürzen. Durch 10 teilen ergibt $\dfrac{6}{10}$ – das ist noch nicht fertig. Durch 2 teilen ergibt $\dfrac{3}{5}$ – das ist der vollständig gekürzte Bruch. Prüfe immer, ob der grösste gemeinsame Teiler wirklich 1 ist.

Achtung

Periodische Dezimalzahlen: Nicht jeder Bruch ergibt eine “schöne” Prozentzahl. Der Bruch $\dfrac{1}{3}$ ergibt:

$\frac{1}{3} \cdot 100\% = 33{,}\overline{3}\%$

Das Ergebnis ist eine periodisch wiederholende Dezimalzahl. Das ist korrekt und normal. Wenn du gerundet angeben sollst, schreibe $\approx 33{,}3\%$.

Achtung

Das Ganze vergessen: 100% ist immer das vollständige Ganze. Wenn 30% der Schülerinnen ein Fahrrad haben, dann haben 70% keines. Die beiden Anteile ergeben zusammen 100%. Wenn dein Ergebnis mehr als 100% für einen Anteil ergibt, stimmt etwas nicht.

Beispiel:

Beispiel 3: Prozent zu Bruch – vollständig kürzen

Wandle 35% in einen vollständig gekürzten Bruch um.

Lösung:

Schritt 1: Schreibe als Bruch mit Nenner 100.

$35\% = \frac{35}{100}$

Schritt 2: Bestimme den grössten gemeinsamen Teiler (ggT) von 35 und 100.

Teiler von 35: 1, 5, 7, 35

Teiler von 100: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100

Der grösste gemeinsame Teiler ist 5.

Schritt 3: Kürze durch 5.

$$\begin{aligned} \frac{35}{100} &= \frac{35 : 5}{100 : 5} \\[6pt] &= \frac{7}{20} \end{aligned}$$

Ergebnis: $35\% = \dfrac{7}{20}$

Probe: $\dfrac{7}{20} = \dfrac{7 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \dfrac{35}{100} = 35\%$ ✓

Beispiel:

Beispiel 4: Transfer – Anteil in der Klasse berechnen

In einer Klasse mit 24 Schülerinnen und Schülern haben 6 ein Haustier. Wie viel Prozent der Klasse ist das?

Lösung:

Schritt 1: Schreibe den Anteil als Bruch.

$\frac{6}{24}$

Schritt 2: Kürze den Bruch.

$\frac{6}{24} = \frac{1}{4}$

Schritt 3: Wandle in Prozent um. Der Nenner 4 ist ein Teiler von 100. Erweiterungsfaktor: $100 : 4 = 25$.

$$\begin{aligned} \frac{1}{4} &= \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} \\[6pt] &= \frac{25}{100} \\[6pt] &= 25\% \end{aligned}$$

Ergebnis: 25% der Klasse hat ein Haustier.

Dieser Weg – zuerst kürzen, dann umrechnen – ist oft schneller als direkt $\dfrac{6}{24} \cdot 100\%$ zu berechnen.

Vertiefung

Sobald du Brüche und Prozente sicher umrechnen kannst, öffnet sich ein weiteres Thema: Dezimalzahlen als Brücke. Die drei Darstellungen Bruch, Dezimalzahl und Prozent beschreiben immer dieselbe Grösse.

Definition

Bruch, Dezimalzahl und Prozent lassen sich ineinander umrechnen:

$\frac{3}{4} = 0{,}75 = 75\%$

Die Umrechnungsregeln:

Von	Nach	Regel
Bruch	Dezimalzahl	Zähler ÷ Nenner
Dezimalzahl	Prozent	· 100
Prozent	Dezimalzahl	÷ 100
Dezimalzahl	Bruch	Dezimalstellen als Nenner (10, 100, …)

Diese Verbindung ist nützlich für Kopfrechnen. Statt $\dfrac{3}{8}$ direkt in Prozent umzurechnen, kannst du zuerst die Dezimalzahl berechnen:

$\frac{3}{8} = 3 \div 8 = 0{,}375$

Dann multiplizierst du mit 100:

$0{,}375 \cdot 100 = 37{,}5\%$

Ein weiterer fortgeschrittener Aspekt ist die Prozentrechnung mit dem Ganzen. Wenn du weisst, dass 25% einem bestimmten Wert entsprechen, kannst du das Ganze berechnen. Das ist die sogenannte Grundwertberechnung und baut direkt auf dem Wissen über Brüche und Prozente auf.

Ausserdem tauchen Brüche und Prozente zusammen in Verhältnissen auf. Ein Mischverhältnis von 1:3 bei Orangensaft und Wasser bedeutet: $\dfrac{1}{4}$ ist Saft, also 25% – und $\dfrac{3}{4}$ ist Wasser, also 75%.

Beispiel:

Beispiel 5: Drei Darstellungen im Vergleich

Stelle den Anteil $\dfrac{7}{25}$ als Dezimalzahl und als Prozent dar.

Lösung:

Bruch zu Dezimalzahl: Teile den Zähler durch den Nenner.

$7 \div 25 = 0{,}28$

Dezimalzahl zu Prozent: Multipliziere mit 100.

$0{,}28 \cdot 100 = 28\%$

Kontrollweg – direkt vom Bruch zu Prozent: Der Nenner 25 ist ein Teiler von 100. Erweiterungsfaktor: $100 : 25 = 4$.

$$\begin{aligned} \frac{7}{25} &= \frac{7 \cdot 4}{25 \cdot 4} \\[6pt] &= \frac{28}{100} \\[6pt] &= 28\% \end{aligned}$$

Ergebnis: $\dfrac{7}{25} = 0{,}28 = 28\%$

Beide Wege führen zum selben Ergebnis. Das ist eine gute Probe.

Übungen

Die folgenden Aufgaben steigen in der Schwierigkeit an. Löse sie zuerst selbst, bevor du die Lösungen am Ende anschaust.

Gruppe A – Bruch zu Prozent

1. Wandle $\dfrac{1}{2}$ in Prozent um.

2. Wandle $\dfrac{3}{5}$ in Prozent um.

3. Wandle $\dfrac{7}{20}$ in Prozent um.

Gruppe B – Prozent zu Bruch

4. Wandle 40% in einen gekürzten Bruch um.

5. Wandle 15% in einen gekürzten Bruch um.

6. Wandle 64% in einen gekürzten Bruch um.

Gruppe C – Anwendungen

7. In einem Obstkorb mit 20 Früchten sind 8 Äpfel. Wie viel Prozent der Früchte sind Äpfel?

8. Ein Fahrrad kostet CHF 360.–. Im Ausverkauf gibt es 20% Rabatt. Wie viel zahlst du?

Gruppe D – Anspruchsvoll

9. Wandle $\dfrac{5}{6}$ in Prozent um. Runde auf eine Dezimalstelle.

10. In einer Schulklasse sind 30% der Schülerinnen und Schüler im Turnverein. Das sind 9 Personen. Wie viele Schülerinnen und Schüler sind insgesamt in der Klasse?

Das Wichtigste in Kürze

Prozent bedeutet “von Hundert”: $p\% = \dfrac{p}{100}$.

Um einen Bruch in Prozent umzuwandeln, erweiterst du auf den Nenner 100 (wenn möglich) oder multiplizierst den Bruch mit 100%. Um Prozent in einen Bruch umzuwandeln, schreibst du die Prozentzahl als Hundertstel und kürzt vollständig.

Brüche, Dezimalzahlen und Prozente beschreiben denselben Anteil – nur in verschiedenen Schreibweisen. Die wichtigsten Umrechnungen (Hälfte = 50%, Viertel = 25%, Zehntel = 10%) solltest du auswendig können. Verwechsle nicht Prozent (von 100) und Promille (von 1000). Kürze Brüche immer vollständig.

Bruch	Dezimalzahl	Prozent
$\dfrac{1}{2}$	0,5	50%
$\dfrac{1}{4}$	0,25	25%
$\dfrac{3}{4}$	0,75	75%
$\dfrac{1}{5}$	0,2	20%
$\dfrac{1}{10}$	0,1	10%
$\dfrac{1}{3}$	$0{,}\overline{3}$	$33{,}\overline{3}\%$

❓ Frage: Wandle $\dfrac{2}{5}$ in Prozent um.

Lösung anzeigen

Erweiterungsfaktor: $100 : 5 = 20$ $\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 20}{5 \cdot 20} = \frac{40}{100} = 40\%$

❓ Frage: Wandle 85% in einen gekürzten Bruch um.

Lösung anzeigen

$85\% = \frac{85}{100}$ ggT von 85 und 100 ist 5. $\frac{85}{100} = \frac{85 : 5}{100 : 5} = \frac{17}{20}$

❓ Frage: Ein T-Shirt kostet CHF 40.– und ist um 15% reduziert. Wie viel zahlst du?

Lösung anzeigen

Rabatt: $40 \cdot 0{,}15 = \text{CHF } 6.–$ Endpreis: $40 - 6 = \text{CHF } 34.–$ Oder direkt: $40 \cdot 0{,}85 = \text{CHF } 34.–$

❓ Frage: Von 30 Schülerinnen und Schülern fahren 12 mit dem Velo zur Schule. Wie viel Prozent ist das?

Lösung anzeigen

Anteil als Bruch: $\dfrac{12}{30}$ Kürzen durch 6: $\dfrac{12}{30} = \dfrac{2}{5}$ Umrechnen: $\dfrac{2}{5} = \dfrac{40}{100} = 40\%$

❓ Frage: Welche drei Zahlen beschreiben denselben Anteil: $\dfrac{3}{20}$, eine Dezimalzahl und ein Prozentwert?

Lösung anzeigen

Bruch zu Dezimalzahl: $3 \div 20 = 0{,}15$ Dezimalzahl zu Prozent: $0{,}15 \cdot 100 = 15\%$ Alle drei beschreiben denselben Anteil: $\dfrac{3}{20} = 0{,}15 = 15\%$

Ausblick

Das Umrechnen zwischen Brüchen und Prozenten ist die Grundlage für die gesamte Prozentrechnung. Im nächsten Schritt lernst du, wie du den Prozentwert, den Grundwert und den Prozentsatz berechnest – zum Beispiel: Wie viel sind 15% von CHF 240? Oder: CHF 36 sind 30% von welchem Betrag?

Auch beim Thema Verhältnisse und Proportionen wirst du Brüche und Prozente wiederfinden. Und in der Statistik – Tortendiagramme, Balkendiagramme, Häufigkeitstabellen – sind Prozentangaben allgegenwärtig. Die Grundlagen, die du hier gelegt hast, tragen dich weit.

Lösungen

Aufgabe 1: Wandle $\dfrac{1}{2}$ in Prozent um.

Erweiterungsfaktor: $100 : 2 = 50$

$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 50}{2 \cdot 50} = \frac{50}{100} = 50\%$

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Aufgabe 2: Wandle $\dfrac{3}{5}$ in Prozent um.

Erweiterungsfaktor: $100 : 5 = 20$

$\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 20}{5 \cdot 20} = \frac{60}{100} = 60\%$

---

Aufgabe 3: Wandle $\dfrac{7}{20}$ in Prozent um.

Erweiterungsfaktor: $100 : 20 = 5$

$\frac{7}{20} = \frac{7 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{35}{100} = 35\%$

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Aufgabe 4: Wandle 40% in einen gekürzten Bruch um.

$40\% = \frac{40}{100}$

ggT von 40 und 100 ist 20.

$\frac{40}{100} = \frac{40 : 20}{100 : 20} = \frac{2}{5}$

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Aufgabe 5: Wandle 15% in einen gekürzten Bruch um.

$15\% = \frac{15}{100}$

ggT von 15 und 100 ist 5.

$\frac{15}{100} = \frac{15 : 5}{100 : 5} = \frac{3}{20}$

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Aufgabe 6: Wandle 64% in einen gekürzten Bruch um.

$64\% = \frac{64}{100}$

ggT von 64 und 100 ist 4.

$\frac{64}{100} = \frac{64 : 4}{100 : 4} = \frac{16}{25}$

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Aufgabe 7: In einem Obstkorb mit 20 Früchten sind 8 Äpfel. Wie viel Prozent der Früchte sind Äpfel?

Anteil als Bruch: $\dfrac{8}{20}$

Kürzen durch 4: $\dfrac{8}{20} = \dfrac{2}{5}$

Erweiterungsfaktor: $100 : 5 = 20$

$\frac{2}{5} = \frac{40}{100} = 40\%$

40% der Früchte sind Äpfel.

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Aufgabe 8: Ein Fahrrad kostet CHF 360.–. Im Ausverkauf gibt es 20% Rabatt. Wie viel zahlst du?

Weg 1 – Rabatt berechnen, dann abziehen:

$\text{Rabatt} = 360 \cdot \frac{20}{100} = 360 \cdot 0{,}2 = \text{CHF } 72.–$

$\text{Endpreis} = 360 - 72 = \text{CHF } 288.–$

Weg 2 – direkt mit dem Restanteil:

Wenn 20% Rabatt, zahlst du noch 80%.

$360 \cdot 0{,}8 = \text{CHF } 288.–$

Du zahlst CHF 288.–.

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Aufgabe 9: Wandle $\dfrac{5}{6}$ in Prozent um. Runde auf eine Dezimalstelle.

Der Nenner 6 ist kein Teiler von 100. Multipliziere mit 100%:

$$\begin{aligned} \frac{5}{6} \cdot 100\% &= \frac{500}{6}\% \\[6pt] &= 83{,}\overline{3}\% \end{aligned}$$

Gerundet auf eine Dezimalstelle: $\approx 83{,}3\%$

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Aufgabe 10: In einer Schulklasse sind 30% der Schülerinnen und Schüler im Turnverein. Das sind 9 Personen. Wie viele sind insgesamt in der Klasse?

30% entsprechen 9 Personen. Du suchst den Grundwert – das ist die Gesamtanzahl.

$30\% = \dfrac{30}{100} = \dfrac{3}{10}$ der Klasse sind 9 Personen.

Wenn $\dfrac{3}{10}$ der Klasse 9 Personen sind, dann ist $\dfrac{1}{10}$ der Klasse:

$9 \div 3 = 3 \text{ Personen}$

Das Ganze (10 Zehntel) ist:

$3 \cdot 10 = 30 \text{ Personen}$

Probe: $30\% \text{ von } 30 = 0{,}3 \cdot 30 = 9$ ✓

In der Klasse sind insgesamt 30 Schülerinnen und Schüler.

Verwandte Themen

• Bruchzahlen - Brüche vergleichen und ordnen
• Brüche addieren und subtrahieren – Einfach erklärt mit Beispielen
• Erweitern und kürzen

Quellen

• Lehrplan 21 — Mathematik — Deutschschweizer Erziehungsdirektoren-Konferenz (D-EDK)
• Lehrplan Volksschule Aargau — Mathematik — Kanton Aargau, Departement Bildung, Kultur und Sport